均值定理求最值的方法和技巧

均值定理求最大值公式好的，以下是为您生成的文章：咱们在数学的世界里呀，经常会碰到各种各样求解最值的问题。

这时候，均值定理就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开最值的大门。

先来说说均值定理到底是啥。

简单来讲，对于任意两个正实数 a 和b，都有算术平均数大于等于几何平均数，也就是(a + b) / 2 ≥ √(ab) 。

当且仅当 a = b 时，等号成立。

举个例子哈，比如说咱要围一个矩形的菜园子。

已知菜园子的周长是固定的，比如说 20 米，那怎么围才能让这个菜园子的面积最大呢？这时候均值定理就派上用场啦。

假设这个矩形的长是 x 米，宽就是 (10 - x) 米，那它的面积就是 S = x(10 - x) 。

根据均值定理，x + (10 - x) = 10 ，所以√[x(10 - x)] ≤ 10 / 2 = 5 ，也就是 x(10 - x) ≤ 25 。

当且仅当 x = 10 - x ，也就是 x = 5 时，等号成立，此时菜园子是个正方形，面积最大，就是 25 平方米。

再比如说，咱要生产一批无盖的长方体盒子，每个盒子的体积要固定，比如说是 8 立方米。

那怎么设计这个盒子才能让用料最省呢？设长方体的长、宽、高分别是 a 米、b 米、c 米，那体积 V = abc = 8 。

表面积 S = ab + 2ac + 2bc 。

根据均值定理，ab + 2ac + 2bc ≥ 3׳√(a²b²×4ac×4bc) = 3׳√(16a²b²c²) 。

因为 V = 8 ，所以 c = 8 / (ab) ，代入上式可得ab + 2ac + 2bc ≥3׳√(16×64) 。

当且仅当 ab = 2ac = 2bc 时，等号成立，此时可以求出长、宽、高的具体值，也就得到了用料最省的方案。

均值定理求最值在数学中，均值定理是一种重要的定理，常用于求解函数的最值。

它是微积分中的基本定理之一，也是求解最值问题的有力工具。

本文将介绍均值定理的概念、原理和应用，以及如何通过均值定理求解函数的最值。

一、均值定理的概念和原理均值定理是微积分中的一组定理，它用来描述函数在某个区间上的平均值和函数在该区间上的某个点的值之间的关系。

在一维情况下，均值定理可以分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是均值定理的一种特殊情况，它指出如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。

换句话说，存在一个点c，使得f'(c)等于函数在[a, b]上的斜率。

2. 柯西中值定理柯西中值定理是均值定理的另一种形式，它描述了两个函数在某个区间上的平均变化率相等的情况。

具体来说，如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且g'(x)不为零，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数之商f'(c)/g'(c)等于函数之商f(x)/g(x)在区间[a, b]上的平均值。

二、均值定理的应用均值定理是求解函数最值问题的重要工具，它可以帮助我们找到函数在某个区间上的最大值和最小值。

具体应用包括以下几个方面：1. 函数的单调性根据均值定理，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。

这可以用来判断函数的单调性，并找到函数在区间上的最大值和最小值。

2. 函数的最值通过均值定理，我们可以将求解函数的最值问题转化为求解函数的导数为零的点，即驻点。

首先，求出函数的导数，然后解方程f'(x)=0，得到驻点的横坐标。

接下来，计算驻点处的函数值，找出函数的最大值和最小值。

高考知识点归纳总结：利用均值不等式求最值均值不等式设12,,0n a a a >是实数222333121212312111+nnnna a a a a a a a a nna a a +++++++++≤≤≤≤++（其中0,1,2,i a i n >=.当且仅当12n a a a ===时，等号成立）（1）12111+nna a a ++:调和平均，（2）（3） 12na a a n+++：算术平均（4：平方平均， （5高考应用:(1) 和(可以是算术和、平方和、立方和等)定，积最大：若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ， 222b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”） 若*,,a b c R ∈，则33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭， 32222()3a b c abc ++≤ (当且仅当a b c ==时取“=”）(2) 积定和(可以是算术和、平方和、立方和等)最小.若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+，ab b a 222≥+，33322()ab ab +≥（当且仅当b a =时取“=”）若*,,a b c R ∈，则a bc++≥222233()a b c abc++≥，3333a b c abc ++≥（当且仅当=c a b ==时取“=”）(3)平方和定，算术和最大 若*,,a b c R ∈，则ab +≤a bc ++≤（当且仅当=c a b ==时取“=”） (4)算术和定，平方和最小。

若*,,a b c R ∈，则222()2a b a b ++≥，2222()3a b c a b c ++++≥（当且仅当=c a b ==时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”解题技巧：技巧一：调整项的符号、凑项、拆项、凑系数、拆系数。

利用均值定理求最大(小)值的几个技巧白国军【期刊名称】《赤峰学院学报：自然科学版》【年(卷),期】2000(000)005【摘要】最大（小）值问题是一类很典型的题目,是高考的热点之一,有关这类题目的处理涉及很多教学方法,其中利用均值定理便是众多方法中常用的一种。

由于这种方法在应用中经常需要技巧,所以初学者不易掌握,本文拟介绍这一方法在解最大（小）值问题时的一些具体技巧。

所谓均值定理,就是"n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数",即若:a₁,a₂,a₃,…,a_n∈R⁺,则有（a₁+a₂+a₃+…a_n）/n≥（a₁a₂a₃…a_n）^1/n,当且仅当a₁=a₂=a₃=…=a_n 时,不等式取"="号。

新大纲对这一定理只要求掌握 n=2,3的情况。

这一定理在实际解题时,可用来求解"和"的最小值或"积"的最大值,当然必须有几个前提条件。

均值定理最大值最小值公式
泰勒均值定理是一种重要的数学定理，用于解决最大值、最小值
等问题。

它是指一个变量满足特定条件时，最小值或最大值必定存在。

泰勒均值定理提供了一种量化的方法用来确定最小值和最大值的数值
表示，也就是最小值最大值的公式。

首先，用数学符号表示，泰勒均值定理的通用表达式如下：设f （x）是连续函数，那么，存在某个c使得f（c）的导数等于零。

其次，要求出最小值和最大值的数值表示，需要用解析求积法，
它是改进梯形求积法和牛顿梯形求积法之类求积方法的一种。

这种方
法通过极值函数的导数来应用泰勒均值定理，从而求出f（c）的最小
值和最大值。

最后，泰勒均值定理最大值最小值公式如下：最小值=f（c）-f （c）的导数，最大值=f（c）+f（c）的导数。

结论：泰勒均值定理非常重要，可以帮助我们通过数学解析方法
得出最小值和最大值的数值表示，从而解决科学实验中的难题，极大
的提高效率。

巧用均值定理求函数最值今天我们要介绍一种求函数最值的方法，那就是利用均值定理。

首先，我们先来了解一下均值定理。

均值定理是微积分中的重要定理之一，它指出，若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则存在 $cin(a,b)$，使得$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在某一点的函数值等于函数在该区间上的平均值。

那么，我们如何利用均值定理来求函数最值呢？我们可以对于一个函数 $f(x)$，假设其在区间 $[a,b]$ 上连续，那么根据均值定理，我们有$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$其中$cin(a,b)$，因此，对于函数 $f(x)$，我们可以得到$$maxf(x)leqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x$$$$minf(x)geqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在区间 $[a,b]$ 上的最大值不会超过函数在该区间上的平均值，最小值不会小于函数在该区间上的平均值。

因此，我们可以利用均值定理来快速估算函数的最值。

比如，如果我们要求 $f(x)=x^2-x+1$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值，那么根据均值定理，我们有$$max f(x)leqslantfrac{1}{1-0}int_0^1(x^2-x+1)mathrm{d}x=frac{5}{6}.$$因此，$f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值不会超过 $dfrac{5}{6}$。

实际上，我们可以通过求导来得到 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为$dfrac{5}{6}$。

当然，利用均值定理来求函数最值并不是万能的，它只能给出函数最值的估计值，而不能精确计算。

但是，均值定理可以帮助我们快速估算函数的最值，从而加快我们的计算速度。

应用均值定理求最值得一类误解利用不等式中的均值定理求最值，是数学中的一种常用方法。

但同时也是非常容易出错的一类题目，原因就在于忽略了均值定理的条件“一正二定三能等”。

从而造成题目的误解甚至是错解。

下面就两道题目谈一下这类问题的解法。

题目1：已知为正实数，且，求的最小值。

解：∵x﹥0,y﹥0∴1=≥=8 (当且仅当x=4y时取等号)∴≤，∴xy≥64题目2: 已知为正实数，且，求的最小值。

解：∵x﹥0,y﹥0,且∴xy=2x+8y≥=8∵xy﹥0, ∴≥8(当且仅当x=4y时取等号)∴≥2≥2×8=16.∴的最小值是16.经验证，当x=4y时，得x＝16,y=4∴的最小值是64，的最小值是20,显然，题2的结果是错误的。

错误的原因在哪里呢？在题2的解法中又这样一步，≥2≥2×8=16，第一个等号成立的条件是下x=y,第二个等号成立的条件是x=4y，两个等号不能同时成立，出现错误。

下面给出题2 的正确解法：方法一：∵，∴＝（）（）＝＋2＋8＋≥＋10＝18，当且仅当＋，即x=2y时成立。

方法二：∵＝1，且x﹥0,y﹥0，∴x﹥8,y﹥2，且2x+8y＝∴(x-8)(y-2)=16(定值)，∴(x-8)(y-2) ≥＝8。

当且仅当x-8= y-2时成立。

∴≥18。

方法三：∵＝1，∴。

∵x﹥0,y﹥0，∴x-8﹥0。

∴＝x+=≥,当且仅当x-8= ,即x=12,y=6时等号成立。

∴的最小值为18。

由此看来，两道极其相似的题目，因为所求的结论不同，所应用条件不同，从而使解法各异。

所以同学们在学习的时候一定要对定理的条件加以重视、理解，而不能盲目的死记硬背。

下面给出一道练习，仅供同学们课下参考。

练习：已知x、y是正实数，且。

求的最小值。

答案：（）min＝9。

均值定理，又称基本不等式。

主要内容为在正实数范围内，若干数的几何平均数不超过他们的算术平均数，且当这些数全部相等时，算术平均数与几何平均数相等。

均值定理（Mean value theorem）：
已知x，y∈R+，x+y=S，x·y=P
(1)如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S有最小值；
(2)如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P有最大值。

或
当a、b∈R+，a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab (定值）当且仅当a=b时取等号。

（3）设X1，X2，X3，……，Xn为大于0的数。

则X1+X2+X3+......+Xn≥n乘n次根号下X1乘X2乘X3乘 (X)
（一定要熟练掌握）
当a、b、c∈R+，a + b + c = k（定值）时，a+b+c≥3*(3)√(abc)
即abc≤((a+b+c)/3)^3=k^3/27 (定值）当且仅当a=b=c时取等号。

例题：1。

求x+y-1的最小值。

分析：此题运用了均值定理。

∵x+y≥2√xy。

∴x+y-1≥2√xy -1
均值定理特点：
一正：各部分为正数
二定：不等号左或右是定值
三相等：等号能够取得。

均值定理解题方法我折腾了好久均值定理解题方法，总算找到点门道。

说实话，均值定理解题这事，我一开始也是瞎摸索。

均值定理吧，就是那个对于两个正实数a、b，有(a + b)/2 ≥√(ab)，当且仅当a = b时等号成立。

我一开始就老是忘记这个等号成立的条件，这可导致我做了不少错题呢。

我记得有一道题，已知某个长方形的长和宽之和是一个定值，让求长方形面积的最大值。

我当时就直接用均值定理，得出面积的一个值，但完全没考虑长和宽相等这个等号成立的条件。

后来交了作业，被老师指出错误，我才恍然大悟。

在做一些比较复杂的题时，一定要先看清楚给出的数是不是正实数。

像那种根号下或者是分式分母里出现变量的式子，这一步可太关键了。

比如说，有一道题里出现了1/x + x的形式，要利用均值定理求它的最小值。

你得先确定x的取值范围是正实数或者负实数。

要是x是正实数，那根据均值定理就是1/x + x ≥2√(1/x x)=2，当且仅当1/x = x也就是x = 1或者x = -1（这里因为前面我们假设x是正实数所以舍去-1）的时候等号成立，这就求出最小值啦。

可要是不确定x的范围，上来就用均值定理那就坏事儿了。

还有一个小窍门，如果题里给的形式不是直接能用均值定理的形式，就想法子变形。

就好比搭积木，你有的那块积木形状不合适，但你可以把它拆了重新组合一下。

比如说求y = x(3 - x)在0 < x < 3上的最大值。

这个式子看起来和均值定理没直接关系啊。

你可以把它变形为y = -x²+ 3x = - (x²- 3x)= - [(x²- 2 3/2x+(3/2)²)-(3/2)²]=-(x - 3/2)²+9/4 这样虽然能用二次函数的知识求最值了，但换个思路我们也可以用均值定理。

对x和3 - x这两个式子，它们都是正数，根据均值定理x(3 - x)≤((x+(3 - x))/2)²=(3/2)²= 9/4当且仅当x = 3 - x也就是x = 3/2时等号成立。

运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式仅当时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。

且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。

因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。

一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。

（1）注意“正数”。

例1、求函数的值域。

误解：（仅当时取等号），所以值域为。

这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：正确解法：；所以函数的值域是。

（2）注意“取等”例2、设，求函数的最小值。

误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有。

这里的错误是没有考虑等号成立的条件。

显然要，这样的不存在，故导致错误。

此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：。

所以。

例3、误解：所以的最大值为。

这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。

正确解法：仅当时取等，所以。

如取（3）注意“定值”例4、已知。

误解：，。

以上过程只能说明当。

但没有任何理由说明这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。

正确解法：，所以仅当。

二、常用处理方法和技巧（1）拆项例5、求函数的最小值。

解：，（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆为相同两项，同时使得含变量的因子的次数和为零）所以仅当。

（2）裂项例6、设，求函数的最小值。

解[先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。

即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]]所以仅当。

（3）添项例7、求函数的最小值。

解（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号）。

所以当。

例8、若.的最小值。

解：[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]。

期末章节复习攻略➢ 均值定理：又称“基本不等式”，在求最值问题中有十分频繁的运用.❖ 均值定理的公式.定义若()R a a ∈≥02，则()R b a ab b a ∈≥+,222，当且仅当b a =时等号成立. 定义若0>a ，0>b ，则ab b a ≥+2，当且仅当b a =时等号成立. 定义若0>a ，0>b ，则ab b a 2≥+，当且仅当b a =时等号成立.定义若0>a ，0>b ，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab ，当且仅当b a =时等号成立. 【注意】利用均值定理求最值时，一定要紧扣一正、二定、三相等这三个条件，即每项都是正值、和或积为定值、所有的项可同时取等值.★【积固定类问题】【例1】若0>x ，0>y ，且9=xy ，则y x 2+的最小值为 .【同步巩固】若0>x ，0>y ，且6=xy ，则y x 23+的最小值为 .★【和固定类问题】【例2】若0>x ，0>y ，且92=+y x ，则xy 的最大值为 .【同步巩固】若0>x ，0>y ，且122=+y x ，则xy 3的最大值为 .【例3】若100<<x ，则()x x -10的最 值为 .【变式训练】若50<<x ，则()x x 210-的最 值为 . ★【“x x 1+”型问题】 【例4】若0>x ，则xx 1+的最 值为 . 【例5】若0<x ，则xx 1+的最 值为 . 【变式训练1】若0>x ，则xx 42--的最 值为 . 【变式训练2】若1>x ，则14-+x x 的最 值为 . 【变式训练3】若0<x ，则xx 42--的最 值为 . ★【其他类型问题】【例6】若0>x ，0>y ，且12=+y x ，则yx 11+的最小值为 .➢ 一元二次不等式的解法❖ 一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系.❖ 一元二次不等式与一元二次方程的关系：【注意】对一元二次不等式先检查二次项系数a ，若0<a ，先两边乘以“1-”，化二次项系数大于0.【例1】已知不等式032≤+-bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤231x x ，求a ，b 的值. 【例2】已知对任意R x ∈，不等式022<+-m x mx 恒成立，求m 的取值范围.【同步巩固1】已知不等式052≤+-bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤251x x ，求b a +. 【同步巩固2】已知不等式()042≤+-+m x m mx 的解集为R ，求实数m 的取值范围.。

均值定理是高中数学中重要的内容，在高考中占有很重要的地位，成为高考的高频考点，它们总能在高考的舞台上与其姊妹知识合理、巧妙、有机地结合在一起进行联合演出，成为检查学生知识掌握情况和提升学生综合应用能力的训练战场。

因此，如何合理正确地使用均值定理就显得尤为重要了。

我们知道使用均值定理时，一定要遵循“一正、二定、三相等”的原则。

下面给出使用均值定理求最值的题型及使用方法，以供参考。

1直接套用公式例1(2014年新课标全国卷Ⅰ，16)已知a，b，c分别为ΔABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则ΔABC面积的最大值为______。

解析由正弦定理得（a+b）（a-b）=（c-b）c，也即a2=b2+c2-bc。

由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，所以A=60°。

又因为a=2，所以4=b2+c2-bc，又因为4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以bc≤4，所以SΔABC= 12bcsinA≤12·4·3√2=3√，也即面积ΔABC的最大值为3√。

点评在解题中通过配凑，直接使用了均值不等式a2+b2≥2ab （a，b∈R）达到了求最值的目的。

例2若函数f（x）=-1b e ax（a>0，b>0）的图像在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A.4B.22√C.2D.2√解析因为f′（x）=-a b e ax，所以所求切线的斜率为k=f′（x）|x=0= -a b。

因为f（0）=-1b，所以切点为（0，-1b），则切线方程为l：y-（-1b）=-a b（x-0），也即ax+by+1=0。

因为直线l与圆相切，所以1a2+b2√=1，则a2+b2=1。

因为a2+b2≥12（a+b）2，所以（a+b）2≤2（a2+b2）=2，所以0≤a+b≤2√，也即（a+b）max=2√，故选D。

利用均值不等式求最值的技巧
利用均值不等式求最值的技巧是一种常用的数学技巧，它可以帮助我们在解决数学问题时给出一个最优解。

均值不等式是一个基本的数学定理，它表明任何一个序列的平均值大于或等于它的最小值。

因此，可以利用这个定理来求解最大值或最小值。

首先，要使用均值不等式求最值，我们需要确定问题中的变量。

通常情况下，均值不等式求最大值或最小值时，有两个变量：最大值x和最小值y。

确定变量之后，我们需要根据题目给出的信息确定均值不等式的右侧。

对于求最大值的情况，右侧的值将是最小值y；而求最小值的情况下，右侧的值将是最大值x。

接下来，需要计算左侧的值，也就是均值。

计算均值的方法是：将所有数字相加，然后除以总数。

有时，问题中会给出一些数字，我们也可以将它们相加再除以总数算出均值。

有时，问题中会给出一些表达式，我们可以将它们计算出来，再把结果相加得出均值。

接下来，我们可以将左右两边的值代入均值不等式，解出最大值x或最小值y。

如果题目中有多个变量，我们可以分别解出每个变量，然后将它们带入原来的数学表达式，求出最终的最大值和最小值。

最后，要注意的是，均值不等式只能求出最大值或最小值，而不能求出其他值。

因此，在使用均值不等式求最值的时候，要确保问题中的变量正确，并且计算出来的均值也是正确的。

总之，利用均值不等式求最值的技巧是一种有效的数学技巧，能够帮助我们解决许多有关最大值和最小值的问题，提高我们解决问题的效率。