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§2 第二型曲线积分 教学目地与要求：掌握第二型曲线积分地定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分地差别． 教学重点，难点：重点：第二型曲线积分地定义和计算公式 难点：第二型曲线积分地计算公式 教学内容：第二型曲线积分一 第二型曲线积分地意义在物理学中还碰到另一种类型地曲线积分问题.例如一质点受力),(y x F 地作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力),(y x F 所作地功(图220-).为此在曲线B A内插入1-n 个分点121,,,-n M M M ，与n M B M A ==,0一起把有向曲线B A分成n 个有向小曲线段),,2,1(1n i M M i i =-，若记小曲线段i i M M 1-地弧长为i s ∆，则分割T 地细度为i ni s T ∆=≤≤1max .设力),(y x F 在x 轴和y 轴方向地投影分别为),(y x P 与),(y x Q ，那么)),(),,((),(y x Q y x P y x F =.又设小曲线段i i M M 1-在x 轴与y 轴上地投影分别为1--=∆i i i x x x 与1--=∆i i i y y y ，其中),(i i y x 与),(11--i i y x 分别为分点i M 与1-i M 地坐标，记),(1i i M M y x L i i ∆∆=-，于是力),(y x F 在小曲线段i i M M 1-上所作地功i i i i i i M M i i i y Q x p L F W i i ∆+∆=⋅≈-),(),(),(1ηξηξηξ,其中),(i i ηξ为小曲线段i i M M 1-上任一点.因而力),(y x F 沿曲线B A所作地功近似地等于∑∑∑===∆+∆≈=ni i i i n i i i i n i i y Q x p W W 111),(),(ηξηξ当细度0→T 时，上式右边和式地极限就应该是所求地功.这种类型地和式地极限就是下面所要讨论地第二型曲线积分.定义1 设函数),(y x P 与),(y x Q 定义在平面有向可求长度曲线上.对L 地任一分割T ，它把L 分成n 个小曲线段),,2,1(1n i M M i i =-其中B M A M n ==,0.记各小曲线段i i M M 1-地弧长为i s ∆，分割T 地细度i ni s T ∆=≤≤1max .又设T 地分点i M 地坐标为),(i i y x ，并记.在每个小曲线段i i M M 1-上任取一点),(i i ηξ，若极限∑∑=→=→∆+∆ni iiiT ni iiiT yQ xp 11),(lim),(limηξηξ存在且与分割T 与点),(i i ηξ地取法无关，则称此极限为函数),(y x P ，),(y x Q 沿有向曲线L 上地第二型曲线积分，记为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),()1(上述积分也可写作⎰⎰+LLdy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰⎰+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(为书写简洁起见，)1(式常简写成⎰+LQdy Pdx 或⎰+ABQdy Pdx若L 为封闭地有向曲线，则记为⎰+LQdy Pdx )2(若记),()),,(),,((),(dy dx ds y x Q y x P y x F ==，则)1(式可写成向量形式⎰⋅Lds F 或⎰⋅ABds F )3(于是，力)),(),,((),(y x Q y x P y x F =沿有向曲线B A L:对质点所作地功为⎰+=Ldy y x Q dx y x P W ),(),(.倘若L 为空间有向可求长度曲线，),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 为定义在L 上地函数，则可按上述办法类似地定义沿空间有向曲线L 上地第二型曲线积分，并记为⎰++Ldz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(， )4(或简写成⎰++LRdz Qdy Pdx .当把)),(),,(),,((),(y x R y x Q y x P y x F =与),,(dz dy dx ds =看作三维向量时，)4(式也可表示成)3(式地向量形式.第二型曲线积分与曲线L 地方向有关.对同一曲线，当方向由A 到B 改变为由B 到A 时，每一小曲线段地方向都改变.从而所得地i i y x ∆∆,也随之改变符号，故有⎰⎰+-=+BAABQdy Pdx Qdy Pdx而第一型曲线积分地被积表达式只是函数),(y x f 与弧长地乘积，它与曲线L 地方向无关.这是两种类型曲线积分地一个重要区别.类似于第一型曲线积分，第二型曲线积分也有如下一些重要性质：1. 若),,2,1(k i dy Q dx P AB i i =+⎰存在，则dy Q c dx P c k i i i Lk i i i ⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛∑⎰∑--11也存在，且()∑⎰∑⎰∑=--+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛ki Li k i i i L k i i i Qdy Pdx c dy Q c dx P c 111,其中),,2,1(k i c i =为常数.2. 若有向曲线L 是由有向曲线k L L L ,,21首尾相接而成，且),,2,1(k i Qdy Pdx iL =+⎰存在，则⎰+LQdyPdx 也存在, 且∑⎰⎰=+=+ki L LiQdy Pdx Qdy Pdx 1.二 第二型曲线积分地计算与第一型曲线积分一样，第二型曲线积分也可化为定积分来计算.设平面曲线⎩⎨⎧==)()(:t y t x L ψϕ，],[βα∈t 其中)(),(t t ψϕ在[]βα,上具有一阶连续导函数，且点A 与B 地坐标分别为()()()αψαϕ,与()()()βψβϕ,.又设),(y x P 与),(y x Q 为L 上地连续函数，则沿L 从A 到B 地第二型曲线积分()()()()()()()()[]dt t t t Q t t t P dy y x Q dx y x P L⎰⎰'+'=+βαψψϕϕψϕ,,),(),()6(仿照1中定理1.20地方法分别证明()()()()dt t t t P dx y x P L⎰⎰'=βαϕψϕ,),(，()()()()dt t t t Q dx y x Q L⎰⎰'=βαψψϕ,),(，由此便可得公式)6(，这里不再赘述了.对于沿封闭曲线地第二型曲线积分)2(地计算，可在L 上任意选取一点作为起点，沿L 所指定地方向前进，最后回到这一点.例1 计算⎰-+Ldy x y xydx )(，其中L 分别沿如图320-中路线(i)直线AB ；(ii)ACB (抛物线：1)1(22+-=x y )； (iii)ADBA (三角形周界) 解 (i)直线AB 地参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty tx 211， ]1,0[∈t .故由公式)6(可得()()[]()6252512211)(1210=++=+++=-+⎰⎰⎰dt t t dt t t t dy x y xydx AB. (ii)曲线ACB 为抛物线21,1)1(22≤≤+-=x x y ，所以()[]()[](){}⎰⎰--+-++-=-+212214112112)(dxx x x x x dy x y xydx ACB()310123532102123=-+-=⎰dx x x x . (iii)这里L 是一条封闭曲线，故可从A 开始，应用上段地性质2，分别求沿DB AD ,和BA 上地线积分然后相加即可得到所求之曲线积分.由于沿直线)21(1,:≤≤==x y x x AD 地线积分为23)(21===-+⎰⎰⎰xdx xydx dy x y xydx ADAD. 沿直线)31(,2:≤≤==y y y x DB 地线积分为0)2()()(31=-=-=-+⎰⎰⎰dy y dy x y dy x y xydx DBDB.沿直线BA 地线积分可由(i)及公式)5(得到625)()(-=-+-=-+⎰⎰ABBAdy x y xydx dy x y xydx 所以38625023)()(-=⎪⎭⎫⎝⎛-++=-=-+⎰⎰DBLdy x y dy x y xydx例2 计算⎰+Lydx xdy ，这里:L (i)沿抛物线22x y =，从O 到B 地一段（图20-4）；(ii)沿直线段x y OB 2:=；(iii)沿封闭曲线OABO .解 (i) []23662)4(1212===+=+⎰⎰⎰dx x dx x x x ydx xdy L. (ii)2214)22(1=⋅=+=+⎰⎰dx x x ydx xdy L. (iii)在OA 一段上，;10,0≤≤=x y 在AB 一段上，;20,1≤≤=y x 在BO 一段上与(ii)一样是x y 2=从1=x 到0=x 地一段.所以,001==+⎰⎰oOAdx ydx xdy,2121==+⎰⎰dx ydx xdy AB,2-=+-=+⎰⎰OBBOydx xdy ydx xdy (见(ii)).因此0220=-+=++=+⎰⎰⎰⎰BOABOALydx xdy .对于沿空间有向曲线地第二型曲线积分地计算公式也与)6(式相仿.设空间有向光滑曲线L 地参量方程为:L ⎪⎩⎪⎨⎧===),(),(),(t z z t y y t x x βα≤≤t ， 起点为))(),(),((αααz y x ，终点为))(),(),((βββz y x ，则[]⎰⎰'+'+'=++βαdtt z t z t y t x R t y t z t y t x Q t x t z t y t x P Rdz Qdy Pdx L)())(),(),(()())(),(),(()())(),(),((.)7(这里要注意曲线方向与积分上下限地确定应该一致. 例3 计算第二型曲线积分 ⎰+-+=Ldz x dy x y xydx I 2)(，其中L 是螺旋曲线bt z t a y t a x ===,sin ,cos ，从0=t 到π=t 上地一段.解 由公式)7(，()21)cos cos sin cos sin cos (202222223a dt b a t t a t a t t a I t =+-+-=⎰ππ0222332sin 21)1(21sin 21sin 31⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--=t t b a t a t aπ)1(212b a +=. 例4 求在力),,(z y x x y F ++-作用下，(i)质点由A 沿螺旋线1L 到B 所作地功（图520-），其中π20,,sin ,cos :1≤≤===t bt z t a y t a x L ；(ii)质点由A 沿直线2L 到B 所作地功.解 如本节开头所述，在空间曲线L 上力F 所做地功为⎰⎰+++-=⋅=LLdy z y x xdy ydx ds F W )(.(i)由于bdt dz tdt a dy tdt a dx ==-=,cos ,sin ，所以⎰-=+++--=πππ202222222)(2)sin cos cos sin (a b dt b t ab t ab t a t a W t .(ii)2L 地参量方程为b t t z y a x π20,,0,≤≤===.由于,,0,0dt dz dy dx ===所以)(2)(20b a b dt t a W bπππ+=+=⎰.复习思考题、作业题： 1 (1)(4), 2版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.LDAYt 。
【最新整理，下载后即可编辑】§2 第二型曲线积分 教学目的与要求：掌握第二型曲线积分的定义和计算公式，了解第一、二型曲线积分的差别．教学重点，难点：重点：第二型曲线积分的定义和计算公式 难点：第二型曲线积分的计算公式 教学内容：第二型曲线积分一 第二型曲线积分的意义在物理学中还碰到另一种类型的曲线积分问题。
例如一质点受力),(y x F 的作用沿平面曲线L 从点A 移动到点B ，求力),(y x F 所作的功(图220-)。
为此在曲线B A内插入1-n 个分点121,,,-n M M M ，与n M B M A ==,0一起把有向曲线B A分成n 个有向小曲线段),,2,1(1n i M M i i =-，若记小曲线段i i M M 1-的弧长为i s ∆，则分割T 的细度为i ni s T ∆=≤≤1max 。
设力),(y x F 在x 轴和y 轴方向的投影分别为),(y x P 与),(y x Q ，那么)),(),,((),(y x Q y x P y x F =。
又设小曲线段i i M M 1-在x 轴与y 轴上的投影分别为1--=∆i i i x x x 与1--=∆i i i y y y ，其中),(i i y x 与),(11--i i y x 分别为分点i M 与1-i M 的坐标，记),(1i i M M y x L i i∆∆=-，于是力),(y x F 在小曲线段i i M M 1-上所作的功 i i i i i i M M i i i y Q x p L F W ii ∆+∆=⋅≈-),(),(),(1ηξηξηξ,其中),(i i ηξ为小曲线段i i M M 1-上任一点。
因而力),(y x F 沿曲线B A所作的功近似的等于∑∑∑===∆+∆≈=ni i i i ni i i i ni i y Q x p W W 111),(),(ηξηξ当细度0→T 时，上式右边和式的极限就应该是所求的功。
【最新整理，下载后即可编辑】第二类曲线积分的计算 定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n个小弧段ii M M 1-),,2,1(n i =；其中A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i =.在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ∑=→∆+ni iiiT y Q 1),(limηξ存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),(也可记作⎰⎰+LLdy y x Q dx y x P ),(),( 或⎰⎰+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(注：(1)若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx sd ,= 则上述记号可写成向量形式:⎰⋅Ls d F.(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L),,(),,(),,(++⎰按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二类曲线积分有⎰⎰-=BAAB,定积分是第二类曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二类曲线积分⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.与第一类曲线积分的区别首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是201(,)lim (,)ni i ili f x y ds s λξη→==∆∑⎰第二类曲线积分就是（1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的∆s s ，∆s s 是一小段弧的弧长，∆s s 总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的x ,y坐标的增量∆s s =s s −s s −1，∆s s =s s −s s −1，∆s s 与∆s s 是可正可负的。
第二节第二类曲线积分§2.1 第二类曲线积分的概念一、第二类曲线积分概念的引入设有一个力场*，场的力为,P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在上连续.一质点在力场的作用下，沿着一条光滑曲线自A点移动到B点，试求此力场（如图10-4）所作的功.设在上连续.1.分割在A与B之间，按从A到B的方向任意插入n-1分点将曲线分成n个部分，仍以记为的度. 图10-42.近似设为Γ上点处的单位切矢量.指向质点运动的方向，由于的长度很小，可近似地将它看成直线段，在上任取一点，把看成质点在上的运动方向，则. 当很小时，在上连续，因此，由在变化很小，于是，力场沿所作的功近似地为3.作和而力场沿Γ从A到B所作的功W近似地为4.取极限设,当越小，则每一个也越小，则越接近于 W，当，则每一个,于是而此极限与曲线Γ的分法与点的取法无关.由是曲线Γ上关于的连续函数，记作.即.按第一类曲线积分的意义，有.当质点的运动方向相反时，此时的方向也相反，故所作的功改变一个符号，可见这种积分与曲线的方向有关. 此外,这类曲线积分是特殊的第一类曲线积分，一般的第一类曲线积分中的被积涵数是数量函数，而中的被积函数是两个矢量函数的点乘积形式，且是曲线上点P(x,y,z)处切线的单位矢量(与指定方向一致),因此有别于一般形式的第一类曲线积分，我们称它为第二类曲线积分，因此有如下的定义(*如果空间（或部分空间）中的每一点都对应着一个力，则称在这个空间中确定了一个力场.)二、第二类曲线积分的定义定义:设Γ是以A，B为端点的光滑曲线，并指定从A到B的曲线方向，在Γ上每一点p处作曲线的单位切矢量.（分别与轴，轴，轴正向夹角）,其方向与指定的曲线方向一致，又设其中P，Q，R是定义在曲线Γ上的有界函数，则函数在曲线Γ上的第一类曲线积分称为函数沿曲线Γ从A到B的第二类曲线积分.由于这一类曲线积分的被积函数是一个矢量与单位切矢量的数量积，当积分路径的方向改变为相反方向时，即沿Γ从A到B改为从B到A时，单位切矢量的方相与原来切矢量方向相反，因而第二类曲线积分的数值正好变一个符号，即有性质1.或者我们把看成正方向，记成，则，有.注：左、右两端的单位切矢量正好相差一个符号.性质2若有向曲线Γ是由有向曲线Γ1，Γ2首尾衔接而成，则.记称为曲线的有向弧元素（简称有向弧元）它是一个矢量，这个矢量在三个坐标轴上的投影分别为.即..., 于是.所以第二类曲线积可以四种形式出现，即.这是第二类曲线积分特征，要认识清楚，注意是有方向的.而最后一个积分显然可以分解成如下三个积分之和;;.它们分别称为函数沿曲线Γ从A到B关于弧长有向投影的第二类曲线积分.三、第二类曲线积分的计算定理1设光滑曲线的方程为点A 对应的参数为，点B 对应的参数为（、谁大谁小不受限制），且函数的分量在上连续则证我们来证明其它两个同理可证，从而可得结论成立.(i)当，在与之间插入个分点, 于是, ,=, 这里.按一元函数定积分的定义，有(ii)当在与之间插入个分点, 与(i)的证法类似，有这里，于是按一元函数的定积分的定义，有,于是.因此，不论，谁大谁小，都有故结论成立.从证明过程，我们可以再一次清楚的看到.,即.此外，必须提醒大家，公式中的一定要与曲线的起点A终点B 相对应，不得错乱，即化成函数的定积分时，积分的下限必需是起点A对应的参数，积分的上限必须是终点B对应的参数，至于上、下限谁大谁小不受限制，与第一类曲线积分的下限必需小于上限的限制，是不同的，这也是第二类曲线积分与第一类曲线积分区别的特征.同样在平面上有平面曲线Γ的第二类曲线积分定义:设Γ是平面上以A、B为端点的光滑曲线，并指定从A到B的曲线方向.在p(x,y)处作曲线的单位切矢量.（分别是与轴，轴正向的夹角）, 其方向与指定的曲线方向一致，设其中是在曲线Γ上的有界函数，则函数在曲线Γ上的第一类曲线积分.称为函数沿曲线从A到B的第二类曲线积分.（或者不写出平面曲线上的第二类曲线积分定义, 可看空间曲线上第二类曲线积分的特殊情形）若为平面上的曲线，这时, 则其中，若设，有.若平面曲线为光滑曲线：, 起点A对应参数，终点B 对应参数, 有.例1计算,式中C依参数增加的方向进行的曲线.解原式.例2质点P沿以AB为直径的半圆周，从点A(1,2)运动点B(3,4)的过程中受到变力作用（如图10-5）的大小等于点P与原点O之间的距离，其方向垂直于线段，且与轴正向的夹角小于，求变力对质点所作的功.分析关健是求出变力与曲线的方程. 求时，只要求出和，则.图10-5解由,与轴正向的夹角小于，即，由即.有,且，则于是.设AB的中点为C，则C(2,3)为圆心，半径.圆弧的方程为起点A 对应的参数, 简写为,终点B 对应的参数, 简写为，于是变力所作的功为.例3计算（1）（2），其中L分别为图10-6中路线:(i)AB直线;(ii)ACB（抛物线;(iii)ADBA（三角形）.图10-6解（1） (i)直线AB方程为,.(ii)由曲线ACB方程为, , 于是==.(iii)由,, ,于是=（2） (i)(ii)=.(iii).注表示封闭曲线上的第二类曲线积分.。
第⼆类曲线积分的计算教案资料第⼆类曲线积分的计算第⼆类曲线积分的计算作者：钟家伟指导⽼师：张伟伟摘要：本⽂结合第⼆类曲线积分的背景⽤定义的⽅法进⾏第⼆类曲线积分的计算，重点是利⽤对称性，参数⽅程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第⼆类曲线积分进⾏计算。
关键词：第⼆类曲线积分⼆重积分参数积分对称性原理斯托克斯公式第⼆类曲⾯积分1 引⾔本⽂介绍第⼆类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若⼲种主要的计算⽅法。
1.1 第⼆类曲线积分的概念介绍了第⼆类曲线积分的物理学背景，平⾯和空间第⼆类曲线积分的定义以及对坐标的第⼆类曲线积分的定义。
1.2第⼆类曲线积分的计算⽅法介绍了关于第⼆类曲线积分的参数计算法，利⽤格林公式和斯托克斯公式计算的⽅法以及利⽤对称性简化或计算的⽅法。
2.1第⼆类曲线积分的物理学背景⼒场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平⾯曲线L 从点A 到点B 所作的功⼀质点受变⼒()y x F ,的作⽤沿平⾯曲线L 运动,当质点从L 之⼀端点A 移动到另⼀端B 时,求⼒()y x F ,所做功W .⼤家知道,如果质点受常⼒F 的作⽤从A 沿直线运动到B ,那末这个常⼒F所做功为 W =AB F ?. 现在的问题是质点所受的⼒随处改变，⽽所⾛路线⼜是弯弯曲曲.怎么办呢?为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插⼊1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0⼀起把曲线分成n 个有向⼩曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记⼩曲线段i i M M 1-的弧长为i S ?.则分割},,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i ni S T ?=≤≤.设⼒()y x F , 在x 轴和y 轴⽅向上的投影分别为),(y x P与),(y x Q ,那么()y x F , =()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P),(),(+=由于),,(),,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向⼩曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴⽅向上的投影分别为11---=?-=?i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1-=),(i i y x ??从⽽⼒()y x F ,在⼩曲线段i i M M 1-上所作的功i W ?≈),(i F ηξ i i M M L 1- =()i i P ηξ,i x ?+()i i Q ηξ,i y ?沿L 所作的功可近似等于 i W =∑=n i i W 1i ni i i i n i i i y s Q x S P ?+?≈∑∑==11),(),(ηη当0→T 时,右端积分和式的极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下⾯所要讨论的第⼆型曲线积分. 2.2 第⼆型曲线积分的定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平⾯有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任⼀分割T ,它把AB L 分成n 个⼩弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中A =n MB M =,0.记各个⼩弧段i i M M 1-弧长为i s ?,分割T 的细度为}{max 1i ni S T ?=≤≤,⼜设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记11,---=?-=?i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .在每个⼩弧段i i M M 1-上任取⼀点()i i ηξ,,若极限∑=→?ni iiiT xP 1),(limηξ∑=→?+ni iiiT yQ 1),(limηξ存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法⽆关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第⼆类曲线积分,记为+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或 ?+ABdy y x Q dx y x P ),(),(也可记作dy y x Q dx y x P ),(),( 或 ??+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=则上述记号可写成向量形式:??Ls d F .(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第⼆类曲线积分,并记为dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L),,(),,(),,(++?按照这⼀定义 , 有⼒场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平⾯曲线L 从点A 到点B 所作的功为?+=ABQdy Pdx W .第⼆型曲线积分的鲜明特征是曲线的⽅向性 .对⼆型曲线积分有 ??-=BA AB,定积分是第⼆型曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间⼒场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第⼆型曲线积分++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.2.1 对坐标的第⼆类曲线积分的概念设函数在平⾯P(x ，y)上的⼀条光滑（或分段光滑）曲线上有定义且有界，⽤分点(,)(0,1,2)i i i M X Y i n =将曲线L 从起点A 到B 分为n 个有向⼩弧的(,)i i ξη(,)LP x y dx长度(,)i i i l ξη?∈?，作和式1(,)()niiiX ξη-?-∑。
第二类曲线积分的计算第二类曲线积分的计算作者：钟家伟 指导老师：张伟伟摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。
关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分1 引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。
1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。
1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。
2.1第二类曲线积分的物理学背景力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功一质点受变力()y x F ,的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F ,所做功W .大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F所做功为 W =AB F ⋅. 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分 成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ∆.则分割},,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤.设力()y x F , 在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P与),(y x Q ,那么()y x F , =()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P),(),(+=由于),,(),,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴方向上的投影分别为11---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1-=),(i i y x ∆∆从而力()y x F ,在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ⋅≈),(i F ηξ i i M M L 1- =()i i P ηξ,i x ∆+()i i Q ηξ,i y ∆其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F ,沿L 所作的功可近似等于 i W =∑=n i i W 1i ni i i i n i i i y s Q x S P ∆+∆≈∑∑==11),(),(ηη当0→T 时,右端积分和式的极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分. 2.2 第二型曲线积分的定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中A =n MB M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ∑=→∆+ni iiiT yQ 1),(limηξ存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),(也可记作⎰⎰+LLdy y x Q dx y x P ),(),( 或 ⎰⎰+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=则上述记号可写成向量形式:⎰⋅Ls d F .(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L),,(),,(),,(++⎰按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=ABQdy Pdx W .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 .对二型曲线积分有 ⎰⎰-=BA AB,定积分是第二型曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二型曲线积分⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.2.1 对坐标的第二类曲线积分的概念设函数在平面P(x ，y)上的一条光滑（或分段光滑）曲线上有定义且有界，用分点(,)(0,1,2)i i i M X Y i n =将曲线L 从起点A 到B 分为n 个有向小弧的(,)i i ξη(,)LP x y dx⎰长度(,)i i i l ξη∀∈∆，作和式1(,)()niiiii iP X XX ξη-∆-∑。
记{}1max ii nl λ≤≤=∆，若极限1lim ()ni i i i P X Iλξη→∞=-∆=∑存在，且对曲线L 的分点及点 的选取方式无关，则称此极限为函数P(x,y)按从A 到B 的方向沿曲线L 对坐标x 的曲线积分，记作的曲线积分 记作1(,)lim ()nii ii LP x y dx P X λξη→∞==-∆∑⎰，其中P （x ，y ）称为被积函数，L 称为被积路径，对坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分。
类似的，设函数Q （x ，y ）在xy 平面上的一条光滑（或分段光滑）曲线L （AB ）上有定义且有界。
若对于L 的任意分法和(,)i i ξη的任意取法，极限都存在且唯一，则称此极限值1lim ()ni i ii Q Y λξη→∞=-∆∑为函数Q （x ，y ）按从A 到B 的方向沿曲线L 对坐标Y 的曲线积分，记作(,)L Q x y dy⎰2. 2 第二类曲线积分的参数计算法首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是201(,)lim (,)ni i ili f x y ds s λξη→==∆∑⎰第二类曲线积分就是1(,)(,)lim (,)(,)niiiiiili P x y dx Q x y dy P x Q y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰ （1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分和中是乘的i s ∆，i s ∆是一小段弧的弧长，i s ∆总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的,x y 坐标的增量11,i i i i i i x x x y y y --∆=-∆=-，i x ∆与i y ∆是可正可负的。
当积分的路径反向时，i s ∆不变，而i x ∆，i y ∆反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。
计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。
设曲线l 的参数方程为(),(),x x t t y y t αβ=⎧≤≤⎨=⎩则第一类曲线积分的计算公式为ds ===这里要注意αβ≤，即对t 的定积分中，下限比上限小时才有0dt >，也就有dt dt=，这样才有上述计算公式。
这个问题在计算中也要特别注意。
沿l 上的点由A 变到B ，即t 的下限α对应曲线积分的起点A ，他的上限β对应曲线积分的起点A ，t 的上限β对应终点B 。
在计算中总要用到曲线的参数方程，这里列出一些常用曲线的参数方程。
椭圆的参数方程为(sin ),02(cos ),x a t t t y a t t π=-⎧≤≤⎨=-⎩有些较简单的曲线可取x 或y 为参数，即可由直角坐标方程。
例如，直线y ax b =+，取可由直角坐标方程得出参数方程。
例如，直角y ax b =+，取x为参数，参数方程即为,,x x x y ax b =⎧-∞<<+∞⎨=+⎩又如，抛物线y x =，取y 为参数，参数方程为2,0,x y y y y ⎧=≤<+∞⎨=⎩例1 设l 为以(0,0),(1,0),(0,0)O A B 为顶点的三角形边界，计算（1）22()lx y ds+⎰（2）2222()()lx y dx x y dy +++⎰，沿逆时针方向。
解：（1）这是第一类曲线积分。
22222222()()()()lOAABOBx y ds x y ds x y ds x y ds+=+++++⎰⎰⎰⎰线段OA 的参数方程为,010,x x x y =⎧≤≤⎨=⎩122201()3OAx y ds x dx +==⎰⎰线段AB 的参数方程为,011,x x x y x =⎧≤≤⎨=-⎩12222022()((1))23ABx y ds x x dx +=+-=⎰⎰.线段OB 的参数方程为0,01,x y y y =⎧≤≤⎨=⎩1222013i OBx y ds y dy +==⎰⎰所以2212212(12)()3333L x y ds ++=++=⎰（2）这是第二类曲线积分。
22()(2)lxy dx x dy+++⎰2222()(2)()(2)OABOx y dx x dy x y dx x dy=+++++++⎰⎰1112220(1)(2)(1)2x dx x x dx x d x dy=++-++-+⎰⎰⎰12011(132)236x x dx =++--=⎰在这个例子中，必须注意第一类曲线积分与第二类曲线积分的不同处理方法，尤其是方向性 问题。
