第二类曲线积分的计算

2019考研数学：第二类曲线积分的计算来源：文都教育曲线曲面积分的计算是高等数学中非常重要的一部分知识，在考研数学一中每年都会考查。

下面，文都教育的数学老师给2019考研的同学们总结一下一些考研数学经常用到的计算第二类曲线积分的基本方法，希望对同学们有些帮助。

（一）直接法（1）设有光滑曲线L:):(,)()(βα→⎩⎨⎧==t t y y t x x ，其起点和终点分别对应参数βα==t t ,，),(),,(y x Q y x P 在L 上连续，则dtt y t y t x Q t x t y t x P Qdy Pdx L⎰⎰+=+βα)]('))(),(()('))(),(([这里的βα,谁大谁小无关紧要，关键是要和起点和终点分别对应。

（二）格林公式法设闭区域D 是分段光滑的曲线L 围成，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y P x Q Qdy Pdx D L ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+，D 其中L 为D 取正向的边界曲线（所谓正向就是当沿曲线正向行走时，区域在左手边）。

但是考研数学中涉及到格林公式时，一般不能直接使用，是因为命题人会故意破坏格林公式的使用条件：L 不是封闭曲线，也就没有有界闭区域；虽然有有界闭区域，但),(),,(y x Q y x P 在D 上没有一阶连续偏导数。

这就要求同学们要学会使用“补线法”，补上一条或多条曲线，使得封闭出满足格林公式使用条件的有界闭区域。

（三）利用线积分与路径无关 1. 理论依据：定理：设函数),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 上有一阶连续偏导数，则以下四条等价：（1） ⎰+L Qdy Pdx 与路径无关；（2）0=+⎰L Qdy Pdx ，其中L 为D 中任一分段光滑闭曲线； （3）yPx Q ∂∂=∂∂ （4）),(),(),(y x dF dy y x Q dx y x P =+ 2. 计算（1）改变积分路径：一般是沿平行于坐标轴的直线积分，⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(x x y y y x y x dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P 或⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(x x y y y x y x dx y x P dy y x Q dy y x Q dx y x P 。

曲线积分曲面积分公式曲线积分和曲面积分是微积分学中重要的概念和计算方法，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。

本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及它们的应用。

一、曲线积分1. 概念曲线积分是沿着曲线路径的函数值在该路径上的积分，它可以用来计算曲线上的物理量或计算路径上的某个量的总和。

一条曲线通常可以用参数方程表示，即根据一个或多个参数的变化来描述曲线上的点的坐标。

2. 计算方法曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种。

第一类曲线积分是对曲线上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：∫f(x,y,z) ds其中，f(x,y,z)是曲线上的函数，s是弧长。

第二类曲线积分是对曲线上的矢量场进行积分，计算公式为：∫F·dr 或∫F ds其中，F是曲线上的矢量场，dr是位移矢量，ds是弧长。

3. 应用曲线积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场沿着路径上的功、磁场沿着闭合路径上的环流等。

它还可以用来计算空间曲线上的质心、质量等。

在工程学中，曲线积分可以用来计算管道的流量、线段上的力等。

二、曲面积分1. 概念曲面积分是对曲面上的函数的某个量在整个曲面上的积分，它可以用来计算曲面上的物理量或计算函数在曲面上的平均值。

一般情况下，曲面可以用参数方程表示，即根据两个参数的变化来描述曲面上的点的坐标。

2. 计算方法曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分两种。

第一类曲面积分是对曲面上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：∬f(x,y,z) dS其中，f(x,y,z)是曲面上的函数，dS是面积元。

第二类曲面积分是对曲面上的矢量场进行积分，计算公式为：∬F·dS 或∬F dS其中，F是曲面上的矢量场，dS是面积元。

3. 应用曲面积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场通过曲面的电通量、磁场通过闭合曲面的磁通量等。

它还可以用来计算物体的总质量、质心等物理量。

第二类曲线积分的计算作者：钟家伟 指导老师：张伟伟摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算,重点是利用对称性,参数方程,格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算;关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分1 引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系,重点介绍若干种主要的计算方法;1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景,平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义;1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法,利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法;2.1第二类曲线积分的物理学背景力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功一质点受变力()y x F ,的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F ,所做功W .大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F所做功为 W =AB F ⋅. 现在的问题是质点所受的力随处改变,而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ∆.则分割},,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤.设力()y x F ,在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P与),(y x Q ,那么()y x F ,=()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P),(),(+=由于),,(),,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴方向上的投影分别为11---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1- =),(i i y x ∆∆从而力()y x F ,在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ⋅≈),(i F ηξi i M M L 1- = ()i i P ηξ,i x ∆+()i i Q ηξ,i y ∆其中j i ηξ,为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F ,沿L 所作的功可近似等于为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),(也可记作⎰⎰+LLdy y x Q dx y x P ),(),( 或⎰⎰+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(注：1 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=则上述记号可写成向量形式:⎰⋅Ls d F .2 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L),,(),,(),,(++⎰按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的为点0,1,2)n 将曲线i l ,(iiX XX ∆-I的分点及点 L 对坐标作坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分;类似的,设函数Qx,y 在xy 平面上的一条光滑或分段光滑曲线LAB 上有定义且有界;若对于L的任意分法和(,)i i ξη的任意取法,极限都存在且唯一,则称此极限值1lim ()ni i ii Q Y λξη→∞=-∆∑为函数Qx,y 按从A 到B 的方向沿曲线L 对坐标Y 的曲线积分,记作(,)L Q x y dy⎰(2. 2 第二类曲线积分的参数计算法首先要弄清楚两类积分的定义,简单地说,第一类曲线积分就是201(,)lim (,)ni i ili f x y ds s λξη→==∆∑⎰第二类曲线积分就是1(,)(,)lim (,)(,)niiiiiili P x y dx Q x y dy P x Q y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰ 1,而,但这里要注意αβ≤,即对t 的定积分中,下限比上限小时才有0dt >,也就有dt dt=,这样才有上述计算公式;这个问题在计算中也要特别注意;沿l 上的点由A 变到B,即t 的下限α对应曲线积分的起点A,他的上限β对应曲线积分的起点A,t 的上限β对应终点B;在计算中总要用到曲线的参数方程,这里列出一些常用曲线的参数方程;椭圆的参数方程为(sin ),02(cos ),x a t t t y a t t π=-⎧≤≤⎨=-⎩有些较简单的曲线可取x 或y 为参数,即可由直角坐标方程; 例如,直线y ax b =+,取可由直角坐标方程得出参数方程;例如,直角y ax b =+,取x 为参数,参数方程即为,,x x x y ax b =⎧-∞<<+∞⎨=+⎩又如,抛物线y x =,取y 为参数,参数方程为2,0,x y y y y ⎧=≤<+∞⎨=⎩例1 设l 为以(0,0),(1,0),(0,0)O A B 为顶点的三角形边界,计算（1）22()lx y ds +⎰（2）2222()()lx y dx x y dy +++⎰,沿逆时针方向;解：1这是第一类曲线积分;22222222()()()()lOAABOBx y ds x y ds x y ds x y ds+=+++++⎰⎰⎰⎰线段OA 的参数方程为,010,x x x y =⎧≤≤⎨=⎩122201()3OAx y ds x dx +==⎰⎰线段AB 的参数方程为,011,x x x y x =⎧≤≤⎨=-⎩12222022()((1))23ABx y ds x x dx +=+-=⎰⎰.线段OB 的参数方程为0,01,x y y y =⎧≤≤⎨=⎩1222013i OBx y ds y dy +==⎰⎰所以2212212(12)()3333L x y ds ++=++=⎰（2）这是第二类曲线积分;22()(2)lxy dx x dy+++⎰2222()(2)()(2)OABOx y dx x dy x y dx x dy=+++++++⎰⎰111222(1)(2)(1)2x dx x x dx x d x dy=++-++-+⎰⎰⎰12011(132)236x x dx =++--=⎰在这个例子中,必须注意第一类曲线积分与第二类曲线积分的不同处理方法,尤其是方向性 问题;2.3 利用格林公式计算第二类曲线积分设D 是由分段光滑的曲线l 围成的连通有界闭区域,函数(,)P x y ,(,)Q x y 在其上有一阶连续偏导数,则有格林公式(,)(,)()lDQ PP x y dx Q x y dy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰其中l 取正向;格林公式建立了第二类曲线积分也二重积分之间的联系;凡是建立了两个重要概念的联系的公式都是极为重要的,格林公式正是这样的公式;在讨论曲线积分与路径无关问题中,在许多公式的推导中,在曲线积分的计算中,格林公式都是很重要的工具;这里再列举两个计算曲线积分的例子;例2. 用格林公式计算例1中2的第二类曲线积分;解： 显然,这个积分满足格林公式的条件;用格林公式,22()(2)l xy dx x dy+++⎰110(12)(12)yDy dxdy dy y dx-=-=-⎰⎰⎰⎰11(12)(12)6y y d y =--=⎰这比例1中的解法简单一些;例3. 计算第二类曲线积分22()(),ly x dx x y dy +-+⎰其中l 为从A-2,0到B2,0沿椭圆2214x y +=的上半部分的曲线;解：l 不是一条封闭曲线,不能直接用格林公式;增加沿x 轴的线段BA 而成为封闭曲线;2222()()()()lBAy x dx x y dy y x dx x y dy+-+++-+⎰⎰(11)224D dxdy ππ=---==⎰⎰22()()ly xdx x y dy+-+⎰224()()ABy x dx x y dyπ=++-+⎰224()()BAy x dx x y dyπ=-+-+⎰22216443x dx ππ-=+=+⎰此题重点提到的是针对于非封闭曲线如何利用格林公式通过补形的方法将第二类曲线积分的计算转化为二重积分的计算;2.4 利用对称性计算第二类曲线积分定理1 设L 为xoy 平面上关于x 轴对称的一条有向光滑曲线弧,其方程是一双值函数,设为(),()y y x a x b =±≤≤;记12,L L 分别为L 位于x 轴的上半部分与下半部分,12,L L 分别在上的投影方向相反,函数(,)P x y 在L 上连续,那么1）当(,)P x y 关于y 为偶函数时,则有a故1当(,)P x y 关于为偶函数时,有[]{}(,)[,()],()b LaP x y dx P x y x P x y x dx =-⎰⎰00badx ==⎰2）当(,)P x y 位于为奇函数时,有[]{}(,)[,()],()bLaP x y dx P x y x P x y x dx =+=⎰⎰[]2,()2(,)baLP x y x dx P x y dx=⎰⎰注1 对于(,)LQ x y dy ⎰有定理1的结论注2 定理1可用两句口诀来简言之,即“反对偶零”“与反对奇倍”;其中“反”指在轴上的投影方向相反；“对”指关于轴对称；“偶”指被积函数在上关于为偶函数；“零”指曲线积分的结果等于零;口诀“反对奇倍”涵义类似解释;为2从点变到0.于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有12(,)(,)(,)L L L P x y dx P x y dx P x y dx =+=⎰⎰⎰[][]0,(),()aaP x y x dx P x y x dx-+-⎰⎰对右端第2个积分,令x t =-,有[]0(,)()aP x y x dx --=⎰[][]0(,(),()aaP t y t dt P x y x dx-=-⎰⎰因此有(,)LP x y dx =⎰[][]0,(),()a aP x y x dx P x y x dx+-⎰⎰[][]{}0,(),()aP x y x P x y x dx=+-⎰故1当(,)P x y 在L 上关于x 为奇函数时,有“同对奇零倍”轴例4 计算LI xydx=⎰.其中L 为抛物线2y x =从点(1,1)A -到(1,1)B 上的一段弧; 解：以题设条件知,该曲线积分满足定理1中“反对奇倍”的结论,故有14225LI xydx ===⎰⎰,其中,1:L y =,x从点0变到1.例 5 计算222()(sin )LI x y dx x y y dy=+-+⎰其L 为222 (0)x y a a +=>按逆时针方向从点(,0)A a 到点(,0)B a -的上半圆周; 解可将原式改写为3个曲线积分的代数和,即2222()2(sin )LLLI x y dx xydx x y y dy=+--+⎰⎰⎰,依题设条件分析知,等式右端第一、第二、第三个曲线积分依次满足定理2中“同对偶倍”、“同对奇零”及及定理1的注1中“反对偶乘零“的结论,故有22()LI x y dx=+⎰1222()Lx y dx =+⎰022232()2ax a x dx a =+-=-⎰其中,221:L y a x =-,x从点a 变到0.2.5 利用斯托克斯公式计算第二类曲线积分斯托克斯Stokes 公式建立了沿空间双侧曲面S 的积分与沿S 的边界曲线L 的积分之间的联系;在介绍下述定理之前,先对双侧面S 的侧与边界L 的方向作如下规定：设有人站在S 上指定的一侧,若沿L 行走,指定的侧总在人的左方,则人的前进方向为边界L 正向；若沿L 行走,指定的侧总在人的右方,则人的前进方向为边界线L 的负向,这个规定方法也称为右手法则,如下图所示;定理3 设光滑曲面S 的边界L 是按段光滑的连续曲线,若函数P,Q,R 在S 连同L 上连续, 且有一阶连续偏导数,则(((SR R P R Q P dydz dzdx dxdy y z z y x y ∂∂∂∂∂∂-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰LPdx Qdy Rdz=++⎰2其中S 的侧面与L 的方向按右手法则确定;公式2称之此公式为斯托克斯公式;证明： 先证,LSP P dzdx dxdy Pdx z y ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰3其中曲面S 由方程(,)z z x y =确定,它的正侧法线方向数为{},,1xyz z ''--,方向余弦为{}cos ,cos ,cos αβγ,所以cos cos ,,cos cos Z Z x y αβγγ∂∂==-∂∂(,,)(,,())LP x y z dx P x y z x dx Γ==⎰⎰(,,(,)),P P zP x y z x y y y z y ∂∂∂∂=∂∂∂∂(,,(,))(xy xyD D P P x y z x y dxdy y y ∂∂-=-∂∂⎰⎰⎰⎰cos ,z β∂=-cos cos )SP P dS y zγβ∂∂=--∂∂⎰⎰SP P dzdx dxdy z y∂∂=-∂∂⎰⎰综合上述结果,便得所要证明的3式;同样对于曲面S 表示(,)x x y x =和(,)y y z x =时,可得LSQ Q dxdy dydz Qdyx z ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰4和LSQ R dydz dydz Rdsx z ∂∂-=∂∂⎰⎰⎰5将3、4、5三式相加即得斯托克斯公式2;如果曲线S 不能以(,)z z x y =的形式给出,则用一些光滑曲线把S 分割为若干小块,使每一小块能和这种形式表示,因而这时斯托克斯公式也能成立; 为了便于记忆,斯托克斯公式也常写成如下形式：SLdydz dzdx dxdy Pdx Qdy Rdzx y z P Q R∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰例1,()()(),Cy z dx z x dy x y dz -+-+-⎰其中C 为椭圆若从轴ox 正向看去,此椭圆是依次反时针方向进行的;解：椭圆如图所示,把平面1x za h +=上C 所包围的区域记为S,则S 的法线方向为{},,h o a , 注意到S 的法线和曲线C 的方向是正向联系的,可知S 的法线与轴正向的夹角为锐角,因此,02222,0,,h an h ah a ⎧⎫=⎨⎬++⎩⎭于是由斯托克斯公式知()()()2CSy z dx z x dy x y dz dydz dxdz dxdy-+-+-=-++⎰⎰⎰2(cos cos cos )SdSαβγ=-++⎰⎰2222222()2SSh a h a ds dSa ha ha h+=-+=-+++⎰⎰⎰⎰2222222222222122()x y a h a h h a a h d a a h a a aa h a h σππ+≤+++=-+=-=-+++⎰⎰例2 222222()()()Cy z dx x z dy x y dz+++++⎰,式中C 是曲线222222,2(0,0)x y z Rx x y rx r R z ++=+=<<>此曲线是如下进行的：由它所包围在球2222x y z Rx ++=处表面上的最小区域保持在左方如图所示;解： 注意到球面的法线的方向余弦为cos ,cos ,cos ,x R y zR R R αβγ-===由斯托克斯公式有[]=2)cos ()cos ()cos Sy z z x x y dSαβγ-+-+-⎰⎰原式（2()(1)()()Sx y zy z z x x y dS R R R=--+-+-⎰⎰2()Sz y dS=-⎰⎰由于曲面S 关于oxz 平面对称,y 关于y 是奇函数,有SydS =⎰⎰于是2222=cos SSSx y rxzdS R rdS Rdxdy Rd R r σπ+≤====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式结束语第二类曲线积分计算是平面和空间曲线积分计算的重要方法,是多元函数积分重要分支;本文不仅将第二类曲线积分通过参数方程转化为定积分计算,而且对平面曲线还可以通过格林公式转化为对二重积分的计算,同时还可以通过斯托克斯公式建立起空间双侧曲面积分与沿边界的曲线积分之间的联系,对第二类曲线积分还可以通过对称性分奇偶两种情况简化或计算出结果;通过对本文的论述可以全面的了解第二类曲线积分的计算方法;。

空间第二型曲线积分空间第二型曲线积分是微积分中一个重要的概念，它在物理学、工程学等领域有广泛的应用。

本文将介绍空间第二型曲线积分的定义、计算方法以及一些实际应用。

首先，我们来了解一下什么是第二型曲线积分。

在平面上，我们可以通过定积分来计算曲线上的长度、面积等量。

而在三维空间中，我们不仅可以计算曲线的长度，还可以计算曲线上的向量场关于路径的积分，这就是第二型曲线积分。

具体来说，设曲线C是一个光滑曲线，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，其中t 的区间为[a, b]。

设F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))是一个在C上定义的向量场。

则C上F(x, y, z)关于路径的第二型曲线积分的定义为：∫C F⋅dr = ∫ab F(r(t))⋅r'(t) dt其中F⋅dr表示向量F和线元dr的点积，∫ab表示对t从a到b的积分，r'(t)表示参数方程的导数。

计算第二型曲线积分的方法有两种，一种是将参数方程代入向量场F，对t进行积分；另一种是利用Green公式将三维问题转化为二维问题。

具体使用哪种方法取决于具体的问题。

接下来，我们来看一个简单的例子来帮助理解空间第二型曲线积分的计算。

设曲线C是一个圆周，半径为R，方向为逆时针。

我们要计算向量场F(x, y, z) = (x, y, 0)关于C的第二型曲线积分。

首先，可以通过参数方程r(t) = (Rcos(t), Rsin(t), 0)将曲线C表示出来。

然后，计算向量F(r(t)) = (Rcos(t), Rsin(t), 0)⋅r'(t) = R(Rcos(t), Rsin(t), 0)⋅(-Rsin(t), Rcos(t), 0) = -R^2sin^2(t) - R^2cos^2(t) = -R^2。

接着，我们对参数t从0到2π进行积分，即∫0^2π -R^2 dt = -2πR^2。

第二类曲线积分得计算定义设,为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线上得函数,对任一分割,它把分成个小弧段;其中=、记各个小弧段弧长为,分割得细度为,又设得分点得坐标为,并记, 、在每个小弧段上任取一点,若极限存在且与分割与点得取法无关,则称此极限为函数,在有向线段上得第二类曲线积分,记为或也可记作或注:(1) 若记=,则上述记号可写成向量形式:、(2) 倘若为光滑或分段光滑得空间有向连续曲线,,,为定义在上得函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线得第二类曲线积分,并记为按照这一定义, 有力场沿平面曲线从点到点所作得功为、第二类曲线积分得鲜明特征就是曲线得方向性、对二类曲线积分有,定积分就是第二类曲线积分中当曲线为轴上得线段时得特例、可类似地考虑空间力场沿空间曲线所作得功、为空间曲线上得第二类曲线积分、与第一类曲线积分得区别首先要弄清楚两类积分得定义,简单地说,第一类曲线积分就就是第二类曲线积分就就是(1)这两种曲线积分得主要区别就在于,第一型曲线积分得积分中就是乘得,就是一小段弧得弧长,总就是正值;而第二类曲线积分与积分与中就是乘得一段弧得坐标得增量,,与就是可正可负得。

当积分得路径反向时,不变,而与反号,因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号,在这一性质上,第二类曲线积分与定积分就是一样得。

计算曲线积分得基本方法就是利用得参数方程将其转化成定积分,但两类曲线积分有些不同。

设曲线得参数方程为则第一类曲线积分得计算公式为这里要注意,即对t得定积分中,下限比上限小时才有,也就有,这样才有上述计算公式。

这个问题在计算中也要特别注意。

沿曲线上得点由A 变到B,即t得下限对应曲线积分得起点A,她得上限对应曲线积分得起点A,t得上限对应终点B。

历年真题1、设曲线,具有一阶连续偏导数,过第二象限内得点M与第四象限内得点N,为L上从点M到点N得一段弧,则下列小于零得选项就是(A)(B)(C)(D)(2007,数一,4分) 【解析】设点,得坐标分别为,,则有题设可知答案为B。

2014考研数学备考重点解析一一第二类曲线积分的计算1•计算方法1）直接法；fc Q 田）2）格林公式疔dx+Qdy=JJ ——-—^».D i法€y丿3）补线用格林公式4）利用线积分与路径无关:Q.x（2）计算：a）改换路径；b）利用原函数f Pdx+Qdy = F（x2,y2）-卩（为，％）,其中（x1 y）Pdx Qd^dF（x, y）,求原函数方法：①偏海文钻石卡视频积分：②凑微分.2•两类线积分的联系：：Pdx • Qdy 二「（Pcos= " Qcos ：）ds.C Cf—2 2 2 2【例1】计算I =[ ye y dx (xe y2xy e y )dy.其中C为y=3_x从0(0,0)到A(1,1)的曲线段.Cde 2 2 22 2【解析】由于一(ye y) =—(xe y- 2xy2e y) = e y2y2e y，则本题中的线积分与路径无关.d ye x解法1改换路径，B点为(1,0)点。

2 2 2 2 2 2原式= OB ye y dx (xe y2xy2e y)dy .臥ye y dx (xe y2xy2e y)dy1 2 2=0 0(e y2y2e y )dy= 0 - ；2y2e y2dy 012y2e『dy =3.也可将路径改换为另一折线0C、CA，其中C点为（0,1）点，则原式22 222 2I= 0Cye y dx (xe y2xy 2e y)dyCAye y dx (xe y2xy 2e y)dy = 0°edx=e .解法2利用原函数，由于y 2y 22 y 2y 2y 2y 2ye dx (xe 2xy e )dy 二(ye )dx xd(ye ) = d(xye )2则 F(x,y) =xye •2,则-(e y )dx - (x y 2)dy =C【解析】由格林公式得2 2 2%e ydx +(x + y 2)dy = "(1 -2ye y )d<rD=d ； - SD则其面积S =2二.y 22故 ■- L e y dx (x y )dy 二 2 . 【例3】计算I(e x siny 「b(x y))dx • (e x cosy -ax)dy ,其中a,b 为正常数，C 为从点A(2a,0)沿曲线Cy = ■. 2ax - x 2 到点 O(0,0)的弧.【解析】补线段OA ，则I(e x sin y _b(x y))dx (e x cosy _ax)dyC OA-OA(e x sin y _b(x y))dx (e x cosy _ ax)dy2a= (e x cosy _a -e x cosy b)d ；「_ o (_bx)dx ，D2故 L ye y dx (xe2 2 2 2xy e y )dy 二 xye y(1,1)e .(0,0)2 2【例2】设C 为椭圆4x y -8x 沿逆时针方向其中D 是由4x 2 • y 2 =8x 围成的椭圆域,S 为其面积，海文钻石卡视频该椭圆方程可改写为2(X -1)2」1，4也可将路径改换为另一折线 0C 、CA ，其中C 点为（0,1）点，则2 21【解析】（1）C:x （y -1N ，由格林公式得1ydx -xdyir .(—i —i)d 二（这里用了格林公式）D i-2-:；2=_2二.注：由本题可看出，对线积分ydx-xdy y Q,P ~ 2 2 ,Qx y x 2 y 2—x— 2，除原点（0,0）夕卜，P,Q 有连续一阶偏导数, x y且― ■-Q,(x, (0,0).此时有以下结论: -X 2aI = (b -a)d 匚 b xdx =D(b - a) 2a 2b【例4】计算I”中2 21（DC 为x y -2八二的正向;⑵C 为4x 2 • y 2「8x 二4的正向.ag-x ■（其中D 为曲线C 所围圆域）2 2x -y x 22-y\((x 2y 2)^(x 2y 2)2 )d ；「-0.（2）C ：42yi ,此时不能直接用格林公式，因为在 （0,0）点条件不满足.因此，作以（0,0）为中心的圆8L: x 2y 2；2 （ ；0）且取顺时针方向，在 L 和C 大学考研围成的环形域上用格林公式得2 2x -y ydx - xdy _(_ 訂(/ 2 2、2D(x y )2 2x -y (x 2 y 2)2)d一0，xdx —xdy ■L x 2 y 2 :^^=0. x 2 y 2 [“ ydx-xdyydx -xdy C x 2y 2x 2 y 2其中D 为y =-』2ax -x 2与0A 围成的半圆域，则D1）沿任何一条不包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分为零 2 ）沿任何一条包含原点在内的分段光滑闭曲线的积分均相等 事实上，线积分这个类型.c【例 5 】计算 I = ［「（y ）cosx -二y ］dx ［「（y ）si nx -二］dy ,其中 AMB 弧为连结 A （二,2）与点 B （3二,4）的线段AMB【解析】= 2-(1 3二)2=2專 _2二（1 3二）=「6二AMB 『血3 3一飯『血dy兀x1一dxdy—3二(二1)dx二dx"二(x - y)dx+(x+y)dy (x + y)dx _(x _ y)dy xdy_ydxL x^ ，L ，_ I 2 2x_ y4x y x y AB 的下方的任意分段光滑简单曲线，且该曲线与大学考研线段 AB 所围图形面积为2,解法1补线段BA ，则AMB AMB'BA - BAAMBA-BA'AMBA Pdx Qdy「(3)d —ex cy!!^ - 2■:x直线BA 的方程为：y1，则 JIBAFCOSX -二 xx1(1)]dx [ (1) si nx-二]dxJIJI解法其中L 申(y)co xdx + 申(y)si nxdy =®(y)si nxAM B(3 二4)(二,2) =°顺时针方向。

计算第二型曲线积分的基本方法(一)计算第二型曲线积分的基本1. 什么是第二型曲线积分？第二型曲线积分是微积分中的一个重要概念，用于计算沿曲线的矢量场在曲线上的积分值。

它可以帮助我们理解和计算流体力学、电磁学等领域的相关问题。

2. 常用的计算方法参数方程法第一种常用的计算第二型曲线积分的方法是使用参数方程。

首先，我们需要将曲线表示为参数方程的形式，即x和y的函数关系。

然后，将矢量场的函数表达式中的x和y替换为参数方程的形式。

接下来，对参数t进行积分，计算得到曲线上的积分值。

标量场的方法第二种常用的计算方法是使用标量场。

将矢量场的函数表达式转化为标量字段的形式，再计算该标量场沿曲线的曲线积分。

这种方法常用于计算与位移、功率等有关的问题。

Green公式Green公式是计算第二型曲线积分的重要工具。

它将曲线积分转化为对曲线所围成的区域上的面积分。

利用这个公式，我们可以将曲线积分转化为更容易计算的面积分，进而求得答案。

Stokes公式Stokes公式是计算第二型曲线积分的另一个重要工具。

它将曲线积分转化为对曲线所围成的曲面上的面积分。

通过应用Stokes公式，我们可以将曲线积分转化为更容易计算的面积分问题。

3. 注意事项参数方程的选取在使用参数方程法计算第二型曲线积分时，需要选择一个合适的参数方程。

参数方程选取不当可能导致计算复杂度增加或无法得到正确的结果。

曲线的方向第二型曲线积分对曲线的方向敏感。

因此，在计算过程中要注意曲线的方向，并根据具体问题选择合适的曲线方向。

曲线的闭合性若曲线是闭合的，则可以利用Green公式或Stokes公式将曲线积分转化为面积分。

若曲线不闭合，则需要通过参数方程法或其他方法进行计算。

4. 总结第二型曲线积分是微积分中的重要概念，应用于多个领域中。

我们可以利用参数方程法、标量场的方法、Green公式和Stokes公式等多种方法对第二型曲线积分进行计算。

在实际计算过程中，需要注意参数方程的选取、曲线的方向和曲线的闭合性等因素。

曲线积分的计算曲线积分是微积分中的一个重要概念，用于计算沿曲线的函数的积分。

在本文中，我们将介绍曲线积分的概念、计算方法以及一些常见的应用。

一、什么是曲线积分曲线积分是指沿曲线对一个函数进行积分的过程。

它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中都有广泛的应用。

二、曲线积分的类型曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分。

第一类曲线积分是沿曲线对一个标量场进行积分，常用符号为∮f(s)ds。

第二类曲线积分是沿曲线对一个向量场进行积分，常用符号为∮F⋅dr。

三、第一类曲线积分的计算计算第一类曲线积分的方法有很多，其中一种常见的方法是参数化曲线。

设曲线C的参数方程为x = x(t)、y = y(t)，则曲线积分的计算步骤如下：1. 根据参数方程求得曲线C的切线向量r'(t)；2. 计算函数f(x, y)在曲线上的取值f(x(t), y(t))；3. 将r'(t)与f(x(t), y(t))相乘，得到积分被积函数；4. 确定积分的上下限，并按照常规积分的方法进行计算。

四、第二类曲线积分的计算对于第二类曲线积分，常用的计算方法有格林公式和斯托克斯定理。

格林公式适用于平面内的有向曲线，而斯托克斯定理适用于有向曲面的边界曲线。

1. 格林公式的计算设曲线C的参数方程为x = x(t)、y = y(t)，向量场为F = P(x, y)i +Q(x, y)j。

则曲线积分的计算步骤如下：1. 根据参数方程求得曲线C的切线向量r'(t)；2. 将向量场F与r'(t)进行点积运算，得到积分被积函数；3. 确定积分的上下限，并按照常规积分的方法进行计算。

2. 斯托克斯定理的计算对于有向曲面S的边界曲线C，设有向曲面的法向量为n，向量场为F = P i + Q j + R k。

则曲线积分的计算步骤如下：1. 计算曲线C的方向与曲面S的法向量的点积，得到积分被积函数；2. 确定积分的上下限，并按照常规积分的方法进行计算。

第二类曲线积分计算公式曲线积分是数学中的一种重要工具，它在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。

曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种类型，其中第二类曲线积分是较为复杂的一种。

本文将介绍第二类曲线积分的计算公式及其应用。

一、第二类曲线积分的定义第二类曲线积分是指沿着给定曲线进行积分，积分函数为一个向量场。

具体来说，设曲线C为一条光滑曲线，向量场F为一个连续可微函数，那么曲线C上的第二类曲线积分可以表示为：∫CF·ds其中，ds表示曲线C上的线元，F·ds表示向量F与ds的点积。

二、第二类曲线积分的计算公式计算第二类曲线积分的方法有很多种，其中最常用的方法是格林公式。

格林公式是一种将曲线积分转化为面积积分的方法，其公式为：∫CF·ds = D(Q/x - P/y)dA其中，D表示曲线C所包围的区域，P和Q为向量场F的两个分量。

格林公式的应用需要满足一定的条件，即向量场F在D内是连续可微的。

如果F在D内不满足这个条件，那么可以通过对D进行分割，将其分成若干个小区域，在每个小区域内应用格林公式，最后将结果相加得到整个区域D上的曲线积分。

三、第二类曲线积分的应用第二类曲线积分在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。

例如，在电磁学中，电场的环量可以用第二类曲线积分来表示。

在机械工程中，曲线积分可以用来计算沿着曲线的力的功，以及液体沿着管道流动的工作量。

在计算机科学中，曲线积分可以用来计算图像的边缘。

四、结语第二类曲线积分是数学中的一个重要工具，它在物理学、工程学、计算机科学等领域中有着广泛的应用。

本文介绍了第二类曲线积分的定义、计算公式及其应用。

在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的计算方法，以获得准确的结果。

第二型曲线积分计算公式在我们学习高等数学的旅程中，第二型曲线积分计算公式可是一个相当重要的家伙。

它就像是一把神奇的钥匙，能帮助我们打开很多难题的大门。

先来说说这第二型曲线积分到底是啥。

想象一下，你在一个弯弯曲曲的小路上跑步，每跑一段，你所感受到的力都不太一样。

而第二型曲线积分就是要计算在这样的曲线路径上，力所做的功。

比如说，有一个力 F = (x, y)，而曲线 C 是由参数方程 x = t^2，y = t^3 给出的，从 t = 0 到 t = 1 。

那这时候，咱们的第二型曲线积分计算公式就派上用场啦！它的公式是这样的：∫_C Pdx + Qdy = ∫(α→β) [P(x(t), y(t))x'(t) +Q(x(t), y(t))y'(t)]dt 。

这里面的 P 和 Q 是力在 x 和 y 方向上的分量，x'(t) 和 y'(t) 则是曲线参数方程的导数。

听起来是不是有点复杂？别担心，咱们来通过一个具体的例子感受感受。

有一次，我在给学生们讲解这个知识点的时候，有个同学就一脸懵地问我：“老师，这东西到底有啥用啊？”我笑了笑，跟他们说：“假设你是个勤劳的小蚂蚁，要沿着一根弯弯曲曲的树枝搬运食物。

你每前进一小段，都要克服不同方向和大小的阻力。

那你想知道自己总共花费了多少力气吗？这时候就得靠咱们的第二型曲线积分计算公式啦！”然后我们就一起做了一道题。

假设曲线 C 是由 x = cos(t)，y = sin(t) 给出的，从 t = 0 到t = π/2 ，力 F = (y, -x) 。

按照公式，先求出 x'(t) = -sin(t) ，y'(t) = cos(t) ，然后代入公式计算：∫_C Pdx + Qdy = ∫(0→π/2) [sin(t)(-sin(t)) + (-cos(t))cos(t)]dt= ∫(0→π/2) (-sin^2(t) - cos^2(t))dt= -∫(0→π/2) 1 dt= -π/2同学们恍然大悟，原来这个公式能这么清楚地算出小蚂蚁花费的力气呀！再深入想想，第二型曲线积分计算公式在物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

2019考研数学：第二类曲线积分的计算来源：文都教育曲线曲面积分的计算是高等数学中非常重要的一部分知识，在考研数学一中每年都会考查。

下面，文都教育的数学老师给2019考研的同学们总结一下一些考研数学经常用到的计算第二类曲线积分的基本方法，希望对同学们有些帮助。

（一）直接法（1）设有光滑曲线L:):(,)()(βα→⎩⎨⎧==t t y y t x x ，其起点和终点分别对应参数βα==t t ,，),(),,(y x Q y x P 在L 上连续，则dt t y t y t x Q t x t y t x P Qdy Pdx L ⎰⎰+=+βα)]('))(),(()('))(),(([这里的βα,谁大谁小无关紧要，关键是要和起点和终点分别对应。

（二）格林公式法设闭区域D 是分段光滑的曲线L 围成，函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有一阶连续偏导数，则有dxdy y P x Q Qdy Pdx D L ⎰⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=+，D 其中L 为D 取正向的边界曲线（所谓正向就是当沿曲线正向行走时，区域在左手边）。

但是考研数学中涉及到格林公式时，一般不能直接使用，是因为命题人会故意破坏格林公式的使用条件：L 不是封闭曲线，也就没有有界闭区域；虽然有有界闭区域，但),(),,(y x Q y x P 在D 上没有一阶连续偏导数。

这就要求同学们要学会使用“补线法”，补上一条或多条曲线，使得封闭出满足格林公式使用条件的有界闭区域。

（三）利用线积分与路径无关1. 理论依据：定理：设函数),(),,(y x Q y x P 在单连通区域D 上有一阶连续偏导数，则以下四条等价：（1） ⎰+L Qdy Pdx 与路径无关；（2）0=+⎰L Qdy Pdx ，其中L 为D 中任一分段光滑闭曲线；（3）y Px Q∂∂=∂∂（4）),(),(),(y x dF dy y x Q dx y x P =+2. 计算（1）改变积分路径：一般是沿平行于坐标轴的直线积分， ⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(x x y y y x y x dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P 或⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(x x y y y x y x dx y x P dy y x Q dy y x Q dx y x P 。

计算第二型曲线积分的基本方法计算第二型曲线积分的基本方法1. 引言第二型曲线积分是数学中的一项重要概念，应用广泛。

本文将详细介绍关于计算第二型曲线积分的基本方法，包括以下几种常见的方法：•参数法•直接法•Green公式2. 参数法参数法是计算曲线积分的一种常用方法。

具体步骤如下：1.将曲线用参数方程表示，即x=f(t)和y=g(t)。

2.求出曲线的切向量T=drdt3.将被积函数中的x和y用参数变量t表示。

4.计算被积函数与切向量的数量积，即F⋅drdt5.对上述数量积进行积分得到结果。

参数法是一种直观简单的计算方法，适用于曲线参数方程已知的情况。

3. 直接法直接法是计算曲线积分的另一种常用方法，适用于被积函数直接依赖于曲线上的点坐标。

具体步骤如下：1.将曲线方程改写为y=f(x)的形式。

2.计算曲线的切线斜率k。

3.将被积函数中的x表达式替换为x，dy替换为f′(x)dx。

4.将被积函数化简后进行积分得到结果。

直接法适用于被积函数能够直接与曲线方程对应起来的情况，并且在处理部分曲线积分问题时更加简便。

4. Green公式Green公式是计算曲线积分的一种常用方法，适用于曲线围成的区域为简单闭区域的情况。

具体步骤如下：1.根据Green公式，将曲线积分转化为面积分。

2.计算曲线围成的区域的面积分，即∬(∂Q∂x −∂P∂y)Ddxdy，其中P和Q为被积函数中的两个变量。

3.得到结果后，根据曲线的方向确定正负符号。

Green公式能够将曲线积分简化为面积分，适用于求解围成曲线的面积等问题。

5. 总结以上介绍了计算第二型曲线积分的三种基本方法：参数法、直接法和Green公式。

这些方法在不同的情况下有各自的适用性，掌握它们能够帮助我们更高效地解决曲线积分的计算问题。

希望本文能够对读者有所帮助。

计算第二型曲线积分的基本方法1. 引言第二型曲线积分是数学中的一项重要概念，应用广泛。

本文将详细介绍关于计算第二型曲线积分的基本方法，包括以下几种常见的方法：•参数法•直接法•Green公式2. 参数法参数法是计算曲线积分的一种常用方法。

曲线积分曲面积分公式总结曲线积分是在曲线上计算函数的积分，通常用来计算沿曲线的弧长、质量、电流等物理量。

曲线积分的公式为：1.第一类曲线积分：设曲线为C，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，函数为f(x, y, z)，则第一类曲线积分的公式为：∫[C] f(x, y, z) ds = ∫[a,b] f(r(t)) ||r'(t)|| dt其中，ds表示弧长元素，||r'(t)||表示曲线的切向量的模。

2.第二类曲线积分：设曲线为C，参数方程为r(t) = (x(t), y(t), z(t))，向量场为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，则第二类曲线积分的公式为：∫[C] F(x, y, z) · dr = ∫[a,b] F(r(t)) · r'(t) dt其中，·表示向量的点乘，dr表示位移向量，r'(t)表示曲线的切向量。

曲面积分是在曲面上计算函数的积分，通常用来计算流量、电通量等物理量。

曲面积分的公式为：1.第一类曲面积分：设曲面为S，参数方程为r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，函数为f(x, y, z)，则第一类曲面积分的公式为：∬[S] f(x, y, z) dS = ∬[D] f(r(u, v)) ||ru × rv|| du dv其中，dS表示面积元素，||ru × rv||表示曲面的法向量的模。

2.第二类曲面积分：设曲面为S，参数方程为r(u, v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))，向量场为F(x, y, z) = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))，则第二类曲面积分的公式为：∬[S] F(x, y, z) · dS = ∬[D] F(r(u, v)) · (ru × rv)du dv其中，·表示向量的点乘，dS表示面积元素，ru和rv分别表示曲面参数u和v方向的偏导数。

第二类曲线积分的计算定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),(也可记作⎰⎰+LLdy y x Q dx y x P ),(),( 或 ⎰⎰+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=则上述记号可写成向量形式:⎰⋅Ls d F .(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=AB Qdy Pdx W .第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二类曲线积分有 ⎰⎰-=BAAB,定积分是第二类曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二类曲线积分⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.与第一类曲线积分的区别首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是 第二类曲线积分就是1(,)(,)lim (,)(,)niiiiiili P x y dx Q x y dy P x Q y λξηξη→=+=∆+∆∑⎰ （1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的?s s ，?s s 是一小段弧的弧长，?s s 总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的x ,y坐标的增量?s s =s s −s s −1，?s s =s s −s s −1，?s s 与?s s 是可正可负的。

第二类曲线积分的计算作者：钟家伟 指导老师：X 伟伟摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。

关键词：第二类曲线积分 二重积分 参数积分 对称性原理 斯托克斯公式 第二类曲面积分1 引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。

1.1 第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。

1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。

2.1第二类曲线积分的物理学背景力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功一质点受变力()y x F ,的作用沿平面曲线L 运动,当质点从L 之一端点A 移动到另一端B 时,求力()y x F ,所做功W .大家知道,如果质点受常力F 的作用从A 沿直线运动到B ,那末这个常力F所做功为W =AB F ⋅. 现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?为此,我们对有向曲线L 作分割},,.....,,{110n n A A A A T -=,即在AB 内插入1-n 个分点,,.....,,121-n M M M 与A =n M B M =,0一起把曲线分成n 个有向小曲线段 i i M M 1-),,2,1(n i = ,记 小曲线段i i M M 1-的弧长为i S ∆.则分割},,.....,,{110n n A A A A T -=的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤.设力()y x F ,在x 轴和y 轴方向上的投影分别为),(y x P与),(y x Q ,那么()y x F ,=()),(),,(y x Q y x P j y x Q i y x P),(),(+=由于),,(),,(111i i i i i i y x M y x M ---则有向小曲线段i i M M 1-),,2,1(n i =在x 轴和y 轴方向上的投影分别为11---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x 与.记i i M M L 1- =),(i i y x ∆∆从而力()y x F ,在小曲线段i i M M 1-上所作的功i W ⋅≈),(i F ηξi i M M L 1- =()i i P ηξ,i x ∆+()i i Q ηξ,i y ∆其中(j i ηξ,)为小曲线段i i M M 1-上任一点,于是力()y x F ,沿L 所作的功可近似等于i W =∑=n i i W 1i ni i i i n i i i y s Q x S P ∆+∆≈∑∑==11),(),(ηη当0→T 时,右端积分和式的极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分.2.2 第二型曲线积分的定义设),(y x P ,),(y x Q 为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线AB L 上的函数,对AB L 任一分割T ,它把AB L 分成n 个小弧段i i M M 1-),,2,1(n i =；其中A =n M B M =,0.记各个小弧段i i M M 1-弧长为i s ∆,分割T 的细度为}{max 1i ni S T ∆=≤≤,又设T 的分点的坐标为),(i i i y x M ,并记11,---=∆-=∆i i i i i i y y y x x x ,),,2,1(n i = .在每个小弧段i i M M 1-上任取一点()i i ηξ,,若极限∑=→∆ni iiiT xP 1),(limηξ∑=→∆+ni iiiT yQ 1),(limηξ存在且与分割T 与点()i i ηξ,的取法无关,则称此极限为函数),(y x P ,),(y x Q 在有向线段AB L 上的第二类曲线积分,记为⎰+Ldy y x Q dx y x P ),(),(或 ⎰+ABdy y x Q dx y x P ),(),(也可记作⎰⎰+LLdy y x Q dx y x P ),(),( 或 ⎰⎰+ABABdy y x Q dx y x P ),(),(注：(1) 若记()y x F , =()),(),,(y x Q y x P ,()dy dx s d ,=则上述记号可写成向量形式:⎰⋅Ls d F .(2) 倘若L 为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(z y x P ,),,(z y x Q ,),,(z y x R 为定义在L 上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L 的第二类曲线积分,并记为dz z y x R dy z y x Q dx z y x P L),,(),,(),,(++⎰按照这一定义 , 有力场()),( , ),(),(y x Q y x P y x F =沿平面曲线L 从点A 到点B 所作的功为⎰+=ABQdy Pdx W .第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二型曲线积分有⎰⎰-=BAAB,定积分是第二型曲线积分中当曲线为x 轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场()),,( , ),,( , ),,(),,(z y x R z y x Q z y x P z y x F =沿空间曲线AB L 所作的功. 为空间曲线AB L 上的第二型曲线积分⎰++ABdz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,(.2.1 对坐标的第二类曲线积分的概念设函数在平面P(x ，y)上的一条光滑（或分段光滑）曲线上有定义且有界，用分点将曲线L 从起点A 到B 分为n 个有向小弧的长度，作和式 。

偶函数第二类曲线积分偶函数第二类曲线积分是微积分中的一种常见积分方法，主要用于计算曲线与直线的交点处的面积。

这里，我们将探讨偶函数第二类曲线积分在实际应用中的重要性。

偶函数第二类曲线积分的基本概念如下：设我们有一个定义在区间$[a,b]$上的偶函数$f(x)$，它在该区间上的一个原点为对称中心。

我们需要计算的是$f(x)$与$g(x)=x^2$在区间端点处的函数值之和与$g(x)$在区间中点处的函数值之差的差值。

换句话说，我们需要计算的是$f(x)$与$g(x)$在区间$[a,b]$上的函数值之和的差值与$g(x)$在区间中点处的函数值之差的差值。

这个概念来源于物理学中研究曲线的面积问题。

在一个简单的电学问题中，我们常常需要计算一个规则电容器的电容值。

这个电容器的两个端点与一个电容器上的两个不同电压有关。

我们可以用偶函数第二类曲线积分来计算这个电容器的电容值。

偶函数第二类曲线积分在实际应用中有着广泛的应用，特别是在计算曲线与直线的交点处的面积时。

例如，在医学影像学中，医生常常需要计算一个曲面与一个平面之间的面积。

这时，我们可以用偶函数第二类曲线积分来计算这个面积。

接下来，我们将讨论如何用偶函数第二类曲线积分来计算一个曲面与一个平面之间的面积。

假设我们有一个定义在区间$[a,b]$上的函数$f(x)$，它在该区间上的一个原点为对称中心，另一个定义在区间$[c,d]$上的函数$g(x)$，它在该区间上的一个原点为对称中心。

我们需要计算的是$f(x)$与$g(x)$在区间$[a,b]$上的函数值之和的差值与$g(x)$在区间$[c,d]$上的函数值之差的差值。

这时，我们可以用偶函数第二类曲线积分来计算这个差值。

总之，偶函数第二类曲线积分在实际应用中具有重要的作用。

在各种研究领域，如物理学、工程学、医学影像学等，偶函数第二类曲线积分都具有广泛的应用价值。

通过深入研究偶函数第二类曲线积分，我们可以更好地理解曲线与直线的交点处的面积，从而为实际应用提供有益的启示。