均值不等式定理求最值

均值不等式一、 要点：明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值.注意利用均值不等式求解最值时的“配凑”问题【二元均值不等式】 依据：),(222R b a ab b a ∈≥+变式：),(2+∈≥+R b a ab b a ；),(2222+∈+≤+≤R b a b a b a ab ；2)2(b a ab +≤ 作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值注意：应用均值不等式求解最值时，应注意七字原则“一正二定三相等”【三元均值不等式】依据：),,(3333+∈≥++R c b a abc c b a 变式：),,(33+∈≥++R c b a abc c b a ，3)3(c b a abc ++≤ 作用：与二元均值不等式相仿 推广：),,,(2121321+∈⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+++R x x x x x x n nx x x x n n n n(即n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数)二、分类练习Ⅰ、直接运用1. 已知0x >,0y >，求x yy x+的最小值 2. 已知x,y 同号，求4y xx y+的最小值 3. 已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 ________ 4. 已知,x y R +∈，且满足，则的最小值为5. 设+∈R b a ,且2242,12b a ab S b a --==+的最大值是( )(A)12- (B)212- (C)12+ (D)212+ 6. 若实数b a ,满足2=+b a ，则ba 33+的最小值是( )(A)18 (B)6 (C)32 (D)432 7. 已知x ＞0，y ＞0，且满足3x+2y=12，求lgx+lgy 的最大值 8. 证明：对于任意实数,,y x 有244)(21y x xy y x +≥+Ⅱ、整体代入1. 若0x >,0y >,且41x y +=,求41x y+的最小值2. 若+∈R y x ,,且12=+y x ，则yx 11+的最小值为3. 已知x ＞0，y ＞0，且412x y+=，求4x y +的最小值 4. 已知x y >>00，，且119x y+=，求x y +的最小值5. 已知a b a b >>+=0021，，，求t a b=+11的最小值 6. 已知,x y R +∈，且满足，则的最小值为7. 已知z y x ,,是互不相等的正数且1=++z y x ，求证：81)11)(11)(11(>---zyxⅢ、换元1、若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .2、已知x >0，y >0，x +2y +2xy=8，则x +2y 的最小值是 .3、若正实数x ，y 满足，则xy 的最大值是 。

基本不等式一、知识回顾1.几个重要不等式（1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若（2）2222,2(2||2)a b R a b ab a b ab ab ∈+≥+≥≥若、则或（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a ,b 都是正数，那么.2a b +（当仅当a=b 时取等号） 最值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 注意：○1前提：“一正、二定、三相等”，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式； ○2“和定 积最大，积定 和最小”，可用来求最值；○3均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。

0,2b a ab a b>+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2.几个著名不等式（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么2112a b a b +≤≤+（当仅当a=b 时取等号）（2）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()()2222x x f x f x x x f x f x f f ++++≥≤或 则称f(x)为凸（或凹）函数.二、课前预习1、（05福建卷）下列结论正确的是______________.A ．当101,lg 2lg x x x x >≠+≥且时 B．02x >≥当时 C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 2、下列函数中，最小值为22的是______________.A ．x x y 2+=B ．)0(sin 2sin π<<+=x x x yC ．x x e e y -+=2D ．2log 2log 2x x y +=3、若,210<<a 则下列不等式中正确的是___________.A ．log (1)1a a ->B ．x x a)21(≤ C ．)1cos()1cos(a a -<+ D ．n n a a <-)1( 4、若实数a 、b 满足的最小值是则b a ba 22,2+=+_________. 5、函数11122+++=x x y 的值域为 ． 6、已知x >0，y >0且x +y =5，则lg x +lg y 的最大值是 ． 7、若正数,a b 满足3aba b =++，则ab 的取值范围是_____________________. 三、例题分析例1、(1)已知x >0，y >0且x +2y =1，求xy 的最大值，及xy 取最大值时的x 、y 的值．(2)x 、y 、a 、b ∈R +，a 、b 为常数，且1=+y b x a ，求x+y 的最小值.例2．(1)利用基本不等式求22+=x xy 的最值？当0<x<1时，如何求212++=x x y 的最大值.(2)已知0a>，求函数2y =的最小值。

均值不等式应用一．均值不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

巧用均值不等式及其条件求最值(南京师范大学数学与计算机科学学院 张逸洁)均值不等式是高中阶段初等数学中最重要的基本不等式之一，在许多问题的解决中往往能发挥出它的独特功能，对于它及它各种变式的掌握和熟练运用也是求解很多与不等式有关的最值问题的重要方法。

本文将归纳介绍均值不等式在最值问题中的一些巧妙运用，希望能够开拓学生的思维，对高中生不等式的学习有所帮助。

一、均值不等式1．22,2,a b R ab ab ∈+≥、（当且仅当a=b 时取“=”）。

推论：,a b R a b +∈+≥、，（当且仅当a=b 时取“=”）。

2．变形，对a b R ∈、积向平方和转化：222a b a b +⋅≤。

对a b R ∈、积向和转化：2()2a b a b +⋅≤。

注：这里有“最值定理”： 若,,,x y R x y s xy p +⋅∈+==2()2x y xy +≥⇔≤则x+y 运用此定理求最值时必须具备“一正，二定，三相等”这三个条件。

3．333,3a b c Ra b c abc +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）推论：,a b c R a b c +∈++≥、、，（当且仅当a=b=c 时取“=”）4．变形：对3,()3a b c a b c R abc +++∈≤、、 方法小结：在运用均值不等式求正数和的最小值时，凑积为定值；求正数积的最大值时，凑和为定值。

二、巧用均值不等式求解最值问题在求解函数最值问题的过程中，我们通常运用不等式，函数单调性，数形结合等方法分析解答。

本文着重介绍均值不等式在求解此类问题中的妙用，旨在帮助读者系统归纳，拓展思维，灵活解题。

1． 连用例1：已知3222160,a b a b a b ab b-+>>-求的最小值。

解：32222222222161616166416()2a b a b a a a a b a b ab b ab b b a b a -+=+=+≥+=+≥+----（）216.64a b a ⎧⎧=⎪⎪∴⎨⎨==⎪⎪⎩⎩2b=a-b 当且仅当即a分析：有时利用均值不等式求最值时只用一次并不能解决问题，通常需要连用来巧求最值。

应用均值定理求最值得一类误解利用不等式中的均值定理求最值，是数学中的一种常用方法。

但同时也是非常容易出错的一类题目，原因就在于忽略了均值定理的条件“一正二定三能等”。

从而造成题目的误解甚至是错解。

下面就两道题目谈一下这类问题的解法。

题目1：已知为正实数，且，求的最小值。

解：∵x﹥0,y﹥0∴1=≥=8 (当且仅当x=4y时取等号)∴≤，∴xy≥64题目2: 已知为正实数，且，求的最小值。

解：∵x﹥0,y﹥0,且∴xy=2x+8y≥=8∵xy﹥0, ∴≥8(当且仅当x=4y时取等号)∴≥2≥2×8=16.∴的最小值是16.经验证，当x=4y时，得x＝16,y=4∴的最小值是64，的最小值是20,显然，题2的结果是错误的。

错误的原因在哪里呢？在题2的解法中又这样一步，≥2≥2×8=16，第一个等号成立的条件是下x=y,第二个等号成立的条件是x=4y，两个等号不能同时成立，出现错误。

下面给出题2 的正确解法：方法一：∵，∴＝（）（）＝＋2＋8＋≥＋10＝18，当且仅当＋，即x=2y时成立。

方法二：∵＝1，且x﹥0,y﹥0，∴x﹥8,y﹥2，且2x+8y＝∴(x-8)(y-2)=16(定值)，∴(x-8)(y-2) ≥＝8。

当且仅当x-8= y-2时成立。

∴≥18。

方法三：∵＝1，∴。

∵x﹥0,y﹥0，∴x-8﹥0。

∴＝x+=≥,当且仅当x-8= ,即x=12,y=6时等号成立。

∴的最小值为18。

由此看来，两道极其相似的题目，因为所求的结论不同，所应用条件不同，从而使解法各异。

所以同学们在学习的时候一定要对定理的条件加以重视、理解，而不能盲目的死记硬背。

下面给出一道练习，仅供同学们课下参考。

练习：已知x、y是正实数，且。

求的最小值。

答案：（）min＝9。

用均值不等式最值的方法和技巧均值不等式是一个常用的不等式工具，在解决很多求最值问题时会起到很大的帮助。

它的核心思想是通过找到相应的均值来构造不等式，从而得到最值的估计。

下面，我将详细介绍均值不等式的方法和技巧。

1.算术平均-几何平均不等式（AM-GM不等式）：AM-GM不等式是最常见的均值不等式，它表明对于任意非负实数x1,x2, ..., xn，有如下不等式成立：(x1 + x2 + ... + xn) / n ≥ √(x1 * x2 * ... * xn)这个不等式的意义在于，对于一组非负实数的和，取平均值一定大于等于这组数的乘积的正平方根。

这个不等式常常被用于证明其他数学结论的基础。

2.幂平均不等式：幂平均不等式是一组关于算术平均和几何平均之间关系的不等式。

对于任意非负实数x1, x2, ..., xn，以及实数p，q，有如下不等式成立：[(x1^p + x2^p + ... + xn^p) / n]^(1/p) ≥ [(x1^q + x2^q + ... + xn^q) / n]^(1/q)这个不等式是一个广义的不等式，AM-GM不等式就是其特例（p=q=1）。

使用幂平均不等式可以推导出很多常见的不等式，如柯西不等式、余弦不等式等。

3.杨辉不等式：杨辉不等式是一组与二项式系数相关的不等式。

对于任意自然数n，以及实数a，b，有如下不等式成立：(a+b)^n≥C(n,0)*a^n*b^0+C(n,1)*a^(n-1)*b^1+...+C(n,n)*a^0*b^n这个不等式是二项式定理的推广，它可以用来证明其它不等式，如二项式不等式、二项式平均不等式等。

4.切比雪夫不等式：切比雪夫不等式是一组关于平均值和取值范围之间关系的不等式。

对于任意一组具有有限均值μ的实数x1, x2, ..., xn，有如下不等式成立：P(，x1-μ，≥k)≤(σ/k)^2其中，σ是x1, x2, ..., xn的标准差，即σ^2 = [(x1 - μ)^2 + (x2 - μ)^2 + ... + (xn - μ)^2] / n这个不等式的意义在于，对于平均值给定的一组数，其离平均值较远的数出现的概率是受标准差的限制的。

运用均值定理求最值的：几点注意和常用方法与技巧 著名的平均值不等式,,,,"212121n n n n a a a na a a R a a a ≥+++∈+则若 仅当n a a a === 21),2(N n n ∈≥时等号成立”是一个应用广泛的不等式，许多外形与它截然相异的函数式，常常也能利用它巧妙地求出最值。

且运用均值定理求最值是历年来高考的热点内容。

因此必须掌握用重要不等式求函数的最值。

一、重视运用过程中的三个条件：“正数、取等、定值”。

（1） 注意“正数”。

例1、求函数x x y 4+=的值域 。

（2）注意“取等”例2、设+∈R x ，求函数213xx y +=的最小值。

例3、的最大值求且有设by ax y x b a R y x b a +=+=+∈,6,3,,,,2222（3）注意“定值”例4、已知的最大值求y x R y x y x 2,,,12+∈=+。

二、常用处理方法和技巧（1） 拆项例5、求函数)0(322>+=x x x y 的最小值。

（2） 裂项例6、设1->x ，求函数1)2)(5(+++=x x x y 的最小值。

[先尽可能的让分子变量项和分母相同（常用于分子所含变量因子的次数比分母的含变量因子的次数大或相等时），然后裂项转化为求和的最值，进而凑积为定值。

即使得含变量的因子1+x 的次数和为零，同时取到等号] ]所以仅当9,1min ==y x 时。

（3） 添项例7、求函数222163x x y ++=的最小值。

（求和的最值，尽可凑积为定值，因此添加6，再减法6，即使得含变量的因子22x +的次数和为零，同时取到等号）。

例8、若y x y x y x +=+>>则且,191,0,0.的最小值。

[所以求变量出现在分子，已知条件变量在分母，为此添上1（即乘1即乘yx 91+），变为求和的最值，因此凑积为定值，即使得含变量的因子xy 的次数和为零，同时取到等号] 。

用均值不等式求最值的类型及方法均值不等式是基本不等式之一，常用于寻找函数最值。

一般来说，使用均值不等式求最值的方法可以分为以下几种类型。

一、切分法：切分法的思路是将原函数分割成若干个子函数，并通过均值不等式来确定这些子函数的最值，最后通过求和或求积的方式得到原函数的最值。

常用的方法有以下几种：1.等量切割法：将原函数的定义域分割为若干等距的小区间，然后对每个小区间内的子函数应用均值不等式，求得每个小区间的函数最值，最后通过求和或求积得到原函数的最值。

2.不等量切割法：将原函数的定义域按照实际情况进行分割，使得函数在每个小区间上的性质较为简单，然后对每个小区间内的子函数应用均值不等式，求得每个小区间的函数最值，最后通过求和或求积得到原函数的最值。

二、二次函数法：二次函数法的思路是将原函数通过二次函数的形式进行逼近，然后使用二次函数的性质求得原函数的最值。

常用的方法有以下几种：1.利用平均值定理：原函数的图像与二次函数的图像在一点处相切，通过求解相切点的横坐标，可以得到原函数的最值。

2.利用顶点性质：原函数的图像与二次函数的图像的顶点相对应，通过求解顶点的横坐标，可以得到原函数的最值。

三、积分法：积分法的思路是将原函数表示为一个积分的形式，然后利用积分的性质和均值不等式求得原函数的最值。

常用的方法有以下几种：1.利用积分的几何意义：将原函数表示为一个曲线的长度或面积，然后利用均值不等式求得原函数的最值。

2.利用积分的均值定理：将原函数表示为一个函数在一定区间上的平均值与变化量之积，然后利用均值不等式求得原函数的最值。

四、极限法：极限法的思路是将原函数表示为一个极限的形式，然后利用极限的性质和均值不等式求得原函数的最值。

常用的方法有以下几种：1.利用函数极限的定义：通过对原函数的极限进行变形，然后利用均值不等式求得变形后函数的最值，再通过极限的性质得到原函数的最值。

2.利用函数导数的定义：通过对原函数的导数进行变形，然后利用均值不等式求得变形后函数的最值，再通过导数的性质得到原函数的最值。