第四章 曲面的第二基本形式与曲面上的曲率本章将以刻画曲面的弯曲程度为中心而展开讨论．类比于讨论曲线的方式，按照微积分学的一般观点，可以选择两种直观的出发点来考虑曲面的弯曲：一者是调查曲面与其切平面在切点附近的近似程度，一者是研究曲面的切平面的变化率．从此出发而作进一步分析，一者需要考察切向微元的微分，也就是位置向量的二次微分；而另一者需要考察单位法向的微分．本章首先要说明上述两种方式是殊途同归的，并导致相关基本概念的合理引进；其次要研究所衍生出的刻画弯曲的几何量——各种曲率．在本章的学习过程中，除几何直观以外，应该注意体会所用方法的一般性．§1曲面的第二基本形式对正则曲面S: r=r(u, v) , (u, v)∈U⊂R2，在上一章中已经知道如何了解一些基本情况，诸如位置向量的微分 d r=r u d u+r v d v、第一基本形式Ⅰ=d s2= d r•d r=E d u2+ 2F d u d v+G d v2、单位法向n=r u×r v|r u×r v|等等．容易知道，d r•n= 0 ，d n•n= 0 ，即微分 d n=n u d u+n v d v是切向微元．下面进一步研究曲面．观察公切于一点的两张球面的弯曲程度，可见下述一般讨论是极其自然的．一．切点邻近点到切平面的有向距离在曲面S上考虑点P: r(u, v) 处的切平面T P与曲面的差异．任取邻近一点P*: r(u+d u, v+d v) ，则点P* 到切平面T P的有向距离为δ=Δr•n= [r(u+d u, v+d v) − r(u, v)]•n．而由Taylor展开式，可写图4-1Δr= d r+12 d2r+o(d u2+d v2)= (r u d u+r v d v) +12 ( r uu d u2+ 2ruvd u d v+r vv d v2) +o(d u2+d v2) ；δ=12 d2r•n+o(d u2+d v2)≈ 1 2 d 2r •n = 1 2 ( r uu •n d u 2 + 2r uv •n d u d v + r vv •n d v 2) ．而 0 = d(d r •n ) = d 2r •n + d r •d n ，故又有δ = −1 2 d r •d n + o (d u 2+d v 2)≈ −1 2 d r •d n = −1 2 [r u •n u d u 2 + (r u •n v + r v •n u ) d u d v + r v •n v d v 2) ，其中 r u •n v = − r uv •n = − r vu •n = r v •n u ．二．第二基本形式定义1 对正则曲面 S : r = r (u , v ) , (u , v )∈U ⊂R 2 ，称二次微分式(1.1) Ⅱ = −d r •d n = d 2r •n = L d u 2 + 2M d u d v + N d v 2为曲面 S 的第二基本形式，其系数 L , M , N 也称为曲面的第二基本量；称矩阵 ⎝⎛⎠⎞L M M N 为曲面 S 在参数 (u , v ) 下的第二基本形式系数矩阵，其行列式称为曲面 S 在参数 (u , v ) 下的第二基本形式系数行列式．第二基本形式的几何意义即为切点邻近点到切平面的有向距离的二倍．其计算较为直接；但同样也是关于曲面的最基本的计算，需要熟练掌握．按照定义以及前一段计算的结果，可列出下列算式：(1.2) L = L (u , v ) = −r u •n u = r uu •n= r uu • r u ×r v |r u ×r v | = (r uu , r u , r v ) |r u ×r v | = (r uu , r u , r v ) EG − F 2; (1.3) M = M (u , v ) = −r u •n v = −r v •n u = r uv •n = r vu •n= (r uv , r u , r v ) |r u ×r v | = (r uv , r u , r v ) EG − F 2; (1.4) N = N (u , v ) = −r v •n v = r vv •n = (r vv , r u , r v ) |r u ×r v | = (r vv , r u , r v ) EG − F 2; (1.5) Ⅱ = −d r •d n = −(d u , d v )⎝⎛⎠⎞r u r v ⎝⎛⎠⎞n u n v T ⎝⎛⎠⎞d u d v ,(1.6) ⎝⎛⎠⎞L M M N = − ⎝⎛⎠⎞r u r v ⎝⎛⎠⎞n u n v T = − ⎝⎛⎠⎞r u r v •(n u , n v ) ． 下例展示了具体运算的两种基本途径．例1已知圆环面r(θ, ϕ) = ((b+a cosϕ ) cosθ , (b+a cosϕ ) sinθ , a sinϕ) ，其中两个常数a, b满足条件 0 <a<b．求其第二基本形式．解：直接计算可知rθ= (b+a cosϕ ) (−sinθ , cosθ , 0) ，图4-2 rϕ=a (−sinϕ cosθ , −sinϕ sinθ , cosϕ) ，rθ×rϕ=a(b+a cosϕ ) (cosϕ cosθ , cosϕ sinθ , sinϕ) ，|rθ×rϕ|=a(b+a cosϕ ) ，n=rθ×rϕ|rθ×rϕ|= (cosϕ cosθ , cosϕ sinθ , sinϕ) ．途径①：rθθ= (b+a cosϕ ) (−cosθ , −sinθ , 0)=−(b+a cosϕ ) (cosθ , sinθ , 0) ，rϕθ=a (sinϕ sinθ , −sinϕ cosθ , 0) =a sinϕ (sinθ , − cosθ , 0) ，rϕϕ=a (−cosϕ cosθ , −cosϕ sinθ , −sinϕ) =−a n；L=rθθ•n=−(b+a cosϕ ) cosϕ，M=rϕθ•n= 0 ，N=rϕϕ•n=−a，从而第二基本形式为Ⅱ= d2r•n=L dθ 2+ 2M dθdϕ+N dϕ2=−(b+a cosϕ ) cosϕ dθ 2−a dϕ2．途径②：nθ= (−cosϕ sinθ , cosϕ cosθ , 0) = cosϕ (−sinθ , cosθ , 0) ，nϕ= (−sinϕ cosθ , −sinϕ sinθ , cosϕ) ，L=−rθ•nθ=−(b+a cosϕ ) cosϕ，M=−rϕ•nθ= 0 ，N=−rϕ•nϕ=−a，Ⅱ=−d r•d n=L dθ 2+ 2M dθdϕ+N dϕ2=−(b+a cosϕ ) cosϕ dθ 2−a dϕ2．三．在容许参数变换下的行为注意到 (1.5) 式，由一次微分形式的不变性易知，第二基本形式在保向容许参数变换下不变，在反向容许参数变换下变号；并且可证（留作习题）其在刚体运动下不变．下面考虑第二基本形式系数在容许参数变换下的变换规律．在容许参数变换 {u = u (u *, v *)v = v (u *, v *)下，分别记Jacobi 矩阵和Jacobi 行列式为 J = ⎝⎜⎛⎠⎟⎞∂u ∂u * ∂v ∂u *∂u ∂v * ∂v ∂v * ，∂(u , v ) ∂(u *, v *) = |J | ； 记参数 (u *, v *) 下曲面 S 的第二基本形式为Ⅱ = L *(u *, v *) d u *2 + 2M *(u *, v *) d u *d v * + N *(u *, v *) d v *2 ．若参数变换为保向的，则由复合求导链式法则可得(1.7) ⎝⎛⎠⎞L * M *M * N * = − ⎝⎛⎠⎞r u * r v * ⎝⎛⎠⎞n u * n v *T= − J ⎝⎛⎠⎞r u r v ⎝⎛⎠⎞n u n vT J T = J ⎝⎛⎠⎞L M M N J T ， (1.8) L *N * − M *2 = |J |2(LN − M 2) ．若参数变换为反向的，则 (1.7) 式右端差一负号，而 (1.8) 式仍然成立．这说明，类似于第一基本形式系数矩阵，第二基本形式系数矩阵仍然服从所谓“张量”的变换规律；其系数行列式变换规律，也与第一基本形式的相仿．特别值得注意的事实是，成立(1.9) L *N * − M *2 E *G * − F *2 = LN − M 2EG − F 2． 此式说明，利用两个基本形式的系数可以构造出曲面的几何量．(1.9) 式所确定的几何量将在后续内容中进一步得到考察．习 题⒈ 证明曲面的第二基本形式在刚体运动下不变．⒉ 对正则曲面 S ，试证： S 是平面片的充要条件为其第二基本形式恒等于零．⒊ 讨论可展曲面的第二基本形式，并用以证明：曲面的第二基本形式不是内蕴量． ⒋ 计算下列曲面 r (u , v ) 的第二基本形式系数．① r (u , v ) = (u , u 2 − 2uv , u 3 − 3uv ) ；② r (u , v ) = (u + v , u − v , 2uv ) ；③ r (u , v ) = (u , v , f (u , v )) ．⒌ 试证：正则球面片的第二基本形式是其第一基本形式的一个非零常数倍．⒍ 已知正则曲面 S : r (u , v ) 的第二基本形式是其第一基本形式的一个非零函数倍，即在参数 (u , v ) 下有 Ⅱ = f (u , v )Ⅰ ，f (u , v ) ≠ 0 ．试证：① d n=−f d r； ② 函数f为常值函数；③ S为球面片.⒎设正则曲面S: r(u, v) 的两族坐标曲线都是直线，并且切平面沿v线重合．试证S是平面片．。
