微分几何答案(第二章)

第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。

r r r r r r r r r 量，且 r (t ) · n = 0 。两次求微商得 r ' · n = 0 ， r ' ' · n = 0 ，即向量 r ， r ' ， r ' ' r r r r 垂直于同一非零向量 n ，因而共面，即（ r r ' r ' ' ）=0 。 r r r r r r r r r r r r 反之, 若（ r r ' r ' ' ）=0，则有 r × r ' = 0 或 r × r ' ≠ 0 。若 r × r ' = 0 ，由上题
}
1．求圆柱螺线 x =a cos t ， y =a sin t ，
解 r ' ={
r
-a sin t ,a cos t ,b}, r ' ' ={-a cos t ,- a sin t ,0
y − a sin t a cos t − a sin t
r
所以曲线在任意点的密切平面的方程为
x − a cos t − a sin t − a cos t
r r r r | r '×r ' ' | 2a 2 cosh t 1 = r '×r ' ' = a{− sinh t , cosh t ,−1} ，所以 k = r 3 = 3 | r '| 2a cosh 2 t ( 2a cosh t )
29
微分几何主要习题解答
τ=
r r r (r ' , r ' ' , r ' ' ' ) a2 1 = = r r 2 4 2 (r '×r ' ' ) 2a cosh t 2a cosh 2 t

2. 求曲线 = { t ,t ,t } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。
解 原点对应t=0 , (0)={ +t , - t , +t ={0,1,1}，
{2 + t , - t ,2 +t ={2,0,2} ，
所以切线方程是 ，法面方程是 y + z = 0 ；
方法二：取定点为坐标原点建坐标系，曲线的方程设为 ＝ ，则曲线在任意点的切线方程是 ，由条件切线都过坐标原点，所以 ，于是 ＝ ，从而 × ＝ ，所以由曲率的计算公式知曲率k＝０，所以曲线为直线。
方法三：设定点为 ，曲线的方程为 ＝ ，则曲线在任意点的切线方程是 ，由条件切线都过定点 ，所以 ，两端求导得:
§3 曲线的概念
3. 证明圆柱螺线 ={ a ,a , } ( )的切线和z轴作固定角。
证明 = {-a ,a , },设切线与z轴夹角为 ,则 = 为常数，故 为定角（其中 为z轴的单位向量）。
10. 将圆柱螺线 ={a ，a ，b }化为自然参数表示。
解 = { -a ,a ,b}，s = ，所以 ，
若一曲线的所有法平面通过一定点，以此定点为坐标原点建立坐标系，则 ? = 0， 具有固定长，对应的曲线是球面曲线。
方法二：
是球面曲线 存在定点 （是球面中心的径矢）和常数R（是球面的半径）使 ，即 （﹡）
而过曲线 上任一点的法平面方程为 。可知法平面过球面中心 （﹡）成立。
9．证明曲线 ＝ 为一般螺线的充要条件为
证 ，
＝ ，其中k 0.
曲线 ＝ 为一般螺线的充要条件为 为常数,即 =0,也就是 。
方法二： ，即 。曲线 ＝ 为一般螺线，则存在常向量 ，使 ? =常数，所以 所以 共面，从而（ ）=0。反之，若（ ）=0，则 平行于固定平面，设固定平面的法矢为 ，则有 ，从而 ? = p (常数)，所以 ＝ 为一般螺线。

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。

第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r具有固定方向的充要条件是)(t r×)('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r一般可以写成)(t r=)(t λ)(t e的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r =)('t λe ，所以 r ×'r=λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e 求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e2)＝2'e ，（因为e具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e为常向量。

所以，)(t r 具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r ·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r的关系。

微分几何参考答案：P51页1. 求曲线r = { t t sin ,t t cos ,t t e } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。

解 原点对应t=0 , 'r(0)={ t sin +t t cos ,t cos - t t sin ,t e +t t e 0}=t ={0,1,1}，=)0(''r{2t cos + t t cos ,t cos - t t sin ,2t e +t t e 0}=t ={2,0,2} ，所以切线方程是110zy x == ，法面方程是 y + z = 0 ； 密切平面方程是202110zy x=0 ，即x+y-z=0 ，主法线的方程是⎩⎨⎧=+=-+00z y z y x 即112zy x =-= ；从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式111-==zy x 。

2．求以下曲面的曲率和挠率⑴ },sinh ,cosh {at t a t a r =,⑵ )0)}(3(,3),3({323a t t a at t t a r +-=。

解 ⑴},cosh ,sinh {'a t a t a r = ，}0,sinh ,cosh {''t a t a r = ，}0,cosh ,{sinh '''t t a r =，}1,cosh ,sinh {'''--=⨯t t a r r，所以t a t a t a r r r k 2323cosh 21)cosh 2(cosh 2|'||'''|==⨯= ta t a a r r r r r 22422cosh 21cosh 2)'''()''','','(==⨯=τ 。

⑵ }1,2,1{3'22t t t a r +-= ，}1,0,1{6'''},,1,{6''-=-=a r t t a r，'r ×''r =}1,2,1{18222+--t t t a ，22322223)1(31)1(2227)1(218|'||'''|+=++=⨯=t a t a t a r r r k22224232)1(31)1(2182618)'''()''','','(+=+⨯⨯⨯=⨯=t a t a a r r r r r τ 。

第一章 事件与概率1.1 写出下列随机试验的样本空间及表示下列事件的样本点集合。

(1)10件产品中有1件是不合格品，从中任取2件得1件不合格品。

(2)一个口袋中有2个白球、3个黑球、4个红球，从中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得红球。

解 (1)记9个合格品分别为 921,正正正，， ，记不合格为次，则，，，，，，，，，)()()(){(1913121次正正正正正正正 =Ω，，，，，，，，，)()()()(2924232次正正正正正正正 ，，，，，，，)()()(39343次正正正正正 )}()()(9898次正次正正正，，，，，，=A ){(1次正，，，，)(2次正)}(9次正，，(2)记2个白球分别为1ω，2ω，3个黑球分别为1b ，2b ，3b ，4个红球分别为1r ，2r ，3r ，4r 。

则=Ω{1ω，2ω，1b ，2b ，3b ，1r ，2r ，3r ，4r }(ⅰ) =A {1ω，2ω} (ⅱ) =B {1r ，2r ，3r ，4r }1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。

(1) 叙述C AB 的意义。

(2)在什么条件下C ABC =成立？(3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？(4) 什么时候B A =成立？解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。

(2) C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。

(3)当全系运动员都是三年级学生时。

(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。

1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。

用i A 表示下列事件：(1)没有一个零件是不合格品；(2)至少有一个零件是不合格品；(3)仅仅只有一个零件是不合格品；(4)至少有两个零件是不合格品。

解 (1) n i i A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n ij j j i A A 11)]([=≠=;(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为 nj i j i j i A A ≠=1,；1.4 证明下列各式：(1)A B B A ⋃=⋃;(2)A B B A ⋂=⋂(3)=⋃⋃C B A )()(C B A ⋃⋃;(4)=⋂⋂C B A )()(C B A ⋂⋂(5)=⋂⋃C B A )(⋃⋂)(C A )(C B ⋂ (6) ni i n i i A A 11===证明 （1）—（4）显然，（5）和（6）的证法分别类似于课文第10—12页（1.5）式和(1.6)式的证法。

第二章曲面论§1 曲面的概念1. 求正螺面r ={ u cos v ,u sin v , bv }的坐标曲线.解 u- 曲线为r ={u cos v0 ,u sin v0,bv0}=｛0,0，bv0｝＋u { cosv0, sin v0,0}，为曲线的直母线； v- 曲线为r ={ u0cos v , u0sin v ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a（u+v）, b（u-v）,2uv｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u- 曲线为r ={ a （ u+ v0） , b （u- v0） ,2u v0 }={ a v0, b v0,0}+ u{a,b,2v0}表示过点{ a v0, b v0,0}以{a,b,2v0}为方向向量的直线;v- 曲线为r =｛ a（u0 +v） , b（u0 -v ） ,2 u0 v｝ =｛ a u0 , b u0 ,0 ｝ +v{a,-b,2u 0}表示过点 (a u0 , b u0 ,0) 以 {a,-b,2u 0}为方向向量的直线。

3．求球面r ={ a cos sin , a cos sin , a sin } 上任意点的切平面和法线方程。

解r ={ a sin cos , a sin sin , a cos }，r={ a cos sin , a cos cos,0}x a cos cos y a cos sin z asin任意点的切平面方程为 a sin cos a sin sin a cos0a cos sin a cos cos0即 xcos cos+ ycos sin+ zsin- a = 0；法线方程为x a cos cos y a cos sin z a sin。

cos cos cos sin sin4．求椭圆柱面x2y21在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有a2 b2一个切平面。

—解椭 圆 柱 面 x 2y 2 1 的 参 数 方 程 为 x = cos ,y = asin, z = t ,a 2b 2r{ a sin,b cos ,0} , r t { 0,0,1} 。

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、第一章 曲线论§2 向量函数5. 向量函数)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t r × )('t r= 0 。

分析：一个向量函数)(t r 一般可以写成)(t r =)(t λ)(t e 的形式，其中)(t e为单位向量函数，)(t λ为数量函数，那么)(t r 具有固定方向的充要条件是)(t e具有固定方向，即)(t e 为常向量，（因为)(t e 的长度固定）。

证 对于向量函数)(t r ，设)(t e 为其单位向量，则)(t r =)(t λ)(t e ，若)(t r具有固定方向，则)(t e 为常向量，那么)('t r=)('t λe ，所以 r ×'r =λ'λ（e ×e ）=0 。

反之，若r ×'r =0 ，对)(t r =)(t λ)(t e求微商得'r ='λe +λ'e ，于是r ×'r =2λ（e ×'e ）=0 ，则有 λ = 0 或e ×'e =0 。

当)(t λ= 0时，)(t r =0 可与任意方向平行；当λ≠0时，有e ×'e =0 ，而（e ×'e 2)=22'e e -(e ·'e 2)＝2'e ，（因为e 具有固定长， e ·'e = 0） ，所以 'e =0 ，即e 为常向量。

所以，)(t r具有固定方向。

6．向量函数)(t r平行于固定平面的充要条件是（r 'r ''r ）=0 。

分析：向量函数)(t r 平行于固定平面的充要条件是存在一个定向向量)(t n，使)(t r·n = 0 ，所以我们要寻求这个向量n 及n 与'r ，''r 的关系。

第一章测试1.两个非零向量平行的充要条件是（）A:二重向量积为零向量B:点积为零C:混合积为零D:叉积为零向量答案:D2.三维空间中幺正标架的全体是（）维空间A:4B:6C:5D:3答案:B3.（）A:B:C:D:答案:C4.两个向量的点积具有交换性.（）A:错B:对答案:B5.两个向量的叉积具有交换性.（）A:对B:错答案:B6.没有坐标系，三维欧氏空间中依然可以定义向量及其运算.（）A:对B:错答案:A7.同始点三个不共面向量构成的图形是一个幺正标架.（）A:对B:错答案:B8.幺正标架是单位正交右手标架.（）A:错B:对答案:A9.三维欧氏空间中的正交标架与仿射标架的全体均为6维流形.（）A:对B:错答案:B10.向量值函数的连续等价于其分量函数的连续.（）A:对B:错答案:A11.连续向量值函数的点积、叉积仍连续.（）A:对B:错答案:A第二章测试1.密切平面和法平面的交线是（）.A:副法线B:平面曲线C:切线D:主法线答案:D2.从切平面和法平面的交线是( ）A:主法线B:平面曲线C:副法线D:切线答案:C3.挠率为零的空间曲线一定是( )A:圆柱螺线B:圆C:平面曲线D:直线答案:C4.下列哪些量是合同变换下的不变量( )A:曲线的曲率、挠率B:曲线的弧长、曲率、挠率C:曲线的弧长、曲率D:曲线的弧长、挠率答案:C5.下列曲线的曲率与挠率不全为常数的是（）A:椭圆B:圆柱螺旋线D:直线答案:A6.正则曲线的近似曲线在从切面上的投影是（）.A:圆.B:半三次曲线；C:抛物线；D:三次曲线；答案:D7.半三次曲线是正则曲线.（）A:对B:错答案:B8.能显示表示为三阶连续可导函数的曲线必正则.（）A:对B:错答案:A9.正则曲线的近似曲线在法平面上的投影是半三次曲线（）.A:对B:错答案:A10.具有无穷次可微的参数表示的曲线是正则的（）A:错B:对答案:A11.每一点都是正则点的曲线为正则曲线.（）A:对B:错答案:B12.曲线的参数方程与标架的选取有关（）A:错B:对答案:B13.正则曲线的弧长与方向的选取无关.（）A:错B:对答案:A14.曲线的弧长在参数变换下不变.（）A:错答案:A15.正则曲线的弧长是曲线的几何不变量，它不依赖保定向的参数的选取和直角坐标系的选取.（）A:错B:对答案:B16.正则曲线的弧长是刚体运动和合同变换下的不变量.（）A:错B:对答案:B17.当曲线改变定向时，曲率与挠率可能会变号.（）A:错B:对答案:A18.曲率是和曲率向量是容许参数变换和合同变换下的不变量.（）A:对B:错答案:A19.曲率是容许参数变换和合同变换下的不变量.（）A:错B:对答案:B20.设曲线C不是直线，则它是一条平面曲线当且仅当它的挠率τ(s)=0. （）A:对B:错答案:A21.挠率是容许参数变换与合同变换下的不变量.（）A:错B:对答案:A22.切向量与固定方向交成定角的曲线其从法线与固定方向也交成定角.（）A:对B:错答案:A23.在相差一个刚体运动下，空间曲线完全由曲率和挠率决定.( )A:对B:错答案:A24.曲线的弧长、曲率与挠率都是刚体运动下的不变量.( )A:对B:错答案:A25.在反向刚体运动下，曲线的弧长、曲率不变，挠率反号.( )A:对B:错答案:A26.正则曲线为球面曲线的充要条件是其法平面过定点（球心）.（ )A:对B:错答案:A27.平面上两个不同的同心圆互为侣线.（ )A:错B:对答案:B28.所有主法线过定点的正则连通曲线必为圆.（ )A:错B:对答案:B29.相对曲率为非为零常数的曲线必为圆弧.（ )A:对B:错答案:A30.相对曲率为常数的曲线必为圆弧.（ )A:对B:错答案:B第三章测试1.下列曲面不是旋转面的是( ).A:圆环面B:球面C:直纹面D:圆柱面答案:C2.本书中正则参数曲面的向量值函数要求具有（）阶以上连续可微性.A:4B:2C:1D:3答案:D3.一个正则参数曲面的法线经过定点，则该曲面为（）.A:柱面B:旋转曲面C:直纹面D:球面答案:D4.球面和正螺面都是旋转面.（）A:对B:错答案:A5.正则参数曲面在任意点的某个邻域内总可以表示成Monge形式.（）A:错B:对答案:B6.在容许的参数变换下，曲面的单位法向量可能反向.（）A:对B:错答案:A7.容许的参数变换保持曲面的定向.（）A:错B:对答案:A8.在容许的参数变换下，曲面的单位法向量不变（）A:对B:错答案:B9.在容许的参数变换下，曲面的正则性不变.（）A:对B:错答案:A10.曲面在其上一点p处的切向量只有一条.（）A:错B:对答案:A11.曲面其上一点p的切向量全体构成一个二维空间.（）A:对B:错答案:A12.正则曲面在其上点p处的切平面、单位法向量在参数变换下保持不变.（）A:错B:对答案:A13.曲面的第一基本形式是容许参数变换下的不变量，与标架的选取无关（）A:对B:错答案:A14.曲面的第一基本形式是其弧长微元的平方（）A:对B:错答案:A15.曲面上两族坐标曲线处处正交的充要条件是其第一基本形式的度量矩阵为对角阵.（）A:对B:错答案:A16.正则曲面的面积元素与区域面积由其第一基本形式完全决定.（）A:错B:对答案:B17.第一基本量与曲面的参数选取和合同变换无关.（）A:对B:错答案:B18.正则曲面的第一基本形式的度量矩阵可以为半正定的.（）A:错B:对答案:A19.曲面的第一基本形式是容许参数变换下的不变量，与标架的选取有关.（）A:错B:对答案:A20.曲面的第一基本形式是刚体运动下的不变量，在合同变换下可能相差一个负号.（）A:对B:错答案:B21.曲面的第一基本量在容许的参数变换下不变.（）A:对答案:B22.旋转曲面的坐标网必为正交网.（）A:对B:错答案:A23.椭圆柱面沿着直母线的切平面必重合.（）A:错B:对答案:B24.单叶双曲面是直纹面，且是可展曲面.（）A:对B:错答案:B25.马鞍面是不可展的直纹面.（）A:对B:错答案:A26.正螺面是不可展的直纹面.（）A:对B:错答案:A27.麦比乌斯带是不可展的直纹面.（）A:错B:对答案:B28.第一基本形式在反向的参数变换下不变.（）A:错B:对答案:B29.任意两个正则参数曲面局部上均可建立保角对应.（）A:错B:对答案:B30.任意两个正则参数曲面局部上均可建立保长对应.（）A:对B:错答案:B31.挠曲线的主法线面和副法线面都不是可展曲面.（）A:错答案:B第四章测试1.曲面,是其单位法向量.下列第二类基本量的计算中（）是不正确的.A:B:C:D:答案:B2.曲面的第二基本形式在（）下不变.A:参数变换B:刚体运动C:等距变换D:不同标架答案:B3.关于圆柱面S：的说法错误的是（）.A:S的第二基本形式为B:S的第一基本形式为C:S的第一基本形式与uov平面的第一基本形式相同D:S的第二基本形式为答案:D4.以下说法正确的是（）.A:法曲率的绝对值是法截线的曲率B:法曲率是法截线的曲率C:法曲率是曲率向量在主法向量上的投影D:法曲率大于等于零答案:A5.下列关于曲线网的叙述错误的是（）.A:曲面上局部必存在等温曲线网B:曲面上正交曲线网存在未必唯一C:曲面上局部必存在正交曲线网D:曲面上局部必存在渐近线网答案:D6.正则曲面在每一点处的主方向（）.A:可能没有B:只有两个C:只有一个D:至少有两个答案:D7.下列（）是渐进方向存在的充分条件.A:B:C:D:答案:C8.以下量中，（）不是曲面的内蕴量.A:曲面上曲线的弧长B:曲面上一点沿一方向的法曲率C:曲面上曲面域的面积D:曲面上两曲线的夹角答案:B9.曲面在一（非脐）点的主曲率是曲面在这点（）.A:所有方向法曲率中的最小值B:沿主方向的法曲率C:所有方向法曲率的平均值D:所有方向法曲率中的最大值答案:B10.下列关于Weingarten映射W的叙述错误的是（）.A:在曲面S上任意一点p处，W的2个特征值正好是曲面S在p点的主曲率，对应的特征方向是曲面S在p点的主方向.B:曲面的第二基本形式可用Weingarten变换表示为：C:对曲面S的任意单位切向量，S沿的法曲率可表为D:W在保向的参数变换下不变，在反向的参数变换下变号.答案:D11.若是Weingarten映射的一个实特征值，则它正好是曲面在该点沿与它对应的特征方向的（）.A:Gauss曲率B:主曲率C:测地曲率D:平均曲率答案:B12.下列关于曲率线的叙述错误的是( ).A:既是测地线又是渐近线的曲线必为直线B:平面与球面上的任何曲线都是曲率线C:无脐点的曲面上未必存在曲率线D:可展曲面的直母线是曲率线，直母线的正交轨线是另一组曲率线答案:C13.在无脐点的曲面上，下列关于参数曲线网的存在性说法错误的为（）.A:局部总存在渐近线网B:局部总存在正交的曲率线网C:局部总存在等温参数曲线网D:局部总存在正交曲线网答案:A14.以下结论不正确的是（）.A:圆柱面上的圆柱螺线是曲率线;B:旋转曲面上的纬圆是曲率线C:球面上的每一条曲线是曲率线D:平面上的每一条曲线是曲率线答案:A15.直纹的极小曲面是（）.A:平面或悬链面B:平面或可展曲面C:平面或正螺面D:平面或伪球面答案:C16.下列（）不是可展曲面.A:柱面.锥面.或曲线的切线面B:沿着直母线切平面固定的曲面C:高斯曲率为零的曲面D:平均曲率为0的直纹面答案:D17.曲面的法曲率除了与点、切方向相关外，还与过定点的曲线选择或切向量大小有关.（）A:对B:错答案:B18.法曲率在刚体运动下不变，反向刚体运动下变号.（）A:错B:对答案:B19.曲面S在点p处沿着切方向（du,dv）的法曲率等于S在p点由切方向(du,dv)确定的法截线C的法曲率.（）A:错B:对答案:B20.曲面上过定点相切的曲线有相同的法曲率.（）A:对B:错答案:A21.曲面在任一点有且仅有二个主方向.（）A:对B:错答案:B22.曲面上任何非脐点处的两个主方向必正交.（）A:错B:对答案:B23.Weingarten变换不是线性变换.（）A:对B:错答案:B24.在曲面的任意点处，任何两个正交方向的法曲率之和为常数.（）A:错B:对答案:B25.旋转面上的经线是曲率线，而纬线不是.（）A:错B:对答案:A26.曲率线就是曲面上主方向场的积分曲线.（）A:错B:对答案:B27.全脐曲面上任一条曲线均为曲率线.（）A:对B:错答案:A28.平均曲率与高斯曲率在曲面的参数变换下不变.（）A:对B:错答案:B29.主曲率在曲面的参数变换下不变.（）A:错B:对答案:A30.曲面上的点是脐点当且仅当 . （）A:对B:错答案:A31.脐点中的圆点一定是椭圆点.（）A:对B:错答案:A32.双曲点一定不是脐点.（）A:对B:错答案:A33.脐点处的迪潘指标线是圆.（）A:错B:对答案:A34.非脐点处的迪潘指标线是椭圆或两对共轭的双曲线或两条平行直线.（）A:错B:对答案:B35.三维欧式空间中除了平面外，在旋转曲面中不存在极小的直纹面.（）A:错B:对答案:B36.高斯曲率为零的旋转曲面必为平面.圆柱面或圆锥面.（）A:对B:错答案:A37.极小曲面的高斯曲率可能大于零.（）A:错B:对答案:A38.在容许的参数变换下不变.（）A:错B:对答案:B39.曲面的第二基本形式是其上切点临近点到切平面的有向距离.（）A:错B:对答案:A40.第二基本形式的系数矩阵为正定矩阵.（）A:对B:错答案:B41.第二基本形式在保向的容许参数变换或刚体运动下相差一个符号.（）A:错B:对答案:A42.平面与圆柱面具有相同的第一、第二基本形式.（）A:对B:错答案:B43.球面的第二基本形式为常数.（）A:错B:对答案:A44.曲面一点处的主曲率是曲面在该点所有方向法曲率的最大值.（）A:对B:错答案:B45.正螺面是极小曲面.（）A:错B:对答案:B46.曲面在双曲点邻近的形状近似于双曲抛物面.（）A:错B:对答案:B47.曲面在椭圆点邻近的形状近似于椭圆抛物面.（）A:对B:错答案:A48.每一条曲线在其主法线面上都是渐进曲线.（）A:错B:对答案:B49.极小曲面上的点都是双曲点.（）A:对B:错答案:B50.曲面为平面或球面的充要条件是（）A:错B:对答案:B51.曲面切线面上的点都是抛物点. （）A:错B:对答案:B52.曲面上的直线必为该曲面的渐近线. （）A:错B:对答案:B53.直母线必为可展曲面的渐近线. （）A:对B:错答案:A54.旋转曲面上的经线与纬线均是曲率线. （）A:对B:错答案:A55.球面上的点必为圆点. （）A:对B:错答案:A56.可展曲面的直母线既是渐近线，又是曲率线. （）A:对B:错答案:A57.若正则曲面上的所有曲线均为曲率线，则该曲面为全脐曲面. （）A:对B:错答案:A58.直纹面的高斯曲率可能为正. （）A:对B:错答案:B59.单位球面上可能存在渐进方向. （）A:对B:错答案:B第五章测试1.关于黎曼记号的对称性，错误的是（）.A:C:D:答案:B2.曲面的两个基本形式是互相独立的.（）A:错B:对答案:A3.高斯曲率恒为零的无脐点曲面一定是直纹面.（）A:错B:对答案:B4.在不计位置的情况下，第一与第二基本形式就完全可以决定一张曲面.（）A:错B:对答案:B5.任意两正则参数曲面在局部上都是可以建立保长对应.( )A:错B:对答案:A6.Gauss曲率是曲面的内蕴几何量.（）A:对B:错答案:A7.三维欧式空间中的直纹面上可能存在椭圆点.（）A:对B:错答案:B8.无脐点曲面可展的充要条件是它能和一块平面建立保角对应.（）A:错B:对答案:A9.Gauss曲率在曲面的保长对应下不变.（）A:对B:错答案:A10.三维欧式空间的一块曲面S是可展曲面的充要条件是它的Gauss曲率恒小于零.（）A:错答案:A11.在正交曲线网下，（）A:对B:错答案:A12.曲面的高斯曲率是曲面在保长变换下的不变量（）A:错B:对答案:B13.主曲率为互不相等的常值函数的曲面为柱面. （）A:错B:对答案:B14.在球面与柱面之间可能存在保长对应. （）A:对B:错答案:B15.存在使得的曲面. （）A:对B:错答案:B第六章测试1.在曲面S上非直线的渐近曲线C的挠率是曲面S沿曲线C的切方向的（）.A:Gauss曲率B:法曲率C:测地挠率D:测地曲率答案:C2.下列各量中，不是内蕴量的是（）A:测地曲率B:Riemann曲率张量C:测地挠率D:Gauss曲率答案:C3.测地线的（）恒等于零.A:测地曲率B:法曲率C:相对曲率答案:A4.若曲面上的所有测地线均是平面曲线，则该曲面必为平面或球面.( )A:对B:错答案:A5.是渐进曲线的测地线必为直线.( )A:错B:对答案:B6.伪球面上的测地三角形内角和大于零.（）A:对B:错答案:B7.连接曲面上两点的所有曲线段中，最短的一定是测地线.( )A:错B:对答案:B8.曲面在一点的测地曲率在曲面上保长对应下可能会改变.（）A:错B:对答案:A9.曲面上曲线的曲率平方与法曲率的平方和等于测地曲率的平方和.（）A:错B:对答案:A10.曲面上曲线测地曲率的代表曲线是法截线.（）A:错B:对答案:A11.平面上的测地线必为直线.（）A:错B:对答案:B12.圆柱面上的测地线为圆柱螺线.（）A:错B:对答案:B13.经线是旋转曲面的测地线.（）A:对答案:A第七章测试1.设f,g是光滑函数，θ是一次微分形式，则下列运算错误的是（）.A:d(fg)=gdf+fdgB:d(θf)= fdθ-θ˄dfC:d(θf)=θ˄df+fdθD:d(fθ)=df˄θ+fdθ答案:C2.已知，则为（）.A:2uvB:0C:uvdu˄dvD:2uvdu˄dv答案:B3.已知，则dθ为（）.A:0B:(v+2)du˄dvC:du˄dvD:dv˄du答案:D4.已知，则dθ为（）.A:B:C:D:答案:D5.设球面，则下列正确的是（）.A:B:C:D:答案:C6.函数的外微分对应于该函数的（）.A:散度B:旋度C:梯度答案:C7.一阶微分形式的外微分对应于该微分形式系数向量场的（）.A:梯度B:旋度C:散度答案:B8.二阶微分形式的外微分对应于该微分形式系数向量场的（）.A:散度B:旋度C:梯度答案:A9.两个微分形式的外积满足反交换性.（）A:对B:错答案:B10.设则). （）A:对B:错答案:A11.三维欧式空间中，可能存在非零的四阶微分形式. （）A:对B:错答案:B12.设则（）A:错B:对答案:B13.设则) （）A:错B:对答案:B14.设为正整数，则阶外微分形式的外微分是阶外微分式.（）A:错B:对答案:A15.设是三维欧式空间中的任意外微分形式，其系数二阶连续可导，则必有（）A:对B:错答案:A16.（）A:错B:对答案:A17.则必有. （）A:对B:错答案:A18.空间曲面的结构方程中，（）A:对B:错答案:A19.主曲率均为常数的曲面是全脐点曲面，即平面或球面. （）A:错B:对答案:A20.主曲率均为常数的曲面只可能是平面、球面或圆柱面. （）A:对B:错答案:A21.设是两个光滑函数，则（）A:错B:对答案:B。

微分几何主要习题解答
第一章 曲线论
§2 向量函数
5.
向量函数
r (t
)
具有固定方向的充要条件是
r (t)
×
r'
(t
)
=
0。
分析：一个向量函数
r (t
)
一般可以写成
r (t)
=
λ (t )
e (t )
的形式，其中
e (t )
为单位向
量函数，λ
(t)
为数量函数，那么
r (t
)
具有固定方向的充要条件是
'
（
e
×
e
）= 0 。
反之，若 r × r ' = 0
，对
r (t)
=
λ (t )
e (t )
求微商得 r' = λ '
e + λ
e'
，于是
r
×
r
'
=
λ
2
（
e
×
e'
）=
0
，则有
λ
=0
或
e
×
e'
=
0
。当
λ
(t)
=
0
时，r(t)
=
0
可与任意方
向平行；当 λ
≠
0
时，有
e
×
e
'
λr + µ
r'
①
26
微分几何主要习题解答
令 n = r × r' ，则 n
≠
0
，且
r(t
)
⊥
n(t)

习题答案2p. 58 习题3.12. 在球面2222{(,,)|1}S x y z x y z =++=上，命(0,0,1)N =，(0,0,1)S =-. 对于赤道平面上的任意一点(,,0)p u v =，可以作为一的一条直线经过,N p 两点，它与球面有唯一的交点，记为p '. (1) 证明：点p '的坐标是2221u x u v =++，2221vy u v =++，222211u v z u v +-=++， 并且它给出了球面上去掉北极N 的剩余部分的正则参数表示；(2) 求球面上去掉南极S 的剩余部分的类似的正则参数表示； (3) 求上面两种正则参数表示在公共部分的参数变换； (4) 证明球面是可定向曲面.证明. (1) 设(,)r u v Op '=. 如图，,,N p p '三点共线，故有t ∈R 使得(1)Op tOp t ON '=+-. (1) 由于21Op ON =='，222u v Op =+，0Op ON '⋅=，0t ≠，取上式两边的模长平方，得222/(1)t u v =++. 从而22222221(,,)(,,0)(0,0,1)11u v x y z Op u v u v u v +-'==+++++ 22222222221,,111u v u v u v u v u v ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈R . (2) 由(1)可知(,,1)(0,0,1)(,,1)r Op tNp ON t u v tu tv t '==+=-+=-，又2()dt t udu vdv =-+，所以2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =--+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =--+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=--+ 22222(,,()1)(,,1)0t tu tv t u v t tu tv t t r =-+-=--=-≠. (3)因此(,)r r u v =给出了2\{}S N 的正则参数表示.(2)令(,,0)q u v =是,S p '两点连线与赤道平面的交点. 同理，有(1)(,,1)Op t Oq t OS t u t v t '=+-=-，222/(1)t u v =++，22222222221(,,),,111u v u v r x y z Op u v u v u v ⎛⎫--'=== ⎪++++++⎝⎭，2(,)u v ∈R . (4) 2(,,1)(1,0,0)u r t u u v t =-+，2(,,1)(0,1,0)v r t v u v t =-+，332(1,0,)(0,1,)(0,0,1)u v r r t u u t v v t ⨯=----+ 22222(,,1())(,,1)0t t u t v t u v t t u t v t t r =-+=-=≠. (5)因此(4)给出了2\{}S S 的正则参数表示.(3) 由(2)和(4)式可得2222()()1u v u v ++=，从而上面两种正则参数表示在公共部分2\{,}S N S 上的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v=+. (6) 由(3)和(5)可知22222222222(,)(1)10(,)(1)()u v t u v u v t u v u v ∂++=-=-=-<∂+++. 所以参数变换是可允许的，并且是改变定向的参数变换.注. 如果采用复坐标，令,z u i v w u i v =+=-，则上面的参数变换可写成1/w z =. 这就是广义复平面上的共形变换.(4) 在2\{}S N 上采用(1)式给出的正则参数表示，在2\{}S S 上采用正则参数表示22222222221(,).,,111u v u v r u v u v u v u v ⎛⎫---= ⎪++++++⎝⎭则在公共部分的参数变换公式为22u u u v =+，22vv u v-=+. (4) 由于{}22\{},\{}S N S S 构成2S 的开覆盖，并且22222222222222222()()2222()()(,)10(,)()v u uv u v u v uv v u u v u v u v u v u v -++--++∂==>∂+， 所以2S 是可定向的. □5 写出单叶双曲面2222221x y z a b c +-=和双曲抛物面22222x y z a b=-作为直纹面的参数方程.解. (1) 对单叶双曲面，取腰椭圆()(cos ,sin ,0)a u a u b u =，(0,2)u π∈为准线. 设直母线的方向向量为()()(),(),()l u aX u bY u cZ u =. 则直纹面的参数方程为()(,)()()(cos ()),(sin ()),()r u v a u vl u a u vX u b u vY u cvZ u =+=++.由于(,)r u v 的分量满足单叶双曲面的方程，可得222(cos ())(sin ())(())1u vX u u vY u vZ u +++-=，v ∀∈R .由v 得任意性得到cos ()sin ()0uX u uY u +=，222()()()X u Y u Z u +=.因此():():()sin :cos :1X u Y u Z u u u =-±. 取()()sin ,cos ,l u a u b u c =-得()(,)(cos sin ),(sin cos ),r u v a u v u b u v u cv =-+，(,)(0,2)u v π∈⨯R .(2) 对双曲抛物面，令()x a u v =+，()y b u v =-，则2z u v =. 曲面的参数方程为()(,)(),(),2r u v a u v b u v uv =+- (,,0)(,,2)(,,0)(,,2)au bu v a b u av bv u a b v =+-=-+，2(,)u v ∈R .p. 94 习题3.21. 证明：一个正则参数曲面S 是球面⇔它的所有法线都经过一个固定点.证明. “⇒”设S 是球面，参数方程为(,)r u v ，球心为a ，半径为R . 则有22((,))r u v a R -=，,u v D ∀∈. (1)微分可得()0u r r a -=，()0v r r a -=. (2)所以()//u v r a r r -⨯，从而u v r a r r λ-=⨯，即有函数(,)u v λλ=使得(,)(,)[(,)][(,)]u v a r u v u v r u v r u v λ=-⨯. (3)这说明球心a 在它的所有法线上.“⇐” 设S 的所有法线都经过一个固定点a . 则有函数(,)u v λλ=使得(3)式成立，即有u v r a r r λ-=⨯. 分别用,u v r r 作内积，可得(2). 这说明2()0d r a -=，从而(1)式成立，其中0R >(否则S 只是一个点，不是正则曲面)是常数. 因此S 是以a 为球心，以R 为半径的球面，或球面的一部分. □3. 证明：一个正则参数曲面S 是旋转面⇔它的所有法线都与一条固定直线相交.证明. “⇒”设S 是旋转面，旋转轴L 为z 轴. 它的参数方程为()(,)()cos ,()sin ,()r u v f v u f v u g v =，(()0)f v >.因为()()sin ,cos ,0u r f v u u =-，()()cos ,()sin ,()v r f v u f v u g v '''=，()()()cos ,()sin ,()u v r r f v g v u g v u f v '''⨯=-，所以S 上任意一点(,)r u v 处的法线N 的参数方程为()(,)[(,)(,)]u v X t r u v t r u v r u v =+⨯.由于z 轴的参数方程为()(0,0,1)Y s s s k ==，并且()()cos ()sin ()()0()cos ()sin (),,001u v f v u f v u g v f v g v u g v u f v r r r k '''==-⨯，所以L 与N 共面. 如果L 与N 处处平行，则()//u v r r k ⨯，从而()0g v '=. 此时S 是垂直于z 轴的平面()z g v c ==. 所以当S 不是垂直于z 轴的平面时，旋转面S 的所有法线都与z 轴相交.“⇐” 通过选取坐标系，不妨设固定直线为z 轴. 设S 的参数方程为(,)((,),(,),(,))r u v x u v y u v z u v =，(,)u v D ∈.由条件，S 的所有法线都与z 轴相交，所以法线不能与z 轴平行，即00(,)(,)(,)(,),,//(,)(,)(,)u v u v y z x z x y r r u v u v u v ∂∂∂⎛⎫-⨯= ⎪∂∂∂⎝⎭，00(,)u v D ∀∈. 因此00(,)(,)(,)u v y z u v ∂∂，00(,)(,)(,)u v x z u v ∂∂不能全为零. 不妨设在00(,)u v 点邻近(,)0(,)y z u v ∂≠∂. 通过参数变换，曲面的参数方程可以写成(,)((,),,)r u v x u v u v =，(,)u v D ∈. (1)于是(),1,0u u r x =，(),0,1v v r x =，()1,,u v u v r r x x ⨯=--. 因为所有法线都与z 轴相交，()0,,u v r r r k ≡⨯，即有0u xx u +=. 这说明22x u +是一个仅仅依赖于v 的函数. 设222()x u f v +=，其中()0f v >. 作参数变换()cos ,u f v v v θ==. 由上式得()sin x f v θ=，S 的参数方程(1)可以改写为(,)(()sin ,()cos ,)r v f v f v v θθθ=.这是一个旋转面，由yOz 平面上的母线()y f z =绕z 轴旋转而得. □5. 设S 是圆锥面(cos ,sin ,)r v u v u v =，:,t C u v e==是S 上的一条曲线.(1) 将曲线C 的切向量用,u v r r 的线性组合表示出来；(2) 证明：C 的切向量平分了u r 和v r 的夹角.(1) 解. C 的参数方程为()()),sin(2),),1t tt t r e e et e ==.C 的切向量为()()cos(),1),0(2,)(2,).t t tttu v r e t e e r t e '=+-=+(2) 证明. 因为(sin ,cos ,0),(cos ,sin ,1)u v r v u v u r u u =-=，在曲线C 上每一点t 处，()(2,)sin(2),cos(2),0t t u r t e e t t =-，()(2,)cos(2),1t v r t e =.由上可知2t e r ='. 所以2221cos (,)2t u u tur r e r r r e r '⋅'∠==='，(,)4u r r π'∠=； 21cos (,)222t v v t v r r e r r r e r '⋅'∠==='(,)(,)4v u r r r r π''∠==∠. □ p. 104 习题3.3 2. 设球面的参数方程是22222222222222,,au av u v a r u v a u v a u v a ⎛⎫+-= ⎪++++++⎝⎭. 求它的第一基本形式.解. 记2222/()t u v a =++. 则(,,)(0,0,1)r at u v a =-+，2u t ut =-，2v t vt =-， (,,)(1,0,0)u u r at u v a at =-+，(,,)(0,1,0)v v r at u v a at =-+.所以()22222222222222224()2()u u u a E r a t u v a a t t u a t a t u v a ==++++==++，222222()0u v u v u v F r r a t t u v a a t t v a t t u =⋅=++++=， ()22222222222222224()2()v v v a G r a t u v a a t t v a t a t u v a ==++++==++， 从而2222222224I ()()a Edu Gdv du dv u v a =+=+++. 5. 设在曲面上一点(,)u v ，由微分,du dv 的二次方程22(,)2(,)(,)0P u v du Q u v dudv R u v dv ++= (1)确定了在该点的两个切方向. 证明：这两个切方向彼此正交⇔函数,,P Q R 满足20ER FQ GP -+=，其中,,E F G 是曲面的第一基本形式.证明. 由条件，二次方程(1)有两个互异的实根:du dv 和:u v δδ，因此可以分解为两个一次因子的乘积：2211222()()Pdu Qdudv Rdv A du B dv A du B dv ++=++. (2)其中1122,,,A B A B 是关于变量(,)u v 的函数. 因为上式是关于文字,du dv 的二次多项式，比较两边的系数，得12P A A =，12212Q A B A B =+，12R B B =. (3)由(2)可知(1)所确定两个切方向为11::du dv B A =-，22::u v B A δδ=-. (4) 这两个切方向彼此正交⇔()0Edu u F du v dv u Gdv v δδδδ+++= (课本(3.18))12121212()0E B B F B A A B G A A ⇔-++= (由(4)式) 20ER FQ GP ⇔-+=. (由(3)式) □ 8. 已知曲面的第一基本形式为2222I ()du u a dv =++.(1) 求曲线1:0C u v +=与2:0C u v -=的交角；(2) 求曲线21:C u av =，22:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三角形的各个边长和各个内角.(3) 求曲线1:C u av =，2:C u av =-和3:1C v =所围成的曲边三角形的面积.解. (1) 已知221,0,E F G u a ===+. 因为交点为(,)(0,0)u v =. 在交点处2G a =. 对于1C ，du dv =-；对于2C ，u v δδ=. 所以它们的切方向,dr r δ满足22221cos (,)1dr ra dr r a dr r du δδδ⋅-∠===±+. 于是它们的交角为221arccos 1a a -+，或221arccos 1a a -+.(2) 不妨设常数0a >. 如图，在曲纹坐标下，1C 与2C 的交点为(0,0)O ，1C 与3C 的交点为(,1)A a ，C 与C 的交点为(,1)B a -.因为是计算内角，在O 点20,0du avdv dv ==>. 同理，0,0u v =>，所以内角0O ∠=.在A 点220du avdv adv ==<，0,0u v δδ<=，所以2cos dr r A dr r du δδ⋅∠===. 在B 点220du avdv adv =-=->，0,0u v δδ>=，2cos dr r B dr r du δδ⋅∠===所以0O ∠=，arccos 2/3A B ∠=∠=. 曲线1C ，2C ，3C 的弧长分别为12()()C L C a L C ===⎰⎰，3()2a C aL C du a -===⎰⎰.注. 在90版中，本题为212:a C u v =，222:a C u v =-，3:1C v =，故112712260()(2)()a C L C a v dv a L C ===+==⎰⎰⎰，/23/2()a C a L C du a -===⎰⎰.(3) 因为d σ=，所以曲边三角形的面积112avAOBA d σ∆-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰(12200l n avu a a dv ⎡=+⎢⎣⎰(120l n a v d v⎡=+⎢⎣⎰(()(13/222213ln 1ln 1.a v v v a ⎡⎤⎡=+-+=++⎢⎥⎣⎣⎦ p. 110 习题3.41. 设空间曲线()r r s =以弧长s 为参数，曲率是κ. 写出它的切线曲面的参数方程，使得相应的参数曲线构成正交曲线网.解. 设曲线()r s 的Frenet 标架是{};,,r αβγ. 则它的切线曲面参数方程可写为(,)()()R s t r s t s α=+.由s R t ακβ=+，t R α=可得它的第一基本形式2222I (1())2t s ds dsdt dt κ=+++. (1)直母线(即t -曲线)0s δ=的正交轨线的微分方程为0ds dt +=，即()0d s t +=. 为此，作参数变换u s =，v s t =+. 则逆变换为s u =，t v u =-，切线曲面的参数方程为(,)()()()R u v r u v u u α=+-.在新参数下，(,)()()()()()()()()u R u v u u v u u u v u u u αακβκβ=-+-=-，(,)()v R u v u α=. 第一基本形式化为2222I ()()v u u du dv κ=-+.所以参数曲线构成正交曲线网. 也可将s u =，t v u =-直接代入(1)式得到上式：22222222I [1()()]2()()()()v u u du du dv du dv du v u u du dv κκ=+-+-+-=-+. 3. 求曲线(cos sin ,sin cos ,)r v u k u v u k u ku =-+的参数曲线的正交轨线，其中0k >是常数.解. (sin cos ,cos sin ,)u r v u k u v u k u k =---，(cos ,sin ,0)v r u u =. 第一基本形式为2222I (2)v k du kdudv dv =+-+.u -曲线0v δ=的正交轨线的微分方程为0Edu Fdv +=，即22(2)0v k du kdv +-=. 解这个微分方程：222kdv du d v k ===+， 得到u -曲线的过00(,)u v 的正交轨线为00)v u u v =-+.v -曲线0u δ=的正交轨线的微分方程为0Fdu Gdv +=，即kdu dv =. 过00(,)u v 的正交轨线为00()v k u u v =-+. p. 110 习题3.51. 证明：在悬链面(cosh cos ,cosh sin ,)r a t a t at θθ=，(,)(0,2)t θπ∈⨯R与正螺面(cos ,sin ,)r v u v u au =，(,)(0,2)u v π∈⨯R之间存在保长对应.证明. 悬链面的第一基本形式为22221I [(sinh cos cosh sin )(sinh sin cosh cos )]a t dt t d t dt t d dt θθθθθθ=-+++ 2222cosh ()a t dt d θ=+.正螺面的第一基本形式为222222222I (sin cos )(cos sin )()v udu udv v udu udv a du a v du dv =-++++=++2222()a v du ⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 对正螺面作参数变换，令,sinh u v a t θ==. 则(,)cosh 0(,)u v a t t θ∂=-≠∂，参数变换是可允许的. 由于,cosh du d dv a tdt θ===，正螺面的第一基本形式化为2222222221I ()cosh ()I a v a t d dt du θ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 根据定理5.3，在悬链面与正螺面之间存在保长对应. 对应关系式为,sinh u v a t θ==. □ p. 110 习题3.51. 判断下列曲面中哪些是可展曲面？说明理由.(1) ()2234233,2,v u v r u u uv u =+++； (2) ()cos ()sin ,sin ()cos ,2r v u v v v u v v u v =-++++；(3) ()(),(),2r a u v b u v uv =+-； (4) ()cos ,sin ,sin 2r u v u v v =.解. (1) ()()234236()(),2,1,3,2v v u r a u a u u u u u u '=+=+.所以它是可展曲面，因为它是正则曲线()234(),2,a u u u u =(0u ≠)的切线面. (2) ()()()()()cos ,sin ,sin ,cos ,1r u v a v ua v v v v v v '=++=+-，其中()()cos ,sin ,a v v v v =是圆柱螺线，u u v =+. 所以它是可展曲面.(3) 令()(),,0a u au bu =，()(),,2l u a b u =-.则()()r a u v l u =+，直接计算得()2(),(),()ab a u l u l u =-''.当0ab ≠时，它是马鞍面，()0(),(),()a u l u l u ≠''，所以不是可展曲面. 当0a =或0b =时，它是平面，所以是可展曲面. 当0a =且0b =时，它不是正则曲面.(4) 令()()0,0,sin 2a v v =，()()cos ,sin ,0l v v v =. 则()()r a v u l v =+. 由于()2cos20,,v a l l =≠''，它不是可展曲面. □2. 考虑双参数直线族x uz v =+，33u y vz =+，其中,u v 是直线族的参数.(1) 求参数u 和v 之间的关系，使得由此得到的单参数直线族是一个可展曲面的直母线族；(2) 确定相应的可展曲面的类型.解. (1) 对于固定的参数,u v ，该双参数直线族中的一条直线(,)L u v 可以写成点向式：3(/3)(,):1x v y u zL u v u v --==.设所求的函数关系为()v f u =. 则得到一个单参数直线族{}(,())u L L u f u =，它们构成的直纹面S 的方程为()()3(,),(),1(),/3,0r u t t u f u f u u =+.于是S 是可展曲面22220()1210f u u f u f u f u c u f f '''⇔=⇔=⇔=±⇔=±+'，其中c 是任意常数. 即所求的函数关系为22u v c =±+.(2) 此时S 的参数方程为(,)()()r u t a u t l u =+，其中()()3(),(),(),1(),/3,0a u l u u f u f u u ==，2()(/2)f u u c =±+.由于()()()0,1,l u l u f uf f '''⨯=≠--，S 不是柱面.如果S 是锥面，则有函数()t t u =使得()()()a u t u l u c +=，其中c 为常向量. 于是()20,,a t l tl f ut t u f t t f t '''=++='''''++++，从而0t '=，0t t =是常数. 由此得00u t ±+=，矛盾.因此S 是切线曲面. 事实上，记2()(/2)f u u c ε=+，其中1ε=±. 则()2()(1,,0)(),,0a u u u ul u u u εεεε''===. 取新的准线23()()(),,26u u b u a u ul u c cu u εεεε⎛⎫=-=-+--- ⎪⎝⎭.则22()(),,,,122u u b u l u u c u c εεεεεε⎛⎫⎛⎫'==-=-----+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.于是S 的参数方程为()()()()()()()()r b u u t l u b u u t b u b u t b u εεε''=++=-+=+，其中(,)(,)u t u u t ε=--是新的参数. □8. 证明：由挠率不为零的正则曲线的主法线族和次法线族分别生成的直纹面都不是可展曲面.证明. 设正则曲线C 的弧长参数方程为()a s ，曲率和挠率分别为,κτ，Frenet 标架为{};,,a αβγ.它的主法线族生成的直纹面是1:()()S r a s t s β=+. 因为()()()0(),(),()()()()(),(),()s s s s s s s a s s s ταβκατγββ==≠-+，所以1S 不是可展曲面.同理，由()()()0(),(),()(),(),()()s a s s s s s s s τγγαγτβ==≠-可知它的次法线族生成的直纹面2:()()S r a s t s γ=+不是可展曲面. □。

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

第二章 曲面论§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ； 法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

§1曲面的概念1.求正螺面r ={ u v cos ,u v sin , bv }的坐标曲线.解 u-曲线为r ={u 0cos v ,u 0sin v ,bv 0 }=｛0,0，bv 0｝＋u {0cos v ,0sin v ,0}，为曲线的直母线；v-曲线为r ={0u v cos ,0u v sin ,bv }为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛a （u+v ）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线。

证 u-曲线为r ={ a （u+0v ）, b （u-0v ）,2u 0v }={ a 0v , b 0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点{ a 0v , b 0v ,0}以{a,b,20v }为方向向量的直线;v-曲线为r =｛a （0u +v ）, b （0u -v ）,20u v ｝=｛a 0u , b 0u ,0｝+v{a,-b,20u }表示过点(a 0u , b 0u ,0)以{a,-b,20u }为方向向量的直线。

3．求球面r =}sin ,sin cos ,sin cos {ϑϕϑϕϑa a a 上任意点的切平面和法线方程。

解 ϑr =}cos ,sin sin ,cos sin {ϑϕϑϕϑa a a -- ，ϕr=}0,cos cos ,sin cos {ϕϑϕϑa a -任意点的切平面方程为00cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos cos cos =------ϕϑϕϑϑϕϑϕϑϑϕϑϕϑa a a a a a z a y a x即 xcos ϑcos ϕ + ycos ϑsin ϕ + zsin ϑ - a = 0 ；法线方程为ϑϑϕϑϕϑϕϑϕϑsin sin sin cos sin cos cos cos cos cos a z a y a x -=-=- 。

4．求椭圆柱面22221x y a b+=在任意点的切平面方程，并证明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 。