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二 一般形式的柯西不等式,[学生用书P45])[A 基础达标]1．设a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值为( ) A ．102B ．10C ．210D ．310解析：选A.由柯西不等式，得(a ＋b ＋2c )2≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222[(a )2＋(b )2＋(4c )2] ＝52×1＝52， 所以a ＋b ＋2c ≤52＝102，当且仅当a ＝b ＝22c 时，等号成立．故选A. 2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1D ．不确定解析：选A.因为(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1， 当且仅当a i ＝kx i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立， 所以a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.故选A.3．已知x 2＋3y 2＋4z 2＝2，则|x ＋3y ＋4z |的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选B.由柯西不等式知(x 2＋3y 2＋4z 2)(1＋3＋4)≥(x ＋3y ＋4z )2， 又x 2＋3y 2＋4z 2＝2所以2×8≥(x ＋3y ＋4z )2. 所以|x ＋3y ＋4z |≤4. 当且仅当x ＝3y 3＝2z 2，即x ＝y ＝z ＝12时取等号．4．设a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝6，则1a ＋4b ＋9c的最小值为( )A ．1B ．4C ．6D ．9解析：选C.由柯西不等式得(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2] ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫4b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫9c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·2b ＋c ·3c 2＝36.即6⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＋9c ≥36.所以1a ＋4b ＋9c≥6.故选C.5．已知实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，x 2＋y 2＋z 2≤4，则2x ＋y ＋z ＝( ) A ．13 B ．23 C ．53D ．2解析：选B.因为实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，所以2x －y －2z ＝6. 由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)[22＋(－1)2＋(－2)2]≥(2x －y －2z )2＝36， 所以x 2＋y 2＋z 2≥4.再根据x 2＋y 2＋z 2≤4，可得x 2＋y 2＋z 2＝4.故有x 2＝y －1＝z－2，所以x ＝－2y ，z ＝2y .再把x ＝－2y ，z ＝2y 代入2x －y －2z －6＝0，求得y ＝－23，则2x ＋y ＋z ＝－4y ＋y ＋2y ＝－y ＝23.6．已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 解析：因为a ＋2b ＋3c ＝6，所以1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.所以(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2＝36，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号． 答案：127．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________． 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥8214＝327.当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8，解得：x ＝87，y ＝127，z ＝47，所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 8．已知x ，y ，z ∈R ＋，x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z的最小值为________．解析：利用柯西不等式，因为(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，所以1x ＋4y ＋9z ≥36，当且仅当x ＝y 2＝z 3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．综上可知，1x ＋4y ＋9z的最小值为36.答案：369．设x ＋y ＋z ＝1，求H ＝2x 2＋3y 2＋z 2的最小值． 解：因为x ＋y ＋z ＝12·2x ＋13·3y ＋1·z ， 所以由柯西不等式得： (x ＋y ＋z )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12·2x ＋13·3y ＋1·z 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋1·(2x 2＋3y 2＋z 2)，即116·H ≥1，解得H ≥611，等号成立的条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋z ＝1.2x 12＝3y 13＝z1，解得x ＝ 311，y ＝211，z ＝611.此时，H ＝611. 综上所述，H 的最小值为611.10．已知|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )．(1)求x 2＋y 2＋z 2的最小值；(2)若|a ＋2|≤72(x 2＋y 2＋z 2)对满足条件的一切实数x ，y ，z 恒成立，某某数a 的取值X围．解：(1)因为(x ＋2y ＋3z )2≤(12＋22＋32)·(x 2＋y 2＋z 2)，且|x ＋2y ＋3z |≥4(x ，y ，z ∈R )，所以x 2＋y 2＋z 2≥87，当且仅当x 1＝y 2＝z 3时取等号．即x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.(2)因为x 2＋y 2＋z 2的最小值为87，所以|a ＋2|≤72×87＝4，所以－4≤a ＋2≤4， 解得－6≤a ≤2，即a 的取值X 围为[－6，2]．[B 能力提升]1．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A ．14B ．13C ．12D ．34解析：选C.由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x 2＋14y 2＋14z 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax ＋12by ＋12cz 2，当且仅当a 12x ＝b 12y ＝c12z 时等号成立．因为a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，所以等号成立．所以a 12x ＝b 12y ＝c12z . 所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.故选C.2．边长为a ，b ，c 的三角形ABC ，其面积为14，外接圆半径R 为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则s 与t 的大小关系是________． 解析：由已知得12ab sin C ＝14，csin C ＝2R ＝2.所以abc ＝1，所以1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ca ，由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c (ab ＋bc ＋ca )≥(b ＋c ＋a )2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥(a ＋b ＋c )2.即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立． 当a ＝b ＝c 时，三角形ABC 的面积为34，不满足题意，所以s <t . 答案：s <t3．设x 1、x 2、…、x n ∈R ＋且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.证明：(n ＋1)(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝(1＋x 1＋1＋x 2＋…＋1＋x n )(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n)＝[(1＋x 1)2＋(1＋x 2)2＋…＋(1＋x n )2]·[(x 11＋x 1)2＋(x 21＋x 2)2＋…＋(x n1＋x n)2]≥(1＋x 1·x 11＋x 1＋1＋x 2·x 21＋x 2＋…＋1＋x n ·x n1＋x n)2＝(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.4．已知正数x ，y ，z 满足5x ＋4y ＋3z ＝10. (1)求证：25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥5.(2)求9x 2＋9y 2＋z 2的最小值．解：(1)证明：根据柯西不等式，得[(4y ＋3z )＋(3z ＋5x )＋(5x ＋4y )]·⎝ ⎛⎭⎪⎫25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥(5x ＋4y ＋3z )2，当且仅当4y ＋3z 5x ＝3z ＋5x 4y ＝5x ＋4y 3z 时，等号成立，因为5x ＋4y ＋3z ＝10，所以25x 24y ＋3z ＋16y 23z ＋5x ＋9z 25x ＋4y ≥10220＝5.(2)根据基本不等式，得9x 2＋9y 2＋z 2≥29x 2·9y 2＋z 2＝2·3x 2＋y 2＋z 2，当且仅当x 2＝y 2＋z 2时，等号成立．根据柯西不等式，得(x 2＋y 2＋z 2)(52＋42＋32)≥(5x ＋4y ＋3z )2＝100，即x 2＋y 2＋z 2≥2，当且仅当x 5＝y 4＝z 3＝15时，等号成立．综上，9x 2＋9y 2＋z 2≥2×32＝18.。
一、教学目标１．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．２．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、课时安排１课时三、教学重点１．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．２．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．四、教学难点１．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．２．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．五、教学过程（一）导入新课已知实数x，y，z满足x＋２y＋z＝１，求t＝x２＋４y２＋z２的最小值．【解】由柯西不等式得（x２＋４y２＋z２）（１＋１＋１）≥（x＋２y＋z）２.∵x＋２y＋z＝１，∴３（x２＋４y２＋z２）≥１，即x２＋４y２＋z２≥错误!.当且仅当x＝２y＝z＝错误!，即x＝错误!，y＝错误!，z＝错误!时等号成立．故x２＋４y２＋z２的最小值为错误!.（二）讲授新课教材整理１三维形式的柯西不等式设a１，a２，a３，b１，b２，b３∈R，则（a错误!＋a错误!＋a错误!）·（b错误!＋b错误!＋b错误!）≥.当且仅当或存在一个数k，使得a i＝kb i（i＝１,２,３）时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理２一般形式的柯西不等式设a１，a２，a３，…，a n，b１，b２，b３，…，b n是实数，则（a错误!＋a错误!＋…＋a错误!）（b错误!＋b错误!＋…＋b错误!）≥ .当且仅当b i＝0（i＝１,２，…，n）或存在一个数k，使得a i＝（i＝１,２，…，n）时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例１已知a，b，c∈（0，＋∞），错误!＋错误!＋错误!＝２，求a＋２b＋３c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．【精彩点拨】由于错误!＋错误!＋错误!＝２，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】∵a，b，c∈（0，＋∞），∴错误!·（a＋２b＋３c）＝[错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!][（错误!）２＋（错误!）２＋（错误!）２]≥错误!错误!＝（１＋２＋３）２＝３6．又错误!＋错误!＋错误!＝２，∴a＋２b＋３c≥１8，当且仅当a＝b＝c＝３时等号成立，综上，当a＝b＝c＝３时，a＋２b＋３c取得最小值１8．规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]１．已知x＋４y＋9z＝１，求x２＋y２＋z２的最小值．【解】由柯西不等式，知（x＋４y＋9z）２≤（１２＋４２＋9２）（x２＋y２＋z２）＝98（x２＋y２＋z２）．又x＋４y＋9z＝１，∴x２＋y２＋z２≥错误!，（*）当且仅当x＝错误!＝错误!时，等号成立，∴x＝错误!，y＝错误!，z＝错误!时，（*）取等号．因此，x２＋y２＋z２的最小值为错误!.题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例２已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式错误!＋错误!＋错误!≤λ恒成立，求λ的取值范围．【精彩点拨】“恒成立”问题需求错误!＋错误!＋错误!的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】∵x>0，y>0，z>0．且x＋y＋z＝xyz.∴错误!＋错误!＋错误!＝１．又错误!＋错误!＋错误!≤错误!错误!＝错误!错误!≤错误!当且仅当x＝y＝z，即x＝y＝z＝错误!时等号成立．∴错误!＋错误!＋错误!的最大值为错误!.故错误!＋错误!＋错误!≤λ恒成立时，应有λ≥错误!.因此λ的取值范围是错误!.规律总结：应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．[再练一题]２．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝３，a２＋２b２＋３c２＋6d２＝５，试求a的取值范围.【解】由a＋b＋c＋d＝３，得b＋c＋d＝３—a，由a２＋２b２＋３c２＋6d２＝５，得２b２＋３c２＋6d２＝５—a２，（２b２＋３c２＋6d２）错误!≥（b＋c＋d）２，即２b２＋３c２＋6d２≥（b＋c＋d）２.由条件可得，５—a２≥（３—a）２，解得１≤a≤２，所以实数a的取值范围是[１,２]．题型三、利用柯西不等式证明不等式例３已知a，b，c∈R＋，求证：错误!错误!＋错误!＋错误!≥9．【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，a１＝错误!，a２＝错误!，a３＝错误!，b１＝错误!，b２＝错误!，b３＝错误!，而a１b１＝a２b２＝a３b３＝１，因而得证．【自主解答】∵a，b，c∈R＋，由柯西不等式，知错误!错误!＝[错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!]×[错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!]≥错误!错误!＝（１＋１＋１）２＝9，∴错误!错误!≥9．规律总结：１．当a i，b i是正数时，柯西不等式变形为（a１＋a２＋…＋a n）（b１＋b２＋…＋b n）≥（错误!＋错误!＋…＋错误!）２.２．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]３．已知函数f（x）＝m—|x—２|，m∈R，且f（x＋２）≥0的解集为[—１,１]．（１）求m的值；（２）若a，b，c∈R＋，且错误!＋错误!＋错误!＝m，求证：a＋２b＋３c≥9．【解】（１）因为f（x＋２）＝m—|x|，f（x＋２）≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|—m≤x≤m}．又f（x＋２）≥0的解集为[—１,１]，故m＝１．（２）证明：由（１）知错误!＋错误!＋错误!＝１．又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋２b＋３c ＝（a＋２b＋３c）错误!≥错误!错误!＝9．（四）归纳小结一般形式的柯西不等式—错误!（五）随堂检测１．设a＝（—２,１,２），|b|＝6，则a·b的最小值为（）A．１8 B．6 C．—１8 Ｄ．１２【解析】|a·b|≤|a||b|，∴|a·b|≤１8．∴—１8≤a·b≤１8，当a，b反向时，a·b最小，最小值为—１8．【答案】C２．若a错误!＋a错误!＋…＋a错误!＝１，b错误!＋b错误!＋…＋b错误!＝４，则a１b１＋a２b２＋…＋a n b n的取值范围是（）A．（—∞，２）B．[—２,２] C．（—∞，２] Ｄ．[—１,１]【解析】∵（a错误!＋a错误!＋…＋a错误!）（b错误!＋b错误!＋…＋b错误!）≥（a１b１＋a２b２＋…＋a n b n）２，∴（a１b１＋a２b２＋…＋a n b n）２≤４，∴|a１b１＋a２b２＋…＋a n b n|≤２，即—２≤a１b１＋a２b２＋…＋a n b n≤２，当且仅当a i＝错误!b i（i＝１,２，…，n）时，右边等号成立；当且仅当a i＝—错误!b i（i＝１,２，…，n）时，左边等号成立，故选Ｂ．【答案】B３．设a，b，m，n∈R，且a２＋b２＝５，ma＋nb＝５，则错误!的最小值为________．【解析】根据柯西不等式（ma＋nb）２≤（a２＋b２）（m２＋n２），得２５≤５（m２＋n２），m２＋n２≥５，错误!的最小值为错误!.【答案】错误!六、板书设计３．２一般形式的柯西不等式七、作业布置同步练习：３．２一般形式的柯西不等式八、教学反思。
二 一般形式的柯西不等式与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．[例1] 设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证：x 1＋x 2＋…＋x n ≥x 1＋x 2＋…＋x n.[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．[证明] ∵(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n＝[(x 1)2＋(x 2)2＋…＋(x n )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n 2≥ ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2＝n 2，∴1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.柯西不等式的结构特征可以记为：(a 1＋a 2＋…＋a n )·(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.其中a i ，b i ∈R ＋(i ＝1,2，…，n )，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．设a ，b ，c 为正数，且不全相等． 求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c. 证明：构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；1a ＋b，1b ＋c，1c ＋a，则由柯西不等式得(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，①即2(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c. 由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b1a ＋b＝b ＋c1b ＋c＝c ＋a1c ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a ＝b ＝c .因为a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立， 于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c.[例2] (1)＋求 1x ＋ 4y ＋ 9z的最小值；(2)设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． [思路点拨] (1)利用1x ＋4y ＋9z＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋98(x ＋y ＋z )． (2)利用(2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6)2＝ (1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2. [解] (1)∵x ＋y ＋z ＝1， ∴1x ＋4y ＋9z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z (x ＋y ＋z )；≥⎝⎛⎭⎪⎫1x·x ＋2y·y ＋3z·z 2＝(1＋2＋3)2＝36. 当且仅当x ＝y 2＝z3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时取等号．所以1x ＋4y ＋9z的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(2x ＋1×1＋3y ＋4×1＋5z ＋6×1)2≤[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40＝120.故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230， 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6， 即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立．此时μmax＝230.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．2．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y ＋2z ＝5，则(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是( ) A ．20 B ．25 C ．36D ．47解析：选C ∵[(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2][12＋(－2)2＋22]≥[(x ＋5)＋(－2)(y －1)＋2(z ＋3)]2＝324，当且仅当x ＋51＝y －1－2＝z ＋32，即x ＝－3，y ＝－3，z ＝1时取等号．故(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是36.3．若2x ＋3y ＋4z ＝11，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________． 解析：∵2x ＋3y ＋4z ＝11，∴由柯西不等式，得 (x 2＋y 2＋z 2)(4＋9＋16)≥(2x ＋3y ＋4z )2， 故x 2＋y 2＋z 2≥12129，当且仅当x 2＝y 3＝z 4，即x ＝2229，y ＝3329，z ＝4429时取等号．答案：121294．把一根长为12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S 最小，并求此最小值．解：设三段绳子的长分别为x ，y ，z ，则x ＋y ＋z ＝12，三个正方形的边长分别为x 4，y4，z4均为正数，三个正方形面积之和：S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 42＝116(x 2＋y 2＋z 2)． ∵(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝122， 即x 2＋y 2＋z 2≥48.从而S ≥116×48＝3. 当且仅当x 1＝y 1＝z1时取等号，又x ＋y ＋z ＝12， ∴x ＝y ＝z ＝4时，S min ＝3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m 2.1．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( ) A ．5 B ．－5 C ．25D ．－25解析：选B (ab ＋bc ＋cd ＋ad )2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)·(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)＝25，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝±52时，等号成立． ∴ab ＋bc ＋cd ＋bd 的最小值为－5.2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x n a n＝1时取等号．∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.3．已知x ，y ，z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．9解析：选 D x ＋y 2＋z 3＝1x ＋2y ＋3z ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥1x·x ＋2y·y2＋3z·z 32＝9，当且仅当1x ＝2y ＝3z ＝13时等号成立．4．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.34解析：选C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.5．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________. 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥327. 当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8， 解得x ＝87，y ＝127，z ＝47，故所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 6．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值是________．解析：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k (k 为正实数)时，等号成立．答案：1217．已知实数x ，y ，z 满足3x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋(3z )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(3x ＋2y ＋z )2＝1，所以x 2＋2y 2＋3z 2≥334，当且仅当x 3＝2y 2＝3z 13，即x ＝934，y ＝334，z ＝134时，等号成立，所以x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为334.答案：3348．在△ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.证明：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C≥⎝⎛⎭⎪⎫a sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2.9．在直线5x ＋3y ＝2上求一点，使(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2取得最小值． 解：由柯西不等式得(22＋12)[(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2]≥[2(x ＋2y －1)＋(3x －y ＋3)]2＝(5x ＋3y ＋1)2＝9.∴(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2≥95.当且仅当x ＋2y －1＝2(3x －y ＋3) 即5x －4y ＋7＝0时取等号．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝2，5x －4y ＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1335，y ＝97.故所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1335，97.10．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |， 所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }， 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。
二 一般形式的柯西不等式知识梳理1.三维形式的柯西不等式设a 1,a 2,a 3,b 1,b 2,b 3是实数，则(a 12+a 22+a 32)（b 12+b 22+b 32）≥__________,当且仅当_______或存在一个数k ，使得a i =kb i (i=1,2,3)时等号成立. 2.一般形式的柯西不等式设a 1,a 2,a 3,…,a n ,b 1,b 2,b 3, …,b n 是实数，则 (a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)≥_______,当且仅当_______或存在一个数k ，使得a i =kb i (i=1,2, …,n)时，等号成立. 知识导学由二维形式的柯西不等式到一般形式的柯西不等式，是从特殊到一般的认识过程，其中三维形式的柯西不等式是过渡的桥梁，三维形式的柯西不等式可以对比二维形式的柯西不等式来理解和记忆，一般形式的柯西不等式又可以参照三维形式的柯西不等式来理解和推广.这样易于记忆不等式的结构与特征.对不等式成立的条件及等号取到的条件更要对比来研究.一般形式的柯西不等式注意整体的结构特征，因此，要从整体结构上认识这个不等式，形成一定的思维理解模式，在应用其解决问题时才能灵活应用. 疑难突破1.一般形式的柯西不等式的应用我们主要利用柯西不等式来证明一些不等式或求值等一些问题，但往往不能直接应用，需要对数学式子的形式进行变化，拼凑出与一般形式的柯西不等式相似的结构，才能应用，因而适当变形是我们应用一般形式的柯西不等式的关键，也是难点.我们要注意在数学式子中，数或字母的顺序要对比柯西不等式中的数或字母的顺序，以便能使其形式一致起来，然后应用解题. 2.“1”的利用数字“1”的利用非常重要，为了利用柯西不等式，除了拼凑应该有的结构形式外，对数字、系数的处理往往起到某些用字母所代表的数或式子所不能起的作用.这要求在理论上认识柯西不等式与实际应用时二者达到一种默契，即不因为“形式”与“面貌”的影响而不会用柯西不等式，教材例1中数字“1”的利用说明了处理问题与变形中的灵活性，因此，不应对“1”视而不见. 典题精讲【例1】 已知a,b,c∈R +，求证：（b a +c b +a c )(a b +b c +ca)≥9. 思路分析：对应三维形式的柯西不等式，a 1=b a ,a 2=c b ,a 3=a c ,b 1=a b ,b 2=b c ,b 3=ca ,而a 1b 1=a 2b 2=a 3b 3=1，因而得证. 证明：由柯西不等式，知左边=［(b a )2+(c b )2+(a c )2］×［(a b )2+(b c )2+(ca )2］ ≥(a b ×b a +c b ×b c )+a c ×ca )2=(1+1+1)2=9.∴原不等式成立.绿色通道：由a,b,c 构成新的数字，而形成三维形式的柯西不等式，需要有较高的观察能力，从所给的数学式的结构中看出来.【变式训练】 已知a,b,c∈R +，且a+b+c=1，求证：cb a 111++≥9. 思路分析：利用“1”的代换来构造柯西不等式. 证法一：c b a 111++=(a+b+c)(cb a 111++) =［(a )2+(b )2+(c )2］×［(a 1)2+(b 1)2+(c1)2］ ≥(a ×a 1+b ×b 1+c ×c1)2=(1+1+1)2=9. 证法二：a 1+b 1+c 1=(a+b+c)(a 1+b 1+c 1) =1+b a +c a +a b +1+c b +a c +bc +1=3+(b a +c a +c b +a c +b c +ab)≥3+66a b b c a c c b c a b a ⨯⨯⨯⨯⨯=3+6=9.【例2】 已知a 1,a 2, …,a n 都是正实数，且a 1+a 2+…+a n =1.求证：1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21. 思路分析：已知条件中a 1+a 2+…+a n =1,可以看作“1”的代换，而要证的不等式的左侧，“数式”已经可以看出来，为,,322211a a a a a a ++, …,所以a 1+a 2+…+a n =1.应扩大2倍后再利用，本题还可以利用其他的方法证明.证法一：根据柯西不等式，得左边=1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- =［(a 1+a 2)+(a 2+a 3)+(a 3+a 4)+ …+(a n-1+a n )+(a n +a 1)］× ［(211a a a +)2+(322a a a +)2+(433a a a +)2+…+(n n n a a a +--11)2+(1a a a n n +)2］×21=［(21a a +)2+(32a a +)2+…+(n n a a +-1)2+(1a a n +)2］×［(211a a a +)2+(322a a a +)2+…+（n n n a a a +--11）2+(1a a a n n +)2］×21≥［(21a a +×211a a a +)+(32a a +×322a a a +)+…+(n n a a +-1×n n n a a a +--11)+(1a a n +×1a a a n n +)］2×21=(a 1+a 2+…+a n )2×21=21=右边.∴原不等式成立.证法二：∵a∈R +,则a+a1≥2, a≥2-a1. 利用上面的结论，知4)22(22221121121112121a a a a a a a a a a a a a +-=+-≥+⨯=+ 同理，有43223222a a a a a a +-≥+,…411121n n n n n n a a a a a a +-≥+----,4121a a a a a a n n n n n +-≥+-. 以上式子相加整理，得1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21（a 1+a 2+…+a n ）=21. 证法三：对于不等式左边的第一个分式2121a a a +,配制辅助式k(a 1+a 2)，k 为待定的正数，这里取k=41,则412121++a a a (a 1+a 2)≥)(412212121a a a a a +⨯+=a 1. 同理，413222++a a a (a 2+a 3)≥a 2.……41121++--n n n a a a (a n-1+a n )≥a n-1，4112++a a a n n (a n +a 1)≥a n .以上式子相加整理，得1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21(a 1+a 2+…+a n ). ∵a 1+a 2+…+a n =1,∴1212132222121a a a a a a a a a a a a n n n n n ++++++++-- ≥21. 绿色通道：通过以上不同的证明方法可以看出，无论用柯西不等式或其他重要不等式来证明，构造出所需要的某种结构是证题的难点，因此，对柯西不等式或其他重要不等式，要熟记公式的特点，能灵活变形，才能灵活应用.【变式训练】 设x 1,x 2,x 3, …,x n 都是正实数，且x 1+x 2+x 3+…+x n =S.求证：12222121-≥-++-+-n Sx S x x S x x S x n n . 思路分析：对比例2及本题要证明的不等式，知需要构造出S-x 1+S-x 2+…+S-x n .证法一：根据柯西不等式，得左边=nn x S x x S x x S x -++-+-2222121=［(S-x 1)+(S-x 2)+ …+(S-x n )］×S n x S x x S x x S x S n n n )1(1][)1(12222121-=-++-+-- nn n x S x x S x x S x x S x S x S -++-+-⨯-++-+- 221122221][])()()[(≥2222111)]()()[()1(1nn n x S x x S x S x x S x S x x S S n -⨯-++-⨯-+-⨯--=S n )1(1-(x 1+x 2+…+x n )2=S n )1(1-×S 2=1-n S =右边.∴原不等式成立. 证法二：∵a∈R +，则a+a1≥2. ∴a≥2-a1. ∴22)1(12])1(2[1)1(1----=---⨯-≥--⨯-=-n x S n x x n x S n x x S x n n x x S x i i i i i i i i i . n 个式子相加，有])1()1()1([12121222221212222121--++--+----++-+-≥-++-+-n x S n x S n x S n x n x n x x S x x S x x S x n n n n =1)1(122-=----n Sn S nS n S .∴原不等式成立. 证法三：22)1(1-+-n x S x i i (S-x i )≥ 12)()1(1222-=--∙-n x x S n x S x i ii i . ∴22)1()1(2----≥-n x S n x x S x i i i i , ∴1)1()1(12)1(12212112-=----=----≥-∑∑∑===n S n S n n S n x S n x x S x ni i n i i ni i i . ∴原不等式成立.问题探究问题：全班同学的体重与年龄有某种关系，如果让每人的体重都去乘所有人的年龄，再求其和，就可以比较得出各班之间体重间的一些问题，问这种值最小是多少？ 导思：设其人数及年龄，利用柯西不等式解答.探究：设全班为60人，年龄设为x 1,x 2, …,x 60,对应的体重为y 1,y 2,…,y 60.则 （x 1+x 2+…+x 60）(y 1+y 2+…+y 60) ≥(60602211y x y x y x +++)2.∴最小值是(60602211y x y x y x +++ )2.。
