第二章曲面的第一基本形式

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

第一章 小结⒈ 重要结论：1）)(t r 具有固定长0)()(='⋅⇔t r t r 2）)(t r 具有固定方向0)()(='⨯⇔t r t r 3）)(t r 平行于固定平面0),,(=''''''⇔r r r 4）)(0t r 的旋转速度)(0t r '= ⒉ 基本公式：1） 切线 αλρ+=r2） 法面 0)(=⋅-αr R 或0),,(=-γβ r R3） 弧长 ⎰'=tadt t r t s )()(4） 密切平面 0)(=⋅-γr R5） 从切平面 0)(=⋅-βr R6） 主法线 βλρ+=r 7） 副法线 γλρ +=r ⒊ 基本向量1）r r r ''== α 2）r r r r r r r r r rr ''⨯'''''⋅'-'''⋅'==)()(β 3）r r r r ''⨯'''⨯'=⨯=βαγ ⒋ )()(s s K τ Frenet 公式1）α ==r s K )( 3)(r r r t K '''⨯'= 2）2)(),,(r r r r r ''⨯'''''''= τ 3）Frenet 公式 ⎪⎩⎪⎨⎧-=+-==βτγγταββα K K ⒌ 基本定理1） 自然方程：)()(s s K K ττ==2） 基本定理：第二章 曲面论小结（一）一、曲面的第一基本形式 1. 曲面：（1）{})()()()(v u z v u y v u x v u r r ==)(:_)(:_00v u r r v v u r r u==曲线曲线 构成曲纹坐标网（2）)(:v u r r S=上[])()()(:)(t r t v t u r rc ==切向量：dtdvr dt du r t r v u +=')( 切平面：0)(0=-v ur r r R法 线：)(0v u r r r R⨯+=λ（3）曲线族：0)()(=+dv v u B du v uA曲线网：0)()(2)(22=++dv v u C dudv v u B du v u A 2. 第一基本形式（1）Ⅰ222Gdv Fdudv Edu ++=Ⅰ22ds r d ==（2）弧长 222Gdv Fdudv Edu ds r d ++==（3）dv r du r r d v u +=v r u r r v u δδδ +=rr d δ⋅v Gdv u dv v du F u Edu δδδδ+++=)(（4）曲纹坐标网为正交网0=⇔F（5）⎰⎰-=Ddudv F EG S 2σ （6）等距变换⇔适当选择参数后有21ⅠⅠ=（7）保角变换⇔221ⅠⅠλ=二、第二基本形式1. Ⅱr d n d r d n⋅-=⋅=2Ⅱ222Ndv Mdudv Ldu ++=()2FEG r r r r n r n L v u uu u u uu -=⋅-=⋅=()2F EG r r r n r M v u uv uv -=⋅=()2FEG r r r n r N v u vv vv -=⋅=2. 法曲率：==θcos k k n ⅠⅡ )(βθ n =3. Dupin 指标线1222±=++Ny Mxy Lx1）02>-M LN 椭圆点，椭圆. 2）02<-M LN 双曲点，一对共轭双曲线. 3） 02=-M LN 抛物点，一对平行直线.4）0===N M L 平点，Dupin 线不存在.4. 渐近方向与共轭方向1）使0=n k 的方向为渐近方向2）渐近曲线上每一点切方向都是渐近方向0222=++Ndv Mdudv Ldu3）曲面上曲线为渐近曲线⇔ 1）直线 2）v n ±=4）坐标网为渐近网⇔0==N L5）方向)(d 与)(δ共轭⇔0)(=+++v Ndv u dv v du M u Ldu δδδδ 或0=⋅r n dδ 或 0=⋅r d n δ6）坐标网为共轭网⇔0=M5. 主方向和曲率线1）主方向：)(d 与)(δ满足0=⋅r r d δ且 0=⋅n r dδ 或0=⋅r n d δ2）Rodrigues Th ：dv du d :)(=为主方向⇔r d k n d n-=3）曲率线方程 022=-NMLG F E du dudv dv4）坐标网为曲率线网⇔0==M F6. n k （主曲率）、K 、H1）欧拉公式 GN k ELk k k k n ==+=212221sin cos θθ 2）0)()2()(222=-++---M LN k NE MF LG k F EG N N3）2221F EG M LN k k k --=⋅=)(22)(21221F EG NG MF LG k k H -+-=+=7. 第三基本形式1）22222gdv fdudv edu n d ds ++=== ※Ⅲ v v u un g n n f n e=⋅==2 2）02=+-ⅠⅡⅢK H3）σσσ※P P k →=lim第二章 曲面论小结（二）一、直纹面： 1. )()()(u b v u a v u r+=)(u a a= 导线。

曲面第一第二基本形式曲面的第一第二基本形式是曲面微分几何中的重要概念，用于描述曲面的局部性质。

曲面的第一基本形式是一个二次型，描述了曲面上的长度和角度的变化；而第二基本形式是一个线性映射，描述了曲面上的曲率信息。

对于一个曲面上的点，可以通过两个正交曲线来描述它的局部性质。

这两条曲线称为曲面上的曲线坐标线，在该点处与坐标轴相切。

通过这两条曲线，可以定义曲线的长度、角度和曲率等重要几何量。

曲面的第一基本形式是一个二次型，可以表示为：[ds^2 = E du^2 + 2F du dv + G dv^2]其中，(E)、(F) 和 (G) 是曲面上的度量系数。

它们描述了曲线坐标线上的长度和夹角变化。

具体而言，(E) 表示曲线坐标线在 (u) 方向上的长度的平方，(G) 表示曲线坐标线在 (v) 方向上的长度的平方，而 (F) 则表示曲线坐标线在 (u) 和 (v) 方向上的长度乘积。

曲面的第二基本形式是一个线性映射，可以表示为：[dN = L du^2 + 2M du dv + N dv^2]其中，(L)、(M) 和 (N) 是曲面上的切向量与法向量之间的内积。

它们描述了曲面上的曲率信息。

具体而言，(L) 表示曲面的法向量在 (u) 方向上的变化率，(N) 表示曲面的法向量在 (v) 方向上的变化率，而 (M) 则表示曲面的法向量在 (u) 和 (v) 方向上的变化率乘积。

通过第一第二基本形式，我们可以计算曲面上的各种几何量，如曲率、高斯曲率和平均曲率等。

这些几何量对于曲面的形状和性质具有重要的意义，并在计算机图形学、物理学和工程学等领域中得到广泛应用。

总之，曲面的第一第二基本形式是描述曲面局部性质的重要工具，它们提供了曲面上的长度、角度和曲率等几何信息。

通过研究这些信息，我们可以深入理解曲面的形状和性质，并应用于各种实际问题的解决中。

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

微分几何曲面第一基本形式
微分几何是研究流形及其上的几何结构的数学学科。

在微分几何中，曲面是最简单的一类流形。

曲面具有平坦的形状，可以用一维曲线组成的二维平面来描述。

曲面的第一基本形式是描述曲面上的内部几何特征的工具。

它是由曲面上的切向量和曲面上的度量张量所确定的。

切向量是与曲面上的点相切的向量，可以用来描述曲面上的切平面的方向。

而度量张量则是用来测量曲面上的长度、角度和曲率等几何量的。

具体来说，设曲面S为一个二维流形，曲面上的点p可以由两个参数u和v来确定，即p = (u, v)。

在这个参数化下，曲面上的切向量可以通过对u和v求偏导数来求得。

切向量的长度可以通过计算内积来得到。

曲面上的度量张量是一个二阶张量，用来描述曲面的内在几何特征。

它可以通过计算切向量之间的内积来得到。

度量张量的坐标表示为：
g = E du^2 + 2F du dv + G dv^2
其中E、F和G是曲面上的度量系数，分别表示在u和v方向上的度量。

它们可以通过计算曲面上的基向量的内积来得到。

曲面的第一基本形式有许多重要的应用。

例如，它可以用来计算曲面上的曲率，描述曲面上的最短路径以及计算曲面上的面积等。

通过研究曲面的第一基本形式，我们可以深入理解曲面的几何性质，并进一步推导出更多的几何定理和结论。

总之，曲面的第一基本形式是微分几何中描述曲面上的内部几何特征的重要工具。

通过分析曲面的切向量和度量张量，我们可以了解曲面的形状、曲率和其他几何特征。

对于研究曲面的性质和应用具有重要意义。