5 三角函数的图像与性质(1)

1.3.2 三角函数的图像与性质(5)

一、课题：正切函数的图象和性质（1）

二、教学目标：1．了解利用正切线画出正切函数图象的方法；

2．了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题；

3．掌握正切函数的性质。

三、教学重、难点：1．正切函数图象的作法；2．正切函数的性质。

四、教学过程：

（一）复习：

问题：正弦曲线是怎样画的？

（二）新课讲解：

1．正切函数tanyx的定义域是什么？ zkkxx,2|

2．正切函数是不是周期函数？

tantan,,2xxxRxkkz且，

∴是tan,,2yxxRxkkz且的一个周期。

是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。

3．作tanyx，x2,2的图象

说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；

（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数

Rxxytan，且zkkx2的图象，称“正切曲线”。 x y2

2

（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线2xkkZ所隔开的无穷多支曲线组成的。

4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：

（1）定义域：zkkxx,2|；

（2）值域：R

观察：当x从小于zkk2，2kx时，tanx

当x从大于zkk2，kx2时，xtan。

（3）周期性：T；

（4）奇偶性：由xxtantan知，正切函数是奇函数；

（5）单调性：在开区间zkkk2,2内，函数单调递增。

思考：

例：求函数tan4yx的定义域。 答案：,4xxkkZ．

35 响水二中高三数学（理）一轮复习学案 第四编 三角函数及三角恒等变换 主备人 张灵芝 总第18期

§4.3 三角函数的图像与性质

班级 姓名 等第

基础自测

1.①在(0,2)上递减；②以2为周期；③是奇函数.

写出一个同时满足上述条件的函数 （写出一个你认为正确的即可）.

2.（2009·东海高级中学高三调研）将函数y=sin32x的图象先向左平移3,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为 .

3.设函数y=acosx+b（a、b为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acosx+bsinx的最大值是 .

4.函数y=|sinx|的一个单调增区间是 （写出一个即可）.

5.（2008·全国Ⅱ理）若动直线x=a与函数f(x)=sinx和g(x)=cosx的图象分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为 .

例题精讲

例1 求下列函数的定义域：

（1）y=lgsin(cosx); (2)y=xxcossin.

例2 求下列函数的值域：

（1）y=xxxcos1sin2sin; (2)y=sinx+cosx+sinxcosx; (3)y=2cos3+2cosx.

例3求函数y=2sinx4的单调区间.

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巩固练习

1.求f(x)=)2cos(21x的定义域和值域.

2.已知函数f(x)=xxx2cos1cos3cos224,求它的定义域和值域，并判断它的奇偶性.

3.（1）求函数y=sinx23的单调递减区间； （2）求y=3tan46x的周期及单调区间.

三角函数的图像与性质

一、知识梳理

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0).

(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，π2，0，(π，－1)，3π2，0，(2π，1).

2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)

函数 y＝sin x y＝cos x

y＝tan x

图象

定义域 R R {x|x∈R，且 x≠kπ＋π2}

值域 [－1，1] [－1，1] R

周期性 2π 2π π

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

递增区间 2kπ－π2，2kπ＋π2 [2kπ－π，2kπ] kπ－π2，kπ＋π2

递减区间 2kπ＋π2，2kπ＋3π2 [2kπ，2kπ＋π] 无

对称中心 (kπ，0) kπ＋π2，0 kπ2，0

对称轴方程 x＝kπ＋π2 x＝kπ 无

3.对称与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.

(3).对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)内为增函数.

二、例题精讲 + 随堂练习

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.( )

(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.( )

(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )

(4)y＝sin|x|是偶函数.( )

解析 (1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.

三角函数的图像与性质

1 三角函数的图像与性质（正弦、余弦、正切）

【知识点1】函数y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象性质

性质 y＝sinx y＝cosx y＝tanx

一周期简图

最小正周期 2π 2π π

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数

单调性 增区间 Zkkk],2ππ2,2ππ2[ [2kπ＋π，2kπ＋2π]，k∈Z Zkkk],2ππ,2π－π[

上是增函数 减区间 Zkkk),23ππ2,2ππ2( [2kπ，2kπ＋π]，k∈Z

对称性 对称轴 Zkkx,2ππ x＝kπ，k∈Z

对称中心Zkk),0,2π( 对称

中心 (kπ，0)，k∈Z Zkk),0,2ππ(

题型1：定义域

例1：求下列函数的定义域

(1)xxycos2cos1； (2)xy2sin (2)y=12cos()3x (4)y=22sin1lg(4)xx

题型2：值域

例2：求下列函数值域

(1))3π2,6π(,sin2xxy (2)y=2sin(2x-3),x5,46 (3) )3π,2π(),3π2cos(2xxy

(4)函数1)6π21cos(2xy的最大值以及此时x的取值集合

三角函数的图像与性质

2 题型3：周期

例3：求下列函数的周期：

（1）f(x)=2sin2x (2)y=cos(123x) (3)y=tan(2x4) （4）y=sinx

例4： 若函数()2sin(2)3fxkx的最小正周期T满足12T,则自然数k的值为______.

例5：若)10(sin2)(xxf在区间[0,]3上的最大值是2，则=________.

例6：使xysin（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为【 】