含30度角的直角三角形-初中数学习题集含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题09 含30°角的直角三角形考试时间：120分钟试卷满分：100分一、选择题(共10题；共20分)1．（2分）（2021八上·松桃期末）如图，△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长BC交EF的反向延长线于点D，若EF=1，则DF的长为（ ）A．2B．2.5C．3D．3.5【答案】C【完整解答】解：连接BE，∵△ABC是等边三角形，点E是AC的中点，∴∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，∵EF⊥AB，∴∠D=90°-∠ABC=30°，即∠D=∠CBE=30°，∴BE=DE，在Rt△BEF中，EF=1，∴BE=2EF=2，∴BE=DE=2，∴DF=EF+DE=3，故答案为：C.【思路引导】连接BE ，根据等边三角形的性质得∠ABC=60°，∠ABE=∠CBE=30°，易求∠D=30°，即得∠D=∠CBE ，由等角对等边可得BE=DE ，根据含30°角的直角三角形的性质可得BE=2EF=2，即得DE=2，从而得出DF=EF+DE=32．（2分）（2021八上·平阴期末）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，∠B ＝30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是( )A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．7.3【答案】A 【完整解答】解：∵∠C=90°，AB=8，∠B=30°，∴AC=12AB=12×8=4，∵点P 是BC 边上的动点，∴4＜AP ＜8，∴AP 的值不可能是3.5．故答案为：A ．【思路引导】根据含30°角的直角三角形的性质可得AC=12AB=4，根据垂线段最短得出AP 的最小值，然后得出AP 的范围，即可判断.3．（2分）（2021八上·海丰期末）如图，OE 为AOB ∠的角平分线，30AOB ∠=︒，6OB =，点P ，C 分别为射线OE ，OB 上的动点，则PC PB +的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A 【完整解答】解：过点B 作BD ⊥OA 于D ，交OE 于P ，过P 作PC ⊥OB 于C ，此时PC PB +的值最小，∵OE 为AOB ∠的角平分线，PD ⊥OA ，PC ⊥OB ，∴PD=PC ，∴PC PB +=BD ，∵30AOB ∠=︒，6OB =，∴132BD OB ==，故答案为：A ．【思路引导】根据角平分线的性质求出PD=PC ，再求出PC PB +=BD ，最后求出BD 的值即可。

专题2.6含30°的直角三角形的性质【十大题型】【苏科版】专题2.6 含30°的直角三角形的性质【十大题型】【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】知识点：含30°的直角三角形的性质在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半．【题型1 由含30°的直角三角形的性质求线段长度】【例1】（23-24八年级·山东济宁·期末）1．如图，在等边ABC V 中，点D E 、分别在边BC AC 、上，且AE CD =，BE 与AD 相交于点P ，BQ AD ^于点Q ．(1)求证：BE AD =；(2)若4PQ =，求BP 的长．【变式1-1】（23-24八年级·黑龙江牡丹江·期中）2．在等边三角形ABC V ，若AB 边上的高CD 与边BC 所夹得角为30°，且3BD =，则ABC V 的周长为（ ）A ．18B ．9C ．6D ．4.5【变式1-2】（23-24八年级·山东泰安·期末）3．如图所示，ABC V 是等边三角形，D 为AC 的中点，DE AB ^，垂足为E ．若3AE =，则ABC V 的边长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【变式1-3】（2024八年级·江苏·专题练习）4．如图，在ABC V 中，60ABC Ð=°，以AC 为边在ABC V 外作等边ACD V ，过点D 作DE BC ^．若 5.4AB =，3CE =，则BE = ．【题型2 由含30°的直角三角形的性质求角度】【例2】（2024·吉林长春·八年级期末）5．如图所示，把两块完全相同的等腰直角三角板如图所示的方式摆放，线段AC 在直线MN 上．若点F 恰好是线段AB 中点，则AFD Ð的大小为 °．【变式2-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）6．如图，在ABC V 中，45ACB Ð=°，点M 为边BC 上的动点，当2AM CM +最小时，则CAM Ð的度数为（ ）A ．60°B ．45°C ．30°D ．15°【变式2-2】（2024八年级·江苏·专题练习）7．如图，ABC V 中，AC BC =，且点D 在ABC V 外，D 在AC 的垂直平分线上，连接BD ，若30DBC Ð=°，12ACD Ð=°，则A Ð= °．【变式2-3】（2024·安徽·八年级期末）8．已知在等腰ABC V 中，AD BC ^，垂足为点D ，12AD BC =，则C Ð的度数有（ ）A ．5种B ．4种C ．3种D ．2种【题型3 由含30°的直角三角形的性质求面积】【例3】（2024·山东聊城·八年级期末）9．如图，在ABC V 中，90ABC Ð=°，60BAC Ð=°，以点A 为圆心，以AB 的长为半径画弧交AC 于点D ，连接BD ，再分别以点B ，D 为圆心，大于12B D 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BD 于点M ，交BC 于点E ，连接DE ，则:CDE ABC S S △△的值是（ ）A ．1:2B 3C ．2:5D ．1:3【变式3-1】（23-24八年级·重庆·期末）10．如图，在Rt ABC △中，90A Ð=°，点D 是AB 上一点，且6,15BD CD DBC ==Ð=°，则BCD △的面积为（ ）A ．9B ．12C ．18D ．6【变式3-2】（23-24八年级·辽宁辽阳·期末）11．如图，在ABC V 中，90,30C B Ð=°Ð=°，D 是BC 上一点，连接AD ，若AD 平分BAC Ð，设ADB V 和ADC △的面积分别是1S ，2S ，则12:S S =（ ）A ．1:1B ．2:1C ．3:1D ．3:2【变式3-3】（23-24八年级·湖南永州·期中）12．如图，在ABC V 中，6AB =，将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到111A B C △，求阴影部分的面积．【题型4 由含30°的直角三角形的性质求最值】【例4】（23-24八年级·湖北荆门·期末）13．如图，CA ^直线l 于点A ，4CA =，点B 是直线l 上一动点，以CB 为边向上作等边MBC △，连接MA ，则MA 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【变式4-1】（23-24八年级·黑龙江齐齐哈尔·期末）14．如图，已知60AOB Ð=°，OC 平分AOB Ð，点P 在OC 上，PD OA ^于点D ，6OP =，点E 是射线OB 上的动点，则PE 的最小值为（ ）A ．4B ．2C ．5D ．3【变式4-2】（23-24八年级·江苏苏州·期中）15．如图，边长为6的等边三角形ABC 中，M 是高CH 所在直线上的一个动点，连接MB ，将线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，连接HN ．则在点M 运动过程中，线段HN 长度的最小值是 ．【变式4-3】（23-24八年级·浙江金华·期末）16．如图，在等腰三角形ABC 中，4AB AC ==，30BAC Ð=°，AG 是底边BC 上的高，在AG 的延长线上有一个动点D ，连接CD ，作150CDE Ð=°，交AB 的延长线于点E ，CDE Ð的角平分线交AB 边于点F ，则在点D 运动的过程中，线段EF 的最小值( )A ．6B ．4C ．3D ．2【题型5 由含30°的直角三角形的性质求坐标】【例5】（23-24八年级·北京朝阳·期末）17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，Rt OAB V 的斜边OB 在x 轴上，30ABO Ð=°，若点A 的横坐标为1，则点B 的坐标为 ．【变式5-1】（23-24八年级·湖南长沙·期中）18．如图，等边ABC V 的三个顶点都在坐标轴上，()30A -，，过点B 作BD AB ^，交x 轴于点D ，则点D 的坐标为 ．【变式5-2】（2024·山东泰安·八年级期末）19．如图，在平面直角坐标系中，点O 的坐标为()00，，点M 的坐标为()30，，N 为y 轴上一动点，连接MN ．将线段MN 绕点M 逆时针旋转60°得到线段MK ，连接NK OK ，．求线段OK 长度的最小值（ ）A ．32B C ．2D ．【变式5-3】（23-24八年级·广东东莞·期末）20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 的坐标是(0,1)，以OA 为边在右侧作等边三角形1OAA ，过点1A 作x 轴的垂线，垂足为点1O ，以11O A 为边在右侧作等边三角形112O A A ，再过点2A 作x 轴的垂线，垂足为点2O ，以22O A 为边在右侧作等边三角形223O A A L ，按此规律继续作下去，得到等边三角形202120212022O A A ，则点2021A 的纵坐标为 ．【题型6 由含30°的直角三角形的性质进行证明】【例6】（23-24八年级·山东烟台·期末）21．在Rt ABC △中，90ACB Ð=°，30BAC Ð=°，AD 平分BAC Ð，交BC 于点D ．(1)用尺规作出线段AD 的垂直平分线交AD 于点M ，交AB 于点N ．（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，求证：12CD AN =．【变式6-1】（23-24八年级·重庆江津·期中）22．如图，在等腰ABC V 中，AC BC =，4ACB B =∠∠，点D 是AC 边的中点，DE AC ^，交AB 于点E ，连接CE ．(1)求BCE Ð的度数；(2)求证：3AB CE =．【变式6-2】（2024八年级·江苏·专题练习）23．如图，在ABC V ，90ACB Ð=°，30A Ð=°，AB 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点D E ，．(1)若6cm AC =，求CE 的长度；(2)连接CD ，请判断BCD △的形状，并说明理由．【变式6-3】（23-24八年级·安徽阜阳·开学考试）24．如图，已知在等边三角形ABC 中，D ，E 分别是边BC ，AC 上的点，且AE DC =，连接AD ，BE 相交于点P ，过点B 作BQ AD ^，Q 为垂足，求证：2BP PQ =．【题型7 由含30°的直角三角形的性质解决折叠问题】【例7】（23-24八年级·山东济宁·期末）25．如图，三角形纸片ABC 中，90BAC Ð=°，4AB =，30C Ð=°．沿过点A 的直线将纸片折叠（折痕为AF ），使点B 落在边BC 上的点D 处；再折叠纸片，使点C 与点D 重合，折痕交AC 于点E （折痕为EG ），则FG 的长是（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8【变式7-1】（23-24八年级·湖北武汉·期中）26．如图所示，在ABC V 中，9030C A Ð=°Ð=°，，将BCE V 沿BE 折叠，使点C 落在AB边D 点，若6cm EC =，则AC =（ ）cm ．A ．12B ．16C ．18D ．14【变式7-2】（2024·山东滨州·八年级期末）27．如图，点O 是矩形纸片ABCD 的对称中心，E 是BC 上一点，将纸片沿AE 折叠后，点B 恰好与点O 重合．若3BE =，则折痕AE 的长为 ．【变式7-3】（23-24八年级·广西南宁·阶段练习）28．如图，在ABCD Y 中，将ADC △沿AC 折叠后，点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处．若602B AB Ð=°=，，则BC 为 ．【题型8 由含30°的直角三角形的性质解决旋转问题】【例8】（23-24八年级·陕西西安·阶段练习）29．如图，在ABC V 中，90C Ð=°，30ABC Ð=°，5cm AC =，将ABC V 绕点A 逆时针旋转至AB C ¢¢△的位置，点B 的对应点为点B ¢，点C 的对应点C ¢恰好落在边AB 上．设旋转角为a ．(1)a 的度数为 °；(2)求ABB ¢V 的周长．【变式8-1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）30．如图，将ABC V 绕点A 旋转得到ADE V ，若90B Ð=°，30C Ð=°，2AB =，则AE 的长为 ．【变式8-2】（2024八年级·浙江·专题练习）31．如图，AB C ¢¢△是ABC V 绕点A 旋转180°后得到的，已知90B Ð=°，1AB =，30C Ð=°，则CC ¢的长为 ．【变式8-3】（2024·河北秦皇岛·八年级期末）32．如图，在等边ABC V 中，10AB =，P 为BC 上一点（不与点B ，C 重合），过点P 作PM BC^于点P ，交线段AB 于点M ，将PM 绕点P 顺时针旋转60°，交线段AC 于点N ，连接MN ，有三位同学提出以下结论：嘉嘉：PNC △为直角三角形．淇淇：当2AM =时，7AN =．珍珍：在点P 移动的过程中，MN 不存在平行于BC 的情况．下列说法正确的是（ ）A ．只有嘉嘉正确B ．嘉嘉和淇淇正确C ．淇淇和珍珍正确D ．三人都正确【题型9 由含30°的直角三角形的性质解决动点问题】【例9】（23-24八年级·湖南岳阳·期中）33．如图：ABC V 是边长为3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达B 时，P 、Q 两点停止运动，当点P 到达B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 运动的时间为(s)t ．当t 为 时，PBQV 是直角三角形．【变式9-1】（23-24八年级·山西晋中·期中）34．如图，在ABC V 中，90,30,8cm B A AC Ð=°Ð=°=，动点P 、Q 同时从A 、C 两点出发，分别在AC 、BC 边上匀速移动，它们的速度分别为2cm /s,1cm /s P Q v v ==，当点P 到达点C 时，P 、Q 两点同时停止运动，设点P 的运动时间为s t ．(1)当t 为何值时，PCQ △为等边三角形？(2)当t 为何值时，PCQ △为直角三角形？【变式9-2】（2024八年级·全国·专题练习）35．已知：如图，ABC V 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB BC 、方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为s t ．(1)当动点P 、Q 同时运动2s 时，则BP = cm ，BQ = cm ．(2)当动点P 、Q 同时运动s t 时，分别用含有t 的式子表示；BP = cm ，BQ = cm ．(3)当t 为何值时，PBQ V 是直角三角形？【变式9-3】（23-24八年级·辽宁朝阳·期末）36．如图，在ABC V 中，60A Ð=°，4cm AB =，12cm AC =．动点P 从点A 开始沿AB 边以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CA 边以3cm/s 的速度运动．点P 和点Q 同时出发，当点P 到达点B 时，点Q 也随之停止运动．设动点的运动时间为()s 04t t <<，解答下列问题：(1)用含t 的代数式表述AQ 的长是______．(2)在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使APQ △是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【题型10 含30°的直角三角形的性质的实际应用】【例10】（23-24八年级·安徽合肥·期末）37．如图①，设计一张折叠型方桌，其示意图如图②，若50cm AO BO ==，30cm CO DO ==．现将桌子放平，两条桌腿需要叉开的角度AOB Ð应为120°，则AB 距离地面CD 的高为 cm ．【变式10-1】（23-24八年级·广西玉林·期中）38．某游乐场部分平面图如图所示，点C 、E 、A 在同一直线上，点D 、E 、B 在同一直线上，DB AB ^．测得A 处与E 处的距离为70m ，C 处与E 处的距离为35m ，90C Ð=°，30BAE Ð=°．(1)请求出旋转木马E 处到出口B 处的距离；(2)判断入口A 到出口B 处的距离与海洋球D 到过山车C 处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．【变式10-2】（23-24八年级·河北廊坊·期末）39．如图，嘉琪想测量一座古塔CD 的高度，在A 处测得15CAD Ð=°，再往前行进60m 到达B 处，测得30CBD Ð=°，点 A ，B ，D 在同一条直线上，根据测得的数据，这座古塔CD 的高度为（ ）A ．40mB ．30mC ．D ．50m【变式10-3】（23-24八年级·山东济宁·期中）40．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为7cm ，双翼的边缘80cm AC BD ==，且与闸机侧立面夹角30ACP BDQ Ð=Ð=°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．1．(1)见解析(2)8【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、等边三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）证明ABE CAD V V ≌即可得证；（2）求出30PBQ Ð=°，再根据含30°角的直角三角形的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：∵ABC V 为等边三角形，∴60AB AC BAC C =Ð=Ð=°，，在ABE V 和CAD V 中AB AC BAE ACD AE CD =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS V V ≌ABE CAD ，∴BE AD =．（2）解：∵ABE CAD V V ≌，∴ABE CAD Ð=Ð，∴60BPQ ABP BAP CAD BAP BAC Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，又∵BQ AD ^，∴90BQP Ð=°，∴18030PBQ BPQ BQP Ð=°-Ð-Ð=°，∴2BP PQ =，又∵4PQ =，∴8BP =．2．A【分析】由30度角的性质可求出26BC AB ==，然后利用等边三角形的性质求解即可．【详解】解：如图，∵CD AB ^，∴90CDB Ð=°．∵30BCD Ð=°，3BD =，∴26BC AB ==．∵ABC V 是等边三角形，∴ABC V 的周长为6318´=．故选A ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解答本题的关键．3．A【分析】本题主要考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；在直角三角形中30°角所对应的边是斜边的一半是解题的关键．根据题意可知60A Ð=°，在直角三角形ADE 中求得AD 的长，即可求得AC 的长．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，D 为AC 的中点，DE AB ^，垂足为点E ．若3AE =，∴在直角三角形ADE 中，60A Ð=°，90AED Ð=°，30ADE Ð=°，∴26AD AE ==，又∵D 为AC 的中点，∴212AC AD ==，∴等边三角形ABC 的边长为12，故选：A ．4．7.8【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有30°角的直角三角形是解决问题的关键．过点C 作CP AB ^于P ，根据60ABC Ð=°得120BAC BCA Ð+Ð=°，再根据等边三角形性质得AC CD =，60ACD Ð=°，则120DCE BCA Ð+Ð=°，由此得BAC DCE Ð=Ð，据此可依据“AAS ”判定APC △和CED △全等，从而得3AP CE ==，则 2.4BP AB AP =-=，进而在根据直角三角形性质得2 4.8BC BP ==，据此可得BE 的长．【详解】解：过点C 作CP AB ^于P ，如图所示：60ABC Ð=°Q ，180120BAC BCA ABC \Ð+Ð=°-Ð=°，ACD QV 为等边三角形，AC CD \=，60ACD Ð=°，180120DCE BCA ACD Ð+Ð=°-Ð=°Q ，BAC DCE \Ð=Ð，CP AB ^Q ，DE BC ^，90APC CED \Ð=Ð=°，在APC △和CED △中，90APC CED BAC DCEAC CD Ð=Ð=°ìïÐ=Ðíï=î，(AAS)APC CED \V V ≌，3AP CE \==，5.43 2.4BP AB AP \=-=-=，在Rt BCP △中，60ABC Ð=°，30BCP \Ð=°，22 2.4 4.8BC BP \==´=，4.837.8BE BC CE \=+=+=．故答案为：7.85．15【分析】本题考查了三角形中位线，含30°的直角三角形，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．过点F 作CD 的垂线，垂足为H ，先证明FH 为ABC V 的中位线，和45B HFA Ð=Ð=°，再根据直角三角形中30°所对的直角边为斜边的一半即可得出30FDH Ð=°，继而求出HFD Ð，以及AFD Ð的度数．【详解】过点F 作CD 的垂线，垂足为H ，如图：∵点F 恰好是线段AB 中点，FH AC ^，90BCA Ð=°，∴BC FH ∥，2BC FH =，∴45B HFA Ð=Ð=°，∵两块等腰直角三角板完全相同，∴BC FD =，∴2BC FD FH ==，∵90FHD Ð=°，∴30FDH Ð=°，∴60HFD Ð=°，∵45B HFA Ð=Ð=°，∴604515AFD HFD HFA Ð=Ð-Ð=°-°=°，故答案为：15．6．D【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，垂线段最短，三角形内角和定理的应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．在BC 下方作30BCN Ð=°，过点A 作AF CN ^于点F ，过点M 作ME CN ^于点E ，根据含30度角的直角三角形的性质得出12ME CM =，根据()12222AM CM AM CM AM ME æö+=+=+ç÷èø，两点之间线段最短，且垂线段最短，得出当A 、M 、E 三点共线，且AE CN ^时，AM ME +最小，即2AM CM +最小，求出此时CAM Ð的度数即可．【详解】解：在BC 下方作30BCN Ð=°，过点A 作AF CN ^于点F ，过点M 作ME CN ^于点E ，如图所示：则12ME CM =，∴()12222AM CM AM CM AM ME æö+=+=+ç÷èø，∵两点之间线段最短，且垂线段最短，∴当A 、M 、E 三点共线，且AE CN ^时，AM ME +最小，即2AM CM +最小，∴当点E 在点F 时，2AM CM +最小，∵90AFC Ð=°，453075ACE ACB BCE Ð=Ð+Ð=°+°=°，∴=9075=15CAF а-°°，即此时15CAM Ð=°．故选：D ．7．72【分析】过C 作CM BD ^，交BD 的延长线于M ，过D 作DN AC ^于N ，证明()Rt Rt HL DNC DMC V V ≌，得12DCM ACD Ð=Ð=°，求出ACB Ð的度数，则根据等腰三角形的内角和，可求出A Ð的度数．【详解】解：如图，过C 作CM BD ^，交BD 的延长线于M ，过D 作DN AC ^于N ，∵点D 在AC 的垂直平分线上，∴DN 垂直平分AC ，∴12NC AC =，∵AC BC =，∴12NC BC =，在Rt BMC △中，30DBC Ð=°，∴12CM BC =，∴CM CN =，在Rt DNC △和Rt DMC V 中，∵CD CD CN CM =ìí=î，∴()Rt Rt HL DNC DMC V V ≌，∴12DCM ACD Ð=Ð=°，∵30DBC Ð=°，∴60MCB Ð=°，∴6012236ACB Ð=°-°´=°，又∵AC BC =，∴()118036722A Ð=´°-°=°，故答案为：72．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质,含30°角直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题时要熟知等腰三角形的两个底角相等，需要作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的对应角相等．8．A【分析】根据题意分两种情况：AD 落在ABC V 内部和AD 落在ABC V 外部，然后分别根据等腰三角形的概念和三角形内角和定理求解即可．【详解】（1）当AD 落在ABC V 内部时，①如图，当AB AC =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴AD BD DC ==，即45C Ð=°．②如图，当AB CB =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴12AD AB =．∴30B Ð=°，∴()()11180180307522C B Ð=´°-Ð=´°-°=°③如图，当AC BC =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴12AD AC =．∴30C Ð=°．（2）当AD 落在ABC V 外部时，④当AB AC =时，此时不存在．⑤如图，当AB CB =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴12AD AB =．∴30ABD Ð=°，则11301522C ABD Ð=Ð=´°=°．⑥如图，当AC BC =时，∵AD BC ^，12AD BC =，∴12AD AC =．∴30ACD Ð=°，则18030150ACB Ð=°-°=°，即150C Ð=°．综上，C Ð的度数可能为15°，30°，45°，75°，150°，共5种可能，故选：A ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，含30°角直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是根据题意分情况讨论．9．D【分析】先根据30°角的直角三角形的性质得到12AB AC =，证明()SAS ABE ADE △≌△，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：∵90ABC Ð=°，60BAC Ð=°，∴90906030C BAC Ð=°-Ð=°-°=°，∴12AB AC =，由题意得：AB AD =，AP 平分BAC Ð，∴BAE DAE Ð=Ð，在ABE V 与ADE V 中，AB AD BAE DAE AE AE =ìïÐ=Ðíï=î，∴()SAS ABE ADE △≌△，∴ABE ADE S S =△△，∵12AD AB AC ==，∴AD CD =，∴ADE CDE S S =V V ，∴3ABC CDE S S =△△，∴:1:3CDE ABC S S =△△．故选：D ．【点睛】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余，30°角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题的关键．10．A【分析】本题考查等边对等角，三角形的外角，含30度角的直角三角形，根据等边对等角结合三角形的外角，求出30ADC Ð=°，进而求出AC 的长，利用三角形的面积公式求出BCD △的面积即可．【详解】解：∵6,15BD CD DBC ==Ð=°，∴15DCB B Ð=Ð=°，∴30ADC B BCD Ð=Ð+Ð=°，∵90A Ð=°，∴132AC CD ==，∴BCD △的面积为1163922BD AC ×=´´=；故选A ．11．B【分析】本题考查了直角三角形的性质，等角对等边，三角形的面积等知识，先求出30BAD CAD Ð=Ð=°，得出AD BD =， 从而1122CD AD BD ==，然后根据三角形面积公式可得结论．【详解】解：∵90,30C B Ð=°Ð=°，∴903060BAC Ð=°-°=°．∵AD 平分BAC Ð，∴1302BAD CAD BAC Ð=Ð=Ð=°，∴B BAD Ð=Ð，∴AD BD =， ∴1122CD AD BD ==，∴1211::2:122S S BD AC CD AC =××=．故选B ．12．9【分析】根据旋转的性质得到11ABC A BC V V ≌，16A B AB ==，所以1A BA V 是等腰三角形，依据130A BA Ð=°得到等腰三角形的面积，由图形可以知道1111A BA A BC ABC A BA S S S S S =+-=V V V V 阴影，最终得到阴影部分的面积．本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．运用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键．【详解】解：在ABC V 中，6AB =，将ABC V 绕点B 按逆时针方向旋转30°后得到111A B C △，∴11ABC A BC V V ≌16A B AB \==，\1A BA V 是等腰三角形，130A BA Ð=°，如图，过1A 作1A D AB ^于D ，则11132A D AB ==，116392A BA S \=´´=△，又1111A BA A BC ABC A BA S S S S S =+-=V V V V Q 阴影，11A BC CBA S S =V V ，19A BA S S \==V 阴影．13．B【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．以AC 为边作等边三角形ACE ，连接ME ，过点A 作AF ME ^于点F ，证明(SAS)BCA MCE V V ≌，由全等三角形的性质得出BA ME =，90BAC MEC Ð=Ð=°，由直角三角形的性质可得出答案．【详解】解：如图，以AC 为边作等边三角形ACE ，连接ME ，过点A 作AF ME ^于点F ，MBC QV 和ACE △为等边三角形，BC CM \=，AC CE =，60BCM ACE Ð=Ð=°，BCA MCE \Ð=Ð，在BCA V 和MCE △中，BC MC BAC MCE AC CE =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)BCA MCE \V V ≌，BA ME \=，90BAC MEC Ð=Ð=°，906030AEF \Ð=°-=°，B Q 是直线l 的动点，M \在直线ME 上运动，MA \的最小值为AF ，4AE AC ==Q ，122AF AE \==．故选：B14．D【分析】题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．过P 作PH OB ^，根据垂线段最短即可求出PE 最小值．【详解】解∶∵60AOB Ð=°，OC 平分AOB Ð，∴30AOC Ð=°，∵PD OA ^，6OP =，∴132PD OP ==，过P 作PH OB ^于点H ，∵PD OA ^，OC 平分AOB Ð，∴3PD PH ==，∵点E 是射线OB 上的动点，∴PE 的最小值为3，故选：C ．15．32【分析】取BC 的中点，连接MG ，根据等边三角形的性质和旋转可以证明MBG NBH V V ≌，可得MG NH =，根据垂线段最短，当MG CH ^时，MG 最短，即HN 最短，进而根据30度角所对直角边等于斜边的一半即可求得线段HN 长度的最小值．本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．【详解】解：如图，取BC 的中点，连接MG ，Q 线段BM 绕点B 逆时针旋转60°得到BN ，60MBH HBN \Ð+Ð=°，又ABC QV 是等边三角形，60ABC \Ð=°，即60MBH MBC Ð+Ð=°，HBN GBM \Ð=Ð，CH Q 是等边三角形的高，12BH AB \=，BH BG \=，又BM Q 旋转到BN ，BM BN \=，(SAS)MBG NBH \△≌△，MG NH \=，根据垂线段最短，当MG CH ^时，MG 最短，即HN 最短，此时160302BCH Ð=´°=°，116322CG BC ==´=，1322MG CG \==，32HN \=．\线段HN 长度的最小值是32．故答案为：3216．D 【分析】此题考查了全等三角形的判定即性质，等腰三角形的三线合一的性质，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．作DM AB ^于M ，作DN AC ^于N ，证明()ASA MDE NDC V V ≌，推出DE DC =，再证明()SAS EDF CDF V V ≌，推出EF CF =，得到当CF AB ^时CF 有最小值，即EF 有最小值，由30BAC Ð=°，4AC =，求出CF ．【详解】解：作DM AB ^于M ，作DN AC ^于N ，AB AC =Q ， AG BC ^，AG \平分BAC Ð，即AD 平分BAC Ð，DM AB ^Q ，DN AC ^，DM DN \=，30BAC Ð=°Q ，90AMD AND Ð=Ð=°，150MDN Ð\=° ，150CDE Ð=°Q ，150MDE CDM ÐÐ\=°- NDC Ð=，(ASA MDE NDC \V V ≌)，DE DC \=，DF Q 平分CDE Ð，EDF CDF \Ð=Ð，连接CF ，DF DF =Q ，()SAS EDF CDF \V V ≌，EF CF \=，\当CF AB ^时CF 有最小值，即EF 有最小值，此时，30BAC Ð=°Q ，4AC =，\122CF AC ==，故选：D ．17．()4,0【分析】本题主要考查了含30度角直角三角形的特征，解题的关键是掌握含30度角的直角三角形，30度角所对的边是斜边的一半．过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，先得出30OAC Ð=°，则22OA OC ==，进而得出24OB OA ==，即可解答．【详解】解：过点A 作x 轴的垂线，垂足为点C ，∵Rt OAB V 中30ABO Ð=°，∴60AOB Ð=°，∵AC OB ^，∴30OAC Ð=°，∵点A 的横坐标为1，∴1OC =，∴22OA OC ==，∵30ABO Ð=°，∴24OB OA ==，∴点B 的坐标为()4,0，故答案为：()4,0．18．()90，【分析】本题考查了坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．利用等边三角形的性质求得AB 的长，再利用含30度角的直角三角形的性质求得AD 的长，继而求得OD 的长，即可求解．【详解】解：∵ABC V 是等边三角形，且BO AC ^，∴60AO OC BAC =Ð=°，，∵()30A -，，∴3AO =，∴26AB AC AO ===，∵BD AB ^，∴90ABD Ð=°，∴30ADB Ð=°，∴212AD AB ==，∴9OD AD OA =-=，∴点D 的坐标为()90，．故答案为：()90，．19．A【分析】如图所示，将MOK V 绕点M 顺时针旋转60度得到MQN △，连接OQ ，由旋转的性质可得60OK NQ OM QM OMQ ===°，，∠，证明OMQ V 是等边三角形，得到60QOM OQ OM =°=∠，，推出30NOQ Ð=°；由垂线段最短可知，当NQ y ^轴，NQ 最小，即OK 最小，此时点N 与点N ¢重合，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，将MOK V 绕点M 顺时针旋转60度得到MQN △，连接OQ ，由旋转的性质可得60OK NQ OM QM OMQ ===°，，∠，∴OMQ V 是等边三角形，∴60QOM OQ OM =°=∠，，∴30NOQ Ð=°，∵点M 的坐标为()30，，∴3OQ OM ==，由垂线段最短可知，当NQ y ^轴，NQ 最小，即OK 最小，此时点N 与点N ¢重合，∴1322OK NQ OQ ===最小值最小值，故选A ．【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．20．202112【分析】此题主要考查了点的坐标，等边三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，理解在直角三角形中， 30°的角所对的边等于斜边的一半是解决问题的关键．首先根据点A 的坐标及等边三角形的性质得111,60,OA OA AOA ==Ð=°进而得1130,A OO Ð=°再根据直角三角形的性质得 11111,22A O OA ==点1A 的纵坐标为 12，依次类推得到点n A 的纵坐标为 12næöç÷èø即可解题．【详解】∵点A 的坐标是()0,1，1OAA V 是等边三角形，111,60OA OA AOA \==Ð=°，1111906030A OO AOO AOA \Ð=Ð-Ð=°-°=°，11A O x ^Q 轴,∴在11Rt A OO V 中, 1130,A OO Ð=°则 1111122A O OA ==，∴点1A 的纵坐标为 12，同理：2221111,22A O A O æö==ç÷èø 3332211,22A O A O æö==ç÷èø 4443311,22A O A O æö==ç÷èø...，以此类推， 12n n n A O æö=ç÷èø，∴点2A 的纵坐标为 21,2æöç÷èø点 A ₃的纵坐标为31,2æöç÷èø点 A ₄的纵坐标为 41,2æöç÷èø……，以此类推，点n A 的纵坐标为 12n æöç÷èø，∴点 2021A 的纵坐标为 202120211122æö=ç÷èø．故答案为： 202112．21．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据尺规作一条线段垂直平分线的方法，进行作图即可；（2）过D 点作DE AB ^于E 点，连接DN ，由角平分线的性质和定义得到1152BAD BAC ==°∠，DC DE =，再由线段垂直平分线的性质得到NA ND =，进而得到30DNE NDA NAD Ð=Ð+Ð=°，则12DE DN =，由此即可证明结论．【详解】（1）解：如图，MN 为所求作的线段AD 的垂直平分线；（2）证明：过D 点作DE AB ^于E 点，连接DN ，∵30BAC Ð=°，AD 平分BAC Ð，DC AC ^，DE AB ^，∴1152BAD BAC ==°∠，DC DE =，∵MN 是AD 的垂直平分线，∴DN AN =，∴15NDA NAD Ð=Ð=°，∴30DNE NDA NAD Ð=Ð+Ð=°，在Rt DNE △中，12DE DN =，∵DN AN =，DC DE =，∴12CD AN =．【点睛】本题主要考查了，尺规作一条线段的垂直平分线，角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质．22．(1)90BCE °Ð=；(2)证明见解析．【分析】（1）证明ECD EAD V V ≌，可得A ECD Ð=Ð，设B x Ð=，可得2BEC x Ð=，得出23180x x x ++=°，解得30x =°，则BCE Ð可求出；（2）由直角三角形的性质可得2BE CE =，AE CE =，则结论可得出．【详解】（1）解： Q 点D 是AC 边的中点，DE AC ^，90EDC EDA \Ð=Ð=°，DC DA =，ED ED =Q ，()SAS ECD EAD \V V ≌，A ECD \Ð=Ð，设B x Ð=，∵AC BC =，B A x \Ð=Ð=，2BEC A ECA x \Ð=Ð+Ð=，4ACB B Ð=ÐQ ，3BCE x \Ð=，180B BEC BCE Ð+Ð+Ð=°Q ，23180x x x \++=°，解得30x =°，90BCE \Ð=°；（2）解：30B Ð=°Q ，90BCE Ð=°，2BE CE \=，CE AE =Q ，3AB BE AE CE \=+=．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握运用基础知识是解题的关键．23．(1)2cm(2)等边三角形，理由见解析【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．（1）连接BE ，由垂直平分线的性质可求得30CBE ABE A Ð=Ð=Ð=°，在Rt BCE V 中，由直角三角形的性质可证得2BE CE =，则可得出结果；（2）由垂直平分线的性质可求得AD BD =，根据含30°角的直角三角形可得12BC AB =，因此BCD △为等腰三角形，进一步由题意可知60ABC Ð=°，即可证明BCD △为等边三角形．【详解】（1）解：如图，连接BE ，DE Q 是AB 的垂直平分线，AE BE \=，30ABE A \Ð=Ð=°，30CBE ABC ABE \Ð=Ð-Ð=°，在Rt BCE V 中，2BE CE =，2AE CE \=，6cm AC =Q ，2cm CE \=．（2）BCD △是等边三角形，理由如下：连接CD ，DE Q 垂直平分AB ，∴D 为AB 中点，AD BD \=，在Rt ABC △中，30A Ð=°，12BC AB =∴，AD BD BC \==，又60ABC Ð=°Q ，∴BCD △是等边三角形．24．见详解【分析】根据全等三角形的判定定理SAS 可判断两个三角形全等；根据全等三角形的对应角相等，以及三角形外角的性质，可以得到30PBQ Ð=°，根据直角三角形的性质即可得到．本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及含30度角直角三角形的性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】解：ABC QV 为等边三角形．AB AC \=，60BAC ACB Ð=Ð=°，在BAE V 和ACD V 中，AE CD BAC ACB AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，(SAS)BAE ACD \V V ≌，ABE CAD \Ð=Ð，BPQ ÐQ 为ABP V 外角，60BPQ BAD ABE CAD BAD BAC \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，BQ AD ^Q ，30PBQ \Ð=°，2BP PQ \=．25．B【分析】根据折叠的性质可得，BF FD =，CG GD =，即12FG BC =，再由30°角所对的直角边是斜边的一半，即可求解，本题考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是：熟练掌握折叠的性质．【详解】解：由折叠可知，BF FD =，CG GD =，12FG BC \=，在ABC V 中，90BAC Ð=°，4AB =，30C Ð=°，2248BC AB \==´=，118422FG BC \==´=，故选：B ．26．C【分析】本题主要考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的直角．理解直角三角形中30°角所对边是斜边的一半是解题的关键．【详解】解：根据折叠的性质6cm DE EC ==，90EDB C Ð=Ð=°，∴90EDA Ð=°，∵30A Ð=°，∴212cm AE DE ==，∴18cm AC AE EC =+=，故选C ．27．6【分析】此题考查了中心对称，矩形的性质，以及翻折变换，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．由折叠的性质及矩形的性质得到OE 垂直平分AC ，得到AE EC =，根据AB 为AC 的一半确定出30ACE Ð=°，进而得到OE 等于EC 的一半，求出EC 的长，即为AE 的长．【详解】解：由题意得：AB AO CO ==，即2AC AB =，且OE 垂直平分AC ，AE CE \=，30ACB Ð=°，在Rt OEC △中，30OCE Ð=°，12OE EC BE \==，3BE =Q ，3OE \=，6EC =，则6AE =，故答案为：6．28．4【分析】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，含30°的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由折叠的性质与题意可得，=90ACD а，由ABCD Y ，可知260BC AD CD AB D B ===Ð=Ð=°，，，则18030CAD ACD D Ð=°-Ð-Ð=°，24AD CD ==，进而可求BC 的值．【详解】解：由折叠的性质可得，=90ACD а，∵ABCD Y ，∴260BC AD CD AB D B ===Ð=Ð=°，，，∴18030CAD ACD D Ð=°-Ð-Ð=°，∴24AD CD ==，∴4BC =，故答案为：4．29．(1)60(2)30cm【分析】本题主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．（1）根据90C Ð=°，30ABC Ð=°，求出903060BAC Ð=°-°=°，即可求出结果；（2）根据直角三角形的性质得出210cm AB AC ==，根据旋转得出60BAB ¢Ð=°，AB AB ¢=，证明ABB ¢V 是等边三角形，求出结果即可．【详解】（1）解：∵在ABC V 中，90C Ð=°，30ABC Ð=°，∴903060BAC Ð=°-°=°，根据旋转可知：60BAB BAC a =Ð=Ð=¢°；（2）解：∵90C Ð=°，30ABC Ð=°，5cm AC =，∴()22510cm AB AC ==´=，∵将ABC V 绕点A 逆时针旋转a 角度至AB C ¢¢△的位置，∴60BAB ¢Ð=°，AB AB ¢=，∴ABB ¢V 是等边三角形，∴ABB ¢V 的周长是()331030cm AB =´=．30．4【分析】由直角三角形的性质可得24AC AB ==，由旋转的性质可得4AE AC ==．本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．【详解】解：90B Ð=°Q ，30C Ð=°，24AC AB \==，Q 将ABC V 绕点A 旋转得到ADE V ，4AE AC \==，故答案为：431．4【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，根据题意得出2AC =，进而根据旋转的性质，即可求解．【详解】在Rt ABC △中，1AB =，30C Ð=°，∴22AC AB ==．。

一、选择题1．如图所示，将含有30°角的三角板(∠A=30°)的直角顶点放在相互平行的两条直线其中一条上，若∠1=38°，则∠2的度数（ ）A ．28°B ．22°C ．32°D ．38°【答案】B【解析】【分析】 延长AB 交CF 于E ，求出∠ABC ，根据三角形外角性质求出∠AEC ，根据平行线性质得出∠2=∠AEC ，代入求出即可．【详解】解：如图，延长AB 交CF 于E ，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC=60°，∵∠1=38°，∴∠AEC=∠ABC-∠1=22°，∵GH ∥EF ，∴∠2=∠AEC=22°，故选B ．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角性质，平行线性质的应用，主要考查学生的推理能力．2．如图，在矩形ABCD 中， 3,4,AB BC ==将其折叠使AB 落在对角线AC 上，得到折痕,AE 那么BE 的长度为（ ）A ．1B ．2C ．32D ．85【答案】C【解析】【分析】 由勾股定理求出AC 的长度，由折叠的性质，AF=AB=3，则CF=2，设BE=EF=x ，则CE=4x -，利用勾股定理，即可求出x 的值，得到BE 的长度．【详解】解：在矩形ABCD 中，3,4AB BC ==，∴∠B=90°， ∴22345AC =+=，由折叠的性质，得AF=AB=3，BE=EF ，∴CF=5-3=2，在Rt △CEF 中，设BE=EF=x ，则CE=4x -，由勾股定理，得：2222(4)x x +=-，解得：32x =； ∴32BE =． 故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，矩形的性质，折叠的性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握所学的性质，利用勾股定理正确求出BE 的长度．3．△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C ＝1：2：3，最小边BC ＝4cm ，则最长边AB 的长为( )cm A ．6B ．8C 5D ．5【答案】B【解析】【分析】根据已知条件结合三角形的内角和定理求出三角形中角的度数，然后根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.【详解】设∠A ＝x ，则∠B ＝2x ，∠C ＝3x ，由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C ＝x+2x+3x ＝180°，解得x ＝30°，即∠A ＝30°，∠C ＝3×30°＝90°，此三角形为直角三角形，故AB ＝2BC ＝2×4＝8cm ，故选B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半”是解题的关键.4．如图，点O 是ABC ∆的内心，M 、N 是AC 上的点，且CM CB =，AN AB =，若100ABC ∠=︒，则MON ∠=（ ）A ．60︒B ．70︒C ．80︒D ．100︒【答案】C【解析】【分析】 根据题意，连接OA ，OB ，OC ，进而求得BOC MOC ∆≅∆，AOB AON ∆≅∆，即∠CBO =∠CMO ，∠OBA =∠ONA ，根据三角形内角和定理即可得到∠MON 的度数.【详解】如图，连接OA ，OB ，OC ，∵点O 是ABC ∆的内心，∴BCO MCO ∠=∠，∵CM =CB ，OC =OC ，∴()BOC MOC SAS ∆≅∆，∴CBO CMO ∠=∠，同理可得：AOB AON ∆≅∆，∴ABO ANO ∠=∠，∵100CBA CBO ABO ∠=∠+∠=︒，∴100CMO ANO ∠+∠=︒，∴180()80MON CMO ANO ∠=︒-∠+∠=︒，故选：C.【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质及判定，三角形的内角和定理及角度的转换，熟练掌握相关辅助线的画法及三角形全等的判定是解决本题的关键.5．下列命题是假命题的是（ ）A ．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等B ．如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16C ．将一次函数y ＝3x -1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限D ．若关于x 的一元一次不等式组0213x m x -≤⎧⎨+>⎩无解，则m 的取值范围是1m 【答案】B【解析】【分析】利用三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组分别判断后即可确定正确的选项．【详解】A. 三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，正确，是真命题；B. 如果等腰三角形的两边长分别是5和6，那么这个等腰三角形的周长为16或17，错误，是假命题；C. 将一次函数y ＝3x -1的图象向上平移3个单位，所得直线不经过第四象限，正确，是真命题；D. 若关于x 的一元一次不等式组0213x m x -≤⎧⎨+>⎩无解，则m 的取值范围是1m ，正确，是真命题；故答案为：B【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形外心的性质、等腰三角形的性质和三角形三边关系定理、一次函数图象的平移规律、解一元一次不等式组．6．如图，在ABC ∆中，33B ∠=︒，将ABC ∆沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则12∠-∠的度数是（ ）A ．33︒B ．56︒C ．65︒D ．66︒【答案】D【解析】【分析】 由折叠的性质得到∠D=∠B ，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【详解】解：如图，由折叠的性质得：∠D=∠B=33°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠B ，∠3=∠2+∠D ，∴∠1=∠2+∠D+∠B=∠2+2∠B=∠2+66°，∴∠1-∠2=66°．故选：D ．【点睛】此题考查了翻折变换以及三角形外角性质的运用，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．7．如图，已知ABC ∆，若AC BC ⊥，CD AB ⊥，12∠=∠，下列结论：①//AC DE ；②3A ∠=∠；③3EDB ∠=∠；④2∠与3∠互补；⑤1B ∠=∠，其中正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】【分析】根据平行线的判定得出AC∥DE，根据垂直定义得出∠ACB=∠CDB=∠CDA=90°，再根据三角形内角和定理求出即可．【详解】∵∠1=∠2，∴AC∥DE，故①正确；∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠CDB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠3+∠B=90°，∴∠A=∠3，故②正确；∵AC∥DE，AC⊥BC，∴DE⊥BC，∴∠DEC=∠CDB=90°，∴∠3+∠2=90°（∠2和∠3互余），∠2+∠EDB=90°，∴∠3=∠EDB，故③正确，④错误；∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠CDA=90°，∴∠A+∠B=90°，∠1+∠A=90°，∴∠1=∠B，故⑤正确；即正确的个数是4个，故选：C．【点睛】此题考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理，垂直定义，能综合运用知识点进行推理是解题的关键．8．如图11-3-1，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°，则一定有（）A．∠ADE=20°B．∠ADE=30°C．∠ADE=12∠ADC D．∠ADE=13∠ADC【答案】D【解析】【分析】【详解】设∠ADE=x，∠ADC=y，由题意可得，∠ADE+∠AED+∠A=180°，∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以13x y =，即∠ADE=13∠ADC ． 故答案选D ．考点：三角形的内角和定理；四边形内角和定理．9．AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 长是（ ）A ．4B ．3C ．6D ．2【答案】B【解析】【分析】 首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由S △ABC =S △ABD +S △ACD 及三角形的面积公式得出结果．【详解】解：AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，∠EAD=∠FADDE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，∴DF=DE ，又∵S △ABC =S △ABD +S △ACD ，DE=2，AB=4，11742222AC ∴=⨯⨯+⨯⨯ ∴AC=3.故答案为：B【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质、灵活运用所学知识是解题的关键.10．如图，在ABC ∆中，90C =∠，30B ∠=，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ） ①AD 是BAC ∠的平分线；②ADC 60∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上；④:1:3DAC ABC S S ∆∆=A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 根据题干作图方式，可判断AD 是∠CAB 的角平分线，再结合∠B=30°，可推导得到△ABD 是等腰三角形，根据这2个判定可推导题干中的结论.【详解】题干中作图方法是构造角平分线，①正确；∵∠B=30°，∠C=90°，AD 是∠CAB 的角平分线∴∠CAD=∠DAB=30°∴∠ADC=60°，②正确∵∠DAB=∠B=30°∴△ADB 是等腰三角形∴点D 在AB 的垂直平分线上，③正确在Rt △CDA 中，设CD=a ，则AD=2a在△ADB 中，DB=AD=2a∵1122DAC S CD AC a CD ∆=⨯⨯=⨯，13(CD+DB)22BAC S AC a CD ∆=⨯⨯=⨯ ∴:1:3DAC ABC S S ∆∆=，④正确故选：D【点睛】本题考查角平分线的画法及性质、等腰三角形的性质，解题关键是熟练角平分线的绘制方法.11．对于图形的全等，下列叙述不正确的是（）A．一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等B．一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等C．一个图形放大后得到的图形，与原来的图形全等D．一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等【答案】C【解析】A. 一个图形经过旋转后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意；B. 一个图形经过中心对称后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意；C. 一个图形放大后得到的图形，与原来的图形不全等，故错误，符合题意；D. 一个图形经过轴对称后得到的图形，与原来的图形全等，正确，不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了对全等图形的认识，解题的关键是要明确通过旋转、轴对称、平移等都可以得到与原图形全等的图形，而通过放大或缩小只能得到与原图形形状一样的图形，得不到全等图形.12．如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE，∴∠ABF=∠E，∵DE=CD，∴AB=DE，在△ABF和△DEF中，∵===ABF EAFB DFEAB DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABF≌△DEF（AAS），∴AF=DF，BF=EF；可得③⑤正确，故选：B．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．13．如图，90ACB∠=︒，ACCD=，过D作AB的垂线，交AB的延长线于E，若2AB DE=，则BAC∠的度数为（）A．45°B．30°C．°D．15°【答案】C【解析】【分析】连接AD，延长AC、DE交于M，求出∠CAB=∠CDM，根据全等三角形的判定得出△ACB≌△DCM，求出AB=DM，求出AD=AM，根据等腰三角形的性质得出即可．【详解】解：连接AD，延长AC、DE交于M，∵∠ACB=90°，AC=CD，∴∠DAC=∠ADC=45°，∵∠ACB=90°，DE⊥AB，∴∠DEB=90°=∠ACB=∠DCM，∵∠ABC=∠DBE，∴∠CAB=∠CDM，在△ACB和△DCM中CABCDM AC CDACB DCM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACB ≌△DCM （ASA ），∴AB=DM ，∵AB=2DE ，∴DM=2DE ，∴DE=EM ，∵DE ⊥AB ，∴AD=AM ，114522.522BAC DAE DAC ︒︒∴∠=∠=∠=⨯= 故选：C ．【点睛】 本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，能根据全等求出AB=DM 是解此题的关键．14．如图，已知A ,D,B,E 在同一条直线上，且AD = BE, AC = DF,补充下列其中一个条件后，不一定能得到△ABC ≌△DEF 的是（ ）A ．BC = EFB ．AC 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ．15．如图：AD AB ⊥，AE AC ⊥，AD AB =，AE AC =，连接BE 与DC 交于M ，则：①DAC BAE ∠=∠；②DAC BAE ∆∆≌；③DC BE ⊥；正确的有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】利用垂直的定义得到90DAB EAC∠=∠=︒，则ADC BAE∠=∠，于是可对①进行判断；利用“SAS”可证明DAC BAE∆≅∆，于是可对②进行判断；利用全等的性质得到ADC ABE∠=∠，则根据三角形内角和和对顶角相等得到90DMB DAB∠=∠=︒，于是可对③进行判断．【详解】解：AD AB⊥，AE AC⊥，90DAB∴∠=︒，90EAC∠=︒，DAB BAC EAC BAC∴∠+=∠+∠，即ADC BAE∠=∠，所以①正确；在DAC∆和BAE∆中，DA ABDAC BAEAC AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAC BAE SAS∴∆≅∆，所以②正确；ADC ABE∴∠=∠，∵∠AFD=∠MFB，90DMB DAB∴∠=∠=︒，DC BE∴⊥，所以③正确．故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．16．如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（）A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍【答案】B【解析】设原直角三角形的三边长分别是，且，则扩大后的三角形的斜边长为，即斜边长扩大到原来的2倍，故选B.17．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条（）．A．0根B．1根C．2根D．3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B18．一个等腰三角形的顶角为钝角，则底角a的范围是（）A．0°<a<9 B．30°<a<90° C．0°<a<45° D．45°<a<90°【答案】C【解析】：∵等腰三角形顶角为钝角∴顶角大于90°小于180°∴两个底角之和大于0°小于90°∴每个底角大于0°小于45°故选：C19．如图，在ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长(大于12AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知CDE△的面积比CDB△的面积小4，则ADE的面积为（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【解析】【分析】由作图步骤可知直线MN为线段AB的垂直平分线，根据三角形中线的性质可得S △CDA =S △CDB ，根据△CDE 的面积比△CDB 的面积小4即可得答案．【详解】由作图步骤可知直线MN 为线段AB 的垂直平分线，∴CD 为AB 边中线，∴S △CDA =S △CDB ，∵△CDE 的面积比△CDB 的面积小4，∴S △ADE =S △CDA -S △CDE =S △CDB -S △CDE =4．故选：A ．【点睛】本题考查尺规作图——垂直平分线的画法及三角形中线的性质，三角形的中线，把三角形分成两个面积相等的三角形；熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．20．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，60CAB ∠=︒，按以下步骤作图：①分别以A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别相交于点P 和Q ． ②作直线PQ 交AB 于点D ，交BC 于点E ，连接AE ．若4CE =，则AE 的值为（ ） A ．6B ．2C ．43D ．8 【答案】D【解析】【分析】根据垂直平分线的作法得出PQ 是AB 的垂直平分线，进而得出∠EAB ＝∠CAE ＝30°，即可得出AE 的长．【详解】由题意可得出：PQ 是AB 的垂直平分线，∴AE ＝BE ，∵在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ＝60°，∴∠CBA ＝30°，∴∠EAB ＝∠CAE ＝30°， ∴CE ＝12AE ＝4， ∴AE ＝8．故选D ．【点睛】此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB＝∠CAE＝30°是解题关键．·。

含30°角的直角三角形专项训练（20题）一、单选题1．如图，Rt△ABC中，△ACB=90°，△B=30°，作△CAD=30°，CD△AD于D，若△ADC的面积为1，则△ABC的面积为（）A．2B．3C．4D．82．如图，线段AE△BD于C，AB＝DE，△A＝30°，△E＝50°，F是DE的中点，则△DBF的度数等于（）A．10°B．20°C．30°D．40°3．如图，在△ABC中，AB = AC，△C = 30°，AB△AD，AD = 3 cm，则BC的（）A．6 cm B．9 cm C．12 cm D．无法确定4．如图，在△ABC中，△A＝45°，△B＝30°，CD△AB，垂足为D，CD＝1，则AB的长为() A．2B．2√3C．√3＋1D．√3＋135．如图5，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A．10米B．15米C．25米D．30米6．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，△A＝30°，BC＝4，CD是高，则AD的长为（）A．5B．6C．7D．87．如图，△ABC中，△B＝30°，△C＝60°，AE△BC于E，AD平分△BAE，EF△AD于F，以下结论：①△DEF＝30°；②AD＝AC；③△AFE △△AEC；④DE＝CE.其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在△ABC中，△C＝90°，△A＝30°，BD为△ABC的角平分线，若AC＝12，则在△ABD中AB边上的高为（）A．3B．4C．5D．69．在△ABC中，△BAC=90°，点D在边BC上，AD=AB ()A．若AC=2AB，则△C=30°B．若AC=2AB，则3BD=2CDC．若△B=2△C，则AC=2AB D．若△B=2△C，则S△ABD=2△ACD10．如图，在直角三角形△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=30°，点D为BC上一动点，连接AD.若AC=1,△ABC的面积为√3，则AD+12BD的最小值为（）2A．√3B．√3C．2D．32√3 2二、解答题11．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，△DBC＝30°，求AC的长.12．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，CD是高，△A＝30°，求证：AD＝3BD.13．如图，在△ABC中，△B＝30°，AB＝4，AD△BC于点D且tan△CAD＝12，求BC的长14．如图，在△ABC中，△B=30°，△C=135°，BC=2，则AB的长为多少？15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD=2BD.16．一船在灯塔C正东方向4海里的A处，以30海里/时的速度沿西偏北60°方向航行．多长时间，船到达灯塔的正北？17．图①所示的是某超市入口的双翼闸门，如图②，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B 之间的距离为8cm，双翼的边缘AC=BD=64cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP=∠BDQ=30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度.18．如图，在△ABC中，△C=90°，△B=30°，BC=6cm，AD是△CAB的平分线，求DC的长。

八上数学每日一练：含30度角的直角三角形练习题及答案_2020年解答题版答案解析答案解析答案解析2020年八上数学：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形练习题1.(2020历下.八上期末)如图，在等边中，点（2，0），点 是原点，点 是 轴正半轴上的动点，以 为边向左侧作等边 ，当时，求 的长．考点： 坐标与图形性质;等边三角形的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;2.(2020厦门.八上期中) 如图，在平面直角坐标系中，点A 在y 轴上，点B 在x 轴上，∠OAB ＝30°．（Ⅰ）若点C 在y 轴上，且△ABC 为以AB 为腰的等腰三角形，求∠BCA 的度数；（Ⅱ）若B （1，0），沿AB 将△ABO 翻折至△ABD ． 请根据题意补全图形，并求点D的横坐标．考点： 坐标与图形性质;等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形;翻折变换（折叠问题）;3.(2020重庆.八上期中) 如图所示,测量旗杆AB的高度时,先在地面上选择一点C,使∠ACB=15°.然后朝着旗杆方向前进到点D,测得∠ADB=30°,量得CD=13 m,求旗杆AB 的高.考点： 等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形;4.(2020安陆.八上期末)如图， 中，，，一同学利用直尺和圆规完成如下操作：分别以点 、 为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，两点，直线 交 于 ，交 于 .请你观察图形，猜想 与 之间的数量关系，并证明你的结论.答案解析答案解析考点： 线段垂直平分线的性质;含30度角的直角三角形;5.(2017卢龙.八上期中) 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若DE=1cm ，∠CBD =30°，求∠A 的度数和AC 的长．考点： 角平分线的性质;含30度角的直角三角形;2020年八上数学：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。

13.3.4含30°角的直角三角形的性质夯实基础篇一、单选题：1．如图，在△AB C中，∠B＝30°，ED垂直平分BC，ED＝3．则CE长为（）A．6B．9C．3D．8【答案】A【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】∵ED垂直平分BC，∴BE＝CE，∠EDB＝90°，∵∠B＝30°，ED＝3，∴BE＝2DE＝6，∴CE＝6．故选A．【分析】由ED垂直平分BC，即可得BE＝CE，∠EDB＝90°，又由直角三角形中30°角所对的直角边是其斜边的一半，即可求得BE的长，则问题得解．2．如右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，DE的长为()A．7.4m B．3.7m C．1.85m D．2.85m 【答案】C【知识点】含30°角的直角三角形【解析】【解答】在直角三角形ADE中，∵∠A=30°，AB=7.4，D为AB的中点∴DE=12AD=1122AB=1.85.故答案为：C 。

【分析】根据题意，由直角三角形中30°角所对的直角边的性质即可得到答案。

3．在ABC 中，AB BC ，120ABC ，过点B 作BD BC ，交AC 于点D ，若1AD ，则CD 的长度为（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：在ABC 中，AB BC ，120ABC ，∴∠A =∠C =（180º-120º）÷2=30º，∵BD BC ，∴∠DBC =90º，∴∠ABD =∠ABC -∠DBC =120º-90º=30º，∴BD =AD =1，∵∠DBC =90º，∠C =30º，∴CD =2BD =2，故答案为：择：A ．【分析】由AB BC ，120ABC ，得出∠A =∠C =30º，由BD BC 得出∠DBC =90º利用角的差∠ABD =∠ABC -∠DBC =30º=∠A ，得到等腰三角形，BD =AD =1，利用30º所对直角边等于斜边的一半CD =2BD 即可．4．如图，ABC 中，90C ，60BAC ，AD 平分BAC ，若15BC ，则点D 到线段AB 的距离等于（）A ．6B ．5C ．8D ．10【答案】B 【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵AD 平分BAC ，∠C =90°，60BAC∴DC =DE ，∠ABC =90°－∠BAC =30°在Rt △BDE 中，BD =2DE∵BD ＋DC =BC =15∴2DE ＋DE =15解得：DE =5，即点D 到线段AB 的距离等于5.故答案为：B.【分析】过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线的性质可得DC =DE ，由余角的性质可得∠ABC =30°，则BD =2DE ，结合BD ＋DC =BC =15可得DE 的值，据此解答.5．如图，在Rt ABC 中，CM 平分ACB 交AB 于点M ，过点M 作//MN BC 交AC 于点N ，且MN 平分AMC ，若1AN ，则BC 的长为（）A ．4B ．6C ．D ．8【答案】B 【知识点】平行线的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵在Rt △AB C 中，CM 平分∠ACB 交AB 于点M ，过点M 作MN ∥BC 交AC 于点N ，且MN 平分∠AMC ，∴∠AMN ＝∠NMC ＝∠B ，∠NCM ＝∠BCM ＝∠NMC ，∴∠ACB ＝2∠B ，NM ＝NC ，∴∠B ＝30°，∵AN ＝1，∴MN ＝2，∴AC ＝AN ＋NC ＝3，∴BC ＝6，故答案为：B ．【分析】根据题意，可以求得∠B 的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得NC 的长，从而可以求得BC 的长．6．如图所示，△ABC 是边长为20的等边三角形，点D 是BC 边上任意一点，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，则BE +CF =（）A．5B．10C．15D．20【答案】B【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】因为△ABC是边长为20的等边三角形，所以BC=20，∠B=∠C=60，又因为DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，所以，∠BDE=30，∠CDF=30，所以，BE=12BD，CF=12DC，所以，BE+CF=12BD+12DC=12BC=10.故答案为：B【分析】根据等边三角形的性质得到边长，再根据在直角三角形中，30度角所对的边是斜边的一半，求出BE、CF的值.二、填空题：7．如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=6，则PD等于.【答案】3【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】如图，过点P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP=∠CPO，∴∠PCE=∠BOP+∠CPO=∠BOP+∠AOP=∠AOB=30°，又∵PC=6，∴PE等于PC的一半为3，∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，∴PD=PE=3．【分析】过点P作PE⊥OB于E，根据两直线平行，内错角相等可得∠AOP=∠CPO，利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠PCE=∠AOB=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半.8．如图，在Rt△AB C中，∠BCA=90°，CD是斜边AB上的高，若∠A=30°，BD=1cm，则AD=cm．【答案】3【知识点】含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵在Rt△AB C中，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，∴∠A=∠BCD=30°，∴BC=2BD，AB=2BC，∴AB=4BD，∴AD=AB﹣BD=3BD=3cm．故答案为3．【分析】要求AD的长度，需要先求得斜边AB的长度；根据“30度角所对的直角边等于斜边的一半”易求BC=2BD=2cm，AB=2BC=4cm．9．如图，在Rt△AB C中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是．【答案】2【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ECF=∠EDB=90°，∵∠AED=∠CEF，∴∠A=∠F=30°，∵AB的垂直平分线DE交AC于E，∴BE=AE，∴∠EBA=∠A=30°，∴BE=2DE=2.故答案为：2.【分析】根据等角的余角相等，得出∠A=∠F=30°，根据线段垂直平分线的性质得出BE=AE，根据等腰三角形的性质得出∠EBA=∠A=30°，根据“30度角所对的直角边是斜边的一半”，即可得出BE=2DE=2.10．如图，在Rt△AC B中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于D，若AC ＝9，则AE的值是．【答案】6【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形【解析】【解答】解：∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=∠ABE，∵ED垂直平分AB于D，∴EA=EB，∴∠A=∠ABE，∴∠CBE=30°，∴BE=2EC，即AE=2EC，而AE+EC=AC=9，∴AE=6．故答案为：6【分析】在△AC B中，可求得∠CBE=∠ABE=∠A=30°，再在Rt△BCE中，∠CBE=30°可得BE=2EC，最后根据AC＝9求得AE。

八下数学每日一练：含30度角的直角三角形练习题及答案_2020年单选题版答案答案答案答案2020年八下数学：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形练习题~~第1题~~(2019北京.八下期中) 如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，且∠ADC=60°，AB=BC ，连接OE ．下列结论：①∠CAD=30°；②S=AB•AC ；③OB=AB ；④OE=BC ，成立的个数有（ ）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个考点： 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;平行四边形的性质;~~第2题~~(2019南.八下期中) 如图，已知∠AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=12，点M ，N 在边OB上，PM=PN ，若MN=2，则OM =（ ）A . 3B . 4C . 5D . 6考点： 等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形;~~第3题~~(2019罗湖.八下期末) 如图，将一个含有角的直角三角板的直角顶点放在一张宽为的矩形纸带边沿上，另一个顶点在纸带的另一边沿上，若测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成 角，则三角板最长的长是（ ） A . B . C . D .考点： 等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;~~第4题~~(2019福田.八下期末)如图，将绕点按顺时针旋转一定角度得到，点 的对应点 恰好落在边上.若 ， ，则 的长为（ ）A . 1 B . C . 2 D .考点： 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;~~第5题~~(2019江苏.八下期中) 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝12，则BC ＝( )▱A BCD答案答案答案答案答案答案 A . 6 B . 6 C . 6 D . 12考点： 含30度角的直角三角形;~~第6题~~(2019博罗.八下期中) 如图，在△ABC 中，AB ＝8，∠C ＝90°，∠A ＝30°，DE 是中位线，则DE 的长为（ ）A . 2B . 3C . 4D . 2考点： 含30度角的直角三角形;三角形中位线定理;~~第7题~~(2019柳州.八下期中) 已知直角三角形中30°角所对的直角边长为5，则斜边长为（ ）A . 5B . 10C . 12D . 13考点： 含30度角的直角三角形;~~第8题~~(2019重庆.八下期中) (2018·吉林模拟)如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，BC ＝1，点D ，E 分别是直角边BC ，AC 的中点，则DE 的长为( )A . 1B . 2C .D . 1＋考点： 含30度角的直角三角形;三角形中位线定理;~~第9题~~(2019重庆.八下期中) 如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AD ＝8，F 是AB 的中点.过点F 作FE ⊥AD ，垂足为E.将△AE F 沿点A 到点B 的方向平移，得到△A′E′F′.设P 、P′分别是EF 、E′F′的中点，当点A′与点B 重合时，四边形PP′F′F 的面积为( )A . 8B . 4C . 12D . 8 －8考点： 含30度角的直角三角形;平行四边形的判定与性质;菱形的性质;平移的性质;~~第10题~~(2019浏阳.八下期中) 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2，则AB=（ ）A . 4B .C .D .考点： 含30度角的直角三角形;2020年八下数学：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形练习题答案1.答案：C2.答案：C3.答案：D4.答案：C5.答案：A6.答案：A7.答案：B8.答案：A9.答案：B10.答案：A。

专题1.3 含30°角的直角三角形性质专项训练（30道）【北师大版】考卷信息：本套训练卷共30题，选择题10道，填空题10道，解答题10道，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，综合性较强！一．选择题（共10小题）1．（2021秋•娄星区校级月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∠A＝30°，则下列结论中正确的是（ ）A．AC＝2AD B．CD＝2BD C．BC＝2CD D．BC＝2BD【解题思路】根据直角三角形的性质可得在直角三角形ACB中AB＝2BC，在直角△CDB中BC＝2BD，在直角△ACD中AC＝2CD．【解答过程】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∴△ACB是直角三角形，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CD是AB边上的高，∴∠CDA＝∠CDB＝90°，∴∠ACD＝60°，∴∠DCB＝30°，∴BC＝2BD，AC＝2CD．故选：D．2．（2021春•丹东期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥AB交BC于点D，∠BAC＝120°，AD＝4，则BC的长为（ ）A．8B．10C．11D．12【解题思路】依据等腰三角形的内角和，即可得到∠C＝∠B＝30°，依据AD⊥AB交BC于点D，即可得到BD＝2AD＝8，∠CAD＝30°＝∠B，CD＝AD＝4，进而得出BC的长．【解答过程】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝∠B＝30°，∵AD⊥AB交BC于点D，∴BD＝2AD＝8，∠CAD＝30°＝∠B，∴CD＝AD＝4，∴BC＝BD+CD＝8+4＝12．故选：D．3．如图，∠AOB＝60°，点P在OA上，PC＝PD，若OC＝5cm，OD＝8cm，则OP的长是（ ）A．13cm B．12cm C．8cm D．5cm【解题思路】过点P作PE⊥OB于点E，根据△PCD为等腰三角形，则E为CD的中点，再由△POE为直角三角形，∠AOB＝60°，即可得出答案．【解答过程】解：如图，过点P作PE⊥OB于点E，则PE⊥CD，∵PC＝PD，∴△PCD为等腰三角形，∴点E为CD的中点，∵OC＝5cm，OD＝8cm，∴CD＝3cm，∴OE＝6.5cm，∵∠AOB＝60°，∴∠OPE＝90°﹣60°＝30°，∴OP＝2OE＝13cm，故选：A．4．（2021春•濮阳期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AC，交BC于点D，AD＝4，则BC的长为（ ）A．8B．4C．12D．6【解题思路】由等腰三角形的性质得出∠B＝∠C＝30°，∠CAD＝90°，可得∠DAB＝∠B＝30°，即BD＝AD＝4．Rt△ACD中，根据30°角所对直角边等于斜边的一半，可求得CD＝2AD＝8，由此可求得BC的长．【解答过程】解：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∵AD⊥AC，AD＝4，∴CD＝2AD＝2×4＝8，∵∠C+∠ADC＝90°，∴∠ADC＝90°﹣30°＝60°，∵∠ADC＝∠DAB+∠B，∴∠DAB＝30°，∴∠DAB＝∠B，∴DB＝AD＝4，∴BC＝BD+DC＝4+8＝12，故选：C．5．（2021春•新城区期中）如图，△ABC是等边三角形，AB＝10，点D是BC边上任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，则BE+CF的长是（ ）A．5B．6C．8D．10【解题思路】先设BD＝x，则CD＝10﹣x，根据△ABC是等边三角形得出∠B＝∠C＝60°，求出∠BDE ＝30°，∠CDF＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出CF和CF，再相加即可．【解答过程】解：设BD＝x，则CD＝10﹣x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∴∠BDE＝30°，∠CDF＝30°，∴BE=12BD=x2同理可得，CF=10x 2，∴BE+CF=x2+10x2=5，故选：A．6．（2021春•岳麓区校级期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD＝2，则AD等于（ ）A．10B．8C．6D．4【解题思路】先由直角三角形的性质求出∠ABC的度数，由AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，垂足为E，可得BD＝AD，由∠A＝30°可知∠ABD＝30°，故可得出∠DBC＝30°，根据CD＝2可得出BD的长，进而得出AD的长．【解答过程】解：连接BD，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°．∵AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，∴AD＝BD，DE⊥AB，∴∠ABD＝∠A＝30°，∴∠DBC＝30°，∵CD＝2，∴BD＝2CD＝4，∴AD＝4．故选：D．7．（2020秋•朝阳县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE 是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为（ ）A．4.5B．5C．5.5D．6【解题思路】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，从而可得到∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE＝∠EAB＝30°，从而可推出AD＝DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长．【解答过程】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∵∠BAC＝120°，∴∠BAD＝60°，∠ADB＝90°，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠DAE＝∠EAB＝30°．∵DF∥AB，∴∠F＝∠BAE＝30°．∴∠DAF＝∠F＝30°，∴AD＝DF．∵AB＝11，∠B＝30°，∴AD＝5.5，∴DF＝5.5故选：C．8．（2020秋•丛台区校级期末）如图，△ABC与△DCE都是等边三角形，B，C，E三点在同一条直线上，若AB＝3，∠BAD＝150°，则DE的长为（ ）A．3B．4C．5D．6【解题思路】根据等边三角形的性质得出AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，求出∠ACD＝60°，∠CAD＝90°，求出∠ADC＝30°，根据很30度角的直角三角形性质得出DC＝2AC，求出即可．【解答过程】解：∵△ABC与△DCE都是等边三角形，AB＝3，∠BAD＝150°，∴AB＝AC＝3，DE＝DC，∠BAC＝∠DCE＝∠ACB＝60°，∴∠ACD＝60°，∠CAD＝150°﹣60°＝90°，∴∠ADC＝30°，∴DC＝2AC＝6，∴DE＝DC＝6，故选：D．9．（2021•海淀区校级模拟）如图，在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，点E为AD的中点，连接BE并延长交AC于点F．若∠AFB＝90°，EF＝2，则BF长为（ ）A．4B．6C．8D．10【解题思路】根据三角形内角和定理求出∠DAC＝30°和∠EBD＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质得出AE＝2EF，BE＝2DE，代入求出即可．【解答过程】解：∵在△ABC中，∠C＝60°，AD是BC边上的高，∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∵∠AFB＝90°，EF＝2，∴AE＝2EF＝4，∵点E为AD的中点，∴DE＝AE＝4，∵∠C＝60°，∠BFC＝180°﹣90°＝90°，∴∠EBD＝30°，∴BE＝2DE＝8，∴BF＝BE+EF＝8+2＝10，故选：D．10．（2021春•织金县期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：①AC﹣BE＝AE；②点E在线段BC的垂直平分线上；③∠DAE＝∠C；④BC＝3AD，其中正确的个数有（ ）A．4个B．3个C．2个D．1个【解题思路】根据三角形内角和定理、线段垂直平分线的判定定理、直角三角形的性质判断即可．【解答过程】解：∵∠BAC＝90°，∠ABC＝2∠C，∴∠ABC＝60°，∠C＝30°，∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABE=12∠ABC＝30°，∴∠EBC＝∠C，∴EB＝EC，∴AC﹣BE＝AC﹣EC＝AE，①正确；∵EB＝EC，∴点E在线段BC的垂直平分线上，②正确；∵∠BAC＝90°，∠ABE＝30°，∴AEB＝60°，∵AD⊥BE，∴∠DAE＝30°，∴∠DAE＝∠C，③正确；∵∠BAC＝90°，∠C＝30°，∴BC＝2AB，同法AB＝2AD,∴BC＝4AD,④错误，故选：B．二．填空题（共10小题）11．（2020秋•抚顺县期末）右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，则DE长为　1.85m　．【解题思路】根据直角三角形的性质求出BC，根据三角形中位线定理计算即可．【解答过程】解：∵∠A＝30°，BC⊥AC，∴BC=12AB＝3.7，∵DE⊥AC，BC⊥AC，∴DE∥BC，∵点D是斜梁AB的中点，∴DE=12BC＝1.85m，故答案为：1.85m．12．（2020秋•沂水县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝6，点D，E分别是边BC，AC上的点，且BD＝2CD，DE∥AB，则DE的长是　2　．【解题思路】由∠ACB＝90°，∠ABC＝60°得∠A＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=12AB＝3，由BD＝2CD可得CD＝1，根据平行线的性质得∠DEC＝∠A＝30°，即可得DE＝2CD＝2．【解答过程】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴BC=12AB＝3，∵BD＝2CD，∴CD＝1，∵DE∥AB，∴∠DEC＝∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∴DE＝2CD＝2．故答案为：2．13．（2021春•普宁市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，若BF＝2，则CF的长为　4　．【解题思路】连接AF，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠B＝∠C＝30°，利用线段垂直平分线的性质可求解∠BAF＝30°，即可求解∠FAC＝90°，再利用含30°角的直角三角形的性质可求解CF的长．【解答过程】解：连接AF，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵EF垂直平分AB，∴BF＝AF，∴∠BAF＝∠B＝30°，∴∠CAF＝120°﹣30°＝90°，∴CF＝2AF＝2BF，∵BF＝2，∴CF＝4．故答案为4．14．（2021春•垦利区期末）如图，△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD．若AD＝2cm，则△ABC的周长为　12　cm．【解题思路】利用平行线的性质和CD⊥AD，先得到∠DCB的度数，再求出∠ACD的度数，再直角三角形中，利用30°角所对的边与斜边的关系求出AC，最后求出等边三角形的周长．【解答过程】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ACB＝60°．∵AD∥BC，CD⊥AD，∴∠D+∠DCB＝180°，∠D＝90°．∴∠DCB＝90°．∴∠ACD＝∠∠DCB﹣∠ACB＝30°．在Rt△ACD中，∵AD＝2cm，∠ACD＝30°，∴AC＝2AD＝4（cm）．L＝AB+AC+BC＝12（cm）．△ABC故答案为：12．15．（2021春•九江期末）如图，在△ABC中，∠A＝30°，F为AC上一点，FD垂直平分AB，交AB于点D，线段DF上点E满足EF＝2DE＝2，连接CE、EB，若BE＝EC，则CF的长为　4　．【解题思路】连接AE，过点E作EG⊥AC交AC于点G，根据已知条件，可得等腰三角形AEC，利用等腰三角形的三线合一解题即可．【解答过程】解：如图，连接AE，过点E作EG⊥AC交AC于点G．在△ABC 中，∠CAB ＝30°，FD 垂直平分AB ，EF ＝2DE ＝2，∴FD ＝3DE ＝3，AF ＝2FD ＝6，AE ＝BE ，∵BE ＝EC ，∴AE ＝EC ，∴GF =12EF ＝1，AG ＝GC ＝5，∴CF ＝GC ﹣GF ＝5﹣1＝4．故答案为：4．16．（2021春•沂源县期末）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，∠ABC ＝15°，则△ABC 的面积为 16　．【解题思路】过B 点作BD ⊥AC ，交CA 的延长线于点D ，由等腰三角形的性质结合三角形外角的性质可求得∠BAD 的度数，由含30°角的直角三角形的性质可求解BD 的长，利用三角形的面积公式可求解△ABC 的面积．【解答过程】解：过B 点作BD ⊥AC ，交CA 的延长线于点D ，，∵AB ＝AC ，∠ABC ＝15°，∴∠C ＝∠ABC ＝15°，∴∠DAB ＝∠ABC +∠C ＝30°，∵AB ＝AC ＝8，∴BD =12AB ＝4，∴△ABC 的面积为：12AC ⋅BD =12×8×4=16．故答案为16．17．（2021春•济宁期末）如图，△ABC 是等边三角形，点D 为AB 的中点，DE ⊥AC 于点E ，EF ∥AB ，AD ＝6，则△EFC 的周长为　27　．【解题思路】利用含30度角的直角三角形求出AE 的长，根据平行线的性质、等边三角形的性质和判定求出△EFC 各边长，周长即可求．【解答过程】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，AB ＝AC ．∵点D 为AB 的中点，AD ＝6，∴AB ＝2AD ＝12．∵DE ⊥AC 于点E ，AD ＝6，∴∠ADE ＝30°，∴AE =12AD ＝3，∴CE ＝AC ﹣AE ＝9．∵EF ∥AB ，∴∠FEC ＝∠A ＝60°，∵∠C ＝60°，∴△EFC 是等边三角形．∴△EFC 的周长＝9+9+9＝27．故答案为27．18．（2020秋•西城区期末）如图，△ABC 是等边三角形，AD ⊥BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ．若AD ＝12，则DE ＝　6　；△EDC 与△ABC 的面积关系是：S △EDC S △ABC =　18　．【解题思路】由等边三角形的性质得出∠C ＝∠BAC ＝60°，由直角三角形的性质得出DE ＝6，由直角三角形的性质得出BC ＝4EC ，根据三角形的面积公式可得出答案．【解答过程】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝∠BAC＝60°，∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∠DAC=12∠BAC＝30°，∵AD＝12，∴DE=12AD＝6；∵DE⊥AC，∴∠EDC＝90°﹣∠C＝90°﹣60°＝30°，∴EC=12 DC，∴BC＝4EC，∵S△EDC =12ED⋅EC=12×6×EC＝3EC，S△ABC=12AD×BC=12×12×BC＝6BC＝24EC，∴S△EDCS△ABC=3EC24EC=18．故答案为：6，1 8．19．（2020秋•海珠区校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝1，则BC的长为　6　．【解题思路】根据三角形的内角和定理求出∠ACB，根据平行线的性质求出∠AMN＝30°，根据角平分线的定义求出∠NMC＝∠ACM＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质求出即可≤【解答过程】解：在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠ACB＝60°，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B＝30°，∵∠A＝90°，AN＝1，∴MN＝2AN＝2，∵MN平分∠AMC，∠AMN＝30°，∴∠AMC＝∠AMN+∠NMC＝60°∵CM平分∠ACB，∠ACB＝60°，∴∠ACM=12∠ACB＝30°，∴∠ACM＝∠NMC，∴MN＝CN＝2，∴AC＝AN+CN＝1+2＝3，∵在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，∴BC＝2AC＝2×3＝6，故答案为：6．20．（2020秋•梁园区期末）如图，∠ABC＝60°，AB＝3，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线BC运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP是钝角三角形时，t满足的条件是　0＜t＜32或t＞6　．【解题思路】过A作AP⊥BC和过A作P'A⊥AB两种情况，利用含30°的直角三角形的性质解答．【解答过程】解：①过A作AP⊥BC时，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP=3 2，∴当0＜t＜32时，△ABP是钝角三角形；②过A作P'A⊥AB时，∵∠ABC＝60°，AB＝3，∴BP'＝6，∴当t＞6时，△ABP'是钝角三角形，故答案为：0＜t＜32或t＞6．三．解答题（共10小题）21．（2021春•渠县校级期末）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D为BC边的中点，DE⊥AC．求证：CE＝3AE．【解题思路】连接AD，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，再根据等腰三角形两底角相等求出∠C＝30°，再求出∠ADE＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半进行求解即可．【解答过程】证明：如图，连接AD，∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠C=12（180°﹣120°）＝30°，∵DE⊥AC，∴∠ADE＝∠C＝30°，在Rt△ADE中，AD＝2AE，在Rt△ACD中，AC＝2AD＝4AE，∴CE＝AC﹣AE＝4AE﹣AE＝3AE，即CE＝3AE．22．（2020秋•无棣县期末）如图，在等边△ABC中，D、E分别在边BC、AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE交BC的延长线于点F．若CD＝3cm，求DF的长．【解题思路】由等边三角形性质和平行线的性质证得∠EDC＝60°，再根据利用直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．【解答过程】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝60°，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝CD＝3（cm），∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°，∴∠F＝90°﹣∠EDC＝30°，∴DF＝2DE＝6（cm）．23．（2020秋•丰台区期中）如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于点D，AE∥CB，∠AEB＝90°．求证：AE＝CD．【解题思路】由等边三角形的性质得出CD＝AD=12AB，由平行线的性质得出∠BAE＝∠ABC＝60°，则∠ABE＝30°，由直角三角形的性质得出AE=12AB，则可得出答案．【解答过程】证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝AC，∵BD⊥AC，∴CD＝AD=12 AB，∵AE∥BC，∴∠BAE＝∠ABC＝60°，∵∠AEB＝90°，∴∠ABE＝30°，∴AE=12 AB，∴AE＝CD．24．（2020秋•温岭市期中）一艘轮船自西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，若小岛周围3.8海里内有暗礁，问该船一直向东航行，有无触礁的危险？并说明原因．【解题思路】作PD⊥AB，利用直角三角形性质求出PD长，和3.8海里比较即可看出船不改变航向是否会触礁．【解答过程】解：有触礁危险．理由如下：作PD⊥AB于D，∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，∴∠PAB＝15°，∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，∴∠APB＝15°，∴AB＝PB＝7海里，∵∠PBD＝30°，∴PD=12PB＝3.5＜3.8，∴该船继续向东航行，有触礁的危险．25．（2020春•揭西县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB 和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．【解题思路】（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．【解答过程】（1）证明：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：连接CD．∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形．26．（2020秋•西华县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD是BC边上的中线，且BD ＝BE，CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，MF的长为2．（1）求∠ADE的度数；（2）△ADF是正三角形吗？为什么？（3）求AB的长．【解题思路】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B和∠C，求出∠BDE，即可求出答案；（2）求出DF＝CF，根据等腰三角形的性质求出∠FDC＝∠C，求出∠AFD和∠DAF，根据等边三角形的判定得出即可；（3）求出CF和DF，根据等边三角形的性质求出AF，求出AC，即可求出AB．【解答过程】解：（1）∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C=12×（180°﹣∠BAC）＝30°，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED=12×（180°﹣∠B）＝75°，∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADE＝∠ADB﹣∠BDE＝15°；（2）△ADF是正三角形，理由是：∵CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M，∴DF＝CF，∵∠C＝30°，∴∠FDC＝∠C＝30°，∴∠AFD＝∠C+∠FDC＝60°，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAF＝90°﹣∠C＝60°，∴∠ADF＝60°，即∠FAD＝∠ADF＝∠AFD＝60°，∴△ADF是正三角形；（3）∵CD的垂直平分线MF，∴∠FMC＝90°，∵∠C＝30°，MF＝2，∴FC＝2MF＝4，∵DF＝FC，∴DF＝4，∵△ADF是等边三角形，∴AF＝DF＝4，∴AC＝AF+CF＝4+4＝8，∵AB＝AC，∴AB＝8．27．（2021秋•官渡区期末）如图，四边形ABCD中，AD＝4，BC＝1，∠A＝30°，∠B＝90°，∠ADC＝120°，求CD的长．【解题思路】先延长AD、BC交于E，根据已知证出△EDC是等边三角形，设CD＝CE＝DE＝x，根据AD＝4，BC＝1和30度角所对的直角边等于斜边的一半，求出x的值即可．【解答过程】解：延长AD、BC交于E，∵∠A＝30°，∠B＝90°，∴∠E＝60°，∵∠ADC＝120°，∴∠EDC＝60°，∴△EDC是等边三角形，设CD＝CE＝DE＝x，∵AD＝4，BC＝1，∴2（1+x）＝x+4，解得；x＝2，∴CD＝2．28．（2021春•昌图县期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为ts．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【解题思路】用含t的代数式表示出BP、BQ．（1）由于∠B＝60°，当BP＝BQ时，可得到关于t的一次方程，求解即得结论；（2）分两种情况进行讨论：当∠BOP＝90°时，当∠BPQ＝90°时．利用直角三角形中，含30°角的边间关系，得到关于t的一次方程，求解得结论．【解答过程】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．即4﹣2t＝t．∴t=4 3．当t=43时，△PBQ为等边三角形；（2）若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴t=8 5．即当t=85或t＝1时，△PBQ为直角三角形．29．（2021秋•禹州市期中）如图，△ABC是等边三角形，P是△ABC的角平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．（1）若BQ＝2，求PE的长（2）连接PF，EF，试判断△EFP的形状，并说明理由．【解题思路】（1）先根据△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，可知∠EBP＝30°，由PE⊥AB于点E，进而可得PE=12BP，然后由线段BP的垂直平分线交BC于点F，可得BP＝2BQ＝4，进而可求PE的长；（2）由等边三角形的性质得出∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，求出∠BPE＝60°，由线段垂直平分线的性质得出FB＝FP，由等腰三角形的性质得出∠FBQ＝∠FPQ＝30°，得出∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°即可．【解答过程】解：（1）∵△ABC是等边三角形，BP是∠ABC的平分线，∴∠EBP＝∠PBC＝30°，∵PE⊥AB于点E，∴∠BEP＝90°，∴PE=12 BP，∵QF为线段BP的垂直平分线，∴BP＝2BQ＝2×2＝4，∴PE=12×4＝2；（2）△EFP是直角三角形．理由如下：连接PF、EF，如图所示：∵△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，∴∠ABC＝60°，∠ABP＝∠CBD＝30°，∵PE⊥AB，∴∠PEB＝90°，∴∠BPE＝60°，∵FQ垂直平分线段BP，∴FB＝FP，∴∠FBQ＝∠FPQ＝30°，∴∠EPF＝∠EPB+∠BPF＝90°，∴△EFP是直角三角形．30．（2021•沙坪坝区校级二模）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∠ABC的角平分线BE 交AC于点E．点D为AB上一点，且AD＝AC，CD，BE交于点M．（1）求∠DMB的度数；（2）若CH⊥BE于点H，证明：AB＝4MH．【解题思路】（1）根据角平分线的性质得到∠ABE＝∠CBE＝30°，根据等腰三角形的性质得到∠ACD ＝∠ADC＝75°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）根据含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质计算，即可证明．【解答过程】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBE＝30°，∵∠A＝30°，AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝75°，∴∠DMB＝∠ADC﹣∠ABE＝45°；（2）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，∵CH⊥BE，∠CBE＝30°，∴BC＝2CH，∴AB＝4CH，在Rt△CHM中，∠CMH＝45°，∴CH＝MH，∴AB＝4MH．。

八年级数学上册：含30°角的直角三角形的性质定理练习（含答案）一．选择题（共8小题）1．如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3,∠B=30°,点P是BC边上的动点,则AP长不可能是（）A．3.5 B． 4.2 C．5.8 D．7第1题第2题第3题2．如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于E,垂足为D．若ED=5,则CE的长为（）A．10 B．8 C． 5 D．2.53．如图,Rt△ABC中,∠C=90°,以点B为圆心,适当长为半径画弧,与∠ABC的两边相交于点E,F,分别以点E和点F为圆心,大于的长为半径画弧,两弧相交于点M,作射线BM,交AC于点D．若△BDC的面积为10,∠ABC=2∠A,则△ABC的面积为（）A．25 B．30 C．35 D．404．在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,斜边AB的长为2cm,则AC长为（）A．4cm B．2cm C．1cm D．m5．如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,则BD与AB的关系是（）A．BD=AB B．BD=AB C．BD=AB D．BD=AB第5题第6题第7题第8题6．如图是屋架设计图的一部分,立柱BC垂直于横梁AC,AB=10m,∠A=30°,则立柱BC的长度是（）A．5m B．8m C．10m D．20m7．如图,一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下,倒下部分与地面成30°角,这棵树在折断前的高度为（）A．6米 B．9米C．12米 D．15米8．如图,已知∠ABC=60°,DA是BC的垂直平分线,BE平分∠ABD交AD于点E,连接CE．则下列结论：①BE=AE；②BD=AE；③AE=2DE；④S△ABE =S△CBE,其中正确的结论是（）A．①②③B．①②④ C．①③④ D．②③④二．填空题（共10小题）9．如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交AC于E,交BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则BE的长是_________ ．10．如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB,若EC=1,则EF= _________ ．11．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,AB=10,则BC的长为_________ ．12．如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=12cm,∠ABC=30°,底边上的高AD= _______cm．第9题第10题第11题第12题13．如图,在△ABC中,AB=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线交AC于点D．若AC=6cm,则AD= _________ cm．第13题第14题第15题第16题14．如图,在△ABC中．∠B=90°,∠BAC=30°．AB=9cm,D是BC延长线上一点．且AC=DC．则AD= _________ cm．15．如图是某超市一层到二层滚梯示意图．其中AB、CD分别表示超市一层、二层滚梯口处地面的水平线,∠ABC=150°,BC的长约为12米,则乘滚梯从点B到点C上升的高度h约为_________ 米．= _________ ．16．在△ABC中,已知A B=4,BC=10,∠B=30°,那么S△ABC17．如图,△ABC是等边三角形,AD⊥BC,DE⊥AC,若AB=12cm,则CE= ______ cm．18．有一轮船由东向西航行,在A处测得西偏北15°有一灯塔P．继续航行20海里后到B处,又测得灯塔P在西偏北30°．如果轮船航向不变,则灯塔与船之间的最近距离是_________ 海里．三．解答题（共5小题）19．如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E．（1）求证：△ACD≌△AED；（2）若∠B=30°,CD=1,求BD的长．20．如图,在△ABC中,BA=BC,∠B=120°,AB的垂直平分线MN交AC于D,求证：AD=DC．21．如图,△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC,若AD=6,求AC的长．22．如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD是△ABC的高,∠A=30°,AB=4,求BD长．23．如图,已知∠MAN=120°,AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．（1）在图（1）中,当∠ABC=∠ADC=90°时,求证：AD+AB=AC．（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°,其他条件不变,如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立,请给出证明；若不成立,请说明理由．等边三角形（2）：一、DABCCABC二、9、2；10、2；11、5；12、6；13、2；14、18；15、6；16、10；17、3；18、10三、19、（1）证明：∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,∠C=90°,∴CD=ED,∠DEA=∠C=90°,∵在Rt△ACD和Rt△AED中∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）；（2）解：∵DC=DE=1,DE⊥AB,∴∠DEB=90°,∵∠B=30°,∴BD=2DE=2．20、解：如图,连接DB．∵MN是AB的垂直平分线,∴AD=DB,∴∠A=∠ABD,∵BA=BC,∠B=120°,∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°,∴∠ABD=30°,又∵∠ABC=120°,∴∠DBC=120°﹣30°=90°,∴BD=DC,∴AD=DC．21、解：∵△ABC中,∠C=90°,∠ABC=60°,BD平分∠ABC, ∴∠2=∠3=30°；在Rt△B CD中,CD= BD,∠4=90°﹣30°=60°（直角三角形的两个锐角互余）；∴∠1+∠2=60°（外角定理）,∴∠1=∠2=30°,∴AD=BD（等角对等边）；∴AC=AD+CD=AD；又∵AD=6,∴AC=9．22、解：∵△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,∴BC=AB=×4=2,∵CD是△ABC的高,∴∠CDA=∠ACB=90°,∠B=∠B,故∠BCD=∠A=30°,∴在Rt△BCD中,BD=BC=×2=1,∴BD=1．23、（1）证明：∵∠MAN=120°,AC平分∠MAN,∴∠DAC=∠BAC=60°∵∠AB C=∠ADC=90°,∴∠DCA=∠BCA=30°,在Rt△ACD中,∠DCA=30°,Rt△ACB中,∠BCA=30°∴AC=2AD,AC=2AB,∴AD+AB=AC；（2）解：结论AD+AB=AC成立．理由如下：在AN上截取AE=AC,连接CE,∵∠BAC=60°,∴△CAE为等边三角形,∴AC=CE,∠AEC=60°,∵∠DAC=60°,∴∠DAC=∠AEC,∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠EBC=180°, ∴∠ADC=∠EBC,∴△ADC≌△EBC,∴DC=BC,DA=BE,∴AD+AB=AB+BE=AE,∴AD+AB=AC．。

专题9 含30°角的直角三角形知识解读定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

这一定理的题设是角度大小，而结论是边长之间的数量关系，因此这一定理建立起角度大小与边长之间的关联。

培优学案典例示范一、证明线段的倍分关系例1 如图2-9-1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，求证：BE=3AE.【提示】这个图中，有3个30°的角，分别是∠B，∠C，∠ADE，有四个直角三角形，这个四个直角三角形都是含30°角的直角三角形，利用“30°所对的直角边等于斜边的一半”可建立起BE与AE之间的数量关系.【解答】跟踪训练1.如图2-9-2，点P是等边△ABC的BC边上一点，PM⊥AB，PN⊥AC.试猜想△AMN与四边形BMNC的周长有什么关系？并说明理由.二、遇39°角，常考虑作垂线段，将30°置于直角三角形中.例2 如图2-9-3，在△ABC中，BD是AC边上的中线，DB⊥BC于B，∠ABC=120°，求证：AB=2BC.【提示】要证明AB=2BC，我们可联想到“含30°角的直角三角形”，又由于BD是AC边上的中线，可考虑将中线延长加倍，构造含30°角的直角三角形。

【解答】【技巧点评】将30°角置于直角三角形中，才能运用“30°角所对直角边等于斜边的一半”得出两条线段之间的数量关系，为解决问题提供帮助。

2.如图2-9-4，在△ABC 中，∠B=30°，AC=2，等腰直角△ACD 斜边AD 在AB 边上，求BC 的长.三、遇15°，常考虑转化为30°例3等腰三角形的一腰长为3a ，底角为15°，则另一腰上的高为（ ） A.a B.a 23C.a 2D.a 3 【提示】等腰三角形的底角为15°，那么顶角的邻补角就是30°，可利用这个30°的角构造直角三角形。

E D C B A 含30O 角的直角三角形的性质(练习题)
1．在直角三角形中如果一个锐角等于 ，那么它所对的直角边等于 的一半.
2．山的高度是100米，小明沿倾斜角为30°的山坡从山脚步行到山顶，那么共走了___m.
3．在三角形纸片ABC 中，∠C=90O , ∠A=30O ,AC=3,折叠该纸片，使点A 与点
B 重合，折痕与AB 、A
C 分别相交于点
D 和点
E （如图1），折痕DE 的长为 .
4．等边三角形的两个内角平分线所成的角为 度.
5．等腰三角形的周长为40cm ，以一边为边作等边三角形，它的周长为 45cm ，那么这个等腰三角形的底边长为多少cm?
6．在等腰三角形ABC 中，顶角为150°，腰长为20，求此三角形的面积.
7．如图，在△ABC中，∠ACB= 90°，∠B= 15°，AB的垂直平分线分别交BC、AB于D、E，
求证：DB=2AC
8．已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，CD⊥AB于D，
1 AB.
求证：BD=
4
9．如图△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC至E，连结DE，此时DB=DE.求证：CE=CD
10.要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户去种植,如果∠C ＝90°∠B＝30°,要使这三家农户所得土地的大小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.。

九上数学每日一练：含30度角的直角三角形练习题及答案_2020年单选题版答案答案答案答案2020年九上数学：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形练习题~~第1题~~(2019柯桥.九上期末) 如图，，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心，长为半径做 ，要使射线BA 与 相切，应将射线绕点B 按顺时针方向旋转( ) A . 或 B .或 C .或 D . 或考点： 含30度角的直角三角形;切线的性质;~~第2题~~(2019象山.九上期末) 如图，在中，，， ，扇形AOC 的圆心角为 ，点D为 上一动点，P 为BD 的中点，当点D 从点A 运动至点C ，则点P 的运动路径长为（ ）A . 1 B . C . D .考点： 含30度角的直角三角形;三角形中位线定理;弧长的计算;~~第3题~~(2019江北.九上期末) 如图，将半径为3的圆形纸片，按下列顺序折叠两次.若折叠后的和 都经过圆心 ，则图中阴影部分的面积是（ ）A . B . C . D .考点： 含30度角的直角三角形;几何图形的面积计算-割补法;扇形面积的计算;~~第4题~~(2019南关.九上期末) 如图，在△ABC中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝3．若点P 是BC 边上任意一点，则AP 的长不可能是（ ）A . 7B . 5.3C . 4.8D . 3.5考点： 含30度角的直角三角形;~~第5题~~答案答案答案答案(2019哈尔滨.九上期末) (2019八上·重庆期末) 如图，在平行四边形中，对角线、相交成的锐角，若 ， ，则平行四边形 的面积是 A . 6 B . 8 C . 10 D . 12考点： 含30度角的直角三角形;平行四边形的性质;锐角三角函数的定义;~~第6题~~(2019宜阳.九上期末) 如图，若△ABC 内接于半径为R 的⊙O ，且∠A ＝60°，连接OB ，OC ，则边BC 的长为（ ）A . RB . RC . RD . R考点： 含30度角的直角三角形;圆周角定理;~~第7题~~(2019鄂州.九上期末) 如图，在Rt △ABC 中，BC=2，∠BAC=30°，斜边AB 的两个端点分别在相互垂直的射线OM ，ON 上滑动，下列结论：①若C ，O 两点关于AB 对称，则OA=；②C ，O 两点距离的最大值为4；③若AB 平分CO ，则AB ⊥CO ；④斜边AB 的中点D 运动路径的长为π.其中正确的是（ ）A . ①②B . ①②③C . ①③④D . ①②④考点： 含30度角的直角三角形;圆的认识;轴对称的性质;~~第8题~~(2019钦州.九上期末) 如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，⊙O 的半径为1，若∠OBA=30°，则OB 长为（ ）A . 1B . 2C .D . 2考点： 含30度角的直角三角形;切线的性质;~~第9题~~(2019锦州.九上期末) 如图，已知∠MON ＝30°，B 为OM 上一点，BA ⊥ON 于点A ，四边形ABCD 为正方形，P 为射线B M 上一动点，连结CP ，将CP 绕点C 顺时针方向旋转90°得CE ，连接BE ，若AB ＝2，则BE 的最小值为（ ）答案答案 A . +1 B . 2 ﹣1 C . 3 D . 4﹣考点： 全等三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;正方形的性质;~~第10题~~(2018永康.九上期末) 如图，AB 切⊙O 于点B ，OA ＝2，∠OAB ＝30°，弦BC ∥OA ，劣弧BC 的弧长为(结果保留π)（） A . B . C . D .考点： 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;切线的性质;弧长的计算;2020年九上数学：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形练习题答案1.答案：B2.答案：C3.答案：B4.答案：A5.答案：D6.答案：D7.答案：D8.答案：B9.答案：A10.答案：B。

九上数学每日一练：含30度角的直角三角形练习题及答案_2020年综合题版答案解析答案解析答案解析2020年九上数学：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形练习题1.(2020德城.九上期末) (如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在AB 上，且∠B ＝2∠A ，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，EF ＝FC.（1） 求证：CF 是⊙O 的切线；（2） 若⊙O 的半径为2，且AC ＝CE ，求AM 的长．考点： 含30度角的直角三角形;勾股定理;圆周角定理;切线的判定;2.(2020宜兴.九上期中) 如图，在平面直角坐标系中，以点M （0， ）为圆心，以 长为半径作⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，连接AM 并延长交⊙M 于P 点，连接PC 交x 轴于E.（1） 求出CP 所在直线的解析式；（2） 连接AC ，请求△ACP 的面积.考点： 待定系数法求一次函数解析式;等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;垂径定理;圆周角定理;3.(2020农安.九上期中) 我们定义：如图1、图2、图3，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接 ，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线 叫做 的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”.图1、图2、图3中的 均是的“旋补三角形”.（1）①如图2，当为等边三角形时，“旋补中线” 与的数量关系为： ；②如图3，当，时，则“旋补中线” 长为.（2） 在图1中，当 为任意三角形时，猜想“旋补中线” 与 的数量关系，并给予证明.考点： 等边三角形的性质;含30度角的直角三角形;平行四边形的判定;4.(2019三门.九上期末) 如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点M ，点M 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与⊙O 相交于点E ，连接ME.答案解析答案解析（1） 求证：ME ＝MD ；（2） 当∠DAB ＝30°时，判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由.考点： 含30度角的直角三角形;菱形的判定与性质;圆周角定理;圆内接四边形的性质;切线的判定;5.(2019婺城.九上期末) 如图1，在中，，， ，于点D ，将绕点B 顺时针旋转 得到（1） 如图2，当 时，求点C 、E 之间的距离；（2） 在旋转过程中，当点A 、E 、F 三点共线时，求AF 的长；（3） 连结AF ，记AF 的中点为P ，请直接写出线段CP 长度的最小值.考点： 含30度角的直角三角形;直角三角形斜边上的中线;三角形中位线定理;旋转的性质;2020年九上数学：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。

九上数学每日一练：含30度角的直角三角形练习题及答案_2020年解答题版答案解析答案解析答案解析答案解析答案解析2020年九上数学：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形练习题1.(2018北京.九上期末) 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，连接BC ．若AB ＝6，∠B ＝30°，求弦CD 的长．考点： 含30度角的直角三角形;勾股定理;垂径定理;圆周角定理;2.(2018垣曲.九上期末) 如图，小明坐在堤边A 处垂钓，河堤AC与水平面的夹角为30°，AC 的长为米，钓竿AO 与水平线的夹角为60°，其长为3米，若AO 与钓鱼线OB 的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C 之间的距离.考点： 等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;3.(2018阜宁.九上期末) 大海中某小岛周围10 范围内有暗礁，一海轮在该岛的南偏西 方向的某处，由西向东行驶了 后到达该岛的南偏西 方向的另一处，如果该海轮继续向东行驶，会有触礁的危险吗？（≈1.732）．考点： 等腰三角形的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理的应用;解直角三角形的应用﹣方向角问题;4.(2017德惠.九上期末) 如图，在∠ABC 中，∠B=30°，AC= ，等腰直角△ACD 斜边AD 在AB 边上，求BC 的长．考点： 等腰直角三角形;直角三角形的性质;含30度角的直角三角形;勾股定理;5.(2016西湖.九上期末) 如图，BM 是⊙O的直径，四边形ABMN 是矩形，D 是⊙O 上的点，DC ⊥AN ，与AN 交于点C ，己知AC=15，⊙O 的半径为30，求 的长．考点： 含30度角的直角三角形;矩形的性质;弧长的计算;2020年九上数学：图形的性质_三角形_含30度角的直角三角形练习题答案1.答案：2.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。

含30°角的直角三角形的性质同步练习含答案基础题知识点含 30°角的直角三角形的性质1．△ ABC中，∠ A∶∠ B∶∠ C＝1∶2∶3，则 BC∶AB 等于 ( )A． 2∶ 1B． 1∶2C． 1∶ 3D． 2∶32． Rt △ ABC中， CD是斜边 AB上的高，∠ B＝ 30°， AD＝ 2 cm，则 AB的长度是 ( )A． 2 cm B． 4 cmC． 8 cm D． 16 cm3．在Rt △ACB中，∠C＝ 90°，∠A＝ 30°， AB＝ 10，则BC＝ ________．4．等腰三角形一底角是30°，底边上的高为9 cm，则其腰长为________，顶角为 ________．5．如图，△ ABC是等边三角形，AD⊥BC， DE⊥AB，若 AB＝ 8 cm， BD＝ ________， BE＝ ________．6．如下图是某房子顶框架的表示图，此中，AB＝ AC， AD⊥ BC，∠ BAC＝ 120°， AD＝3.5 m，求∠ B，∠ C，∠ BAD的度数和AB的长度．中档题7．如下图，在△ ABC 中，∠ ACB＝90°，∠ B＝ 15°， DE垂直均分AB，交 BC 于点 E， BE＝ 6 cm，则 AC 等于 ( )A． 6 cm B． 5 cmC． 4 cm D． 3 cm8．( 扬州中考) 如图，已知∠AOB＝60°，点P 在边OA上， OP＝ 12，点M，N 在边OB上， PM＝ PN，若MN＝ 2，则 OM＝ ()2A． 3B． 4C． 5D． 69．等腰三角形的底角为15°，腰长是 2 cm，则腰上的高为________．D， E 分别在边BC， AC上， DE∥ AB，过点 E 作EF⊥DE，交10．( 温州中考) 如图，在等边三角形ABC中，点F.BC的延伸线于点(1)求∠F的度数；(2)若 CD＝2，求 DF的长．综合题11．如图，△ ABC为等边三角形，AE＝ CD， AD， BE订交于点P， BQ⊥ AD于 Q， PQ＝ 3， PE＝ 1.(1)求证： AD＝ BE；(2)求 AD的长．参照答案11 1． B 3.5 4.18 cm 120° 5.4 cm 2 cm 6. ∠B＝∠ C＝2(180 °－ 120° ) ＝ 30°，∠ BAD＝2∠BAC＝ 60°， AB＝ 2AD＝ 7 m. 21世纪教育网版权全部7． D9.1 cm 10.(1) ∵△ ABC 是等边三角形，∴∠B＝60° . ∵ DE∥ AB，∴∠ EDC＝∠ B＝ 60°. ∵ EF ⊥DE，∴∠ DEF＝ 90° . ∴∠ F＝90°－∠ EDC＝ 30°. (2) ∵∠ ACB＝ 60°，∠ EDC＝ 60°，∴△ EDC是等边三角形．∴ED＝DC＝2. 又∵∠DEF＝ 90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝ 4. 11.(1) 证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ C＝ 60°，AB＝ AC.又∵ AE＝ CD，∴△ ABE≌△ CAD(SAS)．∴∠ ABE＝∠ CAD， BE＝AD.(2) ∵∠ BPQ＝∠ BAP＋∠ ABE＝∠ BAP＋∠ PAE＝∠ BAC＝60°，又∵ BQ⊥PQ，∴∠ PBQ＝ 30°. ∴ PB＝ 2PQ＝6. ∴BE＝ PB ＋PE＝7. ∴AD＝ BE＝ 7. 2。