结构力学(1)龙驭球第七章位移法

§7–3 无侧移刚架的计算如果刚架的各结点（不包括支座）只有角位移而没有线位移，这种刚架叫做无侧移刚架。

连续梁的计算也属于无侧移问题。

小结：位移法的基本作法是先拆散，后组装。

组装的原则有二：首先，在结点处各个杆件的变形要协调一致；其次，装配好的结点要满足平衡条件。

例7-1 作图示刚架弯矩图。

§7–4 有侧移刚架的计算刚架分为无侧移和有侧移两类。

有侧移刚架除有结点转角外，还有结点线位移。

计算有侧移刚架的基本思路与无侧移相同，具体做法上增加了一些新内容：（1）在基本未知量中，要包括结点线位移；（2）在杆件计算中，要考虑线位移的影响；（3）在建立基本方程时，要增加与结点线位移对应的方程。

1 基本未知量的选取结点角位移：刚结点、刚绞结点的刚结点部分。

结点线位移：位移法中忽略轴力对变形的影响。

如何确定独立线位移？观察法只有一个线位移，只有一个线位移，有两个线位移，全部未知量有两个全部未知量有一个全部未知量有三个铰结体系法原结构的独立结点线位移的数目=铰结体系的自由度数=为了使此铰结体系成为几何不变而需添加的链杆数。

小结：1、用位移法计算有侧移刚架时，基本未知量包括结点转角和独立结点线位移。

2、结点转角的数目等于刚结点的数目，独立结点线位移的数目等于铰结体系的自由度的数目。

3、在选取基本未知量时，由于既保证了刚结点处各杆杆端转角彼此相等，又保证了各杆杆端距离保持不变，满足变形连续条件。

小结：位移法的基本方程都是根据平衡方程得出的。

基本未知量中每一个转角有一个相应的结点力矩平衡方程，每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程。

平衡方程的个数与基本未知量的个数彼此相等，正好解出全部基本未知量。

例7-2 作图示刚架弯矩图。

忽略横梁的轴向变形。

例7-3 作图示刚架内力图。

2．由荷载求固端弯矩2．由荷载求固端弯矩2．由荷载求固端弯矩载常数：荷载作用下的固端弯矩和固端剪力。

三种基本杆件（1）两端固定的梁；（2）一端固定、另一端简支的梁； （3）一端固定、另一端滑动支承的梁。

第7章位移法7.1 复习笔记本章重点介绍了位移法的原理以及如何运用位移对超静定结构在各种荷载作用下的内力和位移进行求解。

位移法和力法像一幅对联，是超静定结构分析中的两个基本方法。

力法通过撤除多余约束达到简化计算的目的，而位移法通过添加约束达到此目的。

此外，二者对偶关系总结如下：力法：虚设单位力——求结构柔度——利用变形协调——求解未知约束力——算出结构内力。

位移法：虚设单位位移——求结构刚度——利用受力平衡——求解未知位移——算出结构内力。

两种方法殊途同归，在结构计算中应该综合考虑结构特点和求解目标选取合理的手法，使结构计算更加方便、快捷、准确。

一、位移法的基本概念（见表7-1-1）表7-1-1 位移法的基本概念二、杆件单元的形常数和载常数——位移法的前期工作采用位移法对刚架的等截面杆件进行分析时，杆件端部弯矩受两方面影响：①杆端位移产生的杆端弯矩——形常数；②外荷载产生的固端弯矩——载常数。

1．由杆端位移求杆端内力——形常数（见表7-1-2）表7-1-2 由杆端位移求杆端内力——形常数图7-1-12．由荷载求固端内力——载常数荷载作用下的杆端弯矩和杆端剪力，称为固端弯矩和固端剪力。

由于它们是只与荷载形式有关的常数，所以又称载常数，不同支座形式下杆件的固端弯矩和剪力值见表7-1-3。

表7-1-3 等截面杆件的固端弯矩和剪力三、位移法解无侧移刚架（见表7-1-4）表7-1-4 位移法解无侧移刚架四、位移法解有侧移刚架（表7-1-5）表7-1-5 位移法解有侧移刚架图7-1-2五、位移法的基本体系（见表7-1-6）表7-1-6 位移法的基本体系图7-1-3图7-1-4图7-1-5图7-1-6六、位移法解对称结构（见表7-1-7）表7-1-7 位移法解对称结构。

结构力学第7章课后答案（第四版龙驭球）练习题解答第1题题目：一个细长的圆柱形杆AB，长度为L=2L，直径为L=0.01L。

材料的弹性模量为L=200LLL。

杆的一端A固定，另一端B受集中力L=1000L作用在上面。

计算该杆在受力处的应变和应力。

解答：根据杨氏定律，杆的应力$\\sigma$和应变$\\varepsilon$之间的关系为：$$\\sigma = \\varepsilon \\cdot E$$应力可以通过受力和截面面积计算，公式为：$$\\sigma = \\frac{P}{A}$$应变可以通过杆的伸长量计算，公式为：$$\\varepsilon = \\frac{\\Delta L}{L}$$杆的伸长量$\\Delta L$可以通过杆的应变和长度计算，公式为：$$\\Delta L = \\varepsilon \\cdot L$$因为杆是圆柱形状，所以截面积L和直径L之间的关系为：$$A = \\frac{\\pi \\cdot d^2}{4}$$代入上述公式，可以得到应变和应力的计算公式：$$\\varepsilon = \\frac{\\Delta L}{L} = \\frac{P \\cdot L}{A \\cdot E}$$$$\\sigma = \\varepsilon \\cdot E = \\frac{P \\cdotL}{A}$$带入已知数据进行计算，可得：$$A = \\frac{\\pi \\cdot (0.01)^2}{4} \\approx 7.85\\times 10^{-5}m^2$$$$\\varepsilon = \\frac{1000 \\cdot 2}{7.85 \\times 10^{-5} \\cdot 200 \\times 10^9} \\approx 0.039$$$$\\sigma = \\varepsilon \\cdot E = 0.039 \\cdot 200\\times 10^9 \\approx 7.8 \\times 10^9 Pa$$所以该杆在受力处的应变约为0.039，应力约为7.8GPa。

结构力学第七章位移法1.引言结构力学是研究结构受力、变形和稳定性的力学分支。

在结构力学中，位移法是一种重要的分析方法，用于求解结构的变形和应力分布。

2.位移法的基本原理位移法是基于以下两个基本原理：（1）弹性体的受力状态可通过满足平衡条件来确定；（2）位移场的连续性条件，即位移场在结构内部要处处连续，边界上要满足给定的边界条件。

3.位移法的基本步骤位移法的基本步骤如下：（1）建立结构的受力模型，包括结构的材料性质、几何形状和边界条件等；（2）选取适当的位移函数形式，以确定位移场；（3）利用平衡方程和满足位移场连续性条件的边界条件，求解未知的位移和受力分布；（4）利用位移和受力分布计算结构的变形和应力分布。

4.位移法的应用位移法广泛应用于各种结构的力学分析，特别是对于复杂的非线性和不规则结构，位移法是一种常用的分析方法。

以下是一些常见的应用：（1）梁的挠曲分析：位移法可以用来求解梁的挠曲问题，通过选取合适的位移函数形式，可以得到梁的弯曲形状和弯矩分布。

（2）柱的稳定性分析：位移法可以用来求解柱的稳定性问题，通过选取合适的位移函数形式，可以得到柱的稳定性临界载荷和稳定形状。

（3）桁架结构的分析：位移法可以用来求解桁架结构的强度和刚度，通过选取合适的位移函数形式，可以得到桁架结构的内力和变形。

（4）地基基础的分析：位移法可以用来求解地基基础的变形和应力分布，通过选取合适的位移函数形式，可以得到地基基础的沉降和周边土体的应力分布。

5.位移法的优缺点位移法作为一种结构力学的分析方法，具有以下优点：（1）位移法适用于各种结构的力学分析，可以求解复杂的非线性和不规则结构问题；（2）位移法具有较强的适用性和灵活性，可以根据实际情况选取不同的位移函数形式；（3）位移法的计算步骤相对简单，易于实现。

然而，位移法也存在一些缺点：（1）位移法需要选取适当的位移函数形式，这对分析结果的准确性有较大影响；（2）位移法的计算过程较为繁琐，需要手动推导和求解方程组，耗费时间和精力。

位移法1.概述力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。

力法在19世纪末就已经应用于各种超静定结构的分析。

随后，由于钢筋混凝土结构的出现，大量高次超静定刚架逐渐增多，如果仍用力法计算将十分麻烦。

于是20世纪初又在力法的基础上建立了位移法。

力法的基本思路是先解除超静定结构上的多余约束，代之以多余未知力，以多余未知力为基本未知量，一般取静定结构为基本结构进行计算。

利用位移协调条件建立力法基本方程，求出多余未知力，然后进一步求出结构的内力。

位移法的基本思路和力法相反。

位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，以单跨超静定梁为计算的基本单元。

先设法确定出单根杆件的杆端内力，用杆端位移来表示，这些杆端位移应与其所在结点的其他杆端位移相协调。

然后用力的平衡条件建立位移法基本方程，确定出未知的结点位移,从而进一步求出整个结构的内力。

为了说明位移法的基本概念，我们来分析图1a所示的刚架位移。

（a）原结构（b）基本结构图1在荷载作用下，刚架产生的变形如途中虚线所示，设结点B 的转角为1∆，根据变形协调条件可知，汇交于结点B 的BA 杆、BC 杆两杆端也该有同样的转角1∆。

为了简化计算，在受弯杆件中，忽略杆件的轴向变形和剪切变形的影响，假设弯曲变形很小，因此可以假定结构变形后受弯杆件的两端之间的距离不变。

根据这些假定，B 结点就只有角位移没有线位移。

这样1b B 我们将第一步和第二步的结果叠加，得到的基本结构的变形和原结构一致。

我们注意到原结构在B 点并没有附加刚臂，也不存在约束力矩，所以可得11F ＋P F 1＝0 （1）这里的11F 是基本结构在B 点发生转角1∆时，产生在附加刚臂中的反力矩。

用11k 来表示基本结构在B 点处发生单位转角1∆＝1时，产生在附加刚臂中的反力矩，则式（1）可以写成01111=+∆P F k （2）式(2)我们称为位移法基本方程。

11k 、P F 1我们可以用上一章学习的力法确定，然后我们可求出1∆，进而求出原结构的全部内力。