5_6三角函数的图像和性质

锐角三角函数公式

sin α=∠α的对边 / 斜边

cos α=∠α的邻边 / 斜边

tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边

cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边

倍角公式

Sin2A=2SinA?CosA

Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1

tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）

（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ）

三倍角公式

sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)

cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)

tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)

三倍角公式推导

sin3a

=sin(2a+a)

=sin2acosa+cos2asina

辅助角公式

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中

sint=B/(A^2+B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2+B^2)^(1/2)

tant=B/A

Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2

cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))

推导公式

tanα+cotα=2/sin2α

tanα-cotα=-2cot2α

1+cos2α=2cos^2α

1-cos2α=2sin^2α

1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2

=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina

【作业表单2：单元学习主题设计及检验提示单】

单元学习主题 三角函数的图像和性质

设计意图说明 新课程标准倡导积极主动、勇于探索的学习方式， 把学习的主动权还给学生。以此为宗旨，我采用自主学习、合作探究方法， 引导学生自主学习、探究学习，努力做到教法、学法的最优组合，并体现 以下几个特点：

（1）苏霍姆林斯基说过：“在人的内心深处，都有一种根深蒂固的需 要，那就是希望自己是一个发现者和探索者.”本节课正是抓住学生的这 一心理需求，充分利用互动工具，让学生动手实践、思考探索，合作交流， 真正意义上做到尊重学生的创造性，挖掘学生的潜力，让他们对整个学习 过程充满激情，快乐学数学。

（2）注重信息反馈，坚持师生间的多向交流。当学生接触新知—周 期性、单调性、值域等性质时以及利用性质画出图象时，要引导学生多思、 多说、多练，要充分暴露他们所遇到的知识障碍，并在师生之间的多向交 流中，不断的得到解决，使知识深化。

学习单元的

课时框架 学科领域 （在内打 √ 表示主属学科，打 + 表示相关学科）

思想品德

音乐

化学

﹢信息技术

劳动与技术 语文

美术

生物

科学

√数学

外语

历史

社区服务 体育

物理

地理

社会实践

其他（请列出）：

适用年级 高中一年级

所需时间 共4课时

主题单元概述 (简述单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，解释专题的划分和专题之间的关系，主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500)

本单元主要研究的是三角函数的图像与性质，这部分内容是高一函数学习中的一部分，它是联系几何与代数的桥梁,沟通初等数学和高等数学的一条通道；就中观层面分析，本单元的内容是三角知识中的重点部分之一，也是解决数学问题和利用数学知识解决实际问题的有效工具。

主题单元分为三个专题，专题一、如何利用单位圆作正弦函数图像?如何作函数简图?通过观看电子文稿和小组讨论得到作图的方法，特别是掌握作简图的方法；专题二、正、余弦函数和正切函数的性质是怎样的？利用图像研究函数基本性质，通过对图像的观察，分小组研究各函数的相关性质，并能用所学知识进行简单证明；专题三、、、A的物理意义及其对)sin(xAy图像的影响如何呢？重点通过学生自主学习的形式，利用几何画板探索三个量的作用。该主题单元学习主要体现在学生的学习方式上从以往的从性质研究图像转变为由图像自主研究性质的形式，突出学生利用多媒体演示和几何画板等工具自主探索、主动学习的过程,使学生进入一种更开放的学习状态中。

三角函数的图像

考点回顾：

三角函数图象：

y＝tanx y＝cotx

函数y＝Asin（ωx＋φ）的物理意义：

振幅|A|，周期2||T，频率1||2fT，相位;x初相（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），

三角函数图象的作法：

1.几何法（利用三角函数线）

2. 描点法：五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.

3.利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等，重点掌握函数

y＝Asin（ωx＋φ）+b（0,0A）的作法．

（1）振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A（A>0）替换y）由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当A＞1）或缩短（当0＜A＜1）到原来的A倍，得到y＝Asinx的图象.

（2）周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用ωx（0）替换x)由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜ω＜1）或缩短（ω＞1）到原来的1倍，得到y＝sinω x的图象.

（3）相位变换或叫做左右平移．(用x＋φ替换x)由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象.

（4）上下平移（用y+(-b)替换y）由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象.

注意：由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）+B（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量的区别。 y=cosxy=sinx-11-11ooyxyx例1：函数),2,0)(sin(RxxAy的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）

函数y=Asin(ωx+)的图象和性质

·【知识要点归纳讲解】

1、正、余弦函数的图像和性质

________________________ _________________________

(k∈Z)

（1）定义域:________________； （1）定义域:________________；

（2）值 域:________________； （2）值 域:________________；

（3）奇偶性:________________； （3）奇偶性:________________；

（4）单调性: （4）单调性:

①递增区间:________________； ①递增区间:________________；

②递减区间:________________； ②递减区间:________________；

（5）周期性:________________； （5）周期性:________________；

（6）对称性: （6）对称性:

①对称中心：_______________； ①对称中心：_______________；