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S2 a1b1 a2b2 a3b3 anbn
顺序和
反序和 乱序和 顺序和
即 S1 S S2
定理
( 排序不等式或称排序原
理 ) ,
设 a 1 a 2 a n , b 1 b 2 b n 为两组实数 c 1 , c 2 , , c n 是 b 1 , b 2 , , b n 的任一排列 , 那么
a 1 b n a 2 b n 1 a n b1 a 1 c 1 a 2 c 2 a n c n a 1 b1 a 2 b 2 a n b n 当且仅当 a 1 a 2 a n 或 b1 b 2 b n 时 , .
于是, 上面的几何问题就可以归结为下面的代数问题 :
c1 , c2 , , cn 是数组b1 , b2 , , bn的任何一个排列 , 问以下的n个乘积的和 S a1 c1 a2 c2 an cn 何时取得最大值 ?
( 1 ) 设 c 1 , c 2 , , c n 是数组 b 1 , b 2 , , b n 的任何一个排列 则 S a1c1 a2c2 ancn叫做数组 和 ( b 1 , b 2 , , b n ) 的 乱序和 ( a1 , a 2 , , a n )
反序和等于顺序和
例1
有 10 人各拿一只水桶去接水
, 设水龙头注满第 t i 分 , 假定这些 t i 各不
i
( i 1 , 2 , ,10 ) 个人的水桶需要 相同 , 问只有一个水龙头时 使他们等候的总时间最
, 应如何安排
10 人的顺序
, 多少 ?
少 ? 这个最少的总时间等于
例2 1 1 2
O
B2 B1
B
j
Bn
A1 A2 Ai An
A
图 3 .3 1
不同 , 得到的Ai OB j 不同 ,因而三角形面积也可能 不同 . 问 : OA 边上的点与 OB 边上的点如何一一搭配 , 才能使 得到的n个三角形面积之和最大 ? 如何一一搭配 , 才能 使得到的n个三角形的面积之和最 小?
设 a 1 , a 2 , , a n 是 n 个互不相同的正整数 1 3 1 n a1 a2 2
2
, 求证
a3 3
2
an n
2
补充例题
1 .设 a , b , c R , 试证 a
12 12 12
bc
b
ca
c
ab
a
3
10
b
10
c
10
2 . 在 ABC 中 , 试证 :
探究
如图3.3 1, 设AOB ,
B
自点O沿OA 边依次取n个点A1 , A2 , , An ,沿 OB 边也依次取点B1 , B2 , , Bn .选取某个点 Ai i 1,2, n 与 某个点Bj j 1,2, , n 连结, 得到 Ai OB j .这样一一搭配 , 一共可以 得到n个三角形 .显然, 搭配的方法
,
( 2 ) 将数组 ( a 1 , a 2 , , a n ) 和 ( b 1 , b 2 , , b n ) 按相反顺序相乘 所得的和 称为
S1 a1bn a2bn 1 a3bn 2 anb1
反序和
( 3 ) 将数组 ( a 1 , a 2 , , a n ) 和 ( b 1 , b 2 , , b n ) 按相同顺序相乘 所得的和 称为
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aA bB cC a b c
2
