曲面第一第二基本形式

第二章 曲面论 §1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线. 解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为 ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

第三章 曲面的第一基本形式§3 曲面的第一基本形式在指定的曲面上，测量曲线的长度并确定弧长元素、面积元素等等几何量，理所当然是曲面几何学基本的问题之一．第二章已经提到，勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则，确定了这个空间中的长度的概念以及关于距离的几何学．作为该空间的几何子体，曲线和曲面上的度量规则由空间的度量规则而“诱导”确定，这是一种直观的自然方式；子体和原有空间——三维 Euclid 空间的几何属性，将在这种方式之下自然地联系在一起，构成空间几何属性的整体．本节将讨论曲面在这种方式之下的基本结果；而关于其他方式之下的讨论，将在第六章中和第八章中逐步引出和深入进行．本节总记正则曲面 S 的参数方程为 r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ．一．曲面上的弧长元素首先考虑曲面 S 上的曲线段的长度和弧长元素．设 C : r = r (u (t ), v (t )) , t ∈[a , b ]是 S 的正则曲线上的一个弧段．通常也用平面区域 U 上的参数方程 {u = u (t )v = v (t ), t ∈[a , b ] 表示曲线 C ；但要注意区分该表示式的双重含义：既表示平面区域 U上的一条参数曲线 C -1 ，同时也表示在曲面 S 上的对应曲线 C ．为了区别不同的所在场合，当表示曲线 C时往往强调“在曲面 S 上”．对曲线 C 而言，有d r = r u d u + r v d v = r u d u d t d t + r v d v d td t ， d r d t = ⎝⎛⎭⎫r u d u d t + r v d v d t | u =u (t ), v =v (t ) ， d s 2 = d r •d r = (r u •r u ) d u 2 + 2(r u •r v ) d u d v + (r v •r v ) d v 2图3-13= d r d t • d r d t d t 2 = [ |r u |2 ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2(r u •r v ) ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + |r v |2 ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 ]d t 2 . 按照经常通用的记号，记曲面上的量(3.1) E = E (u , v ) = r u •r u = |r u |2 , F = F (u , v ) = r u •r v , G = G (u , v ) = r v •r v = |r v |2 ,则进一步对曲线 C 有d s 2 = d r •d r = [E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2 ]|u =u (t ), v =v (t ) = [E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 ]d t 2 ， 此时取 d s = |d r d t| d t = E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ， 则有 s (b ) - s (a ) = ⎰b ad s d t d t = ⎰b a | d r d t | d t = ⎰b a E ⎝⎛⎭⎫ d u d t 2 + 2F ⎝⎛⎭⎫ d u d t d v d t + G ⎝⎛⎭⎫ d v d t 2 | u =u (t ), v =v (t ) d t ．由此可见，使用平面区域 U 上的参数方程以及曲面的相应量，就可以得到曲面上的曲线的弧长元素和弧段长度；至于曲面及其上的曲线的位置向量如何，在上述算式中并不直接影响结果．曲面上的量对其上曲线的影响程度，将在进行进一步抽象之后，得到更明确的了解．对此应注意体会．二．第一基本形式定义1 对正则曲面 S : r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ，称二次微分式(3.2) Ⅰ = d s 2 = E (u , v ) d u 2 + 2F (u , v ) d u d v + G (u , v ) d v 2为曲面 S 的第一基本形式，或称线素，其中系数由 (3.1) 式给出．注记： 曲面的第一基本形式系数也称为其第一基本量． 用进一步的几何语言来说，第一基本形式是由 E 3 的欧氏度量在曲面上所诱导出来的一种Riemann 度量．按照定义，曲面第一基本形式d s 2 = d r •d r 的几何意义可用逼近的观点解释为：切向微元 d r 是位置差向量 [r (u +d u , v +d v ) - r (u , v )] 的线性主部，而弧长元素 d s = |d r | 是相应两点之间的距离微元的主部（略去的是高阶无穷小）．可证（留作习题）第一基本形式在容许参数变换下不变，且在刚体运动下不变；因而确实是曲面的几何量．从定义出发，第一基本形式的计算较为简单；但这是关于曲面的最基本和最重要的计算，一定要熟练掌握．下例展示了基本运算途径；同时，所得到的结论也是基本的．例1 已知平面 ∏: r (u , v ) = r 0 + u a + v b ，其中三个常向量 r 0, a , b 满足规范条件 |a | = |b | = 1 , a •b = 0 ．观察其第一基本形式的三种系数行为．① 平面 ∏ 的第一基本形式为d s 2 = d r •d r = (a d u + b d v )•(a d u + b d v ) = d u 2 + d v 2 ．② 若在平面 ∏ 上采用极坐标系 (ρ, θ) ，即 {u = ρ cos θ v = ρ sin θ，则 r ρ = a cos θ + b sin θ ，r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ ) ；E (ρ, θ) = r ρ•r ρ = (a cos θ + b sin θ)•(a cos θ + b sin θ) = 1 ，F (ρ, θ) = r ρ•r θ = (a cos θ + b sin θ)•(- a ρsin θ + b ρcos θ) = 0 ，G (ρ, θ) = r θ•r θ = (- a ρsin θ + b ρcos θ)•(- a ρsin θ + b ρcos θ) = ρ2 ；此时，平面 ∏ 的第一基本形式（在极点无意义）为d s 2 = E (ρ, θ) d ρ2 + 2F (ρ, θ) d ρd θ + G (ρ, θ) d θ 2 = d ρ2 + ρ2 d θ 2 ．③ 在平面 ∏ 上取任意一条无逗留点弧长 w 参数化曲线 C : ξ(w ) ，则其切线面r (w , t ) = ξ(w ) + t T (w ) 可表示一部分平面区域，其中 T 为 C 的单位切向．局部可得r w = T + t κ N ，r t = T ；E (w , t ) = r w •r w = (T + t κ N )•(T + t κ N ) = 1 + t 2κ 2 ，F (w , t ) = r w •r t = (T + t κ N )• T = 1 ，G (w , t ) = r t •r t = T • T = 1 ；此时，在平面 ∏ 上相应区域内，第一基本形式为d s 2 = E (w , t ) d w 2 + 2F (w , t ) d w d t + G (w , t ) d t 2= [1 + t 2κ 2(w )]d w 2 + 2d w d t + d t 2 ．基于第一基本形式的不变性，需要注意，第一基本形式系数在容许参数变换下必须满足一定的变换规律．为了简便，可将第一基本形式 (3.2) 改写为形式矩阵，表示为(3.3) Ⅰ = d s 2 = (d u , d v ) ⎝⎛⎭⎫E F F G ⎝⎛⎭⎫d u d v ；相关各量分别表示为(3.4) d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ,(3.5) d r •d r = (d u , d v )⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T ⎝⎛⎭⎫d u d v ,(3.6) ⎝⎛⎭⎫E F F G = ⎝⎛⎭⎫r u r v ⎝⎛⎭⎫r u r v T = ⎝⎛⎭⎫r u r v • (r u , r v ) ，其中各式之中的位置向量视为行向量，分块矩阵之间用“•”表示数量积．定义2 对正则曲面 S : r = r (u , v ) ，称二次型 (3.2) 或 (3.3) 的系数矩阵，即 (3.6) 式左端，为曲面 S 的第一基本形式系数矩阵；其行列式(3.7) E F F G = EG - F 2 = |r u |2|r v |2 - (r u •r v )2 = |r u ⨯r v |2 > 0 ，称为曲面 S 的第一基本形式系数行列式．性质 ① 正则曲面 S 的第一基本形式 (3.2) 是正定的二次型，即：d s 2 ≥ 0 ，且等号当且仅当 d u = d v = 0 时成立；② 正则曲面 S 的第一基本形式系数矩阵是正定的．这两条性质是等价的；它们的证明已经隐含在定义之中．下面具体考虑它们在容许参数变换下的行为．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下，记Jacobi 矩阵和Jacobi 行列式分别为(3.8) J = ⎝ ⎛⎭⎪⎫∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ，∂(u , v ) ∂(u *, v *) = |J | ； 记参数 (u *, v *) 下曲面 S 的第一基本形式为d s 2 = E *(u *, v *) d u *2 + 2F *(u *, v *) d u *d v * + G *(u *, v *) d v *2 ．则由 (1.6) 式和 (1.7) 式分别代入 (3.6) 式和 (3.7) 式可得(3.9) ⎝⎛⎭⎫E * F *F * G * = ⎝⎛⎭⎫ r u * r v * ⎝⎛⎭⎫ r u * r v *T= J ⎝⎛⎭⎫ r u r v ⎝⎛⎭⎫ r u r vT J T = J ⎝⎛⎭⎫E F F G J T ， (3.10) E *G * - F *2 = |J |2(EG - F 2) ．这是两个具有理论意义的等式．第一个等式说明，第一基本形式系数矩阵服从所谓“张量”的变换规律，从而成为张量概念（将在后续几何或代数课程中出现）的直观背景之一．第二个等式将在下一段用来支持面积元素的概念，等价地写为(3.11) E*G* -F*2=||J||EG-F2．例2以平面弧长参数曲线为准线作柱面S，考察其第一基本形式；并证明其第一基本形式在某正则参数 (u, v) 下可以表示为 d s2= d u2+ d v2．解：平面弧长参数曲线设为C: a(s*) ，设S: r(s*, v) =a(s*) +v l, l= const. , |l|= 1 ．则其第一基本形式为d s2=|d r|2=|a'(s*) d s* +l d v|2= d s*2+ 2[a'(s*)•l] d s*d v+ d v2．当直纹与准线C所在平面垂直时，a'(s*)•l≡ 0 ，则令 (u, v) = (s*, v) ，便可满足要求．当直纹与准线C所在平面不垂直时，可选取新的平面弧长参数曲线使直纹与新准线所在平面垂直（想想理由并自行给出解析论证），故可转化为上一种情形．三．交角与面积元素作为应用，下面考虑如何利用曲面的第一基本形式，以确定交角和面积等几何量．对于不同的曲线或曲面，它们在公共点的交角总是指它们在该点处的切线或切平面之间的夹角，而有向交角通常是指它们在该点处的单位切向或有向切平面之间的有向夹角．在自然标架下，有关曲面以及其上曲线的交角问题和面积问题，都可以利用自然基向量的数量积或向量积进行计算，从而转化为如何用第一基本形式表述或求解的问题．一般化的算法，体现在下面的较为具体的抽象计算过程中；而计算结果的意义，需要特别注意体会．1．曲面上的曲线的交角假设曲面S的第一基本形式以 (3.2) 式确定；曲面S上的两条曲线C i: {u=u i(t i)相交于点P0: r(u0, v0) ，(u0, v0) = (u i(t i0), v i(t i0)) ，i= 1, 2 ．C i在点v=v i(t i)P0处的自然切向为r u(u0, v0) u i'(t i0) +r v(u0, v0) v i'(t i0) ．简记a i= u i'(t i0) ,b i= v i'(t i0) ,E0=E(u0, v0) , F0=F(u0, v0) , G0=G(u0, v0) ．则C i在点P0处的交角θ0的余弦确定为r u(u0, v0) u1'(t10) +r v(u0, v0) v1'(t10) |r u(u0, v0) u1'(t10) +r v(u0, v0) v1'(t10)|•r u(u0, v0) u2'(t20) +r v(u0, v0) v2'(t20) |r u(u0, v0) u2'(t20) +r v(u0, v0) v2'(t20)|=a1a2E0+ (a1b2+ b1a2)F0+ b1b2G0a12E0+ 2a1b1F0+ b12G0a22E0+ 2a2b2F0+ b22G0．利用微分形式的不变性，可知(d u i : d v i )|u i= u i(t i) , v i= v i(t i) ; t i=t i0=u i'(t i0) : v i'(t i0) =a i : b i，从而 cosθ0确定为E d u1d u2+F(d u1d v2+ d v1d u2) + G d v1d v2E d u12+ 2F d u1d v1+G d v12E d u22+ 2F d u2d v2+ G d v22|u i= u i(t i) , v i= v i(t i) ; t i=t i0．此式自然推广到一般切方向之上；即，设点(u, v) 处的两个切向微元在自然基 {r u, r v} 下分别为 d u:d v和δu:δv，则其间夹角余弦确定为(3.12) cosθ=E d uδu+F(d uδv+ d vδu) + G d vδvE d u2+ 2F d u d v+G d v2Eδu2+ 2Fδuδv+ Gδv2．该式表明：曲面上的曲线的交角，由曲面的第一基本形式以及曲线在交点处的切方向完全确定；而曲线的切方向只由参数区域上的原像即可确定．此处要注意，参数区域上的曲线原像之间的交角取决于区域本身，而与曲面上的交角没有必然的联系．可参考图3-13观察这个事实．将(3.12) 式用于坐标曲线族，将得到有价值的推论，列为如下定理．定理1对正则曲面而言，两族坐标曲线处处正交的充要条件为其第一基本形式系数矩阵处处是对角阵．证明（从自然切向的数量积出发，直接易证；下述过程是为了帮助理解(3.12) 式）在本节通用记号下，两族坐标曲线的切线分别为1:0 和0:1 ，代入 (3.12) 式即得坐标曲线夹角余弦cosθ=FEG；从而两族坐标曲线处处正交的充要条件为F≡ 0 ，即得结论．定义2对正则曲面S: r=r(u, v) ，若两族坐标曲线处处正交，则称参数(u, v) 为曲面S的一组正交参数，同时称这两族坐标曲线构成曲面S的一组正交参数网或正交网．定理1确定了曲面正交参数网的第一基本形式特征．在计算问题中，简短的第一基本形式显然会带来许多方便；因此，正交参数无疑是曲面上的一种较好的参数．关于曲面上较“好”参数（不一定正交）的讨论，将在 §5 以及第四章和第六章中多处出现．例3对正则曲面S: r=r(u, v) ，求两族坐标曲线的二等分角轨线C的微分方程．解：对于两族坐标曲线的自然切向r u和r v，二等分角向量场为r u |r u|±r v|r v|=r uE±r vG．故轨线C的切向微元r u d u+r v d v处处与该向量场平行，即沿C有d u:d v=1E:±1G，从而所求微分方程为E d u±G d v= 0 ．例4已知正则曲面S: r=r(u, v) 的第一基本形式确定为 (3.2) 式．设微分方程α(u, v) d u2+ 2β(u, v) d u d v+γ(u, v) d v2= 0 在定义区域内过点 (u0, v0)有且仅有不相切的正则解曲线Γi: {u=u i(t i)v=v i(t i)，i= 1, 2 ；两条曲面S上的曲线C i: {u=u i(t i)v=v i(t i)相交于点P0: r(u0, v0) ．试证：两条曲线C i正交于点P0的充要条件为(Eγ- 2Fβ+Gα)|(u, v) = (u0, v0)= 0 ．证明：记α0=α(u0, v0) , β0=β(u0, v0) ,γ0=γ(u0, v0) ．记两条曲线C i在点 (u0, v0) 处的两个切向微元分别为a i : b i，则由正则性可知a i2+b i2≠ 0 ；由微分方程可知α0 a i2+ 2β0a i b i+γ0b i2= 0 ．而由 (3.12) 式，C i之间正交条件写为a1a2E0+ (a1b2+ b1a2)F0+ b1b2G0= 0 ．以下分两种情形讨论．情形①：α0=γ0= 0 ，则β0≠ 0 ；否则过点 (u0, v0) 的正则曲线都是解曲线，而与已知矛盾．此时，由微分方程知a i b i= 0 ，故只能有两组解{a1= 0, b1≠ 0 ，a2≠ 0 , b2= 0 ；或{b1= 0 , a1≠ 0 ，b2≠ 0 , a2= 0 ；对应正交条件等价化为F0= 0 ，即为所论条件．情形②：α0和γ0不同时为 0 ，不妨设α0≠ 0 ；则由微分方程可知，必有b i≠ 0 ；此时，不妨规范为b i= 1 ，则方程转化为α0 a i2+ 2β0a i+γ0= 0 ．此时，由一元二次方程系数的性质，得知a1+a2=-2β0α0，a1a2=γ0α0，从而a1a2E0+ (a1b2+ b1a2)F0+ b1b2G0= a1a2E0+ (a1+ a2)F0+ G0=γ0α0E0+-2β0α0F0+ G0=1α0 (γ0E0-2β0F0+α0G0) ．此式说明所论条件为充要条件．以上情形是完全分类，故结论得证．2．曲面的面积元素和区域面积现考虑曲面S的面积在已知第一基本形式之时的求解问题．在参数区域U内，任取矩形使其分别以点 (u, v), (u+d u, v),(u, v+d v), (u+d u, v+d v) 为顶点，则在曲面S上对应形成以点P1:(u, v), P2: (u+d u, v), P3: (u, v+d v),P4: (u+d u, v+d v) 为顶点的坐标曲线四边形．按照微积分理论，在略去更高阶无穷小量时，该曲边四边形的面积就等于直边三角形P1P2P3面积的二倍，从而就等于由向量P1P2和P1P3所张成的平行四边形的面积．而在略去更高阶无穷小量时，P1P2⨯P1P3= [r(u+d u, v) - r(u, v)]⨯[r(u, v+d v) -r(u, v)]≈ [r u(u, v)d u]⨯[r v(u, v)d v] =EG-F2 d u d v n(u, v) ，故曲面的面积元素可以表示为(3.13)dσ=|r u⨯r v| d u d v=EG-F2 d u d v，其中第二个等号是根据(3.7) 式．进而，曲面上任一有界区域r(U0) 的面积A(U0) 可以表示为(3.14) A(U0) =⎰⎰U0 dσ=⎰⎰U0|r u⨯r v| d u d v=⎰⎰U0EG-F2 d u d v．v)图3-14在参数变换下，根据 (3.8) 和 (3.10) 式以及二重积分的变量代换公式，易知面积元素对应相同，面积也对应相同；这与几何属性是相容的．以上结果的核心，列为如下定理．定理2 正则曲面的面积元素和区域面积由第一基本形式可完全确定．习 题⒈ 证明正则曲面的第一基本形式在容许参数变换下不变．⒉ 证明正则曲面的第一基本形式在 E 3 的正交标架变换下不变．⒊ 试求下列曲面的第一基本形式：① 单位球面 r (u , v ) = (2u u 2 + v 2 + 1 , 2v u 2 + v 2 + 1 , u 2 + v 2 - 1 u 2 + v 2 + 1) ； ② 悬链面 r (u , t ) = (t , cos u ch t , sin u ch t ) ．⒋ 在螺面 r = (u cos v , u sin v , ln cos u + v ) 上，试证：每两条螺线（v 线）在任一 u 曲线上截取等长的曲线段．⒌ 球面上的斜驶线是指与经线交成定角的轨线，试在经纬参数化下确定其微分方程．⒍ 已知正则曲面 S : r (u , v ) 之上有两族正则曲线 ϕ( u , v ) = a 和 ψ( u , v ) = b ，其中a 和b与 (u , v ) 无关．试证：它们互相正交的充要条件为E ϕv ψv -F (ϕu ψv + ϕv ψu ) +G ϕu ψu = 0 ．⒎ 已知曲面的第一基本形式为 d s 2 = d u 2 + (u 2 + 4) d v 2 ．试求：① 其上两条曲线 C 1: u + v = 0 与 C 2: u - v = 0 的交角；② 其上三条曲线 C 1: u = v 2 , C 2: u = - v 2 与 C 3: v = 1 所围成的曲边三角形的边长和各个内角；③ 其上三条曲线 C 1: u = v , C 2: u = - v 与 C 3: v = 1 所围成的曲边三角形的面积．。

曲面的第二基本形式在曲面论中的作用1 引言为了研究曲面在空间中的弯曲性而引入了曲面的第二基本形式，它近似等于曲面与切平面的有向距离的两倍，从而刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，即曲面在空间中的弯曲性，并且与曲面的第一基本形式共同构成了曲面论的基本定理．从而确定了曲面一点附近的结构与形状．由此可见曲面的第二基本形式在曲面论中的作用举足轻重，同时由它引出的曲面的几何性质又是曲面论中的难点．本文将主要通过对曲面的各种曲率（如法曲率，测地曲率，主曲率等），曲面上的各种特殊曲线（如渐近线，曲率线等）和曲线网（如曲率网，共轭网等），曲面上点的类型（如椭圆点，双曲点等）等内容的讨论举例来阐述曲面的第二基本形式在曲面论中的作用．2 曲面的第二基本形式定义曲面的第二基本形式2C 类曲面():,S r r u v =r r ，曲线():C ()()(),r u s v s r s ==⎡⎤⎣⎦r r（s 为自然参数）为S 上过一固定点P 的曲线，π为S 在P 点的切平面，n r为曲面在P 点的单位法向量，则2222uu uv vv n rds n r du n r dudv n r dv ⋅=⋅+⋅+⋅r r r r r r r r && （１）令uu L r n =⋅r ，uv M r n =⋅r r ，vv N r n =⋅r r（２）则（１）式变为Ⅱ22222n d r n d r Ldu Mdudv Ndv =⋅=⋅=++rr rr（３） 称之为曲面的第二基本形式，它的系数L 、M 、N 称为曲面的第二类基本量．)8381](1[-P它就近似等于曲面到切平面有向距离的两倍． 此外，对关系式0n dr ⋅=r r微分得20dn dr n d r ⋅+⋅=r r r r所以曲面的第二基本形式也可写为Ⅱ2n d r dn dr =⋅=-⋅rr r r．一般来说曲面第二基本形式的这种表达方式主要应用于曲面相关性质的证明．计算曲面的第二基本形式 由于曲面的单位法向量u v u vr r n r r ⨯==⨯r r r r r r r代入（2）中得,,uu r r r L r n =⋅=r r r r r ，,,uv r r r M r n =⋅=r r r r r，,,vv r r r N r n =⋅=r r rr r ． 所以根据以上公式来计算曲面的第二基本形式．例1 计算球面{}cos cos ,cos sin ,sin r R R R θϕθϕθ=r的第二基本形式． 解 球面方程为{}cos cos ,cos sin ,sin r R R R θϕθϕθ=r，所以有{}cos sin ,cos cos ,0r R R ϕθϕθϕ=-r ，{}sin cos ,sin sin ,cos r R R R θθϕθϕθ=--r于是得22cos E r r R ϕϕθ=⋅=r r，0F r r ϕθ=⋅=r r ，2G r r R θθ=⋅=r r所以r r n ⨯=r r r {}cos cos ,cos sin ,sin θϕθϕθ=又{}cos cos ,cos sin ,0r R R ϕϕθϕθϕ=--r{}sin sin ,sin cos ,0r R R ϕθθϕθϕ=-r{}cos cos ,cos sin ,sin r R R R θθθϕθϕθ=---r，所以2cos L r n R ϕϕθ=⋅=-r r，0M r n ϕθ=⋅=r r ，N r n R θθ=⋅=-r r因而()2cos II R R θ=-+-．3 法曲率法曲率设():C ()()(),r u s v s r s ==⎡⎤⎣⎦r r为曲面S 上经过一固定点P 的一条曲线． k 为曲线(C )在P点的曲率，θ为βr 和n r间的夹角()0θπ≤≤，则有22222cos 2II Ldu Mdudv Ndv k I Edu Fdudv Gdv θ++==++ （４）对于曲面上的法截线()0C 有0n β=±r，00θ=或π，cos 1θ=±所以它的曲率0IIk I=于是我们将222222n II Ldu Mdudv Ndv k I Edu Fdudv Gdv ++==++ （５）称之为曲面在一点沿所取方向的法曲率．)159158](2[-PⅡ＞０时，0n k k =，法截面朝切面的正向弯曲； Ⅱ＜０时，0n k k =-，法截面朝切面的负向弯曲； Ⅱ＝０时，00n k k ==，法曲率和法截线曲率都等于零． 例１ 求抛物面()2212z ax by =+在()0,0点和方向():du dv 的法曲率． 解 抛物面方程为()221,,2r x y ax by ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭r求得1x x E r r =⋅=r r，0x y F r r =⋅=r r ，1y y G r r =⋅=r r xx L n r a =⋅=r r，0xy M n r =⋅=r r ，yy N n r b =⋅=r r所以2222n II adx bdy k I dx dy +==+．例2 利用法曲率公式n IIk I=证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、二类基本量成比例． 证明 对于球面{}cos cos ,cos sin ,sin r R v u R v u R u =r可求得22222cos I R vdu R dv =+，222cos II R vdu Rdv =--所以球面上任意一点(),P u v 沿任意方向():du dv 的法曲率为1n II k I R==- 又222222n II Ldu Mdudv Ndv k I Edu Fdudv Gdv++==++ 得()()()2220RL E du RM F dudv RN G dv +=+++=．又因为对于任一方向()d 成立，故有()()()01,00100,1RL E du dv RM F du dv RN G du dv +===⎧⎪+===⎨⎪+===⎩所以()E F G R L M N===-． 梅尼埃（Meusnier ）定理 从（４）式和（５）式得cos n k k θ=．若设1R k=，1n n R k =，R 为曲线()C 的曲率半径，n R 为曲线()0C 的曲率半径，则cos n R R θ=．上式的几何意义就是:梅尼埃（Meusnier ）定理 曲面曲线()C 在给定点P 的曲率中心C 就是与曲线()C 具有共同切线的法截线()0C 上同一点P 的曲率中心0C 在曲线()C 的密切平面上的投影．)90](1[P４ 曲面上的各种曲率主曲率及欧拉(Euler)公式既然曲面上曲线的曲率都可以转化为法曲率来讨论，那么我们有必要对法曲率随方向变化的规律进行研究．定义 在曲面上一点P ，法曲率的每一个逗留值称为曲面在这一点的主曲率，而对应主曲率的方向称为曲面在此点的一个主方向．)164](2[P主方向满足方程()()()220EM FM du EN GL dudv FN GM dv -+-+-=．主曲率满足方程()()()22220NNEG F k LG MF NE k LN M ---++-=．曲面在非脐点处，由于主曲率方程的判别式△＞０，所以它有两个不相等的实根，因而曲面上非脐点处总有两个主方向．在脐点处，方程是恒等式，因而每一方向都是主方向．罗德里格（Rodrigues ）定理 若方向（d ）是主方向，当且仅当n dn k dr =-，n k 为曲面沿（d ）的法曲率．)97](1[P欧拉(Euler)公式:2212cos sin n k k k θθ=+θ是任意方向（ｄ）与ｕ－曲线的夹角．)100](1[P欧拉(Euler)公式告诉我们只要知道主方向，任何方向（ｄ）的法曲率都可以由方向（ｄ）和ｕ－曲线的夹角θ来确定．而主曲率与法曲率有着下面的关系:命题)101]([!P 曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值．例1 确定抛物面()22z a x y=+在()0,0点的主曲率．解 抛物面的方程(){}22,,r x y a x y=+r可求得在()0,0处1E =，0F =，1G =；2L a =，0M =，2N a =把第一、二基本量代入主曲率方程（７）得()220N a k -=解得122k k a ==．例2 证明在曲面上给定点处，沿相互成为直角的方向的法曲率之为常数2H ． 证明 设该点相互成直角方向的法曲率分别为kn 和kn *，则由欧拉公式得2212cos sin n k k k θθ=+2212cos sin 22n k k k ππθθ*⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2212sin cos k k θθ=+所以12n n k k k k *+=+= 2H ．高斯(Gauss)曲率和平均曲率若1k ，2k 为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积12k k 称之为曲面在这一点的高斯曲率（Gauss ），通常以K 表示，它们的平均数121()2k k +称之为曲面在这一点的平均曲率，通常以H 表示．)174](2[P根据主曲率的方程（５）利用二次方程根与系数的关系得2122LN M K k k EG F-==- ()12212()22LG MF NEH k k EG F -+=+=-． 因而主曲率的方程也可以表示为220N N k Hk K -+=．例１ 求正螺面{}cos ,sin ,r u v u v av =r的高斯曲率和平均曲率． 解 由正螺面方程{}cos ,sin ,r u v u v av =r得1E =，0F =，22G u a =+0uu L n r =⋅=r ，uv M n r a =⋅=-r ，0vv N n r =⋅=r r因此22222LN M a K EG F u a-==--+ ()()22220022LG MF NE H EG F u a -+===-+． 例2 如果曲面的平均曲率为零，则渐近线网构成正交网． 证明 因为曲面的平均曲率()2202LG MF NEH EG F -+==- 所以20LG MF NE -+=设曲面的曲纹坐标网为渐近线网，则0L N ==于是0M F ⋅=，即0F =(若0M =，则曲面上的点为脐点)所以曲纹坐标网为正交网，即渐近线构成正交网．5 曲面上点的类型杜邦(Dupin)指标线为了研究曲面上一点P 处法截线的法曲率的关系，在点P 的切平面上取点P 为原点，坐标曲线在P 点的切向量u r r 和v r r为基向量，n k 为对应方向(d )的法曲率为，1nk 为法曲率半径的绝对值，过点Ｐ方向（d ）画线段PN N 的轨迹称为曲面在点P 的杜邦(Dupin)指标线．)9291](1[-P杜邦(Dupin)指标线的方程为2221Ldx Mdxdy Ndy ++=±．曲面上点的分类利用杜邦(Dupin)指标线可以对曲面上的点进行分类，同时也可以通过一点的高斯曲率K 来对曲面上的点进行分类(如表5－2)．)64](3[P表5－2脐点:L M N==，其中圆点: ()(),,0,0,0L M N ≠，平点: 0L M N ===． 例 求曲面{}32,,r v u u v =+r上的抛物点的轨迹． 解 由{}32,,r v u u v =+r得241E u =+，1F =，491G v =+ 26L v =，0M =，12N uv =令322720uv LN M EG F-==- 则0u = 或 0v =所求抛物线的轨迹为{}{}3212,0,,0,,r v v r u u ==r r．6 曲面上的特殊曲线和曲线网曲率线及曲率网定义1 曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称它为曲率线．)98](1[P曲率线的微分方程为220dv dudv du E F G LMN-=． 定义2 两族曲率线构成的曲率线网称为曲率网．)98](1[P命题1 在不含有脐点的曲面上，任何正规坐标网都可以做成曲纹坐标网．)99](1[P命题2 曲纹坐标网为曲率网的充分必要条件是0F M ==．)99](1[P 例１ 确定螺旋面cos x u v =，sin y u v =，z cv =上的曲率线． 解 螺旋面方程{}cos ,sin ,r u v u v cv =r可以求得1E =，0F =，22G u c =+ 0L =，M =0N =由曲率线的方程得22221000dv dudv du u c -+= 化简得dv ±=积分得ln u v c =±+所以曲率线为1ln u v c +=，2ln u v c -=．例2 若曲面1S ，2S 交于一条曲线()C ，而且()C 是1S 的一条曲率线，则()C 也是2S 的曲率线的充要条件是1S ，2S 沿着()C 相交成固定角．证明 设1S ，2S 两曲面的切向量为1n ϖ，2n ρ，相交曲线()C :(,)r r u v =r r是一条曲率线．由罗德里格（Rodrigues ）定理知 11dn dr λ=r r．若()C 也是2S 的曲率线的充分必要条件为r d n d ϖϖ22λ=()1212dr n n dr λλ=⋅+r r r r 1200λλ=⋅+⋅0=12n n ⇔⋅=r r 常数()1212cos ,n n n n ⇔⋅∠=r r r r 常数()120,n n θ⇔∠=r r(常数)⇔沿()C 曲面1S ，2S 的夹角为定角．渐近曲线及渐近网定义1 曲面S 上一固定点P 处，使Ⅱ0=的方向称之为曲面在点P 的渐近方向．)93](1[P 定义2 若曲面S 上一条曲线()C 的切方向都是渐近方向，则称其为渐近曲线．)93](1[P 定义 3 如果曲面上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近曲线，这两族渐近曲线称为曲面上的渐近网．)94](1[P渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdudv Ndv ++=．命题 1 曲面上一条曲线为渐近曲线的充要条件是或者它是一条直线，或者它在每一点的密切平面与曲面的切平面重合．)192](2[P命题2 曲面的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是0L N ==．)94](1[例1 求曲面2z xy =的渐近曲线． 解 由求曲面方程为 {}2,,r x y xy =r得41E y =+，32F xy =，2214G x y =+0L =，222214y M x y y =++，222214xN x y y =++由渐近曲线的微分方程得0dy = 与210dx dy x y+=所以渐近曲线为1y c = 或 22x y c =．例2 证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近曲线．证明 设曲线()C :()r r s =r r ，则主法线曲面S :()()r r s t s β=+r r r对s 微分得()()()()()()s r r s t s s t k s s βαατγ=+=+-+r r r r r r &&()()()1tk a s t s τγ=-+r r对t 微分得()t r s β=rr ．曲面S 的法向量()()()1s t N r r tk s t s γτα=⨯=--r r r r r沿曲线()C ，0t =，所以N γ=r r ，即N β⊥r r那么()cos cos ,cos 02n k k k N k πθβ==∠==r r 因此曲线()C 为渐近曲线．共轭网定义 曲面S 上两个方向dr r 与r δr ，若0dn r dr n δδ⋅=⋅=r r r r 则称它们为互相共轭的方向．若曲面S 上两族曲线的方向在每一点都是共轭方向，则这两族曲线构成共轭网．)69](3[P 命题 曲纹坐标网是共轭网的充要条件是0M =)95](1[P ．例 证明在曲面()()z f x g y =+上曲线族x =常数， y =常数构成共轭网．证明 曲面()()z f x g y =+的曲线族x =常数，若取x a =，则这族曲线的方程为()()z f a g y =+正是y -曲线，同理得y =常数，为x -曲线．由曲面方程{},,()()r x y f x g y =+r得0xy M n r =⋅=r r由上面的命题知，曲线族x =常数， y =常数构成共轭网．通过以上对曲面第二基本形式及其相关概念、性质的讨论以及对命题、例题的证明，说明关于曲面弯曲性的研究是由点到线，由线到网的讨论过程，曲面的第二基本形式无处不在，它贯穿于曲面弯曲性的始终，并与曲面的第一基本形式共同建构了曲面论的基本定理，从而确定了曲面的形状．。

曲面的第一基本形式在曲面论中的作用微分几何学主要是运用数学分析的理论研究空间曲线或曲面在它一点领域的性质，是研究一般的曲线在小范围上的性质的数学分类学科．1827年高斯发表的《关于曲面的一般研究》著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础．高斯抓住了微分几何中最重要的概念和根本性的内容，建立了曲面的内在几何学．主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等．他的理论奠定了近代形式曲面论的基础． 1 曲面的第一基本形式的定义及计算公式给出曲面S ：),(v u r r =上的曲线（C ）;)(),(t v v t u u ==或)](),([t v t u r = ．对于曲线（C ）有dtdv r dt du r dt dr v u +=,或者dv r du r dr u u +=．若以s 表示曲面上曲线的弧长，则=+==222)(dv r du r dr ds v v 22222dv r dudv r r du r v v u u ++．令v u v v u u r r F r r G r r E ===,,，则有2222Gdv Fdudv Edu ds ++=．这是关于v d u d,的一个二次形式，称为曲面S 的第一基本形式．表示为 222Gdv Fdudv Edu I ++=它的系数v v v u u u r r G r r F r r E ===,, 称为曲面S 的第一基本量[1]（P67-68）．例 求球面}sin ,sin cos ,cos cos {θψθψθR R R r = 的第一基本形式．解 }sin ,sin cos ,cos cos {θψθψθR R R r =． 可得出}0,cos cos ,sin cos {ψθψθψR R r -=}cos ,.sin sin ,cos sin {θψθψθθR R R r --=由此得到曲面的第一基本量为222,0,cos R r r G r r F R r r E ======θθθψψψθ ．因而22222cos θψθd R d R I +=．曲面的第一基本形式在曲面论中占有非常重要的地位．而对于曲面的特殊参数表示),,(y x z z =有yz q q r x z p p r y x z y x r y x ∂∂==∂∂===},,1,0{,}.,0,1{)},,(,,{ ． 由定义得221,,1q r r G pq r r F p r r E y y y x x x +====+==．曲面的第一基本形式为 2222)1(2)1(dy q pqdxdy dx p I ++++=．由上式知0,022>=>=v u r G r E ，又根据拉格朗日恒等式可知第一基本形式的判别式0)()(22222>⨯=-=-v u v u u r r r r r r F EG v ．因此第一基本量G F E ,,满足不等式0,0,02>->>F EG G E ．这表明第一基本形式是正定的，这个结论也可由2ds I =直接得出． 2 第一基本形式在求曲线弧长的作用由曲面的第一基本形式的定义知以s 表示曲面上曲线的弧长,则有2222Gdv Fdudv Edu ds ++=这个二次形式可以决定曲面上曲线的弧长，设曲线（C ）上两点)(),(00t B t A ．则弧长为 S=⎰⎰++=101022)(2)(t t t t dt dtdv G dt dv dt du F dt du E dt dt ds 从而对曲线弧长的求法提供了一种更简洁的解法．3 利用第一基本形式求曲面上两方向的夹角前面已经提到过曲面),(v u r =上一点(00,v u )的切方向称曲面上的方向，它只能表示为dv v u r du v u r dr v u ),(),(0000 +=．其中),(00v u r u 和),(00v u r v 是过),(00v u 点的坐标曲线的切向量．给定了曲面的参数表示式后u r 和v r 是已知的，因此给出了一方向dr 就等于给出一对值,,dv du 不过方向和dr 的长度无关，所以给出dv du :就能确定曲面的一方向．我们以后经常用（d ）dr ,或dv du :表示曲面上的一方向[1]（P80-82）．给出曲面上两方向（dv du :）和(v u δδ:),我们把向量dv r du r dr v u +=和v r u r r v u δδδ+=间的夹角称为方向（dv du :）和（v u δδ:)间的角． 即222222)(cos v G v u F u E Gdv Fdudv Edu vGdu u dv v du F u Edu δδδδδδδδθ+++++++=．由这个公式可以推出曲面上两个方向（dv du :）和(v u δδ:)垂直的条件是：v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ+++)(0=．例 在曲面上一点，含dv du ,的二次方程：0222=++Rdv Qdudv Pdu 确定两个切方向（dv du :）和（v u δδ:）．证明这两个方向互相垂直的充要条件是02=+-GP FQ ER ．证明 因为dv du ,不能同时为0．不妨假设0≠dv ．让0222=++Rdv Qdudv Pdu 两端同除以2dv 可以化为 02)(2=++R dvdu Q dv du P 又因为方程有两个切方向（d ）和(δ)， 所以v u dv du P Q v u dv du δδδδ⋅⋅-=+2PR =． 但是两方向（d ）和（δ）垂直， 则有0)(=+++v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ．即 0)(=+++⋅G vu dv du F v u dv du Eδδδδ． 从而得 02=+-+⋅G P Q F P R E ． 所以 02=+-GP FQ ER ．此外我们还可以求出坐标曲线u -曲线（v =常数）和v -曲线（u =常数）的夹角ω的表达式，因为u r 和v r 是坐标曲线的切向量，所以v u r r,间的夹角ω为: EG F r r r r v v u u =⋅= ωcos ．由此推出曲面的坐标网是正交的必要条件是0=F ．4 正交曲线族和正交轨线给出两族曲线00=+=+v D u C Bdv Adu δδ，　如果它们正交，由0)(=+++v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ可以得出0)(=⋅+++uv du dv G u v du dv F E δδδδ （１） 即 0)(=⋅++-DC B A GD C B A FE 或 0)(=++-GAC BC ADF EBD ．如果给出一族曲线0=+Bdv Adu则另一族和它正交的曲线称为这族曲线的正交轨线．从(1)中可以看出正交轨线的微分方程是0)()(=-++-+uv B A u v B A F E δδδδ 即 AGBF AF BE u v ---=δδ 5 利用第一基本形式可求曲面域的面积设曲面S ：),(v u r = 给出曲面S 上一个区域D ，我们将推导其面积的计算公式．首先把曲面域用坐标曲线u=常数与v=常数剖分成完整的和不完整的曲边四边形． u-曲线和v-曲线越密，那些完整的曲边四边形就越接近平行四边形，而那些不完整的曲边四边形的面积子整个曲面域面积里所占的比重就越小，以至于可以略去．取以点),(),,(),,(dv v u dv v du u v u +++为顶点的曲边四边形，可以近似地把它换成切平面上的平行四边形．这个平行四边形一以切于坐标曲线的向量du r u 与dv r v 为边．我们把所取的曲边四边形的面积可以认为近似地等于du r u ,dv r v 为边的平行四边形的面积．由于平行四边形的面积等于两边之积再乘以他们夹角的正弦． 于是上述的平行四边形 的面积dudv r r dv r du r d v u v u ⨯=⨯=σ．因此曲面域D 的面积σ可由二重积分来表示：σ的面积=dudv r r d Dv u ⎰⎰⎰⎰⨯= σ 这里的区域D 是曲面域D 相应的),(v u 平面上的区域．由于 0)()(22222>-=-=⨯F EG r r r r r r v u v u v u所以σ 的面积=dudv F EG D⎰⎰-2．由此我们看到的曲面上曲线的弧长，曲面上两方向的夹角以及曲面域的面积都可以用第一基本形式G F E ,,来表示．仅由第一基本形式出发所建立的集合性质称为曲面的内在性质（或内蕴性），以上这些性质都是曲面的内蕴性质．6 等距变换和保角变换上的作用定义1[1]（P75-78） 曲面之间的一个变换．如果它保持曲面上任意趋向的长度不变，则这个变化称为等距变换（保长变换）．定义2[1]（P78-81） 曲面之间的一个变换．如果使曲面上对应曲线的夹角相等，则这个变换称为保角变换（保形变换）．显然每一个等距变换都是保角变换，但保角变换一般不是等距变换．而我们在上面所述的曲面的弧长，夹角．，曲面与的面积等都是等距不变量（保长不变量）．今后我们把曲面上这种仅仅由G F E ,,表示出来的几何量称曲面的内蕴量．利用等距变换的概念，我们可以把曲面进行一种分类：使等距等价的曲面属于同一类，不等距等价的曲面属于不同类，根据这种分类，则每一个可展曲面和平面是同类的．我们说根据等距等价的曲面有相同的内在性质，因为这样的性质不因曲面的弯曲而改变．当曲面受到弯曲时，曲面的外表（曲面与其所在的外界空间的关系）改变了，但内在性质没有变．例如我们可以把一张弯曲成各式各样的可展曲面，从外表看，他们很不相像，但它们却有完全相同的内在性质．必须指出的是，无论谈等距变换、弯曲、贴合或内在性质，一般总是限于有关曲面的一定范围以内．例如在悬链面和正螺面的等距对应中，悬链面上每一个圆仅仅对应于一条圆柱螺线的一段；圆是闭曲线而圆柱螺线则不是，这两个曲面不但“局部”的内在性质是相同的，而且相关大面积的内在性质也是相同的，但我们不说，它们有相同的“整体（如果不是指相对的整体而是指绝对的整体）的内在性质．”7 曲面的高斯曲率的应用在曲面论的许多问题中，运用的较多的是高斯曲率．设21,k k 为曲面上的一点的主曲率，则它们的乘积21k k 称为曲面在这一点的高斯曲率． 通常以K 表示，即,2221FEG M LN k k K --== 其中vu v u vv uv uu v u u r r r r n n r M n r N n r L r G r r F r E ⨯⨯=⋅=⋅=⋅=>==>=,,,,0,,022．那么如何运用高斯曲率确定曲面的第一基本形式需要进一步的验证．假设曲面S 的高斯曲率是常数．在曲面上取测地平行坐标系),(v u ,因而它的第一基本形式为22),(dv v u G du I +=且),(v u G ．满足条件：0),0(,1).0(==v G v G u ．根据高斯曲率的内蕴表达式， 有uu u u v vG G E G G E EG K )(1}])([])({[1-=+-= 所以G 作为u的函数，满足二阶常数齐次方程0)(=+G K G uu ． 初始条件是0),0()(,1),0(==v G v G u ，根据K 的不同符号，方程（1）在初始条件（2）的解分别是（1）0>K );cos(u K G =(2)0=K 1=G ；（3）0<K ).(u K ch G -=则常曲率曲面的第一基本形式分别为）：[2]（P62-78）若S 有正常数高斯曲率K , ;)(cos 222dv u K du I += 若S 的高斯曲率为零， 22dv du I +=，若S 有负常数高斯曲率K ，222)(dv u K ch du I -+=．由上面的结论可推出：由相同的常数高斯曲率的曲面，在局部上必定可以彼此建立保长对应． 由此不难看出，高斯曲率是曲面的内蕴量． 在曲面论的研究中发挥了重要作用．对上面的课题的研究只是曲面的第一基本形式的重要推广，而更为重要的是引用曲面的第一基本形式为以后讨论曲面弯曲性质的第二基本形式共同构成了曲面论的基本定律．故对于后面的曲线网及各种曲率都离不开第一基本形式的作用，这里着重讨论了高斯曲率，因为所研究的曲面都是和这个曲率相关的，以及后面的测地线曲率都是和Causs 曲率相关的．而Causs 又有第一基本形式的参数决定，所以第一基本形式是很重要的．8 第一基本形式在实践中的应用在生活实践中，很多方面都涉及到微分几何知识．如何灵活而有效的利用曲面的微分几何知识，显得至关重要．在外形设计上，把它作为曲面造型的辅助工具，是一项富有实用价值的研究课题．近年来这方面的研究也较为活泼，已有相当多的文献给出参数曲面，网络曲面，点云曲面上的测地线的计算方法，以及在蓬帆制造[3]（P137－139）、切割或油漆路径设计、光路径设计[4](1467-1475)、流程模拟活动轮廓、机器人行走路径规划等工业领域的应用．还在工程技术的应用、复杂曲面的外板的展开，这种技术在飞机机身、汽车外壳、轮船船体、涡轮叶片、薄壳屋顶等外形设计中有着实际的应用，这一切的一切都与曲面的第一基本形式是不可分割的．。