均值定理在函数最值问题中的应用

均值定理求最值在数学中，均值定理是一种重要的定理，常用于求解函数的最值。

它是微积分中的基本定理之一，也是求解最值问题的有力工具。

本文将介绍均值定理的概念、原理和应用，以及如何通过均值定理求解函数的最值。

一、均值定理的概念和原理均值定理是微积分中的一组定理，它用来描述函数在某个区间上的平均值和函数在该区间上的某个点的值之间的关系。

在一维情况下，均值定理可以分为拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是均值定理的一种特殊情况，它指出如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数f'(c)等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。

换句话说，存在一个点c，使得f'(c)等于函数在[a, b]上的斜率。

2. 柯西中值定理柯西中值定理是均值定理的另一种形式，它描述了两个函数在某个区间上的平均变化率相等的情况。

具体来说，如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导且g'(x)不为零，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得函数的导数之商f'(c)/g'(c)等于函数之商f(x)/g(x)在区间[a, b]上的平均值。

二、均值定理的应用均值定理是求解函数最值问题的重要工具，它可以帮助我们找到函数在某个区间上的最大值和最小值。

具体应用包括以下几个方面：1. 函数的单调性根据均值定理，如果函数在某个区间上的导数恒大于零（或恒小于零），那么函数在该区间上是递增的（或递减的）。

这可以用来判断函数的单调性，并找到函数在区间上的最大值和最小值。

2. 函数的最值通过均值定理，我们可以将求解函数的最值问题转化为求解函数的导数为零的点，即驻点。

首先，求出函数的导数，然后解方程f'(x)=0，得到驻点的横坐标。

接下来，计算驻点处的函数值，找出函数的最大值和最小值。

用均值定理解决函数的最大值\最小值问题作者：张宏颖
来源：《读写算》2011年第16期
应用均值定理求最值，要注意满足三个条件：正值、定值、等号成立。

在有的题目中不能直接使用均值定理，主要是因为应用定理后，和或积不是定值(常数)，所以必须要将题目先进行一些适当变形。

点评：在推导中用到了凑配技巧，以使得“积、和”分别为定值，这是常用的解题策略。

另外，中，等号不能成立，也值得注意，否则推出结论不正确。

利用判别式法可求得xy的最大值。

但因为x有范围0
点评：解法1的变形是具有通用效能的方法，值得学习。

解法2抓住了问题的本质，所以更为简捷。

例3：甲乙两地相距S千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过C千米/每小时。

已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成；可变部分与速度V（千米/小时）的平方成正比，比例常数为b；固定部分为a元。

（1）把全程运输成本y元表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？
点评：此题再一次表明，务必注意“等号”成立的条件。

当年高考中有不少考生得出的是不准确的结论，“当v=a/b时, y取最小值”。

说明用均值定理求最值时有陷阱，解题时要谨防掉入陷阱。

点评：这类问题中，简单的问题是将条件和待求结论分别应用均值定理可以找到条件和结论的内在联系（两次应用均值定理时，等号成立的条件一致）。

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。

均值定理最值练习题均值定理最值练习题均值定理是微积分中的一个重要定理，它在数学分析和物理学中都有广泛的应用。

它是说，如果一个函数在某个区间上连续，并且在该区间上的导数存在，那么在该区间上，函数的平均值等于函数在该区间的两个端点处的函数值之差与该区间的长度的乘积。

在这篇文章中，我们将通过一些具体的练习题来加深对均值定理的理解和应用。

练习题一：设函数f(x) = x^2 - 2x，在区间[0,2]上应用均值定理，求函数在该区间上的最大值和最小值。

解析：首先，我们需要计算函数在区间[0,2]上的平均值。

根据均值定理，平均值等于函数在区间两个端点处的函数值之差与该区间的长度的乘积。

所以，平均值为f(2) - f(0) / (2-0) = 2 - 0 / 2 = 1。

接下来，我们需要找到函数在区间[0,2]上的极值点。

为了找到极值点，我们需要求函数的导数。

函数f(x)的导数为f'(x) = 2x - 2。

令f'(x) = 0，我们可以解得x = 1。

这意味着函数在x = 1处可能有极值点。

接下来，我们需要判断x = 1处的极值点是最大值还是最小值。

为了做到这一点，我们可以求函数的二阶导数。

函数f'(x)的二阶导数为f''(x) = 2。

由于f''(x) = 2大于0，这意味着函数在x = 1处有一个局部最小值。

综上所述，函数f(x)在区间[0,2]上的最大值和最小值分别为f(0) = 0和f(2) = 0。

练习题二：设函数g(x) = sin(x)，在区间[0,π]上应用均值定理，求函数在该区间上的最大值和最小值。

解析：首先，我们需要计算函数在区间[0,π]上的平均值。

根据均值定理，平均值等于函数在区间两个端点处的函数值之差与该区间的长度的乘积。

所以，平均值为g(π) - g(0) / (π-0) = 0 - 0 / π = 0。

接下来，我们需要找到函数在区间[0,π]上的极值点。

・
．
’ ＞则 ＋ ２ ｘ４ ｘ时 等 ． ９ ｘ ．ｏ ｘ 、 ・ ， ＝ 取号・ ＞ ， ≥／ －当 ２ ｏ ． ｙ ≥
根据不等式的性 质 ： ｂ ｏ ’ ａ ＞ ｊ８ ＞
得： （ 下转 ２ ９页） ２
压力容器人孔接管与筒体相焊的焊接质量控制
张 丽 王江 涛 （ 尔滨锅 炉厂 工 业 锅 炉公 司 ， 哈 黑龙 江 哈 尔滨 １０ ４ ） ５０ ６
＋ｂ ￣
～ … 一 ．
＝ Ｘ ２ ２ｆ
当 ａ ｂ 、 时取等 号 ． ＿＝ ／ ・ ． ａ 例 ４ 求函数 ｙ ＝ 解 ｘ ％２
ａ－ｂ
】 ：２ ／ ，ｍ 为 （、 ＋ ）
的最小值 （２１ ＋ ｘ ＋ 一 ＋ ２／） １＝ 、 １
’ ＋ ． ／１ ’ ＝丁 丽 ＾
例 ３ 如果 ａ ｂ ａ ： 求 ． ＞ ，ｂ １ ａ ％ｂ
…
＂
…
一
．
ａ Ｄ －
ｕ ４
解 ： ２ —＋ ２ ａｂ
ａ－ Ｄ
・ ．
＝
—
（－ ） ２ ｂ ａｂ ａ ２ ＋
— 一
＝
ａ－ Ｄ
（ ） ａ ＋
ａ－ Ｄ
ｂ． ｂｏ （ ｂ ’一 测 ａ ） ・ － ＋
２
≥２
摘 要： 以某 电厂制造 的高压加 热器为例 。 介绍人孔接 管与 简体相焊的质量控制及超 声波检测技术 。 关键词 ： 压力容器； Ｌ 管； ＡＡ 接 筒体相焊 ； 焊接
应在试件 Ｅ 试焊 ， 获得合理的焊接工艺 以 随着压力容器成套装置的高参数、 大型化 、 容器用钢的品种和强度也是 参数，焊材选用 ４ ｍ的焊条 ， ｍ 牌号为 多样化和高强化， 我公司为某电厂制造的高压加热器为例 ， 介绍人孔接管与 Ｅ ５ ５ Ｂ ， ５ － ２焊接工艺如表 ５ １ 。 波检测技术。 ２ 焊接工艺评定。焊接工艺评定是编 ２

均值定理最值练习题均值定理最值练习题均值定理是微积分中的重要定理之一，它给出了函数在闭区间上的平均值与极值之间的关系。

在这篇文章中，我们将通过一些练习题来加深对均值定理的理解和应用。

第一道题目是求函数f(x) = x^2在闭区间[0,1]上的平均值。

根据均值定理，平均值等于函数在该区间上的某个点的函数值。

因此，我们需要找到这个点。

首先，计算函数在该区间上的积分。

由于f(x) = x^2是一个连续函数，我们可以使用定积分来计算它在[0,1]上的积分。

通过求导，我们知道f(x)的原函数是F(x) = (1/3)x^3。

因此，积分的结果是F(1) - F(0) = (1/3) - 0 = 1/3。

接下来，根据均值定理，平均值等于积分结果除以区间的长度。

所以，平均值为 (1/3) / (1-0) = 1/3。

第二道题目是求函数g(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x在闭区间[-2,2]上的最大值和最小值。

根据均值定理，最大值和最小值等于函数在该区间上的某个点的函数值。

首先，计算函数在该区间上的导数。

g'(x) = 6x^2 - 6x - 12。

通过求导，我们可以找到函数的极值点。

将导数等于零，我们得到6x^2 - 6x - 12 = 0。

解这个方程，我们得到x = -1和x = 2。

这两个点可能是函数的极值点。

接下来，我们需要计算函数在这两个点上的函数值。

g(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2- 12(-1) = -7，g(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = -16。

所以，函数在闭区间[-2,2]上的最大值是-7，最小值是-16。

通过这两道练习题，我们可以看到均值定理在求函数的平均值和极值时的应用。

通过计算函数的积分和导数，我们可以找到函数在闭区间上的平均值和极值点。

均值定理为我们提供了一种简单而有效的方法来解决这些问题，同时也加深了我们对微积分的理解。

实际应用中均值与方差最值问题求解三法有关离散型随机变量的均值与方差的最值问题是随机变量及其分布的热点题型，这类问题一般综合性强，是同学们感到棘手的问题，解决这类问题时应根据问题的题设特点灵活采用相应的方法，现介绍三种常见求解方法。

一、利用配方法例 1 某物流公司批发的一种家用电器每周的销售量是一个随机变量，分布列为P （=k ）=201，k=11，12，13，…，30，而该公司每周进货量为区间[11，30]中的某一整数，公司每销售一台家用电器可获利500元，若供大于求，则每台多余的电器需交保管费100元，若供小于求，则可以从其它公司调剂供应，此时每一台电器仅获利200元，问此公司周初进货量（含上周余量）应为多少才能使周平均利润最大？分析：设周初进货x 台，周利润为，要求周平均利润的最大值，就是要求E 的最大值，为此需求出的取值，而又是的函数，需按供大于求，供不应求给出的表达式，然后利用函数、数列相应知识求解。

解：设该公司周初进货量（含上周余量）为x 台，周利润为随机变量，则=⎪⎩⎪⎨⎧-+--),x (200500x ,500),x (100500ξξξξ ,30,,2x ,1x ,x ,1x ,,13,12,11 ++==-=ξξξ =⎪⎩⎪⎨⎧+-,200300x ,500,100x 600ξξξ ,30,,2x ,1x ,x ,1x ,,13,12,11 ++==-=ξξξ ∵P （=k ）=201，k=11，12，13，…，30， ∴E=201∑-=1x 11(600ξξ-100x)+201×500x+201∑+=+301x )200(300x ξξ=∑-=-1x 11)5x (30ξξ+25x+∑+=+301x )10(15x ξξ=30×2)1x (11-+（x-11）-5x （x-11）+25x+15x （30-x ）+10×230)1x (++（30-x ）=-10x 2+510x+3000=-10（）2+。

均值定理最大值最小值公式
泰勒均值定理是一种重要的数学定理，用于解决最大值、最小值
等问题。

它是指一个变量满足特定条件时，最小值或最大值必定存在。

泰勒均值定理提供了一种量化的方法用来确定最小值和最大值的数值
表示，也就是最小值最大值的公式。

首先，用数学符号表示，泰勒均值定理的通用表达式如下：设f （x）是连续函数，那么，存在某个c使得f（c）的导数等于零。

其次，要求出最小值和最大值的数值表示，需要用解析求积法，
它是改进梯形求积法和牛顿梯形求积法之类求积方法的一种。

这种方
法通过极值函数的导数来应用泰勒均值定理，从而求出f（c）的最小
值和最大值。

最后，泰勒均值定理最大值最小值公式如下：最小值=f（c）-f （c）的导数，最大值=f（c）+f（c）的导数。

结论：泰勒均值定理非常重要，可以帮助我们通过数学解析方法
得出最小值和最大值的数值表示，从而解决科学实验中的难题，极大
的提高效率。

巧用均值定理求函数最值今天我们要介绍一种求函数最值的方法，那就是利用均值定理。

首先，我们先来了解一下均值定理。

均值定理是微积分中的重要定理之一，它指出，若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则存在 $cin(a,b)$，使得$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在某一点的函数值等于函数在该区间上的平均值。

那么，我们如何利用均值定理来求函数最值呢？我们可以对于一个函数 $f(x)$，假设其在区间 $[a,b]$ 上连续，那么根据均值定理，我们有$$f(c)=frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$其中$cin(a,b)$，因此，对于函数 $f(x)$，我们可以得到$$maxf(x)leqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x$$$$minf(x)geqslant frac{1}{b-a}int_a^bf(x)mathrm{d}x.$$也就是说，函数在区间 $[a,b]$ 上的最大值不会超过函数在该区间上的平均值，最小值不会小于函数在该区间上的平均值。

因此，我们可以利用均值定理来快速估算函数的最值。

比如，如果我们要求 $f(x)=x^2-x+1$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值，那么根据均值定理，我们有$$max f(x)leqslantfrac{1}{1-0}int_0^1(x^2-x+1)mathrm{d}x=frac{5}{6}.$$因此，$f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上的最大值不会超过 $dfrac{5}{6}$。

实际上，我们可以通过求导来得到 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为$dfrac{5}{6}$。

当然，利用均值定理来求函数最值并不是万能的，它只能给出函数最值的估计值，而不能精确计算。

但是，均值定理可以帮助我们快速估算函数的最值，从而加快我们的计算速度。

所以函数值域为 9， 。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式
子分开再利用不等式求最值。即化为
y
mg
x
A
gx
BA
0，B
0，gx
恒
正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
问题六：在使用均值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数
f x x a 的单调性。
x
例 5：求函数 y x2 5 的值域。 x2 4
t
数，故 y 5 。 2
所以，所求函数的值域为
5 2
，
。
问题七：整体代换
例 6：已知 x 0，y 0 ，且 1 9 1 ，求 x y 的最小值。 xy
错．解．：
x
0，y
0
，且
1 x
9 y
1x
y
1 x
9 y
x
y
2
9 2 xy
xy 12
故 x y min 12 。
错因：解法中两次连用均值不等式，在 x y 2 xy 等号成立条件是 x y ，在
均值定理 a2 b2 2ab 的推广及应用
小金县中学校 刘世洪
内容摘要：均值定理在求最值、比较数的大小、函数的值域、求变量的取值范围、
证明不等式、解决实际问题的最优问题方面有广泛的应用。在各年各地的高考试
题中经常见到均值定理的使用，本文就对均值定理的各种变式进行梳理，以问题
的形式对各种变式的应用加以说明和阐述。
例 10.正数 a，b，c 满足 a b c 1，求证： 1 1 1 1 1 1 8 a b c
分析：不等式右边数字 8，使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个

运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式,,,,"212121nn n n a a a na a a R a a a ≥+++∈+则若仅当n a a a === 21),2(N n n ∈≥时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。

且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。

因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。

一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。

（1） 注意“正数”。

例1、求函数xx y 4+=的值域 。

误解：4424=⨯≥+xx x x （仅当2=x 时取等号），所以值域为[)+∞,4。

这里错误在于使用均值定理ab b a 2≥+时忽略了条件：+∈R b a , 正确解法：)2(4424,0)(时取等号当时当==⨯≥+>x xx x x x a ； 44)2(4)4)((2)4()(0,0)(-≤+∴-==--≥-+->-<xx x x x x x x x b 时取等号当而时当所以函数的值域是{}44≥-≤y y y 或。

（2） 注意“取等”例2、设+∈R x ，求函数213x x y +=的最小值。

误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有3min 3322232312312,=∴=⋅⋅≥++=∈+y xx x x x x y R x 。

这里的错误是没有考虑等号成立的条件。

显然要212x x x ==，这样的不存在x ，故导致错误。

此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：时取等号）23322123(182312323312323xx x x x x x x y ==⋅⋅≥++=。

所以2183,3183min 3==y x 。

例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a +=+=+∈,6,3,,,,2222误解：)1(29)(212,222222222 =+++≤+∴+≤+≤y x b a by ax y x bx b a ax 所以by ax +的最大值为29。

平均值定理又叫基本不等式，是高中数学学习中的一个非常重要的知识点，在日后的函数求最值问题中有十分频繁的应用，一定要熟练掌握.均值定理（Meanvaluetheorem）。

已知x，y∈R+，x+y=S，x·y=P如果P是定值，那么当且仅当x=y时，S有最小值；如果S是定值，那么当且仅当x=y时，P有最大值.或当a、b∈R+，a+b=k（定值）时，a+b≥2√ab(定值）当且仅当a=b时取等号。

平均值与有效值的区别
平均值是交流电一个周期内各个瞬时值的平均数，而有效值不是简单的平均数，而是均方根值；交流电通过电阻R时，眸R代表其直流成分所给出的功率，而其他交流成分所给出的功率没有包含在内；而I2R则是交流电给出的全部功率，既包括直流成分的功率，也包括交流成分的功率，所以有效值工总是大于平均值工平。

这是否是对体育教 师 的 一 种 不 公 平 和 近 乎 苛 刻 的 要 !参考文献"
求 ？ 因 此 如 何 结 合 我 国 学 校 教 育 的 特 点 !建 立 专 门 的 学 校 健 康 教 育 的 课 程 体 系 !是 一 种 长 期 的 任 务 "
*!结论与建议
!!"中华人民共和 国 教 育 部 制 订E体 育 &!?) 年 级’体 育 与 健 康&%?!&年级’课 程 标 准 &实 验 稿 ’!+"E北 京(北 京 师 范 大 学 出 版 社 %&’’!E"E
最值问题是中学数学中经常出现而学生又感到困难的一 类较 为典 型的问 题$有 关 这 类 题 目 求 解 的 方 法 很
多#涉及的知识也很广#其中利用平均值定理是常用的方法 之一$在 利用 平均值 定 理 时#往 往 因 条 件 不 充 分#或
隐 含 的 条 件 没 有 找 出 来 #或 找 得 不 中 肯 #而 使 解 题 受 挫 $在 高 中 的 复 习 教 学 中 #笔 者 带 着 这 个 问 题 进 行 了 复 习 教
解%因为9F":F*N ;)为定值!则积有最大值!但9F":F*N 与9&:"N 的关系不明显!因此!要同时"凑
积 #和 "凑 和 #!使 它 们 含 有 共 同 的 因 式 $
凑 积 %9&:"N
;
9 &
&9 &
&:&:&:&*N
凑和
%9F":F*N
;
9 &
F
9 &

用均值不等式求最值的类型及方法均值不等式是基本不等式之一，常用于寻找函数最值。

一般来说，使用均值不等式求最值的方法可以分为以下几种类型。

一、切分法：切分法的思路是将原函数分割成若干个子函数，并通过均值不等式来确定这些子函数的最值，最后通过求和或求积的方式得到原函数的最值。

常用的方法有以下几种：1.等量切割法：将原函数的定义域分割为若干等距的小区间，然后对每个小区间内的子函数应用均值不等式，求得每个小区间的函数最值，最后通过求和或求积得到原函数的最值。

2.不等量切割法：将原函数的定义域按照实际情况进行分割，使得函数在每个小区间上的性质较为简单，然后对每个小区间内的子函数应用均值不等式，求得每个小区间的函数最值，最后通过求和或求积得到原函数的最值。

二、二次函数法：二次函数法的思路是将原函数通过二次函数的形式进行逼近，然后使用二次函数的性质求得原函数的最值。

常用的方法有以下几种：1.利用平均值定理：原函数的图像与二次函数的图像在一点处相切，通过求解相切点的横坐标，可以得到原函数的最值。

2.利用顶点性质：原函数的图像与二次函数的图像的顶点相对应，通过求解顶点的横坐标，可以得到原函数的最值。

三、积分法：积分法的思路是将原函数表示为一个积分的形式，然后利用积分的性质和均值不等式求得原函数的最值。

常用的方法有以下几种：1.利用积分的几何意义：将原函数表示为一个曲线的长度或面积，然后利用均值不等式求得原函数的最值。

2.利用积分的均值定理：将原函数表示为一个函数在一定区间上的平均值与变化量之积，然后利用均值不等式求得原函数的最值。

四、极限法：极限法的思路是将原函数表示为一个极限的形式，然后利用极限的性质和均值不等式求得原函数的最值。

常用的方法有以下几种：1.利用函数极限的定义：通过对原函数的极限进行变形，然后利用均值不等式求得变形后函数的最值，再通过极限的性质得到原函数的最值。

2.利用函数导数的定义：通过对原函数的导数进行变形，然后利用均值不等式求得变形后函数的最值，再通过导数的性质得到原函数的最值。

运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧著名的平均值不等式仅当时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。

且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。

因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。

一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。

（1）注意“正数”。

例1、求函数的值域。

误解：（仅当时取等号），所以值域为。

这里错误在于使用均值定理时忽略了条件：正确解法：；所以函数的值域是。

（2）注意“取等”例2、设，求函数的最小值。

误解：拿到很容易想到用均值定理，所以有。

这里的错误是没有考虑等号成立的条件。

显然要，这样的不存在，故导致错误。

此题用均值定理，需要拆项，同时要等号成立，需要配一个系数，正确解法：。

所以。

例3、误解：所以的最大值为。

这里（1）取等号的条件是仅当；由条件知这是不可能的，所以不可能取到上述的最大值。

正确解法：仅当时取等，所以。

如取（3）注意“定值”例4、已知。

误解：，。

以上过程只能说明当。

但没有任何理由说明这种似是而非的错误解法，关键在于运用重要不等式放缩后的式子不是定值，致使得不出正确的结果。

正确解法：，所以仅当。

二、常用处理方法和技巧（1）拆项例5、求函数的最小值。

解：，（目标求和的最值，所以凑积为定值，因此拆为相同两项，同时使得含变量的因子的次数和为零）所以仅当。

（2）裂项例6、设，求函数的最小值。

解[先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。

即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]]所以仅当。

（3）添项例7、求函数的最小值。

解（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号）。

所以当。

例8、若.的最小值。

解：[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子的次数和为零，同时取到等号]。

均值定理是高中数学中重要的内容，在高考中占有很重要的地位，成为高考的高频考点，它们总能在高考的舞台上与其姊妹知识合理、巧妙、有机地结合在一起进行联合演出，成为检查学生知识掌握情况和提升学生综合应用能力的训练战场。

因此，如何合理正确地使用均值定理就显得尤为重要了。

我们知道使用均值定理时，一定要遵循“一正、二定、三相等”的原则。

下面给出使用均值定理求最值的题型及使用方法，以供参考。

1直接套用公式例1(2014年新课标全国卷Ⅰ，16)已知a，b，c分别为ΔABC的三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则ΔABC面积的最大值为______。

解析由正弦定理得（a+b）（a-b）=（c-b）c，也即a2=b2+c2-bc。

由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12，所以A=60°。

又因为a=2，所以4=b2+c2-bc，又因为4=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc，所以bc≤4，所以SΔABC= 12bcsinA≤12·4·3√2=3√，也即面积ΔABC的最大值为3√。

点评在解题中通过配凑，直接使用了均值不等式a2+b2≥2ab （a，b∈R）达到了求最值的目的。

例2若函数f（x）=-1b e ax（a>0，b>0）的图像在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（）A.4B.22√C.2D.2√解析因为f′（x）=-a b e ax，所以所求切线的斜率为k=f′（x）|x=0= -a b。

因为f（0）=-1b，所以切点为（0，-1b），则切线方程为l：y-（-1b）=-a b（x-0），也即ax+by+1=0。

因为直线l与圆相切，所以1a2+b2√=1，则a2+b2=1。

因为a2+b2≥12（a+b）2，所以（a+b）2≤2（a2+b2）=2，所以0≤a+b≤2√，也即（a+b）max=2√，故选D。

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例 ５ 已知 ＋ 一 （ ０ｙ ｏ ， ｘ 的最小值 ２ｘ ， ）求 ｙ ＞ ＞
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例 ４ 求函数 ｙ ＝
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了均值定理在解题中的运用 。经过适当 练习， 记住使用条件 ， 相信大部分学生都可以理解和掌握 。
（ 上接 ８ ４页 ） 助学 生理解概 念 、 进行 自主学 习 的环境 ， 激发 学生 主动 计算 等等它们 的正确 与否对 企业将 产生重 大影 响 ， 以会 计人员 不愿让 所 探索 的愿望。 网络 和课件为学 生提供充 分 自主学 习的手段 ， 也应是 现代 实 习学生亲 自操作 ， 往使得 社会 实践流 于形式 。在模拟 实验 的手工操 往 教育技 术努力和发展 的方 向。 作 中， 以班为单 位派专 职教师 辅导 ， 每个学 生做一 套账 ， 条件 的还 可 以 有 设计一 个模 拟银 行 和税务 局使 学 生对结 算业 务 和报税 程序有 更好 的 了 ２４ 虚 拟 现 实 教 学 ．