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第12章 正交试验设计前面介绍了单因素与双因素试验的方差分析，但是在实际问题中遇到的因素往往超过两个，需要考察各个因素对试验结果是否有显著影响。
从理论上讲可以导出多因素的方差分析法，但是一来公式会变得很复杂，二来总试验次数也要明显增多。
例如，考虑7个因素的试验，每个因素有6个水平，若在每一种组合水平上都做一次试验，需要做27993667次试验，这是根本不可能的！ 为了减少试验次数，希望在所有组合水平中挑选一部分出来，在这些组合水平上做试验，即局部地进行试验。
正交试验设计是利用一套现成的规格化的表—正交表，科学地安排试验和分析试验结果的一种数理统计方法，该方法的主要优点是能在很多试验条件中选出代表性强的少数试验方案，同时通过对这少数试验方案的结果进行分析，从中找出最优方案。
正交表1944年起源于美国。
第二次世界大战后在日本开发了使用正交表进行试验设计的技术体系，并在日本全国进行大力普及推广、应用，取得了显著的经济效益。
实践证明，正交设计是促进生产率提高的一种有效手段，目前已经广泛应用于科学研究、产品设计、工艺改革等技术领域以及经营、计划等管理领域。
§12.1 正交试验设计一、正交表正交表记为)(mn r L ，表示至多安排m 个因素，每个因素有r 种水平，共作n 次试验的正交表。
下面就是两个常用的正交表)3(49L ，)2(78L 。
)3(49L )2(78L其中符号含义如下： L —正交表符号；n —试验次数（正交表的行数）； r —水平数；m —因素个数（正交表的列数）。
从上面两个正交表容易看出它们具有如下性质：（1）表中任何一列所含不同的数字出现的次数相同。
如表)3(49L 每一列有三个不同的数字“1”、“2”、“3”，它们各出现3次。
（2）将表中任意两列同一行的两个数字看成有序数对，每种数对出现的次数相同。
如表)3(49L 的有序数对为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9个，它们各出现一次。
第六章 正交试验设计试验设计是数理统计中一个很庞大的分支, 其内容十分丰富, 本章只介绍正交试验设计(简称正交设计或正交试验). 正交试验设计是利用“正交表”进行科学地安排与分析多因素试验的方法, 其主要优点是能在很多实验方案中挑选出代表性较强的试验方案, 并通过对少数试验方案之试验结果的分析, 推断出最优方案, 得到比试验结果本身给出的还要多得多的有关多因素之信息. 在正交试验中, 对试验结果的分析, 通常采用直观分析法(也称极差分析法)和方差分析法.第一节 引 言一、正交试验设计的背景引例 为了提高维尼纶耐水性能, 需要分析维尼纶生产的最后一道工序—醛化过程. 醛化过程的好坏用一个叫缩醛化度的指标来衡量, 缩醛化度越高, 纤维的耐水性能越好. 但影响缩醛化度的因素很多, 如反应时间、反应温度、甲醛浓度、硫酸浓度、芒硝浓度等. 这些因素除芒硝浓度取三个水平外, 其余四个因素都各取七个水平. 这样多的因素和水平, 若全面试验需做3×74=7203次试验, 约用五年时间, 这实际上是行不通的.面对上述试验问题, 我们很希望只选做其中一部分有代表性的试验而又能较好地反应全面醛配可能出现的各种情况, 以便从中挑选出较好的试验方案, 这正是正交试验设计所研究的范畴.通常, 称两个因素以上的试验为多因素试验. 正交试验设计是以概率论和数理统计为基础, 科学地安排多因素试验的一类实用性很强的数学方法, 它是数理统计学中一个很大的分支. 它所研究的主要内容是, 如何利用“正交表”进行科学地安排与分析多因素试验以减少试验的次数. 其主要优点是能在很多实验方案中挑选出代表性较强的试验方案, 并通过对少数试验方案之试验结果的分析, 推断出最优方案, 得到比试验结果本身给出的还要多得多的有关多因素之信息. 对试验结果的分析, 通常采用两种方法: 一种是直观分析法(也称极差分析法), 另一种是方差分析法.表6.1 正交表L(27)表6.2 正交表L 4二、正交表正交表是一种特殊的表格, 这里只介绍它的记号、特点及使用方法. 表L 8(27)与L 9(34)即是两张常用的正交表. L 8(27)与L 9(34)是正交表的记号, 其具体含义为:L 是正交表代号; 8或9表示该正交表的行数, 即需要做的试验次数; 2或3表示水平数; 7或4表示正交表的纵列数, 即最多可安排的因素的个数.正交表L 8(27)与L 9(34具有如下的性质:(1) 整齐可比性: 表中任一列所含各种水平的个数都相同;(2) 均衡搭配性: 表中任两列所有各种可能的数对出现的次数都相同. 凡具有上述两种性质的表, 都称为正交表.三、正交试验设计正交试验设计, 包括选表、表头设计以及利用所选定的正交表安排试验方案, 并对试验结果进行统计分析, 确定较优或最优试验方案的一种科学方法. 具体地说, 正交试验设计能明确地回答如下几个方面的问题:(1) 因素的主次, 即各因素对所考察指标影响的大小顺序;(2) 因素与指标的关系, 即每个因素的各水平变化时, 指标是怎样变化的; (3) 什么是最优试验方案或最优工艺条件; (4) 进一步试验的方向.第二节 正交试验的直观分析一、直观分析(无交互作用)例1(合成氨最佳工艺条件试验) 根据已有的经验, 决定在合成氨试验中选取的因素与水平如表6.3所示. 假定各因素之间无交互作用, 试验的目前是提高产量. 要求进行试验设计并对试验的结果进行分析.解: 为了避免试验产生系统误差,因素的各水平哪一个定为1水平、2水平、3水平, 应按“随机化”的方法确定. 1.选表与表头设计 本例是一个三水平的试验, 因此要选用L n (3t )型正交表. 由于有3个因素, 且不考虑因素之间的交互作用, 所以选一张3≥t 的表, 而L 9(34)是是满足条件3≥t 的最小L n (3t )型表, 故选用正交表L 9(34)安排试验. 由于不考虑各因素之间的交互作用,只需将各因素分别填写在所选表的上方与列号对应的位置上, 一个因素占有一列, 不同的因素占有不同的列, 就得到所谓的表头设计, 如表6.4所示.注意: 未放置因素的列, 称为空白列或空列. 空白列在正交设计的方差分析中也称为误差列, 它有着重要的作用, 一般要求至少有一个空白列.2.确定试验方案完成了表头设计以后, 只要将表中各列的数字“1”、“2”、“3”分别看成该列所填因素在各个试验中的水平数, 而正交表的每一行就是一个试验方案. 于是, 本例得到9个试验方案.3.按规定的试验方案做试验并记录试验结果按正交表的各试验号中规定的水平组合进行试验, 并记录其结果得到表 6.5. 注意: 必须严格按照规定的方案完成每一号试验; 为了保证具有相同的随机性, 试验往往不按照表上试验号的顺序进行, 而是采取抽签的方法决定试验的顺序.4.计算极差, 确定因素的主次顺序 记K ij =第j 列上水平号为i 的各试验结果之和;k ij = K ij /s, 其中s 为第j 列上水平号i 出现的次数, 即k ij 表示第j 列的表6.3 例1的因素水平表因素取水平i时进行试验所取得的试验结果的平均值;R j=max i{ K ij }－min i{ K ij }, R j称为第j列的极差或所在因素的极差, 也可定义r j=max i{ k ij }－min i{ k ij }为第j列的极差或所在因素的极差.对于本例, 我们有:K11=y1+ y2+ y3=1.72+1.82+1.80=5.34, k11= K11/3=1.780,K21=y4+ y5+ y6=1.92+1.83+1.98=5.73, k21= K21/3=1.910,K31=y7+ y8+ y9=1.59+1.60+1.81=5.00, k31= K31/3=1.667,R1=max i{ K i1 }－min i{ K i1}=5.73－5.00=0.73;其它的K ij , k ij与R j类似地可以得到, 见表6.5.表6.5例1的试验方案及试验结果分析一般地, 各列的极差是不相等的, 这说明各因素的水平改变对试验结果的影响是不相同的. 极差越大, 说明这个因素的水平改变对试验结果的影响也越大. 因此, 极差最大的那一列因素就是水平改变对试验结果影响最大的因素, 也就是主要的因素. 由于有R1 >R2 >R3 >R4, 因此本例的因素主次顺序为:主→次A B C注意: 有时空白列的极差比所有其他因素的极差还要大, 这说明因素之间可能存在有不可忽视的交互作用, 或者忽略了对试验结果有重要影响的其它因素, 或者试验误差太大, 需要具体问题具体分析.5.最优方案的确定挑选因素的优水平与所要求的指标有关. 若指标越大越好, 则应该选取使指标最大的水平, 即各列K1j、K2j和K3j（或k1j、k2j和k3j）中最大的那个水平; 反之, 若指标越小越好, 则应取使指标小的那个水平. 对于本例, 试验的指标是提高合成氨的产量, 指标越大越好, 所以应该挑选每个因素的K1j、K2j、K3j之中最大的那个水平. 由于K2A>K1A>K3A K3B>K2B>K1B K2C>K1C>K3C故得最优方案为: A 2B 3C 2. 即反应温度为490(ºC )、反应压力为300个大气压以及使用乙种催化剂时, 生产方案是最优的.注意: 实际确定最优方案时, 还应区分因素的主次. 对于主要因素, 一定要按有利于指标的要求选取最好的水平, 而对于不重要的因素则可以根据有利于提高效率、降低消耗等要求来考虑因素水平的选取.本例确定的最优方案A 2B 3C 2, 并不包含在正交表里已做过的9个试验方案之中, 这正体现了正交试验设计的优越性. 那么, 它是不是真正的最优方案呢? 我们可以作进一步的理论计算来论证.6.最优方案的工程平均由于任何试验结果总是带有误差, 对某一试验方案来说, 我们关心的是这个试验方案之试验结果的平均值, 最优试验方案试验结果的平均值就称为“最优工程平均”. 为此, 我们先来讨论“效应”的问题:设μ为试验总体的理论总均值, ij μ为因素j 的第i 个水平所对应试验总体的理论均值, 定义a i =iA μ－μ为因素A 的第i 个水平的效应. 由于μ与iA μ均为未知, 此时可用样本均值来进行估计, 因而定义i aˆ=k iA －y 称i aˆ为因素A 的第i 水平的效应. 不难验证∑i a ˆ=0，即同一个因素(或同一列) 的各水平效应之和为0.本例中, 因素A 的各水平的效应分别为:1ˆa=k 1A －y =1.78－1.786=－0.006, 2ˆa=k 2A －y =0.124, 3ˆa = k 3A －y =－0.119. 它们的含义是: 因素A 取A 1水平会使产量平均降低0.006t, 因素A 取A 2水平会使产量平均增加0.124t, 因素A 取A 3水平会使产量平均降低0.119t. 同样可得:1ˆb = k 1B －y =－0.043, 2ˆb = k 2B －y =－0.036, 3ˆb = k 3B －y =0.077; 1ˆc= k 1C －y =－0.019, 2ˆc = k 2C －y =0.064, 3ˆc = k 3C －y =－0.046. 综合起来, 在不考虑交互作用的情况下, 可用迭加的方法求得某一试验方案试验结果的平均值—称为该试验方案的工程平均, 它等于总平均y 加上该试验方案各因素所取水平的效应之和. 某一方案的工程平均, 实质上就是该试验方案试验结果真值的无偏点估计. 对本例, 最优方案A 2B 3C 2的工程平均为y ˆ=2.051.7.对比验证试验最优方案在正式作为生产方案实施之前还需要进行对比验证试验: 将最优方案A 2B 3C 2与按正交表之规定做过的9个方案中产量最高的第6号方案A 2B 3C 1作对比试验. 若方案A 2B 3C 2比第6号试验产量更高, 通常认为A 2B 3C 2就是真正的最优方案; 否则, 就取第6号试验方案A 2B 3C 1作为最优方案. 后一种情况发生, 一般来说可能是没有考虑交互作用, 或者是试验误差较大引起的, 需要作进一步的研究, 可能有提高产量的潜力.8.作出因素水平－指标变化的趋势图 二、正交试验设计原理的解释由于正交表的整齐可比性与均衡搭配性, 使得用正交表安排的试验具有均衡分散性与整齐可比性, 所以它能大大地减少试验次数, 甚至比简单地比较全面试验的结果有可能提供更多更有用的信息.图6.1 例1的因素水平－指标变化趋势图三、直观分析(有交互作用)在此情况下, 对多因素正交试验的表头设计必须借助两列间的交互作用表, 许多正交表的后面都附有相应的交互作用表. 表6.6即是正交表L 8(27)的交互作用表.用正交表安排有交互作用的试验时, 通常将交互作用看作一个新的因素, 它在正交表上的占有列, 称为交互作用列. 为了避免“混杂”现象, 交互作用列应该通过杳交互作用表来确定. 从表6.6可以确定任何两列的交互作用列.例2 工件的渗碳层深度要求为1±0.25mm, 试验与考察的水平如表 6.7所示,还要考察交互作用A ×B 与B ×C. 试验的目的是确定这4个因素及两个交互作用对渗碳指标影响的重要性主次顺序, 并找到最优的生产方案(注意, 渗碳层深度越接近1越好).解: 1.选表与表头设计这是一个4因素2水平试验, 加上考虑交互因素A ×B 与B ×C, 因此所选的2水平正交表至少要有6列, 满足这种条件的2水平正交表中以L 8(27)为最小, 因此选用正交表L 8(27)安排试验.将因素A 、B 分别放在正交表的1、2两列上, 查L 8B 占用第三列, 因此第3列不能安排其它因素, 否则就会产生混杂现象; 现将因素C 入放在第4列, 再查L 8(27)的交互作用表得交互作用B ×C 占用第6列, 因素D 可安排在第5列或第7列上. 现将因素D 安排在第5列, 从而得到如表6.8的表头设计.2.明确试验方案, 依照试验方案进行试验并记录试验结果由此得到表 6.9. 注意, 交互作用所在列和空白列对确定试验方案不起任何作用, 因为那些列的数字“1”、“2”不代表任何实际水平.73. 计算极差, 确定因素的主次仿例1, 可得因素的主次顺序如表6.9所示. 4.确定最优方案交互因素A ×B 是影响试验结果最重要的因素, 但是交互因素A ×B 没有实际的水平, 故不能按K 13与K 23大小来确定, 而应该按A 与B 搭配的好坏来确定. 表6.10是因素A 与B 的水平搭配表, 也称之为二元表. 由于指标y 越小越好, 可知A 与B 的最优搭配为A 1B 2; 类似地, 可以得到B 与C 的最优搭配为B 2C 2.由于D 的最优水平为D 1, 从而得到最优方案为A 1B 2C 2D 1, 而不考虑交互作用的最优方案为A 1B 2C 1D 1, 两方案的不同之处在于因素C 的水平取法. 不般来说, 次要因素应服从于主要因素, 因此我们认为方案A 1B 2C 2D 1是最优的.第三节 正交试验的方差分析极差分析法的优点是, 方法简单、直观、计算量较小, 便于普及和推广. 但是, 极差分析法不能估计试验过程中以及结果测定中必然存在的误差大小, 不能真正区分某因素各水平所对应试验结果的差异, 究竟是由于水平的改变引起的还是由于试验误差引起的; 再者, 极差分析法得到的结论不够精确, 而且当水平数超过3时, 极差分析方法不便于使用.一、方差分析(无交互作用)表6.10 例2的因素A 与B 的水平搭配表。
正交实验设计当析因设计要求的实验次数太多时，一个非常自然的想法就是从析因设计的水平组合中，选择一部分有代表性水平组合进行试验。
因此就出现了分式析因设计(fractional factorial designs)，但是对于试验设计知识较少的实际工作者来说，选择适当的分式析因设计还是比较困难的。
正交试验设计(Orthogonal experimental design)是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。
是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。
日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格，称为正交表。
例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验，且尚未考虑每一组合的重复数。
若按L9(3)3正交表按排实验，只需作9次，按L18(3)7正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量。
因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。
1．正交表正交表是一整套规则的设计表格，用。
L为正交表的代号，n为试验的次数，t为水平数，c为列数，也就是可能安排最多的因素个数。
例如L9(34)，(表11)，它表示需作9次实验，最多可观察4个因素，每个因素均为3水平。
一个正交表中也可以各列的水平数不相等，我们称它为混合型正交表，如L8(4×24) (表12)，此表的5列中，有1列为4水平，4列为2水平。
根据正交表的数据结构看出，正交表是一个n行c列的表，其中第j列由数码1，2，… S j组成，这些数码均各出现N/S次，例如表11中，第二列的数码个数为3，S=3 ，即由1、2、3组成，各数码均出现次。
正交表具有以下两项性质：(1)每一列中，不同的数字出现的次数相等。
例如在两水平正交表中，任何一列都有数码“1”与“2”，且任何一列中它们出现的次数是相等的；如在三水平正交表中，任何一列都有“1”、“2”、“3”，且在任一列的出现数均相等。
第12章 正交试验设计前面介绍了单因素与双因素试验的方差分析，但是在实际问题中遇到的因素往往超过两个，需要考察各个因素对试验结果是否有显著影响。
从理论上讲可以导出多因素的方差分析法，但是一来公式会变得很复杂，二来总试验次数也要明显增多。
例如，考虑7个因素的试验，每个因素有6个水平，若在每一种组合水平上都做一次试验，需要做27993667次试验，这是根本不可能的！ 为了减少试验次数，希望在所有组合水平中挑选一部分出来，在这些组合水平上做试验，即局部地进行试验。
正交试验设计是利用一套现成的规格化的表—正交表，科学地安排试验和分析试验结果的一种数理统计方法，该方法的主要优点是能在很多试验条件中选出代表性强的少数试验方案，同时通过对这少数试验方案的结果进行分析，从中找出最优方案。
正交表1944年起源于美国。
第二次世界大战后在日本开发了使用正交表进行试验设计的技术体系，并在日本全国进行大力普及推广、应用，取得了显著的经济效益。
实践证明，正交设计是促进生产率提高的一种有效手段，目前已经广泛应用于科学研究、产品设计、工艺改革等技术领域以及经营、计划等管理领域。
§12.1 正交试验设计一、正交表正交表记为)(mn r L ，表示至多安排m 个因素，每个因素有r 种水平，共作n 次试验的正交表。
下面就是两个常用的正交表)3(49L ，)2(78L 。
)3(49L )2(78L其中符号含义如下： L —正交表符号；n —试验次数（正交表的行数）； r —水平数；m —因素个数（正交表的列数）。
从上面两个正交表容易看出它们具有如下性质：（1）表中任何一列所含不同的数字出现的次数相同。
如表)3(49L 每一列有三个不同的数字“1”、“2”、“3”，它们各出现3次。
（2）将表中任意两列同一行的两个数字看成有序数对，每种数对出现的次数相同。
如表)3(49L 的有序数对为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共9个，它们各出现一次。
以上性质说明正交表中各因素的水平搭配均衡，并可大大减少试验次数。
二、无交互作用的正交设计及其结果的直观分析 1、如何用正交表安排试验 下面用一个实例来说明。
例1 某化工厂进行合成氨试验，需要设计寻找最优生产条件的试验方案。
我们分如下几个步骤设计试验方案，以便寻找最优工艺条件。
第一步：明确试验的目的，确定试验指标。
本试验的目的是寻找合成氨的最优生产条件，试验指标是氨的产量，高者为优。
第二步：挑因素，选水平。
选择正交表时，首先要求正交表中的水平数r 与每个因素水平数一致，其次要求正交表中因素个数m 大于或等于实际因素个数，然后适当选用试验次数n 较小的正交表。
本例是一个三水平试验，因此要从)3(mn L 型中选择正交表。
若不考虑交互作用，本例共有三个因素，所以应选一张3 m 的最小的表，因此选用)3(49L 是合适的。
将A ，B ，C 随机地放到)3(49L 的表头各列中，叫做表头设计。
第四步：列出试验方案表，按其做试验。
确定表中各列水平号码的具体内容。
如对因素A 列的数字“1”、“2”、“3”分别填上460，490，520；类似地确定因素B ，C 列中水平号码的具体内容，就得到如下表所示的试验方案。
正交表的每一行就代表一个试验方案。
严格按照表中所规定的9个试验条件做试验，并把试验结果921,,,y y y 的数据填写在表中的最后一列。
2、单指标试验的直观分析试验指标只有一个的试验叫做单指标试验。
直观分析法也叫做极差分析法。
下面以例1说明它的步骤如下：（1）计算第j 列上第i 个水平的试验结果总和ij K 。
34.580.182.172.132111=++=++=y y y K 73.598.183.192.165421=++=++=y y y K 00.581.160.159.198731=++=++=y y y K 类似地可以计算出36.5,30.5,23.5141312===K K K 39.5,55.5,25.5242322===K K K 32.5,22.5,59.5343332===K K K （2）计算ij K 的平均值ij ij K tK 1=，其中t 为第j 列上第i 个水平出现的次数。
780.1334.5311111===K K 910.1337.5312121===K K 667.1300.5313131===K K 类似地可以计算出787.1,767.1,743.1141312===K K K 797.1,850.1,750.1242322===K K K773.1,740.1,863.1343332===K K K （3）计算第j 列的极差}{min }{max ij iij ij K K R -=。
243.0667.1910.1}{min }{max 111=-=-=i ii iK K R类似地可以计算出024.0,110.0,120.0432===R R R 。
（4）选择最优生产条件。
极差的意义是：j R 越大，说明该因素的水平变化对试验指标的影响越大，即该因素越重要；反之，j R 越小，该因素越不重要。
由此可以根据j R 的大小顺序排出因素的主次。
例如在例1中，由于321R R R >>，因此A ，B ，C 的主次顺序为C B A →→。
因为312111,,K K K 之间的差别仅仅是由321,,A A A 引起的，而与B ，C 取什么水平无关，因此一般地可以通过比较12111,,,r K K K 的大小来确定A 的最佳水平。
在例1中，由于910.121=K 最大，说明A 取2A 水平最好。
类似地，可以确定B 的最佳水平为3B ，C 的最佳水平为2C ，由此得最优配方为232C B A 。
但是在上述9个试验方案中，并没有232C B A 。
这说明，用正交表安排试验不仅可以从表上看到9次试验中的最好配方132C B A ，而且还可以推断出全面试验中的最优配方条件是232C B A 。
关于空白列，也需要分析它的极差，若它的极差很小，则可以认为因素之间的交互作用很小，可以忽略不计。
否则若它的极差比所有因素的极差都大，则说明因素之间可能存在有不可忽略的交互作用，或是忽略了对试验结果有重要影响的其它因素。
3、多指标试验的直观分析试验指标多于一个的试验称为多指标试验。
在多指标试验设计中，各指标的最优方案之间可能存在一定的矛盾，如何兼顾各个指标，找出使每个指标都尽可能好的生产方案呢？也就是说，应如何分析多指标试验的结果呢？下面介绍两种常用方法。
（1）综合评分法综合评分法是由专业人员根据实际生产的要求，对每号试验评出其各项指标的综合得分，作为这号试验的总指标，从而把多项试验指标转化为单项试验指标，再应用单项指标试验的直观分析法进行分析。
下面以例2说明它的步骤。
例2 某工厂5吨冷风炼铁炉在现有的设备条件和原料供应的情况下，探索好的生产条件，以达到在铁水温度平均为1400℃以上且熔化速度为每小时5吨左右的前提下，尽量减少焦炭的消耗，提高总焦铁比的目的。
为此确定铁水温度、熔化速度、总焦铁比为试验指标，并这是一个4因素3水平试验，选正交表)3(49L ，并将因素A ，B ，C ，D 分别放到1，2，3，4列上即可得试验方案，把方案和试验结果列于下表。
化速度为每小时5吨左右的前提下，尽量减少焦炭的消耗，提高总焦铁比，因此可以规定一个评分办法：铁水温度i T 以1400℃为标准，每高1℃就加1分，每低1℃就扣1分；熔化速度i V 以每小时5吨为标准，每多0.1吨或少0.1吨都扣1分，总焦铁比i F 以1：12为标准，每高0.1就加1分，每低0.1就扣1分；最后对各号试验结果把三者合并起来就是该号试验综合评分的分数i M 。
第i 号试验的综合评分可以写成)9,,2,1(),12(10510)1400( =-⨯+-⨯--=i F V T M i i i i 按上式计算出的综合评分见上表中最后一列。
再用类似于例1的单指标试验的直观分析法进行分析，分别计算出 44,37,32,1514131211====K K K K 52,46,29,3624232221====K K K K 26,39,60,7134333231====K K K K67.14,33.12,67.10,514131211====K K K K33.17,33.15,67.9,1224232221====K K K K 67.8,13,20,67.2334333231====K K K K26,9,31,564321====R R R R由此可以看出四个因素的主次顺序是C D B A →→→。
直接从表上看出9个试验方案中的好条件是1233D C B A ，即第9号试验。
而由表中数据经计算的好条件是2233D C B A ，该结果不在这9个试验中。
（2）综合平衡法综合平衡法就是先分别对各个指标进行与单指标一样的计算分析，然后把各个指标的分析结果进行综合平衡，得出结论。
下面仍以例2说明它的步骤。
从表中可以看出：①4个因素的主次顺序为 平均铁水温度：ABCD 平均熔化速度：ADBC 总焦铁比：DBAC②各指标的最优试验条件为对铁水温度：1133D C B A （数值大者为优）对熔化速度：1222D C B A （数值小者为优） 对焦铁比：2233D C B A （数值大者为优）三个指标分析出的条件互不一致，因此需要视因素的主次关系进行综合平衡。
因素A 对铁水温度和熔化速度是首要因素，对总焦铁比是次要因素。
因此，在确定A 的最佳水平时，应重点考虑对铁水温度和熔化速度为最优的水平。
故因素A 取最佳水平为3A ；同理，因素B 取最佳水平为3B ；因素C 在三个指标中都不占主要地位，综合考虑C 取2C 较好些；因素D 在主次因素中排在末位，从上表可以看出，因素D 对焦铁比影响最大，取2D 最好，但对另两个指标取1D 为好，综合以上分析可以得出两个最优生产条件2233D C B A 与1233D C B A ，其中2233D C B A 与综合评分得出的结论一致，而1233D C B A 是正交设计表中的第9号试验条件，该试验条件不仅是综合平衡法得到的最好方案，也是综合评分法得到的最好方案。
三、有交互作用的正交设计及其结果的直观分析为了能够用正交表安排具有交互作用的正交试验，在许多正交表的后面都附有相应的交互作用表专供表头设计时使用。
下表就是正交表)2(78L 所对应的交互作用表。
上表中所有的数字都是列号。
正交表中任何两列的交互作用列都可以从交互作用表中查到。
只要在交互作用表中找到这两列的列号，这两个列号所在行、列的交叉点上的数字就是交互作用列的列号。
