第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算(1)

转化为定积分的计算公式βα→⎩⎨⎧==:),

(),(,),(),,(t t y y t x x L L y x Q y x P 的参数方程为续上连

在定向光滑曲线弧设定理dt

t y t y t x Q t x t y t x P dy y x Q dx y x P L )}()](),([)()](),([{),(),('+'=+⎰⎰β

α则

特殊情形

.)

(:)1(b a x x y y L ，终点为起点为=.

)}()](,[)](,[{dx x y x y x Q x y x P Qdy Pdx b

a L ⎰⎰'+=+则.)

(:)2(d c y y x x L ，终点为起点为=.

]}),([)(]),([{dy y y x Q y x y y x P Qdy Pdx d

c L ⎰⎰+'=+则

垂直性.0),(⎰

=L dx y x p x L 轴的线段时，有

是垂直于定向曲线故轴时垂直于因当,0cos ,=αx L ⎰⎰==L

L ds y x p dx y x p 0cos ),(),(α.

0),(⎰=L

dy y x p y L 轴的线段时，有

是垂直于同理，当

推广

.)()](),(),([)()](),(),([{⎰⎰+'+'=++Γ

b

a t y t z t y t x Q t x t z t y t x P Rdz Qdy Pdx dt

t z t z t y t x R )}()](),(),(['

第二类曲线积分的计算(2)

.

)0,()0,()2(;

)1(,2

的直线段轴到点沿从点的上半圆周针方向绕行、圆心为原点、按逆时半径为为其中计算a B x a A a L dx y L

-⎰例1)

0,(a A )0,(a B -例题

解,sin cos :)1(⎩⎨⎧==θ

θa y a x L ，变到从πθ0⎰π

=0原式θθθd a a )sin (sin 22-.343a -=,0:)2(=y L ，变到从a a x -⎰-=a

a dx 0原式.0=⎰π=03a )(cos )cos 1(2

θθd -

.)0,4,3()5,4,3()0,0,2(,

的折线段再到到是从点其中，计算曲线积分C B A xdz zdy ydx Γ++⎰Γ

例2