曲线积分期末复习 D10_

S6
3
x
S3 S1
S4 S6
y
y( x z)dydz x2dzdx ( y2 xz)dxdy a4
S
2024/10/13
13
P289 1(3) xydydz yzdzdx xzdxdy, S为平面
S
x y z 0, x y z 1外侧四面体表面取外侧. z
数学分析
xydydz yzdzdx xzdxdy 0
D By
2(dydz dzdx dxdy)
A x
原式=2 dydz dzdx dxdy 6 dxdy 6 dxdy
S
S
D
3a2
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P296 4(1) 求yzdx xzdy xydz的原函数.
dydz dzdx dxdy dydz dzdx dxdy
x2 + y2 = z2与平面z h所区域表面的外侧.
数学分析
解：P Q R 2( x y z) x y z
z
原式 2( x y z)dxdydz
V
2 ( x y)dxdydz 2 zdxdydz
V
0 V
2
h
zdz
2
d
z rdr h4 .
0
0
0
2
截面法， 利用柱坐标
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S4 y
15
数学分析
P289 1(4) yzdzdx, S为球面x2 y2 z2 1的上半部取外侧.
S
z
S1 : y 1 x2 z2 ,
S2 S1
S2 : y 1 x2 z2 .
y
S1、S2在zx面上的投影均为D：
xz

Pdx Qdy Rdz
dydz dzdx dxdy
PdydzQdzdx Rdxdy
x
y
z
PQ R
(Px
Q y
R)dv z
（三）场论初步
梯度 gra duiu u juk x y z
通量 散度
Pdy Q dzd zR dxdxdy
diA vPQR x y z
环流量 PdQ x d R y dz
计
f(x, y,z)ds
R(x,y,z)dxdy
算
f[x,y,z(x,y)]1zx 2z2 ydxdyR[x,y,z(x,y)d] xdy
D xy
Dxy
一代,二换,三投(与侧无关) 一代,二投,三定向 (与侧有关)
（二）各种积分之间的联系
曲线积分
计算
定积分
Stokes公式
计算 曲面积分
Guass公式
格林公式
3.三重积分与曲面积分的联系
( P x Q y R z)d v P d Q yd d R zzd dx xd
高斯公式
4.曲面积分与曲线积分的联系
R Q
P R
Q P
(yz)dyd(zzx)dzdx (xy)dxd
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
Green公式,Guass公式,Stokes公式 之间的关系
旋度 rA o ( R t Q ) i ( P R ) j ( Q P ) k y z z x x y
二、典型例题
例 1 计 算 I (x22x)ydx (x2y4)d, y L
其 中 L为 由 点 O(0,0)到 点 A(1,1)的 曲 线 ysi nx. 2
(PcosQcos Rcos)ds

偏导数 , 则有
P Q R


Pdydz
Qdzdx

Rdxdy


(
x

y

z
)dv
的方向取外侧.
或

(
P x

Q y

R z
)dx
dydz
(P cos Q cos R cos )dS.
例19 计算I x3dydz y3dzdx z3dxdy,其中 是
L
P
d
x

Qd
y


D

Q x

P y
d
xd
y
(2) L是D的正向边界曲线——沿着边界走，区域在左手.
Q P
加负号：L 沿Pd着x 边 Q界d走y ，区D 域在x 右手y ，d记xd得y 添负号。
(3) L必须是封闭的平面曲线.
添边：构成闭区域，具有连续一阶偏导数.
第一类曲面积分的计算
f ( x, y, z)dS f [x, y, z( x, y)] 1 zx2 zy2dxdy
“一投，二代，Dxy 三换，投影，换元看方程”
例12 计算I (x2 y2 z2)dS ,其中为球面
x2 y2 z2 R2
例13 计算I (x2 y2 z2 )dS ，其中为
x y
Q P
L
Pd
x

Qd
y


D


x


y
d
xd
y
3.路径无关：选择简单路径，积分.

曲线、曲面积分：一、选择题1．设L 是从点(,0)a 到点(,0)a -的一直线段，则()2L x y dx +⎰=（ ）。

A . 221a B . 0 C.a 2 D 1 （对坐标积分，将曲线代入）2．下列曲线积分在XOY 面内与路径无关的是（ ）A .(2,3)2(1,1)(3)(3)x y dx yx y dy ++-⎰２２ B .(2,3)22(1,1)(2)()xy x dx x y dy -++⎰ C.(2,3)2322(1,1)(6)(63)xy y dx x y xy dy -+-⎰ D.dy y x dx y x )2()2()3,2()1,1(-++⎰（提示；P Q y x ∂∂=∂∂时，与路径无关） 3．∑设：)0(2222≥=++z a z y x ，在第一卦限的部分为∑∑1，则有（ ）A ．⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS xdS ； B.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS ydS ；C.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xdS zdS ；D.⎰⎰⎰⎰∑∑=14xyzdS xyzdS 。

（对称）４． 设C 是圆周x y x 222=+，则⎰=C xds （ ）。

A 、0； B 、1； C 、π； D 、π2。

解：（对弧长的曲线积分，将曲线代入）Ｃ：1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，⎰=Cxds 20(1cos 2πθθπ+=⎰二、填空题１．C 为不包围原点的封闭曲线，积分=++⎰c y x ydy xdx 22２.曲线积分()22()()n L x y dx x y dyx y -+++⎰与路径无关，则n ＝＿ ＿＿＿＿，３．设L 是2214x y +=逆时针方向的封闭曲线，⎰=++L xydy dx y y 2)(2 ___________。

4．已知L 是抛物线2y x =上点(0,0)O 与(1,1)B 点之间的一段弧，则曲线积分=⎰_____ ___ 。

（Ｌ代入）５．已知C 为椭圆22221x y a b+=，反时针方向，则()()C x y dx x y dy +--=⎰ 。