初二数学-三角形全等的判定

初二数学

第2课时 三角形全等的判定（1）

教 学

目 标 1．三角形全等的“边边边”的条件．

2．了解三角形的稳定性．

3．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．

教学重点 通过观察和实验获得SSS，会运用SSS条件证明两个三角形全等．

教学难点 寻求三角形全等的条件．

教 学 互 动 设 计 设计意图

一、创设情境 导入新课

【问题1】已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角．

图中相等的边是： ．

相等的角是： ．

【问题2】你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？

（可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数，再作出一个三角形使它的边、角分别和已知的三角形纸片的对应边、对应角相等．这样作出的三角形一定与已知的三角形纸片全等）．

这是利用了全等三角形的定义来作图．那么是否一定需要六个条件呢？条件能否尽可能少呢？现在我们就来探究这个问题．

使学生明确两个三角形满足六个条件就能保证三角形全等．

二、合作交流 解读探究

【探究1】满足什么条件的两个三角形全等？

1．只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），•画出的两个三角形一定全等吗？

2．给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件做一做．

①三角形一内角为30°，一条边为3cm．

②三角形两内角分别为30°和50°．

③三角形两条边分别为4cm、6cm．

提出问题，明确探究方向，激发探究欲望．

A

C B D

F E

教师引导学生探究：

通过画图发现，满足六个条件中的一个或两个，两个三角形不一定全等．

【探究2】下面我们来观察一个三角形的平移过程，在观察中请你体会如果两个三角形的三边对应相等，这两个三角形是否全等．

我们看到平移前后三角形的三条线段的长度没有改变，反过来，如果两个三边对应相等，我们将其叠合，会发现两个三角形完全重合．

【思考】你如何验证你的结论呢?（请每两个同学一组合作，先任意画一个三角形，然后再画一个三角形使其与前三角形的三边对应相等，并将所画的三角形裁剪下来与前三角形重叠，看看有什么结果．）

提醒学生注意：已知三边画三角形是一种重要的作图，在几何中用途很多，所以这种画图方法一定要掌握．

通过观察和实验，我们得到一个规律：

三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．

我们在前面学习三角形的时候知道：用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，•而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的稳定性．所以日常生活中常利用三角形做支架．就是利用三角形的稳定性．•例如屋顶的人字梁、大桥钢架、索道支架等．

用上面的规律可以判断两个三角形全等．判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．所以“SSS”是证明三角形全等的一个依据． 学会观察，培养学生分析、探究问题的能力．

使学生明确：判定两个三角形全等至少需要三个条件．

三、应用迁移 巩固提高

【例1】如图，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连结点A与BC中点D的支架．

求证：△ABD≌△ACD．

[分析]要证△ABD≌△ACD，可以看这两个三角形的三条边是否对应相等．

证明：

【例2】如图，已知AC=FE、BC=DE，点A、D、B、F在一条直线上，AD=FB．要用“边边边”证明△ABC≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？

DCBAFDCBEA四、总结反思

拓展升华

本节课我们探索得到了三角形全等的条件，•发现了证明三角形全等的一个规律SSS．并利用它可以证明简单的三角形全等问题．

五、课堂作业

P15 1 2

教学理念/反思

第3课时 三角形全等的判定（2）

教 学

目 标 1、会用尺规作一个角等于已知角，并了解它在尺规作图中的简单应用。

2、掌握作已知角的平分线的方法及步骤。

教学重点 用尺规作一个角等于已知角，作已知角的平分线。

教学难点 规范使用尺规，规范使用作图语言，规范的按照步骤作出图形。

教 学 互 动 设 计 设计意图

一、创设情境 导入新课

前面我们用量角器画一个角等于已知角和画一个已知角∠AOB的平分线OC，怎样用尺规来作一个角等于已知角和作已知角的平分线呢？ 由具体的问题引入，激发学生的学生兴趣

二、合作交流 解读探究

【问题1】作一个角等于已知角。

已知如图，∠AOB

求作：∠A’O’B’，使∠A’O’B’＝ ∠AOB

教师在黑板上作图，同时写出作法：

 作射线O’A’。

 以O点为圆心，以任意长为半径画弧，交OA于点C，交OB于点D。

 以O’为圆心，以OC长为半径画弧，交O’A’于点C。

 以C’为圆心，以CD长为半径画弧，交前面的弧于点D’。

 过点D’作射线O’B’， ∠A’O’B’ 就是所求作的角。

学生探索作图方法

通过示范，使学生明白如何利用尺规作一个角等于已知角。 只用无刻度的直尽和圆规作图的方法称为尺规作图。

问：你能验证你所作的角与已知角相等吗？

【问题2】作一个已知角∠AOB的平分线OC。

分析：假如∠AOB的平分线OC已经画出，在前面角的平分线的研究中，我们用折线的实验发现：如果有OE=OD，那么CE=CD．这个实验也启发我们：如果有OE=OD，CE=CD，那么OC平分∠AOB吗？

用“SSS”公理易证△OEC≌△ODC，∠EOC=∠DOC，即OC平分∠AOB．于是容易看出，要作∠AOB的平分线OC，在于怎样才能找到起关键作用的点C？

怎样确定点C呢？不难看出，为了确定C点，必须先找点E、D．以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E，那么OD=OE吗？再分别以D、E为圆心，适当的长度为半径作弧，设两弧交于点C，那么CD=CE吗？而D、E为圆心，“适当”的长度为半径作弧，两弧有一交点时，怎样的长度才“适当”呢？

已知：∠AOB，如图

求作：射线OE，使∠AOE=∠BOE．

作法：(1)在OA和OB上，分别截取OC、OD，使OC=OD．

（2）分别以C、D为圆心，大于1/2CD的长为半径作弧，在∠AOB内，两弧交于点E．

（3）作射线OE．

OE就是所求的射线．

三、应用迁移 巩固提高

【例1】已知∠AOB，利用尺规作∠A’O’B’，使∠A’O’B’=2∠AOB

【例2】如图，已知AD=AE，PD=PE，能否判定∠DAP=∠PAE？请写出证明过程。

【练习】课本Р8 练习 学生动手操作，教师加以指导，在具体的操作中巩固作法。

利用全等证明角相等的应用。

四、总结反思 拓展升华

本节课我们主要学习了用尺规作一个角等于已知角和平分已知角，要会用自己的语言来书写作法，并要了解作一角等于已知角和平分已知角在尺规作图中的简单应用。

五、课堂作业

A B

C D

E P 教学理念/反思

第4课时 三角形全等的判定（3）

教 学

目 标 1．三角形全等的“边角边”的条件．

2．经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、•归纳获得数学结论的过程．

3．能运用“SＡS”证明简单的三角形全等问题．

教学重点 会用“边角边”证明两个三角形全等。

教学难点 会正确运用“SAS”判定定理，在实践观察中正确选择判定三角形的方法。

教 学 互 动 设 计 设计意图

一、创设情境 导入新课

我们已经知道三条边对应相等的两个三角形全等，那么除此之外还有没有其它方法可以判定两个三角形全等？我们来看下面的问题：

如图，AC、BD相交于O，AO、BO、CO、DO的长度如图所标，△ABO和△CDO是否能完全重合呢？

不难看出，这两个三角形有三对元素是相等的：

AO＝CO，∠AOB＝∠COD，BO＝DO．

如果把△OAB绕着O点顺时针方向旋转，因为OA＝OC，所以可以使OA与OC重合；又因为∠AOB ＝∠COD， OB＝OD，所以点B与点D重合．这样△ABO与△CDO就完全重合．

从上面的例子可以引起我们猜想：如果两个三角形有两边和它们的夹角对应相等，那么这两个三角形全等．

二、合作交流 解读探究

上述猜想是否正确呢？不妨按上述条件画图并作如下的实验：

活动1：画△ABC，∠B=60°，BC=7cm，AB=5cm,用剪刀剪下来，看一下同桌的两个同学的图形能否完全重合。引导学生去观察所画的边与角有什么特殊关系

由活动1：让学生去猜想并归纳出“SAS”定理。

边角边判定定理：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）

活动2：在△ABC与△A＇B＇C＇中，若AB=A＇B＇AC=A＇C＇∠B=∠B＇,观察△ABC与△A＇B＇C＇是否全等。（强化类比“SAS”）由学生观察总结出“边角边”不一定能判定两三角形全等。所以“SAS”定理一定是两边及两边的夹角对应相等才能判定两三个角全等。