应用均值定理求最值需注意的问题

均值定理求最值在数学中，均值定理是一种重要的定理，常用于求解函数的最值。

它是微积分中的基本定理之一，也是求解最值问题的有力工具。

本文将介绍均值定理的概念、原理和应用，以及如何通过均值定理求解函数的最值。

一、均值定理的概念和原理均值定理是微积分中的一组定理，它用来描述函数在某个区间上的平均值和函数在该区间上的某个点的值之间的关系。

在一维情况下，均值定理可以分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是均值定理的一种特殊情况，它指出如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。

换句话说，存在一个点c，使得f'(c)等于函数在[a, b]上的斜率。

2. 柯西中值定理柯西中值定理是均值定理的另一种形式，它描述了两个函数在某个区间上的平均变化率相等的情况。

具体来说，如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且g'(x)不为零，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数之商f'(c)/g'(c)等于函数之商f(x)/g(x)在区间[a, b]上的平均值。

二、均值定理的应用均值定理是求解函数最值问题的重要工具，它可以帮助我们找到函数在某个区间上的最大值和最小值。

具体应用包括以下几个方面：1. 函数的单调性根据均值定理，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。

这可以用来判断函数的单调性，并找到函数在区间上的最大值和最小值。

2. 函数的最值通过均值定理，我们可以将求解函数的最值问题转化为求解函数的导数为零的点，即驻点。

首先，求出函数的导数，然后解方程f'(x)=0，得到驻点的横坐标。

接下来，计算驻点处的函数值，找出函数的最大值和最小值。

用均值定理解决函数的最大值\最小值问题作者：张宏颖
来源：《读写算》2011年第16期
应用均值定理求最值，要注意满足三个条件：正值、定值、等号成立。

在有的题目中不能直接使用均值定理，主要是因为应用定理后，和或积不是定值(常数)，所以必须要将题目先进行一些适当变形。

点评：在推导中用到了凑配技巧，以使得“积、和”分别为定值，这是常用的解题策略。

另外，中，等号不能成立，也值得注意，否则推出结论不正确。

利用判别式法可求得xy的最大值。

但因为x有范围0
点评：解法1的变形是具有通用效能的方法，值得学习。

解法2抓住了问题的本质，所以更为简捷。

例3：甲乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/每小时。

已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度V（千米/小时）的平方成正比，比例常数为b；固定部分为a元。

（1）把全程运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？
点评：此题再一次表明，务必注意“等号”成立的条件。

当年高考中有不少考生得出的是不准确的结论，“当v=a/b时, y取最小值”。

说明用均值定理求最值时有陷阱，解题时要谨防掉入陷阱。

点评：这类问题中，简单的问题是将条件和待求结论分别应用均值定理可以找到条件和结论的内在联系（两次应用均值定理时，等号成立的条件一致）。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

高三数学均值定理的应用试题答案及解析1.函数y＝ (x>－1)的图象最低点的坐标为()A．(1,2)B．(1，－2)C．(1,1)D．(0,2)【答案】D【解析】y＝＝x＋1＋≥2，当x＋1＝，即x＝0时，y最小值为2，故选D项．2.如图，已知小矩形花坛ABCD中，AB＝3 m，AD＝2 m，现要将小矩形花坛建成大矩形花坛AMPN，使点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C.(1)要使矩形AMPN的面积大于32 m2，AN的长应在什么范围内？(2)M，N是否存在这样的位置，使矩形AMPN的面积最小？若存在，求出这个最小面积及相应的AM，AN的长度；若不存在，说明理由．【答案】（1）在(2，)或(8，＋∞)内（2）AM＝6，AN＝4时，S＝24.min【解析】解：(1)设AM＝x，AN＝y(x>3，y>2)，矩形AMPN的面积为S，则S＝xy.∵△NDC∽△NAM，∴＝，∴x＝，∴S＝ (y>2)．由>32，得2<y<，或y>8，∴AN的长度应在(2，)或(8，＋∞)内．(2)当y>2时，S＝＝3(y－2＋＋4)≥3×(4＋4)＝24，当且仅当y－2＝，即y＝4时，等号成立，解得x＝6.∴存在M，N点，当AM＝6，AN＝4时，S＝24.min3.已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．【答案】（1）1 （2）2【解析】解：由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)得(1)∵x>0，y>0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0，∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x>0，y>0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·()2，∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.4.已知b>0，直线(b2＋1)x＋ay＋2＝0与直线x－b2y－1＝0互相垂直，则ab的最小值等于() A．1B．2C．2D．2【答案】B【解析】由两条直线垂直的充要条件可得(－)·＝－1，解得a＝，所以ab＝·b＝＝b＋.因为b>0，所以b＋≥2＝2，当且仅当b＝，即b＝1时取等号．5.函数的图象恒过定点A,若点A在直线上,其中,则的最小值为_______.【答案】【解析】由已知．函数的图象恒过定点A，所以有，即.所以，，当且仅当且时，的最小值为.【考点】对数函数的图象和性质，基本不等式的应用.6.已知x>0，y>0，求证：.【答案】见解析【解析】原不等式等价于(x＋y)2≥4xy，即(x－y)2≥0，显然成立．故原不等式得证．7.设正实数满足，则当取得最小值时，的最大值为．【答案】2【解析】由已知可得，则，此时当且仅当时取等号，则，当且仅当时，有．【考点】1.基本不等式的应用;2.函数的最值8.设a,b是两个实数，且a≠b，①②，③。

龙源期刊网 均值定理在函数最值问题中的应用作者：李学芳来源：《文理导航》2017年第05期【摘要】在中职数学的教学过程中，函数是当中最重要也是最难的知识点，利用均值定理求解函数的最大值和最小值是中职数学的重要教学内容之一。

如何将这一知识点具体、准确地讲解也成为很多数学老师的研究方向。

笔者具有多年的数学教学经验，主要针对一些典型的例题来分析均值定理在函数最值问题中的教学技巧和今后改善的教学方向，更好地调控实际教学的方向。

【关键词】中职数学；均值定理；函数；最值问题俗话说得好：“学好数理化，走遍天下全不怕”，我们在讲解数学知识的过程中也要充分和实践相结合。

综合分析多年来的单招高考试题，不难发现，试卷的重难点大多集中在函数这一章节。

函数知识点灵活，和中职所学的很多知识都有关联，均值定理是中职数学的重要组成部分，在单招高考中占有一定的比重，成为单招高考的高频考点，总能以各种形式出现在单招高考的舞台上，成为考验学生综合能力素养的体现。

因而，我们教师如何将均值定理运用于函数最值这一个知识点讲得通透准确显得尤为关键，下面给出常规的例题讲解和教学方法。

一、指导学生多种解题思路，避免出题陷阱例1 求函数f（x）=+x（x对于均值问题，最常规的解题思路是直接套用公式，但是很多学生往往忽视使用公式的前提条件，忽视“一正，二定，三相等”这一前提，因此在解答这道题时很多初学者会犯一类错误，直接由均值定理得出答案是2，但很明显，当x例2 如果a>b，ab=1，求的取值区间。

这类题我们首先应该观察所求表达式本身的分子与分母的关系，通过使用配凑法以及取公因式得到新的函数，根据题目所给条件，确定a>b，a-b>0确保了“一正，二定，三相等”的使用原则，令x=a-b=a-，则f（x）==x+（x>0），很快利用公式可以算出取值区间。

在解决此类题的过程中，最重要的是引导学生简单地分析题目的条件，根据所给关系式运用配凑法等找出解决题目的核心，然后判断题目所给的既定条件是否符合均值定理的使用原则，找出核心的关系式是解决此类问题的关键。

利用均值定理求最大(小)值的几个技巧白国军【期刊名称】《赤峰学院学报：自然科学版》【年(卷),期】2000(000)005【摘要】最大（小）值问题是一类很典型的题目,是高考的热点之一,有关这类题目的处理涉及很多教学方法,其中利用均值定理便是众多方法中常用的一种。

由于这种方法在应用中经常需要技巧,所以初学者不易掌握,本文拟介绍这一方法在解最大（小）值问题时的一些具体技巧。

所谓均值定理,就是"n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数",即若:a₁,a₂,a₃,…,a_n∈R⁺,则有（a₁+a₂+a₃+…a_n）/n≥（a₁a₂a₃…a_n）^1/n,当且仅当a₁=a₂=a₃=…=a_n 时,不等式取"="号。

新大纲对这一定理只要求掌握 n=2,3的情况。

这一定理在实际解题时,可用来求解"和"的最小值或"积"的最大值,当然必须有几个前提条件。

巧用均值定理求函数最值今天我们要介绍一种求函数最值的方法，那就是利用均值定理。

首先，我们先来了解一下均值定理。

均值定理是微积分中的重要定理之一，它指出，若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则存在 $cin(a,b)$，使得$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在某一点的函数值等于函数在该区间上的平均值。

那么，我们如何利用均值定理来求函数最值呢？我们可以对于一个函数 $f(x)$，假设其在区间 $[a,b]$ 上连续，那么根据均值定理，我们有$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$其中$cin(a,b)$，因此，对于函数 $f(x)$，我们可以得到$$maxf(x)leqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x$$$$minf(x)geqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在区间 $[a,b]$ 上的最大值不会超过函数在该区间上的平均值，最小值不会小于函数在该区间上的平均值。

因此，我们可以利用均值定理来快速估算函数的最值。

比如，如果我们要求 $f(x)=x^2-x+1$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值，那么根据均值定理，我们有$$max f(x)leqslantfrac{1}{1-0}int_0^1(x^2-x+1)mathrm{d}x=frac{5}{6}.$$因此，$f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值不会超过 $dfrac{5}{6}$。

实际上，我们可以通过求导来得到 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为$dfrac{5}{6}$。

当然，利用均值定理来求函数最值并不是万能的，它只能给出函数最值的估计值，而不能精确计算。

但是，均值定理可以帮助我们快速估算函数的最值，从而加快我们的计算速度。

均值不等式应用（技巧）应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。

技巧三： 分离 例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。

技巧四：换元 例4（同例3）技巧五：注意：在应用均值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()af x x x=+的单调性。

例5：求函数2y =的值域。

练习．1.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.（1）231,(0)x x y x x++=> （2）12,33y x x x =+>- (3)12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈2．已知01x <<，求函数y =.； 3．203x <<，求函数y =.条件求最值1.若实数满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是 .变式：若44log log 2x y +=，求11x y+的最小值.并求x,y 的值技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。

2：已知0,0x y >>，且191x y+=，求x y +的最小值。

变式： （1）若+∈R y x ,且12=+y x ，求yx11+的最小值(2)已知+∈R y x b a ,,,且1=+yb x a ，求y x+的最小值技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2＋y 22＝1，求x 1＋y 2 的最大值.技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1ab 的最小值.变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。

2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。

应用均值定理求最值得一类误解利用不等式中的均值定理求最值，是数学中的一种常用方法。

但同时也是非常容易出错的一类题目，原因就在于忽略了均值定理的条件“一正二定三能等”。

从而造成题目的误解甚至是错解。

下面就两道题目谈一下这类问题的解法。

题目1：已知为正实数，且，求的最小值。

解：∵x﹥0,y﹥0∴1=≥=8 (当且仅当x=4y时取等号)∴≤，∴xy≥64题目2: 已知为正实数，且，求的最小值。

解：∵x﹥0,y﹥0,且∴xy=2x+8y≥=8∵xy﹥0, ∴≥8(当且仅当x=4y时取等号)∴≥2≥2×8=16.∴的最小值是16.经验证，当x=4y时，得x＝16,y=4∴的最小值是64，的最小值是20,显然，题2的结果是错误的。

错误的原因在哪里呢？在题2的解法中又这样一步，≥2≥2×8=16，第一个等号成立的条件是下x=y,第二个等号成立的条件是x=4y，两个等号不能同时成立，出现错误。

下面给出题2 的正确解法：方法一：∵，∴＝（）（）＝＋2＋8＋≥＋10＝18，当且仅当＋，即x=2y时成立。

方法二：∵＝1，且x﹥0,y﹥0，∴x﹥8,y﹥2，且2x+8y＝∴(x-8)(y-2)=16(定值)，∴(x-8)(y-2) ≥＝8。

当且仅当x-8= y-2时成立。

∴≥18。

方法三：∵＝1，∴。

∵x﹥0,y﹥0，∴x-8﹥0。

∴＝x+=≥,当且仅当x-8= ,即x=12,y=6时等号成立。

∴的最小值为18。

由此看来，两道极其相似的题目，因为所求的结论不同，所应用条件不同，从而使解法各异。

所以同学们在学习的时候一定要对定理的条件加以重视、理解，而不能盲目的死记硬背。

下面给出一道练习，仅供同学们课下参考。

练习：已知x、y是正实数，且。

求的最小值。

答案：（）min＝9。

正确使用均值定理均值不等式在中学数学中应用非常广泛,尤其是在证明不等式、求函数最值时经常用到,但一定要注意每个均值不等式使用的前提条件及等号成立的条件,否则容易出现错误。

通过举例,对学生在应用定理解题时常见的几种错解进行分类、分析,探求错误思维的原因,同时给出正确解法加以比较,进一步明确应用的前提条件及等号成立条件在检验定理是否运用得当的重要性和必要性。

本文针对学生在应用均值定理解题时常出现的错误思路进行剖析,并阐述思维定势对解题思路的正负迁移影响。

以帮助学生克服思维定势的消极影响,正确理解、运用数学定理解题。

笔者在教学中做过一点简单尝试,有意识地设置一些形同质异的问题,让学生去分析、对比、鉴别、归纳。

例(1)求函数y=的最小值。

分析:观察函数结构,化为y=+,由均值定理知,当且仅当y==,即x=0时,函数取得最小值ymin=2。

例(2)求函数y=的最小值。

分析:观察函数结构形式与例(1)相同,化为y=+,由均值定理知,函数取得最小值ymin=2。

例(2)解答看似正确,其实是错解。

在运用均值定理≥时,应特别注意要同时满足“正、等、定”三个条件:①正:a,b均为正实数;②等:当且仅当a=b,取等号;③定:a·b=定值,a+b取得最小值2;a+b=定值,a·b取得最大值(a+b)2。

例(2)之所以错解,是因为只符合“正”、“定”两个条件,而不符合“等”的条件。

要取等号,当且仅当=,即x2=-1,但此式不成立。

而学生往往误认为:只要结构形式相同,解题方法也必定相同,却忽视了定理应用的条件。

这正是学生思维定势的一种反应,也是解题时误识的通病所在。

对于例(2),如何求解?可考虑换个思维角度。

譬如利用函数的单调性:函数y=x+在(0,1)上是单调递减函数,在(1,+∞)上是单调递增函数。

正解:函数化为y=+,因函数关系确定,则函数值域可由自变量取值范围确定。

令t=y=,则y=t+(t≥),利用y在[,+∞上的单调递增性,知:当t=,即x=0时,函数取得最小值ymin=+=。

运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式仅当时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。

且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。

因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。

一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。

（1）注意“正数”。

例1、求函数的值域。

误解：（仅当时取等号），所以值域为。

这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：正确解法：；所以函数的值域是。

（2）注意“取等”例2、设，求函数的最小值。

误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有。

这里的错误是没有考虑等号成立的条件。

显然要，这样的不存在，故导致错误。

此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：。

所以。

例3、误解：所以的最大值为。

这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。

正确解法：仅当时取等，所以。

如取（3）注意“定值”例4、已知。

误解：，。

以上过程只能说明当。

但没有任何理由说明这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。

正确解法：，所以仅当。

二、常用处理方法和技巧（1）拆项例5、求函数的最小值。

解：，（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆为相同两项，同时使得含变量的因子的次数和为零）所以仅当。

（2）裂项例6、设，求函数的最小值。

解[先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。

即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]]所以仅当。

（3）添项例7、求函数的最小值。

解（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号）。

所以当。

例8、若.的最小值。

解：[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]。

均值定理是高中数学中重要的内容，在高考中占有很重要的地位，成为高考的高频考点，它们总能在高考的舞台上与其姊妹知识合理、巧妙、有机地结合在一起进行联合演出，成为检查学生知识掌握情况和提升学生综合应用能力的训练战场。

因此，如何合理正确地使用均值定理就显得尤为重要了。

我们知道使用均值定理时，一定要遵循“一正、二定、三相等”的原则。

下面给出使用均值定理求最值的题型及使用方法，以供参考。

1直接套用公式例1(2014年新课标全国卷Ⅰ，16)已知a，b，c分别为ΔABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则ΔABC面积的最大值为______。

解析由正弦定理得（a+b）（a-b）=（c-b）c，也即a2=b2+c2-bc。

由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，所以A=60°。

又因为a=2，所以4=b2+c2-bc，又因为4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以bc≤4，所以SΔABC= 12bcsinA≤12·4·3√2=3√，也即面积ΔABC的最大值为3√。

点评在解题中通过配凑，直接使用了均值不等式a2+b2≥2ab （a，b∈R）达到了求最值的目的。

例2若函数f（x）=-1b e ax（a>0，b>0）的图像在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A.4B.22√C.2D.2√解析因为f′（x）=-a b e ax，所以所求切线的斜率为k=f′（x）|x=0= -a b。

因为f（0）=-1b，所以切点为（0，-1b），则切线方程为l：y-（-1b）=-a b（x-0），也即ax+by+1=0。

因为直线l与圆相切，所以1a2+b2√=1，则a2+b2=1。

因为a2+b2≥12（a+b）2，所以（a+b）2≤2（a2+b2）=2，所以0≤a+b≤2√，也即（a+b）max=2√，故选D。