∴x＋x3＋…＋x2n－1≥nxn.② ①＋②，得 1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. (2)当 0<x<1 时，1>x>x2>…>xn，同理可得． 综合(1)与(2)，所以当 x>0 时， 1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
规律技巧 在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不 等式，必须限定字母的大小(分类讨论)，按限定字母的大小对 两组数进行顺序排列，再按“反序和≤乱序和≤顺序和”进行 证明．
预习反馈
4．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件，5 件和 2 件．现在 选择商店中单价分别为 3 元，2 元和 1 元的礼品，则至少要花________元，最多 要花________元．
【解析】 取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为 2×1＋4×2＋5×3＝25， 反序和为 2×3＋4×2＋5×1＝19.
3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，
即 a2＋b2＋c2≥a＋b＋c2＝1，命题得证．
3
3
本课小结
|— 反序和、乱序和、顺序和
排序不等式—ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ— 排序原理 — 排序原理的应用
作业布置
在线完成3.3 排序不等式 课后作业.
再见
编后语
听课对同学们的学习有着非常重要的作用。课听得好好，直接关系到大家最终的学习成绩。如何听好课，同学们可以参考如下建议：
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根据排序原理中，反序和≤乱序和， 得 c1＋2c22＋3c32＋…＋ncn2≤a1＋a222＋a332＋…＋ann2， 而 c1，c2，…，cn 分别大于或等于 1,2，…，n， ∴c1＋2c22＋3c32＋…＋ncn2≥1＋222＋332＋…＋nn2 ＝1＋12＋…＋1n， ∴1＋12＋13＋…＋1n≤a1＋a222＋…＋ann2.
所以最少花费为 19 元，最多花费为 25 元． 【答案】 19 25
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5．设 a1，a2，…，an 是 n 个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n≤a1 ＋a222＋a332＋…＋ann2.
【证明】 ∵12＜22＜32＜…＜n2， ∴112＞212＞…＞n12. 设 c1，c2，…，cn 是 a1，a2，…，an 由小到大的一个排列， 即 c1＜c2＜c3＜…＜cn，
花钱最多为：1×2＋2×4＋3×5＝25(元)．
规律技巧 利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应 的两个数组，并且要排列出大小顺序，这是解决问题的关键．
【变式训练 1】 设 a1，a2，a3 为正数，且 a1＋a2＋a3＝1， 求a1a2＋a2a3＋a3a1的最小值．
a3 a1 a2
解 不妨设 a3>a1>a2>0，则a13<a11<a12， 所以 a1a2<a2a3<a3a1. 设乱序和 S＝aa1a33＋aa1a12＋aa3a22＝a1＋a2＋a3＝1， 顺序和 S′＝a1a2＋a2a3＋a3a1.
D.M≤N
【解析】 由排序不等式，知 M≥N. 【答案】 B
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2．设 a，b，c 为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则 P 与 Q 的大
小关系是( )
A．P>Q
B．P≥Q
C．P<Q
D.P≤Q
【解析】 不妨设 a≥b≥c>0，则 a2≥b2≥c2>0， 由排序不等式得：a2a＋b2b＋c2c≥a2b＋b2c＋c2a. ∴P≥Q. 【答案】 B
1.基本概念
设数组 A：a1≤a2≤…≤an，数组 B：b1≤b2≤…≤bn.称 S1
＝a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1 为_反__序___和__．称 S2＝a1b1＋a2b2＋…＋ anbn 为_顺__序__和___，设 c1，c2，…，cn 为数组 B 中 b1，b2，…，bn 的任何一个排列．称 S＝a1c1＋a2c2＋…＋ancn 为_乱__序___和__，则
abc 因为 a，b，c 为正数，所以 abc>0， a＋b＋c>0， 于是b2c2＋ a＋c2ba＋2＋ca2b2≥abc.
随堂检测
5.已知 a，b，c∈R＋，a＋b＋c＝1，求证：a2＋b2＋c2≥13.
证明 不妨设 a≤b≤c，则由排序不等式得 a2＋b2＋c2≥ab
＋bc＋ac，上式两边同乘 2 再加 a2＋b2＋c2，得
等式中所需的带大小顺序的两个不等式，反复应用排序原理，
达到证明不等式的目的．
【变式训练 2】 已知 a，b，c 都是正数，求证：1＋1＋ ab
1c≤a8＋a3bb83＋ c3 c8. 证明 由于 a，b，c 的对称性，不妨设 a≥b≥c>0，则1≥1≥1. cba 因而b31c3≥c31a3≥a31b3. 又 a5≥b5≥c5， 由排序不等式，得 ba3c53＋cb3a53＋ac3b5 3≥ca3a53＋ab3b53＋bc3c53＝ac32＋ba23＋bc23.
有 S1≤S≤S2.
即__反__序__和__≤_乱___序__和__≤_顺__序__和___．
2．排序不等式(或排序原理) 定理：设 a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn 为两组数，c1， c2，…，cn 是 b1，b2，…，bn 的任一排列，则 a1bn ＋ a2bn － 1 ＋ … ＋ anb1≤a1c1 ＋ a2c2 ＋ … ＋
【例 1】 某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件，5 件及 2 件，现在选择商品中单价为 3 元，2 元和 1 元的礼 品，问至少要花多少钱？最多要花多少钱？
【解】 由题意可知，(a1，a2，a3)＝(2,4,5)，(b1，b2，b3) ＝(1,2,3)，则花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)；
随堂检测
4.已知 a，b，c 为正数，求证：b2c2＋a＋c2ba＋2＋ca2b2≥abc.
证明 根据所需证明的不等式中 a，b，c 的“地位”的对称
性，不妨设 a≥b≥c，则1≤1≤1，bc≤ca≤ab. abc
由排序原理：顺序和≥乱序和，得：
bac＋cba＋acb≥bcc＋caa＋abb. 即b2c2＋c2a2＋a2b2≥a＋b＋c，
又由不等式性质，知 a2≥b2≥c2，c13≥b13≥a13. 根据排序不等式，得 ac32＋ba23＋bc23≥aa23＋bb23＋cc23＝1a＋1b＋1c. 由不等式的传递性知 1a＋1b＋1c≤ba3c53＋cb3a53＋ac3b5 3＝a8＋a3bb83＋ c3 c8.
【例 3】 设 x>0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. 【分析】 题中只给出了 x>0，但是对于 x≥1，x<1 并不 确定，因此，需要分类讨论．
a3＋b3＋c3≥a2b＋b2c＋c2a， a3＋b3＋c3≥a2c＋b2a＋c2b. ∴2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(c＋a)＋c2(a＋b)．
随堂检测
1．顺序和，反序和，乱序和的大小关系是________． 答案 反序和≤乱序和≤顺序和
2．则已1知c1两＋组2c数2＋1,32c,3的3和最4大,5值,6是，_若__c_1，__c_2_，，c最3是小4值,5是,6_的__一__个__排_．列，
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3．已知两组数 1,2,3 和 4,5,6，若 c1，c2，c3 是 4,5,6 的一个排列，则 c1＋2c2 ＋3c3 的最大值是________，最小值是________.
【解析】 由排序不等式，顺序和最大，反序和最小， ∴最大值为 1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为 1×6＋2×5＋3×4＝28. 【答案】 32 28
一、听要点。
一般来说，一节课的要点就是老师们在备课中准备的讲课大纲。许多老师在讲课正式开始之前会告诉大家，同学们对此要格外注意。例如在学习物
理课“力的三要素”这一节时，老师会先列出力的三要素——大小、方向、作用点。这就是一堂课的要点。把这三点认真听好了，这节课就基本掌握了。
【变式训练 3】 已知 a，b，c 为正数，用排序不等式证 明：2(a3＋b3＋c3)≥a2(b＋c)＋b2(a＋c)＋c2(a＋b)．
证明 取两组数 a，b，c；a2，b2，c2.不管 a，b，c 的大小 如何，a3＋b3＋c3 都是顺序和，而 a2b＋b2c＋c2a，及 a2c＋b2a ＋c2b 都是乱序和．因此，
5．排序不等式证明不等式的策略 (1)利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两 组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和．利 用排序不等式证明即可． (2)若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它 们之间并没有预先规定大小顺序．那么在解答问题时，我们可 以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等式关 系来解题.
1．排序原理的本质含义 两组实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘 积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最 小．等号成立的条件是其中至少有一组序列为常数序列．
2．排序原理的思想 在解答数学问题时常常涉及到一些可以比较大小的量，它 们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，不妨可 以把它们按一定顺序排列起来利用排序原理，往往有助于解决 问题．
a3 a1 a2 由排序不等式得aa1a3 2＋aa2a1 3＋aa3a2 1≥a1＋a2＋a3＝1. 所以a1a2＋a2a3＋a3a1的最小值为 1.
a3 a1 a2
【例 2】 已知 a，b，c∈R＋，求证：ab1c2＋bc1a2＋ca1b2≥a10＋ b10＋c10.
【分析】 观察需证不等式可以发现左、右两边的次数相 等．因此，应该进行适当的拼凑，使其成为积的形式．
3.3 排序不等式
必修4-5
本节目标
1.了解排序不等式并理解乱序和、反序和、顺序和的概念． 2．掌握排序不等式的推导和证明过程． 3．会利用排序不等式解决简单的不等式问题.
