【中职数学】5.6三角函数的图像与性质

高一数学三角函数的图像性质

1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sinyx和余弦函数cosyx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx

1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx

2、正弦函数sin()yxxR、余弦函数cos()yxxR的性质：

（1）定义域：都是R。

（2）值域：都是1,1；①对sinyx，当22xkkZ时，y取最大值1；当322xkkZ时，y取最小值－1；②对cosyx，当2xkkZ时，y取最大值1，当2xkkZ时，y取最小值－1。

3、周期性：①sinyx，cosyx的最小正周期都是2；②()sin()fxAx和()cos()fxAx的最小正周期都是2||T。

4、奇偶性、对称性与单调性：

奇偶性与单调性：

①正弦函数sin()yxxR是奇函数，对称中心是,0kkZ，对称轴是直线2xkkZ；②余弦函数cos()yxxR是偶函数，对称中心是,02kkZ，对称轴是直线xkkZ；（正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。

单调性：

①sin2,222yxkkkZ在上单调递增，在32,222kkkZ单调递减；

②cosyx在2,2kkkZ上单调递减，在2,22kkkZ上单调递增。

三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结

知识点讲解

1.“五点法”作图原理

在确定正弦函数])2,0[(sinxxy的图像时，起关键作用的5个点是)0,2(),1,23(),0,(),1,2(),0,0(.

在确定余弦函数])2,0[(cosxxy的图像时，起关键作用的5个点是)1,2(),0,23(),1,(),0,2(),1,0(.

2.三角函数的图像与性质

sinyx cosyx

在0,2上

的图像

定义域 , ,

值域（有界性） 1,1 1,1

最小正周期

（周期性） 2 2

奇偶性（对称性） 奇函数 偶函数

单调增区间 2,222kkkZ 2,2kkkZ

单调减区间 32,222kkkZ 2,2kkkZ

对称轴方程 2xkkZ xkkZ

对称中心坐标 ,0kkZ ,02kkZ

最大值及对应自变量值 22xk时maxsin1x 2xk时maxcos1x

最小值及对应自变量值 322xk时minsin1x 2xk时mincos1x

xyO112xyO112functionstips函数 正切函数tan,2yxxk

图像

定义域 |,2xxkkZ

值域 ),(

周期性 T

奇偶性 奇函数，图像关于原点对称

单调性 在(,),()22kkkZ上是单调增函数

对称轴 无

对称中心 ,0 ()2kkZ

3.)sin(wxAy与)0,0)(cos(wAwxAy的图像与性质

（1）最小正周期：wT2.

第4章 三角函数

课题4.5 三角函数的图像和性质

【教学目标】

1．正弦函数的图像和性质。

2．余弦函数的图像和性质。

3．正切函数的图像和性质。

【教学重点】

正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质。

【教学难点】

正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质。

【教学设计】

首先讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的图像，然后结合图像介绍这三种函数的性质，最后通过例题与练习巩固相关知识。

【教学设备】

电脑、投影仪。

【教学时间】

2课时（90 min）。

【教学过程】

环节 教学内容 教师

活动 学生活动 设计意图

新课讲解 一、正弦函数的图像和性质

我们把正弦函数sinyx在区间[02]，上的图像向左或向右平移246，，，…个单位，就可以得到sinyx在R上的图像．正弦函数的图像称为正弦曲线．

由正弦曲线可知，正弦函数sinyx主要具有如下性质：

（1）定义域

正弦函数sinyx的定义域为R，即()，∞∞．

（2）值域

正弦函数sinyx的值域为[11]，．

正弦曲线夹在直线1y和1y之间，即对于任意的实数x，都有|sin|1x成立，函数的这种性质称为有界性．正弦函数是R上的有界函数．

（3）周期性

一般地，对于函数()yfx，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域D内的每一个值时，都有xTD，并且()()fxTfx成立，那么函数()yfx称为周期函数，非零常数T称为这个函数的一个周期．

（4）奇偶性

正弦曲线关于原点O中心对称，因此正弦函数

讲解

说明

理解

记忆

思考

理解

讲解正弦函数的图像

讲解正弦函数的性质

sinyx是奇函数．

（5）单调性

根据周期性可知，正弦函数在每一个区间[22]22kk，

()kZ上都是增函数，其函数值由1增大到1；在每一个区间3[22]()22kkkZ，上都是减函数，其函数值由1减小到1．

数学必修4——三⾓函数的图像与性质

数学必修4——三⾓函数的图像与性质

⼀. 教学内容：

三⾓函数的图像与性质 ⼆. 教学⽬标： 了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会⽤“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ）的简图，理解A、ω、φ的物理意义。 三. 知识要点： 1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2. 三⾓函数的单调区间： 的递增区间是， 递减区间是； 的递增区间是， 递减区间是 的递增区间是， 3. 函数 最⼤值是，最⼩值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中⼼。 4. 由y＝sinx的图象变换出y＝sin（ωx＋）的图象⼀般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活地进

⾏图象变换。 利⽤图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.⽆论哪种变形，请切记每⼀个

变换总是对字母x⽽⾔，即图象变换要看“变量”起多⼤变化，⽽不是“⾓变化”多少。 途径⼀：先平移变换再周期变换（伸缩变换） 先将y＝sinx的图象向左（＞0）或向右（＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍

（ω＞0），便得到y＝sin（ωx＋）的图象。 途径⼆：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。 先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），再沿x轴向左（＞0）或向右（＜0，平移个单

位，便得到y＝sin（ωx＋）的图象。 5. 对称轴与对称中⼼： 的对称轴为，对称中⼼为； 的对称轴为，对称中⼼为； 对于和来说，对称中⼼与零点相联系，对称轴与最值点相联系。 6. 五点法作y=Asin（ωx+）的简图：

五点法是设X=ωx+，由X取0、、π、、2π来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。

【典型例题】

例1. 把函数y=cos（x+）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，则的最⼩值是（ ）A. B. C. D. 解：解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利⽤偶函数的性质求解。