北师大五年级奥数专题三《最大公约数和最小公倍数》精编汇编

★小学五年级奥数专题讲解之“最大公约数”同学们知道，24的约数有：1，2，3，4，6，8，12，24；42的约数有：1，2，3，6，7，14，21，42.几个自然数公有的约数，叫做这几个数的公约数.24和42的公约数有：1，2，3，6.几个自然数的公约数中，最大的一个叫做这几个数的最大公约数.24与42的最大公约数是6，记作（24，42）＝6.16，72，84的最大公约数是4，记作（16，72，84）＝4.如果两个自然数的最大公约数是1，那么就称这两个数互质.例如（4，9）＝1，称4与9互质.对于自然数a、b，有［a，b］×（a，b）＝a×b.问题1有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，怎样利用它们从一桶油中倒出6升油来？分析油从27升与15升两个容器中倒进倒出而得到6升油，就是用27与15经过若干次加减运算后得到数6.解（27，15）＝3.15＝12×1＋3，2×15＝27＋3，3＝2×15－27，6＝4×15－2×27.所以，向小容器里倒4次油，每倒满后就向大容器里倒，大容器注满了就往桶里倒.当大容器第二次倒满时，小容器里剩下的就是6升油.问题2一块长方形的纸，长75厘米，宽60厘米，要把这张纸裁成面积相等的小正方形的纸而无剩余，且使边长最长，问可裁成几张？分析要使这些面积相等的小正方形纸的边长最长，就是要求75与60的最大公约数.解（75，60）＝15.（75÷15）×（60÷15）＝5×4＝20.答：可裁成20张.问题3甲、乙、丙三个班的学生人数分别是54、48、72.现要在各班分别组织体育锻炼小组，但各小组的人数要相同.问锻炼小组的人数最多是多少？这时甲、乙、丙三班共有多少个小组？分析要使各小组的人数相等且人数最多，就是求54、48、72的最大公约数.解（54，48，72）＝6.（54＋48＋72）÷6＝29.答：锻炼小组的人数最多是6，这时甲、乙、丙三班共有29个小组.问题4工人加工零件，第一批毛坯1788个，第二批毛坯1680个，第三批毛坯2098个.现平均分给工人，分别剩7个、3个、5个.问加工的工人最多有多少？分析所求工人的最多人数是1788-7＝1781、1680-3＝1677、2098-5＝2093三个数的最大公约数.解1788-7＝1781，1680-3＝1677，2098-5＝2093.（1781，1677，2093）＝13.答：加工的工人最多有13人.问题5有三根钢管，其中第一根的长度是第二根的1.2倍，是第三根的一半，第三根比第二根长280厘米.现在把这三根钢管截成尽可能长而又相等的小段，问共可以截成多少段？分析先求出三根钢管各自的长度，再求出这三根钢管长度数的最大公约数.解依题意，第三根钢管的长度是第二根钢管长度的2.4倍.280÷（2.4-1）＝200.200×1.2 ＝240.240×2＝480.（200，240，480）＝40.（200＋240＋480）÷40＝23.答：共可以截成23段.问题6有320个苹果、240个桔子、200个梨，用这些果品最多可分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、梨各有多少个？分析所求果品的份数，就是320、240、200的最大公约数.解（320，240，200）=40.320÷40=8，240÷40=6，200÷40=5.答：用这些果品最多可分成40份.在每份礼物中，有8个苹果、6个桔子、5个梨.问题7已知甲、乙两数的比为5∶3，并且它们的最大公约数与最小公倍数的和是1040.求甲数和乙数.分析因为5与3互质, 所以甲数=最大公约数×5，乙数=最大公约数×3.它们的最小公倍数=最大公约数×5×3.解最大公约数为1040÷（15＋1）=65.65×5=325，65×3=195.答：甲数为325，乙数为195练习1.某校订购了数学、语文、英语资料各228册、114册、84册现平均分成若干份，每份中这三种资料的数量分别相等那么最多可分成几份？2.某商店经销某种货物，去年总金额为36963元，今年每件货物的售价（单价）不变，总金额为 59570元.如果单价（以元为单位）是大于1的整数，问单价是多少元？3.现有铁丝三根，一根长12米，一根长18米，一根长42米.要把三根铁丝截成同样长的若干段且都不许有剩余，每段最长为几米？一共可以截成多少段？4.把一张长147厘米、宽105厘米的长方形纸截成大小一样且长与宽之比是5∶3的长方形纸，且没有剩余.问最少可截成几张？5.有一块长方体木料，长72厘米，宽60厘米，高36厘米.要把这块木料锯成同样大小的正方体木块，木块的体积要最大，且不能有剩余.问可锯成几块？6.已知两个不相等（且都不为1）的自然数的最小公倍数是42，这样的两个数一共有几组？请分别写出来.。

最大公约数和最小公倍数一、基本概念和知识1、公约数和最大公约数几个公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个公因数叫做这几个数的最大公因数。

我们可以把自然数a 、b 的最大公因数记作（a 、b ），如果（a 、b ）=1，则a 、b 互质。

2、公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

自然数a 、b 的最小公倍数可以记作〔a 、b 〕，当（a 、b ）=1时，〔a 、b 〕=a ×b 。

3、两个数的最大公因数和最小公倍数有着下列关系：最大公因数×最小公倍数=两数的积 即（a 、b ）×〔a 、b 〕= a ×b二、方法篇短除法（最大公约数）（1）必须每次都用n 个数的公约数去除；（2）一直除到n 个数的商互质（但不一定两两互质）；（3）n 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。

短除法（最小公倍数）（1）必须先用（如果有）n 个数的公约数去除，除到n 个数没有除去1以外的公约数后，在用1n -个数的公约数去除，除到1n -个数没有除1以外的公约数后，再用2n -个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2）只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到n 个数的商两两互质为止；（3）n 个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。

辗转相除法（最大公约数）设两数为a 、b(a>b ），求a 和b 最大公约数(a ，b ）的步骤如下：用b 除a ，得a ÷b=q......r1(0≤r1）。

若r1=0，则（a ，b)=b ；若r1≠0，则再用r1除b ，得b ÷r1=q......r2 (0≤r2）.若r2=0，则（a ，b)=r1，若r2≠0，则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。

其最后一个非零除数即为（a ，b ）。

最大公约数和最小公倍数例1、一个长方体木块,长2.7米,宽1.8分米,高1.5分米;要把它切成大小相等的正方体木块,不许有剩余,正方体的棱长最大是多少分米思路导航2.7米=270厘米,1.8分米=18厘米,1.5分米=15厘米;要把长方体切成大小相等的正方体,不许有剩余,正方体的棱长应该是长、宽、高的公约数;现要求正方体的棱长最大,所以棱长就是长、宽、高的最大公约数;270,18,15=3 3厘米=0.3分米答：正方体的棱长最大是0.3分米;练习1、有50个梨、75个橘子和100个苹果,要把这些水果平均分给几个小组,并且每个小组分得的三种水果的个数也相同,最多可以分给几个小组练习2、有三根钢管,它们的长度分别是240厘米,200厘米,480厘米,如果把它们截成同样长的小段,且不许有剩余,每小段最长可以是多少厘米例2、一个数除200余4,除300余6,除500余10;求这个数最大是多少思路导航200-4=196,300-6=294,500-10=490；196、294和490都是这个数的倍数;196=2×2×7×7294=2×3×7×7490=2×5×7×7则196、294和490的最大公因数是：2×7×7=98;答：这个数最大是98;练习1、一个数除425余5,除500少4,除300余6,这个数最大是多少练习2、如果把110本练习本平均分给五1班同学,则多5本；如果把210本练习本平均分给这个班同学则正好分完；如果把240本练习本平均分给这班同学,还少5本,五1班最多有多少名同学例3、一条道路由甲村经过乙村到丙村;已知甲、乙村相距360米,乙、丙村相距675米;现在准备在路边栽树,要求相邻两棵树之间距离相等,并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树,求相邻两棵树之间的距离最多是多少米思路导航因为要在甲、乙,乙、丙两村的中点栽上树,甲、乙,乙、丙两村距离的一半分别是360÷2=180米,675÷2=337.5米；因为360与675的最大公因数为45,且360÷2=180、675÷2=337.5,所以180与337.5的最大公因数为45÷2=22.5,也就是说相邻两棵树之间的最大距离是22.5米;答：相邻两棵树之间的距离最多是22.5米;练习1、一条公路由A经B到C.已知A、B相距300米,B、C相距200米.现在路边植树,要求相邻两树间的距离相等,并在B点及AB、BC的中点上都要植一棵,那么两树间的距离最多有多少米练习2、有336支铅笔,252块橡皮,210个文具盒,用这些文具,最多可以分成多少份同样的礼物在每份礼物中,铅笔、橡皮、文具盒各有多少例4、已知两个数的最大公约数是15,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少思路导航这是一道关于最大公因数和最小公倍数的题目,根据求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法;根据题意,先分别把15和90分解质因数；再根据求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法,找出原来两数分别是多少；然后进一步分析,是否还有其它的可能,把所有可能的情况找全即可;15=3×590=2×3×3×5则这两个数分别是：15×2＝3015×3＝45或者是：3×5＝1515×2×3＝90答：这两个数分别是30、45或者是15、90;练习1、两个数的最大公约数是12,最小公倍数是60,求这两个数的和是多少练习2、两个自然数的和是52,它们的最大公约数是4,最小公倍数是144.这两个自然数各是多少例5、今年祖父的年龄是小明的6倍,几年后,祖父的年龄将是小明的5倍,又过几年以后,祖父的年龄是小明年龄的4倍．问祖父今年多少岁思路导航于祖父与小明的年龄差是一定的,今年二者的年龄差是小明年龄的6-1=5倍,以后是5-1=4倍,4-1=3倍,这说明年龄差是5,4,3的倍数,能被5,4,3整除,所以其最小公倍数是60,这个数是60的倍数,显然120和180是不可能的,所以只能是60,因此今年小明的年龄是60÷5=12岁,则祖父的年龄是12×6=72岁．练习1、有一堆苹果,无论是5个一数,还是8个一数,或是12个一数,都正好数完,而没有剩余.这堆苹果至少有多少个练习2、甲、乙、丙三人沿一环形跑道跑步,甲跑一圈要60秒,乙跑一圈要40秒,丙跑一圈要50秒.三人同时从起点出发后,保持速度不变,至少再过多长时间,他们又在起点相遇例6、一块砖长20厘米,宽12厘米,厚6厘米,要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块思路导航正方体的棱长应该是长方体长宽高的公倍数,20、12、6的最小公倍数是60堆成正方体至少需要这样的砖头：60×60×60÷20×12×6=150块练习1、用长9厘米、宽6厘米、高7厘米的长方体木块叠成一个正方体,至少需要用这样的长方体多少块练习2、有200块长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块,要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体,这个正方体的体积是多少立方厘米例7、有一个自然数,被10除余7,被7除余4,被4除余1.这个数最小是多少思路导航由题意得,有一个自然数除以10余7,除以7余4,除以4余1就是：这个自然数除以10缺3,除以7缺3,除以4缺3,求出10、7、4的最小公倍数,再减去3即可.10,7,4=140 140-3=137答：这个自然数最小是137.练习1、学校六年级有若干个同学排队做操,如果3人一行余2人,7人一行余2人,11人一行也余2人,六年级最少有多少人练习2、一个数能被3,5,7整除,但被11除余1.这个数最小是多少。

1．五年一班去划船，他们算了一下，如果增加一条船，正好每船坐6个，如果减少一条船，正好每船坐9人，这个班有多少人？2．有一个电子表，每走9分钟这一次灯，每到整点响一次铃，中午12点整，电子表既响铃又灯，请问下一次既响铃又亮灯是几点钟？3．两个整数的最小公倍数为140，最大公约数为4，且小数不能整除大数，求这两个数。

4．一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，被6除余5，此数最小是几？5．一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用65瓶，平均每2个人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料，请问参加会餐的有多少人？6．已知A与B的最大公约数为6，最小公倍数为84，且A×B＝42，求B。

7．两个数的最大公约数为12，最小公倍数为180，且较大数不能被较小数整除，求这两个数，8．甲乙两数的最大公约数为75，最小公倍数为450，当这两个数分别为何值时，它们差最小。

9．已知A和B的最大公约数是31，且A×B＝5766，求A和B。

10．有一盘水果，3个3个地数余2个，4个4个数余3，5个5个数余4个，问这个盘子里最少有多少个水果？11．有一个自然数，被6除余1，被5除余1，被4除余1，这个自然数最小是几？12．一盒钢笔可以平均分给2、3、4、5、6个同学，这盒钢笔最小有多少枝？13．把长120厘米，宽80厘米的铁板裁成面积相等，最大的正方形而且没有剩余，可以裁成多少块？14．把长132厘米，宽60厘米，厚36厘米的木料锯成尽可能大的，同样大小的正方体木块，锯后不能有剩余，能锯成多少块？15．用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？16．从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？17．在一根长100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点，染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？18．每筐梨，按每份两个梨分多1个，每份3个梨分多2个，每份5个梨分4个，则筐里至少有多少个梨？19．现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三种水果的数量分别相等，那么最多分给了多少个班？每个班至少分到了三种水果各多少千克？20．有三根铁丝，一根长54米，一根长72米，一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？21．有一个商店今年7月1日开业，有三个批发商从这个商店批货，甲每隔6天来一次，乙每隔8天来一次，丙每隔9天来一次，问这三个批发商在7月1日在碰面后，再过多少天他们还在这家商店碰面？到明年7月1日，他们一共碰面多少次？五年级奥数－最大公约数与最小公倍数（3）1．两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。

小学五年级奥数全册讲义第1讲数字迷(一)第2讲数字谜(二)第3讲定义新运算(一)第4讲定义新运算(二)第5讲数的整除性(一)第6讲数的整除性(二)第7讲奇偶性（一）第8讲奇偶性（二）第9讲奇偶性（三）第10讲质数与合数第11讲分解质因数第12讲最大公约数与最小公倍数（一）第13讲最大公约数与最小公倍数（二）第14讲余数问题第15讲孙子问题与逐步约束法第16讲巧算24第17讲位置原则第18讲最大最小第19讲图形的分割与拼接第20讲多边形的面积第21讲用等量代换求面积第22 用割补法求面积第23讲列方程解应用题第24讲行程问题（一）第25讲行程问题（二）第26讲行程问题（三）第27讲逻辑问题（一）第28讲逻辑问题（二）第29讲抽屉原理(一)第30讲抽屉原理(二)第1讲数字谜（一）数字谜的内容在三年级和四年级都讲过，同学们已经掌握了不少方法。

例如用猜想、拼凑、排除、枚举等方法解题。

数字谜涉及的知识多，思考性强，所以很能锻炼我们的思维。

这两讲除了复习巩固学过的知识外，还要讲述数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。

例1 把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：（5○13○7）○（17○9）=12。

分析与解：因为运算结果是整数，在四则运算中只有除法运算可能出现分数，所以应首先确定“÷”的位置。

当“÷”在第一个○内时，因为除数是13，要想得到整数，只有第二个括号内是13的倍数，此时只有下面一种填法，不合题意。

（5÷13-7）×（17+9）。

当“÷”在第二或第四个○内时，运算结果不可能是整数。

当“÷”在第三个○内时，可得下面的填法：（5+13×7）÷（17-9）=12。

例2 将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：□□□×□□=□□×□□=5568。

第四讲最大公约数和最小公倍数本讲重点解决与最大公约数和最小公倍数有关的另一类问题——有关两个自然数.它们的最大公约数、最小公倍数之间的相互关系的问题。

定理1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质.即如果（a，b）=d，那么（a÷d，b÷d）＝1。

证明：设a÷d=a1，b÷d=b1，那么a＝a1d，b=b1d。

假设（a1，b1）≠1，可设（a1，b1）＝m（m＞1），于是有a1=a2m，b1＝b2m.（a2，b2是整数）所以a=a1d＝a2md，b＝b1d＝b2md。

那么md是a、b的公约数。

又∵m＞1，∵md＞d。

这就与d是a、b的最大公约数相矛盾.因此，（a1，b1）≠1的假设是不正确的.所以只能是（a1，b1）=1，也就是（a÷d，b÷d）＝1。

定理2 两个数的最小公倍数与最大公约数的乘积等于这两个数的乘积.（证明略）定理3 两个数的公约数一定是这两个数的最大公约数的约数.（证明略）下面我们就应用这些知识来解决一些具体的问题。

例1 甲数是36，甲、乙两数的最大公约数是4，最小公倍数是288，求乙数.解法1：由甲数×乙数=甲、乙两数的最大公约数×两数的最小公倍数，可得36×乙数=4×288，乙数=4×288÷36，解出乙数=32。

答：乙数是32。

解法2：因为甲、乙两数的最大公约数为4，则甲数=4×9，设乙数=4×b1，且（b1，9）=1。

因为甲、乙两数的最小公倍数是288，则288＝4×9×b1，b1＝288÷36，解出b1＝8。

所以，乙数=4×8=32。

答：乙数是32。

例2 已知两数的最大公约数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？解：要求这两个数的和，我们可先求出这两个数各是多少.设这两个数为a、b，a＜b。

五年级奥数精讲：最大公约数与最小公倍数一、知识总结：1.如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。

2.如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。

在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。

自然数a1，a2，…，a n的最大公约数通常用符号（a1，a2，…，a n）表示，例如，（8，12）=4，（6，9，15）=3。

3.如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。

在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。

自然数a1，a2，…，a n的最小公倍数通常用符号[a1，a2，…，a n]表示，例如[8，12]=24，[6，9，15]=90。

4.常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。

如求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法可知，（18，12）=2×3=6，[18，12]=2×3×3×2=36。

如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么（18，12）×[18，12]=（2×3）×（2×3×3×2）=（2×3×3）×（2×3×2）=18×12。

也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。

当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。

从而得出一个重要结论：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。

即，（a，b）×[a，b]=a×b。

二、练习题例1、用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。

现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元钱？例2、用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？例3、现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？例4、在一个30×24的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？例5、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。

公倍数和最小公倍数知识精讲1.公倍数几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。

如3的倍数有3，6，9，12，15，18，21，24…4的倍数有4，8，12，16，20，24…3和4的公倍数有12，24…2.最小公倍数在几个数所有公有的倍数中，最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。

如3和4的公倍数有12，24…，其中12是3和4的最小公倍数。

名师点睛1.公倍数的集合图表示法把两个数的倍数分别写在集合圈中，把两个数的公倍数写在集合圈中公共的部分，这种表示公倍数的方法叫作集合图法，如3和4的倍数可以用下图表示，其中中间重合的部分表示3和4 的公倍数。

2.求最小公倍数的方法（1）列举法。

分别列出几个数各自的倍数，先找出它们的公倍数，其中最小的一个就是它们的最小公倍数。

例求8 和10 的最小公倍数。

8的倍数有：8，16，24，32，40，48，56，64，72，80…10的倍数有：10，20，30，40，50，60，70，80…8和10的公倍数有40，80…其中40是8和10的最小公倍数。

（2）分解质因数法。

先找出几个数公有的质因数，再找出每个数独有的质因数，把这些质因数相乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

例求12和20的最小公倍数。

12=2×2×3，20=2×2×5，12和20公有的质因数是2个2，12 独有的质因数3，20独有的质因数是5，所以12和20的最小公倍数是2×2×3×5=60。

（3）短除法。

把两个数公有的质因数从小到大排列后，依次作为除数，用短除法连续去除这几个数，一直除到最后得到的商两两互质为止，所有的除数和最后得到的商相乘的积就是这两个数的最小公倍数。

例求18和30的最小公倍数。

所以18和30的最小公倍数是2×3×3×5=90。

（4）两种特殊情况。

①如果两个数是互质的关系，那么它们的最小公倍数就是这两个数的乘积，如3和7的最小公倍数就是3×7=21。