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含30°角的直角三角形的性质-人教版八年级数学上册教案教学目标•掌握含30°角的直角三角形的性质•能够应用所学知识解决相关问题•提高学生对几何中角度的理解教学重点•直角三角形的性质•含30°角的直角三角形的性质教学难点•让学生理解并应用30°角的性质教学过程一、引入现在我们要学习的是含30°角的直角三角形的性质，我们先来看下面这个直角三角形：A/\\/ \\C /____\\ B这个三角形中，角A是90°角，角B和角C是锐角或钝角。
现在我们来看一下，如果角B是30度，会发生什么变化呢？A/\\/ \\30° /____\\ BC 60°二、讲解我们可以发现，在这个三角形中，角C变成了60度，角B变成了30度，而角A还是90度。
接下来，我们来探究一下这个三角形的一些性质。
首先是角A，我们知道在任何一个直角三角形中，角A都是90度。
所以在这个三角形中，角A也是90度。
接着是角B和角C，我们知道在一个三角形中，三个角的和为180度。
所以在这个三角形中，角B和角C的和为150度。
而当角B是30度时，我们可以得出角C是60度。
我们再次观察这个三角形，我们可以发现这个三角形也是一个等腰三角形。
因为AC和BC的长度相等，即∠CAB = ∠CBA.另外，这个三角形也是一个等边三角形。
因为AC=BC，而AC和BC垂直（由于∠A=90°），所以ACB=60°，那么∠CAB = ∠ACB = ∠BCA = 30°，即三个角都是30度。
由于这个三角形满足等边、等腰、直角三种特殊情况的性质，所以它被称为“三六九十”三角形（三个角分别是30度、60度、90度，边长比分别是1：√3：2）。
三、练习1.在三角形ABC中，∠A = 90°，AB = AC，∠ABC = 30°，求∠BCA和∠CAB。
答案：∠CAB = ∠BCA = 60°2.在三角形ABC中，∠A = 90°，AB = AC，∠CAB = 30°，求∠ABC。
「初中数学」利用含30°角的直角三角形解题的几种技巧在初中数学中有这样一个定理:在直角三角形中，若一个锐角为30°，则它所对的边是斜边的一半.它通过角的关系揭示出了边的关系，从角的类别跨出到了边的类别，建立了不同类别之间的联系，所以非常重要，那么在证明线段之间的倍分关系时，我们就要注意提醒自己，题中是否含有30°、60°或120°的特殊角，或者通过某种方法构造含30°的直角三角形.这一定理运用比较广泛，下面结合八年级的习题分别说明。
一.直接运用含30°角的直角三角形的性质1.如图，在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q.求证:BP=2PQ.【分析】由等边三角形ABC知，AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°且AE=CD，显然△ACD≌△BAE.结论要证BP=2PQ，想到在直角三角形BQP中，找30°角或60°，而∠BPQ=∠ABP+∠BAP，由△ACD≌△BAE，可知∠ABP=∠CAD，所以∠BPQ=∠BAP+∠CAD=∠BAC=60°则达到目的.证明:∵△ABC为等边三角形，∴AC=AB，∠C=∠BAC=60°，又AE=CD，∴△ACD≌△BAE，∴∠CAD=∠ABE，∵∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°，∴∠ABE+∠BAP=∠BPQ=60°，∵BQ⊥AD，∴∠BQP=90°，∴∠PBQ=90°一∠BPQ=30°，∴BP=2PQ.2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°.求证:AD=DC.【分析】欲证，AD=CD，想到什么:等腰三角形三线合一;想到证底角相等？不管你想到哪个定理和性质，还得联系其他条件，条件有，等腰直角三角形BAC，有∠ABD=30°，这些条件又与结论怎样联系呢？那我们就要画辅助线试着分析一下，因为∠ABD=30°，AB=BD，可得，∠BAD=∠BDA=75°，过点A作AE⊥BD于E，E为垂足，使30°的角处于直角三角形中，则有∠EAD=15°，AE=AB/2，又分析出∠CAD=15°，则AD是∠CAE的角平分线，而DE⊥AE，于是想到过点D作DF⊥AC于F，则可证△EAD≌△FAD，得AF=AE=AB/2=AC/2，∴F是AC的中点，∴DF垂直平分AC，∴AD=DC，得证.如图证明:过点A作AE⊥BD于E，过点D作DF⊥AC于F，∴∠AEB=∠AED=∠AFD90°则在Rt△AEB中，∵∠ABD=30°，∴AE=AB/2，又∵AB=AC，则AE=AC/2，在△ABD 中，∵AB=BD，∠ABD=30°，∴∠BAD=1/2(180°一30°)=75°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=15°，而在Rt△AED中，可知∠BAE=60°，∴∠EAD=15°，所以根据∠DAC=∠EAD=15°，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，可得△EAD≌△FAD，∴AF=AE=AC/2，即F是AC的中点，∴DF垂直平分AC，∴AD=DC.那么依据∠DAC=∠DCA是否也可证AD=DC呢？只要同学们善于分析，还是可以的，下面给出一种作辅助线的方法，希望同学们仔细体会.以BC为边在△ABC的同侧作等边三角形BEC，连接AE，如图，由于正三角形，等腰直角三角形的对称性可知，EA平分∠BEC，所以∠BEA=30°，由于∠ABC=60°，∠ABC=45°，∠ABD=30°，所以∠EBA=∠CBD=15°，而AB=BD，BE=BC，∴△EBA≌△CBD，∴∠BCD=∠BEA=30°，则∠ACD=15°，由上边证得知∠DAC=15°，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，此法关键是作出一个等边三角形，有同学要问，你怎么就知道作等边三角形呢？显然我也是学来的，多总结，多归纳，多记忆，多体会，你也会知道这种辅助线。
含30°角的直角三角形的性质【教学目标】1.知识与技能：使学生理解含30°角的直角三角形的性质。
2.过程与方法：（1）通过探究含30°角的直角三角形的性质，使学生进一步认识到数学来源于生活实践。
（2）体验用操作、归纳得出数学结论的过程。
（3）会用这一性质解决相关数学问题。
3.情感、态度与价值观：（1）通过拼等边三角形这一探究活动，培养学生的合作交流、乐于探究、大胆猜想等良好品质。
（2）使学生经历观察、探究、归纳、推理和证明的全过程，培养学生科学、严谨、求真的学习态度。
【教学重点：】理解含30°角的直角三角形的性质及应用。
【教学难点：】含30°角的直角三角形性质的探究。
【教学过程】活动一：旧知准备问题：已知△，∠60°，（）。
请你在括号内补充一个条件，使△能成为等边三角形。
学生活动：学生补充条件并说明。
教师活动：教师找学生补充条件，根据学生的叙述板书。
设计意图：此题的设计意图是通过问题形式回顾旧知，促使学生经常温故知新，同时为新课应用判定做铺垫。
传统的回顾旧知，一般是直接找学生背诵等边三角形的判定，容易产生误导：学习就是背诵定理、性质。
最终会造成学生会背性质、定理，却不能应用解决实际问题。
著名数学家哈墨斯曾经说过：“问题是数学的心脏！”这里通过一个半开放性的问题，可以使不同的学生想到不同的条件，如：∠60°（或∠60°）、、、等多种答案，对等边三角形的判定有一个深入的理解，而非机械记忆定理、性质所能解决的。
同时不同层次的学生也会在不同层面上体验到成功。
充分培养学生的创新精神和发散思维，使学生遇到问题学会思考，避免对性质、定理的学习停留在简单的对字面意思的理解上，有效克服学生的简单机械记忆。
活动二：探究直角三角形的性质１.拼一拼：你能用两个含有30°角的三角板摆放在一起构成一个等边三角形吗？你能借助这个图形，找到30°角所对的直角边与斜边之间的数量关系吗？组内交流自己的想法。
知识点总结：等边三角形及含30度直角的直角三角形一、引言本文将详细介绍等边三角形和含30度直角的直角三角形的定义、性质、应用及重难点精析。
等边三角形和直角三角形是初中数学中重要的基本图形，掌握它们的性质和判定对于解决数学问题具有重要意义。
二、等边三角形定义及性质1.等边三角形定义：三边长度相等的三角形称为等边三角形。
2.等边三角形性质：a. 三边长度相等，即任意两边之和等于第三边。
b. 三内角相等，即每个角均为60度。
c. 高等于一边长的一半。
三、含30度直角的直角三角形定义及性质1.含30度直角的直角三角形定义：有一个角为90度，另一个角为30度的三角形称为含30度直角的直角三角形。
2.含30度直角的直角三角形性质：a. 30度角对的直角边等于斜边的一半。
b. 勾股定理成立，即勾股定理中的三个边满足a^2 + b^2 = c^2.其中c为斜边。
c. 面积公式为：S = 1/2 * a * b，其中a和b分别为直角三角形的两直角边长。
四、等边三角形与含30度直角的直角三角形的联系与区别1.联系：等边三角形和含30度直角的直角三角形都是基本图形，具有一些共同的性质，例如三内角相等(等边三角形)或一个角为90度(直角三角形)等。
2.区别：等边三角形的三边长度相等，而含30度直角的直角三角形的斜边长度是直角边长度的两倍。
此外，等边三角形的三个内角均为60度，而含30度直角的直角三角形的两个锐角分别为30度和60度。
五、重难点精析1.等边三角形的证明：等边三角形的三边长度相等，因此可以使用三边长度相等的定理进行证明。
可以让学生们掌握等腰三角形性质并理解等边三角形的定义和判定方法。
2.含30度直角的直角三角形的证明：含30度直角的直角三角形可以使用勾股定理进行证明。
应该重点讲解勾股定理的推导过程及应用方法，以便学生们可以更好地掌握含30度直角的直角三角形的判定方法。
3.面积计算：无论是等边三角形还是含30度直角的直角三角形，面积计算都非常重要。
含30度角的直角三角形的性质教案教案标题：含30度角的直角三角形的性质一、教学目标：1.理解含30度角的直角三角形的定义；2.掌握含30度角的直角三角形的性质；3.能够应用这些性质解决相关问题。
二、教学重点：1.含30度角的直角三角形的性质；2.运用这些性质解决相关问题。
三、教学难点：运用含30度角的直角三角形的性质解决相关问题。
四、教学方法：1.探究教学法：通过教师提问，引导学生分析、探究含30度角的直角三角形的性质；2.演绎法：通过推理、证明等方式，阐述含30度角的直角三角形的性质；3.课堂讨论：通过学生互相讨论和合作解决问题，加深对含30度角的直角三角形的理解。
五、教学准备：1.教师准备：教学设计、教学资料、示范练习；2.学生准备：学生课前预习、课堂展示。
六、教学过程：Step 1 导入（10分钟）1.教师出示一个三角形ABC，问学生三角形中是否有30度角，并请学生回答并说明理由；2.引导学生分析30度角的特点，并引出含30度角的直角三角形的定义。
Step 2 介绍含30度角的直角三角形的定义及性质（15分钟）1.教师介绍含30度角的直角三角形的定义：一个角是30度的直角三角形；2.教师引导学生分析并总结含30度角的直角三角形的性质，如：a.三角形中有一个角是30度，另外两个角之和是90度；b.三角形中的两条边与底边的夹角为30度；c.底边和斜边的比例关系等。
Step 3 示例演绎（20分钟）1.教师给出一些示例图形，通过演绎法帮助学生理解含30度角的直角三角形的性质；2.解答学生提出的问题，引导学生探究、证明其中的性质。
Step 4 知识扩展（20分钟）1.针对含30度角的直角三角形的性质，教师出示一些练习题，要求学生独立解答；2.学生相互交流解题思路，教师及时给予指导和反馈。
Step 5 知识应用（20分钟）1.教师出示一些生活实例，要求学生运用含30度角的直角三角形的性质解决实际问题；2.学生分组合作，完成教师布置的任务，并向全班展示解答过程和结果。
含三十度的直角三角形的三边关系
含有三十度的直角三角形是一种特殊的三角形，它的三边关系具有独特的性质。
在这种三角形中，我们可以利用三边关系来解决各种实际问题，例如测量高度、距离和角度等。
首先，让我们来看一下含有三十度的直角三角形的三边关系。
在这种三角形中，假设直角边的长度为a，斜边的长度为b，而与30度角相邻的边的长度为c。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下关系：
1. 正弦定理，sin(30°) = a / c.
2. 余弦定理，cos(30°) = a / b.
3. 正切定理，tan(30°) = a / (b c)。
这些关系可以帮助我们求解各种问题。
例如，如果我们知道直角边的长度a，我们可以利用正弦或余弦定理来求解斜边b或与30度角相邻的边c的长度。
如果我们知道斜边b和与30度角相邻的边c的长度，我们可以利用正切定理来求解直角边的长度a。
含有三十度的直角三角形的三边关系在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在建筑和工程中，我们可以利用这些关系来测量建筑物的高度和距离。
在导航和地图制作中，我们也可以利用这些关系来确定位置和方向。
因此，了解含有三十度的直角三角形的三边关系对于解决各种实际问题是非常重要的。
总之，含有三十度的直角三角形的三边关系具有重要的实际意义，可以帮助我们解决各种问题。
通过深入了解这些关系，我们可以更好地应用它们来解决实际问题，提高数学和科学的应用能力。
含有30°角的直角三角形的性质一．情境引入：1.直角三角形的角之间有什么数量关系？观察手中的三角尺，三个角的度数是多少？2.30°角所对的直角边与斜边存在什么样的关系？二．探究新知：探究含有30°角的直角三角形中30°角所对的直角边与斜边的关系.用尺子量一量，你有什么发现猜想：已知：求证：含有30°角的直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于 . 符号语言： ︒=∠︒=∠∆3090A C ABC ，中，在 AB BC 21=∴ 三．小试牛刀：1.在ABC R ∆t 中， 90=∠C ，30A ∠=°，8BC cm =，则AB 长为 （ ） A. 8 cm B.10cm C. 16cm D.20cm2.在ABC R ∆t 中，30C ∠=，斜边AC 的长为5cm ，则AB 的长为 （ ）.4.3.2.5.2A cm B cm C cm D cm3.如图，在ABC ∆中，90C ∠=，30B ∠=,3AC =,点P 为BC 边上的动点，则AP 的长不可能为 （ ）A. 3.5B. 4.2C. 5.8D.74.如图，在ABC ∆中，30A ∠=°，16AB =,则BC 的长为（ ）A. 8B. 16C. 32D.不能确定四．例题讲解:例1：如图，在ABC ∆中，AC AB =, 120=∠BAC ,AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交BC 于点F ，求证：CF BF 2=.变式1.如图，在 ABC ∆ 中，=8AB AC =，150BAC ∠=°，求ABC ∆的面积。
五．随堂检测：1.如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁AB 的中点，立柱BC ，DE 垂直于横梁AC ，m AB 8=,︒=∠30A ,则立柱BC = ，DE = .2.在ABC ∆中，3:2:1::=∠∠∠C B A ,a AB =，则BC = .3.如图，在ABC ∆中，90=∠ACB ， 30=∠A ,AB CD ⊥于D , BC=12 ,=∠BCD , BD =12 = 14 . 4.如图，在 ABC ∆ 中， 90=∠ACB ， 30=∠A ，AB 的垂直平分线DE 交AB 于点E,交AC 于点D, 3.6BD =, 则D 到AB 的距离为 .5.如图,ABC ∆中,AB AD AC AB ⊥=,交BC 于点D ,且30,BD 6C ︒∠==,则CD = .6.如图所示，在ABC ∆中， 90=∠C ， 15=∠B ，AB 的垂直平分线交BC 于D ,交AB 于点M ，cm BD 8=，求AC 的长.第1题图第3题图 第4题图 第5题图。
含30°角的直角三角形的性质【学习目标】1.自主探究，发现并归纳得出含30°角的直角三角形的性质。
2.能利用性质解决有关的计算、证明。
【教学重难点】：1.含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明。
2.引导学生全面、周到地思考问题。
【自学导读】 一．温故知新三边都相等.1.等边三角形的性质 三个角都相等，且都等于60°.等腰三角形的所有性质.三边都相等的三角形是等边三角形2．等边三角形的判定 三个角都相等的三角形是等边三角形.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.二、合作交流、解读探究活动1(量一量). 自己动一动手用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系,你有什么发现？活动2（拼一拼）.小组合作将两个含有30°的三角板如图摆放在一起，你能借助这个图形找到Rt △ABC 的直角边BC(30°角所对的)与斜边AB 之间的数量关系吗?活动3（证一证）.你能证明这一性质吗?已知：在△ABC 中，∠ACB=90°∠BAC=30°求证：BC= 21AB 证明:延长BC 至D ，使CD=BC ，连接AD(如图)在△ABC 中，∠ACB=90°∠BAC=30°，则∠B=60°， ∴∠ACD=90°． 又∵AC=AC ，∴△ABC ≌△ADC(SAS)． ∴AB=AD∴△ABD 是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)． ∴BC= 21BD= 21AB ．导学设计教学重难点1.含30°角的直角三角形的性质的发现与证明。
2.引导学生全面、周到地思考问题。
教具准备三角尺．多媒体。
导学流程一、揭示目标.(1分钟) 二、复习(2分钟) 1.等边三角形的性质 2．等边三角形的判定 以上三个问题既是对上一节内容的复习,也是本节课的知识预备, 三、新课导学自学指导1（10分钟） 活动1、用刻度尺测量含30°角的直角三角形的斜边和短直角边，比较它们之间的数量关系,你有什么发现? （学生首先从测量长度感知30°角所对的直角边等于斜边的一半）。
含300的角的直角三角形[教学目标]掌握有一个角为30°的直角三角形的性质并能初步运用该性质，解决有关几何问题一、性质的探究请同学们将两个含有板有30°的三角尺如图摆放在一起你能借助这个图形,找到Rt △ABC 的直角边BC 与斜边AB 之间的数量关系吗?二、应用举例例1、已知：如，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=14AB ．例2、等腰三角形的底角为15°，腰长为20，求腰上的高．例题3、如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ACB ，︒=∠30BAC ,CD 为斜边AB 上的中线. 求证：AB CD 21=三、练习 1、如图，ABC ∆是等边三角形，BC AD ⊥，AB DE ⊥，若8=AB cm ，则BD 的长为 cm ，BE 的长为 cm .2、如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，︒=∠60CAB ，AD 平分CAB ∠，AB DE ⊥于点E ，且cm DE 3=. 求BC 的长A B C D D C B3、如下图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA,若PC=4，求PD的长。
4、如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC•于点D，•求证：•BC=3AD.四、课后延伸1、△ABC中，点D为AC的中点，∠DBC=90°，.∠ABC=120°. 证明：AB=2BCDCA B能力提升练习1、在等边ΔABC 中，AE=CD ，BGAD ，求证：BP=2PG 。
2、 ABC ∆中， 120A AC AB =∠=，，AB 的中垂线交AB 于D ，交CA 延长线于E ，求证：BC 21DE =。
3、△ABC 中，∠BCA=90°，∠BAC=30°.△ABE 与△ACD 都是等边三角形。
点F 为BE 的中点，DF 交AC 于M.证明;(1)FM=MD(2）AM=MC4、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°,BD=AB, ∠ABD=30°求证：AD=DC（三线合一）5、如图，在ABC∠30=∆外侧作CAB，以AC、AB为边在ABC∆中，︒ACB，︒=∠90等边ACD∆，连结DE交AB于F.∆和等边ABE求证：EFDF=6、如图，点D是等边△ABC边AB上的一点，AB=3AD，DE⊥BC于点E，AE、CD相交于点F．（1）求证：△ACD≌△BAE；（2）请你过点C作CG⊥AE，垂足为点G，探究CF与FG之间的数量关系，并证明．。
