高中数学必修242421直线与圆的位置关系

4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系问题导学一、直线与圆位置关系的判断活动与探究1已知圆的方程是x2＋y2＝1，直线y＝x＋b．当b为何值时，(1)圆与直线有两个公共点；(2)圆与直线只有一个公共点；(3)圆与直线没有公共点．迁移与应用1．直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是()A．相离B．相切C．相交但不过圆心D．相交且过圆心2．直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝4的位置关系是__________．判断直线与圆的位置关系有两种方法：代数法与几何法．具体用哪种方法判断直线与圆的位置关系，应由条件而定．代数法是从方程角度考虑，较繁琐；如果求交点坐标，就必须用该法；几何法是从几何角度考虑，方法简单，成为判断直线与圆位置关系的常用方法．二、直线与圆相切问题活动与探究2过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．迁移与应用1．过点P(2，2)作圆x2＋y2＝4的切线，则切线方程为__________．2．圆心为(1,1)且与直线x－y＝4相切的圆的方程为__________．3．求与直线y＝x＋2平行且与圆(x－2)2＋(y－3)2＝8相切的直线的方程．解答直线与圆相切问题时，通常用圆心到直线的距离等于半径求解．经过圆上一点的切线有一条，经过圆外一点的切线有两条，在求切线方程时，要注意斜率不存在的情况．三、直线与圆相交问题活动与探究3已知过点M (－3，－3)的直线l 被圆x 2＋y 2＋4y －21＝0所截得的弦长为45，求直线l 的方程．迁移与应用1．直线y ＝kx 被圆x 2＋y 2＝2截得的弦长等于________．2．已知一圆C 的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l ：x －y －1＝0截得的弦长为22，求该圆的方程．直线与圆相交后的弦长问题，常采用几何法(半弦长、弦心距，圆的半径构成的直角三角形)求解．当堂检测1．若直线x ＋y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝m 相切，则m 为( )A ．0或2B ．2C ． 2D ．无解2．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)3．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( )A ． 6B ．522C ．1D ．5 4．垂直于x 轴的直线l 被圆x 2＋y 2－4x －5＝0截得的弦长为25，则直线l 的方程为__________．5．自点A (2,3)作圆x 2＋y 2－2y －4＝0的切线，则切线长为________．答案：课前预习导学【预习导引】2 1 0 ＜ ＝ ＞ ＞ ＝ ＜预习交流 (1)提示：利用圆心到直线的距离等于半径求解，但要注意直线的斜率不存在的情况．(2)提示：解答这类问题常利用半弦长、半径及弦心距组成的直角三角形求解．课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 思路分析：可联立方程组，由方程组解的个数求解，也可求出圆心到直线的距离，与半径比较求解．解：方法一：联立直线和圆的方程组成方程组：⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋b ，x 2＋y 2＝1， 整理可得2x 2＋2bx ＋b 2－1＝0，其中Δ＝4(2－b 2)．(1)当Δ＝0，即b ＝±2时，直线和圆相切，此时直线和圆仅有一个公共点．(2)当Δ＞0，即－2＜b ＜2时，直线和圆相交，此时直线和圆有两个公共点．(3)当Δ＜0，即b ＜－2或b ＞2时，直线和圆相离，此时直线和圆没有公共点． 方法二：圆x 2＋y 2＝1的圆心(0,0)到直线l ：y ＝x ＋b 的距离d ＝|b |2，圆的半径为r ＝1． (1)当d ＝|b |2＝1，即b ＝±2时，直线与圆相切，此时直线与圆有一个公共点． (2)当d ＝|b |2＜1，即－2＜b ＜2时，直线与圆相交，此时直线与圆有两个公共点． (3)当d ＝|b |2＞1，即b ＜－2或b ＞2时，直线与圆相离，此时直线与圆没有公共点． 迁移与应用 1．C 2．相交活动与探究2 思路分析：利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出直线斜率，进而求出切线方程．解：因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A 在圆外．(1)若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ，则切线方程为y ＋3＝k (x －4)．因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径，半径为1，所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1，所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1．解得k ＝－158．所以切线方程为y ＋3＝－158(x －4)，即15x ＋8y －36＝0．(2)若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x ＝4．综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4．迁移与应用1．x＋y－22＝02．(x－1)2＋(y－1)2＝83．解：设所求的切线方程为y＝x＋b，即x－y＋b＝0．∵圆心坐标为(2,3)，半径为22，∴|2－3＋b|2＝22，即|b－1|＝4，b＝5或－3．∴所求的切线方程为x－y－3＝0或x－y＋5＝0．活动与探究3思路分析：设出直线的斜率，利用圆半径、弦心距、弦长之间的关系求出斜率，再由点斜式写出直线的方程．解：将圆的方程写成标准形式，得x2＋(y＋2)2＝25．若直线l斜率不存在，则直线方程为x＝－3．圆心到该直线距离为3，又圆半径为5，所以求得弦长为8，不合题意，舍去．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0．圆心到直线l的距离为d＝|3k－1|1＋k2，则⎝⎛⎭⎪⎪⎫|3k－1|1＋k22＋(25)2＝25．解得k＝－12或k＝2．所以所求直线的方程为y＋3＝－12(x＋3)或y＋3＝2(x＋3)，即x＋2y＋9＝0或2x－y＋3＝0．迁移与应用1．2 22．解：设圆C的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝r2(r＞0)，则弦长l＝2r2－d2，其中d为圆心到直线x－y－1＝0的距离，d＝2．∴l＝2r2－(2)2＝22．∴r2＝4．圆方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4．【当堂检测】1．B2．C3．A4．x＝0或x＝45． 3。

直线与圆的位置关系知识集结知识元不含有参数的直线与圆位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲不含有参数的直线与圆位置关系例1.已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d 2，则d1+d2的最小值是．例2.点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．例3.经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．2x﹣y+3=0D．x+2y+1=0含有参数类型直线与圆的位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲含有参数类型直线与圆的位置关系例1.已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离，则△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上情况都有可能例2.直线ax﹣y+a=0（a≥0）与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相离例3.圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（）A．8B．9C．16D．18简单切线类型知识讲解1．圆的切线方程圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．圆的切线方程的类型：（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．例题精讲简单切线类型例1.设点A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）A．y2=2x B．（x﹣1）2+y2=4C．y2=﹣2x D．（x﹣1）2+y2=2例2.已知圆的方程是x2+y2=1，则经过圆上一点M（1，0）的切线方程是（）A．x=1B．y=1C．x+y=1D．x﹣y=1例3.'已知圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣3=0，直线l：x﹣y+t=0．若直线l与圆C相切，求实数t的值.'简单弦长问题知识讲解弦长问题一、求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝求解．(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2，即|AB|＝2.通常采用几何法较为简便。

第四章 § 4.2 直线、圆的位置关系4.2.1　直线与圆的位置关系学习目标1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离；2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系；3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题.问题导学题型探究达标检测问题导学 新知探究 点点落实知识点　直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离d＝____________代数法：消元得到一元二次方程的判别式Δ____________d<r d＝r d>rΔ>0Δ＝0Δ<0由题型探究 重点难点 个个击破类型一　直线与圆的位置关系的判定例1　已知圆C：x2＋y2＝1与直线y＝kx－3k，当k为何值时，直线与圆(1)相交；(2)相切；(3)相离.跟踪训练1　(1)直线x－ky＋1＝0与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )C A.相交 B.相离C.相交或相切D.相切解析　由直线x－ky＋1＝0恒过定点(－1,0)，而(－1,0)恰在圆x2＋y2＝1上，故直线与圆至少有一个公共点，故选C.(2)过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角0°≤α≤60°α的取值范围是________________.解析　当直线l斜率不存在时，直线l与圆x2＋y2＝1没有公共点，∴0°≤α≤60°.类型二　切线问题例2　过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求：(1)此切线的方程；(2)其切线长.解　因为圆心C的坐标为(3,1)，设切点为B，则△ABC为直角三角形，∴切线长为4.跟踪训练2　(1)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )DA.－2或12B.2或－12C.－2或－12D.2或12解析　圆方程x2＋y2－2x－2y＋1＝0，可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，得b＝2或12，故选D.(2)求由下列条件确定的圆x2＋y2＝4的切线方程：∴点P在圆x2＋y2＝4上，②切线斜率为2.解　设圆的切线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0，由圆心到切线的距离为半径，可得：类型三　弦长问题例3　(1)过圆x2＋y2＝8内的点P(－1,2)作直线l交圆于A，B两点.若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB的长为________.(2)圆心为C(2，－1)，截直线y＝x－1的弦长为2 的圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4________________________.解析　设圆的半径为r，由条件，得所以r2＝2＋2＝4，r＝2，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝4.(3)直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的弦长为4 ，求l的方程.跟踪训练3　已知直线l：kx－y＋k＋2＝0与圆C：x2＋y2＝8.(1)证明直线l与圆相交；证明　∵l：kx－y＋k＋2＝0，直线l可化为y－2＝k(x＋1)，∴直线l经过定点(－1,2)，∵(－1)2＋22<8，∴(－1,2)在圆C内，∴直线l与圆相交.(2)当直线l被圆截得的弦长最短时，求直线l的方程，并求出弦长.解　由(1)知，直线l过定点P(－1,2)，又x2＋y2＝8的圆心为原点O，则与OP垂直的直线截得的弦长最短，＝－2，∵kOP即x－2y＋5＝0.设直线l与圆交于A、B两点，达标检测 41231.直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )BA.相切B.相交但直线不过圆心C.直线过圆心D.相离又∵直线y＝x＋1不过圆心(0,0)，∴选B.C 2.已知P＝{(x，y)|x＋y＝2}，Q＝{(x，y)|x2＋y2＝2}，那么P∩Q为( )A.∅B.(1,1)C.{(1,1)}D.{(－1，－1)}3.若直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则m的值为( )C A.0或2 B.0或4 C.2 D.4解得m＝2或m＝0(应舍去).4.直线y＝kx＋3与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，且|MN|≥2(－∞，0]，则k的取值范围是__________.解得k≤0.规律与方法1.直线与圆位置关系的两种判断方法比较(1)若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较为简单.(2)若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离较复杂，则用代数法较简单.2.过一点的圆的切线方程的求法(1)当点在圆上时，圆心与该点的连线与切线垂直，从而求得切线的斜率，用直线的点斜式方程可求得圆的切线方程.(2)若点在圆外时，过这点的切线将有两条，但在用设斜率来解题时可能求出的切线只有一条，这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在. 3.与圆相关的弦长问题的两种解决方法(1)由于半径长r，弦心距d，弦长l的一半构成直角三角形，利用勾股定理可求出弦长，这是常用解法.(2)联立直线与圆的方程，消元得到关于x(或y)的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两交点的横坐标(或纵坐标)之间的关系，代入两点间的距离公式求解，此法是通法.返回。