五年级下册数学奥数专题讲座第十五课(综合题选讲)

第十五讲平均数部分与整体知识点：解答平均数应用题的关键是要找谁问题和条件、条件和条件之间对应的关系。

通过变形、综合后的平均数应用题，数量关系比较复杂，也比较隐蔽只要同学们始终记住，平均数是由“总数量”除以“总数量对应的总份数”而得到的，采用作图、假设等方法，开动脑筋，认真审题，就能找到正确的解题方法。

例一、某3 个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3，被改的数原来是多少？分析：原来3 个数的和是2×3=6，后来3个数的和是3×3=9，9 比6多出了3，是因为把那个数改成了4，因此，可求出原来的数是3×3=9。

3×3-2×3=34-3=1答：被改的数原来是1。

巩固练习11.已知9 个数的平均数是72，去掉一个数后，余下的数的平均数是78，去掉的数是多少？2.有5 个数，它们的平均数是9，如果把其中的一个数改为1，那么这5 个数的平均数为8。

这个被改动的数原来是多少？3.甲、乙、丙、丁4 名同学，在一次考试中4 人平均分为90 分，可是甲在录分时把自己的分数错录成87 分，因此，4 人的平均分变为88 分。

甲在这次考试中得了多少分？例二、小明前几次数学测验的平均成绩是84 分，这次要考100 分，才能把平均成绩提高到86 分。

这是小明的第几次测验？分析：100 分比86 分多14 分。

这14 分必须填补到前几次的平均分84 分中去，使其平均分成为86 分。

每次填补86-84﹦2(分) ，14 里面有7 个2，所以前面已经测验了7 次，这是第8 次测验。

(100-86) ÷（86-84)=7（次)7+1=8(次)答：这是小明的第8 次测验。

巩固练习21、张老师带着几名同学在做纸花，张老师做了21朵，同学们平均每人做了5 朵。

如果把张老师做的和同学们做的合起来计算，正好平均每人做7 朵. 一共有多少名同学在做纸花？2. 一名同学在期中测验中，除了数学，其余几门功课的平均成绩是94 分。

呢？生：……师：那么我们常用的分解质因数的方法是什么呢？生：短除法。

师：那么请你上讲台来演示一下，如何利用短除法将210分解质因数。

生：师：那么就是将210分解成几个质因数相乘的形式。

（板书：210=2×3×5×7）可是我们如何才能得到这三个连续自然数呢？生：将这几个数组合成5×6×7。

师：非常好，我们从这四个质因数中可以找到5和7，中间隔了一个6，正好2 和3的积是6，所以我们可以得到这三个连续自然数是5、6、7。

板书：210=2×3×5×7=5×6×7答：这三个自然数分别是5、6、7。

练习1：（5分）三个连续自然数的乘积是720，求这三个自然数。

分析：运用短除法将720分解质因数，然后将质因数重新组合，组合成几个连续自然数相乘。

板书：720=2×2×2×2×3×3×5=8×9×10答：这三个自然数分别是8、9、10。

（二）例题2：（10分）有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗，共有多少种不同的分法？讲解重点：知道每份的量×份数=总量，份数和每份的量都是总量的因数，并且注意它们的范围。

（请学生读题）师：从题中你找到了哪些已知条件？生：有168颗糖，被平均分成若干份。

师：是的，168是总量，每份的量和份数知道吗？生：不知道。

师：你知道每份的量、份数和总量之间有什么关系吗？生：每份的量×份数=总量。

师：那么每份的量和份数就是总量即168的因数，是吗？生：是的。

师：如何求因数呢？生：通过分解分解质因数，再重新组合。

师：很好。

那么请一位同学来黑板上板演，其他同学在草稿纸上做。

生：师：非常棒，所以168的因数有哪些？生：……师：可别忘了1和它本身也是它的因数。

这些都是我们要求的答案吗？生：……师：题目要求“每份不得少于10颗，也不能多于50颗”，那么我们需要舍去小于10和大于50的因数。

第十五讲数学竞赛试题选讲例1 计算： 1+2+22+23+…+29+210分析这是首项系数是2的等比数列求和问题，可采用“错位相减法”求解．解：设S=1+2+22+23+…+29+210（1）用2乘以上式的两边可得2S=2+22+23+…=210+211（2）用（2）式减去（1）式的两边，得S=（2+22+2 3+…+2 10+2 11）-（1+2+2 2+2 3+…+2 9+2 10）=2 11-1=2048-1=2047．例2 计算：1×0.5+3×（0.5）2+5×（0.5）3+7×（0.5）4+…+17×（0.5）9+19×（0.5）10分析这个和式中的每一项都是两个数的乘积，把各乘积的前一个数依次排在一起构成一个公差为2的等差数列，把各乘积的后一个数依次排在一起构成一个公比是0.5的等比数列，这种数列通常称为混合数列，它的求和方法也采用“错位相减法”．解：设S=1×0.5+3×(0.5)2+5×(0.5)3+…+17×(0.5)9+19×(0.5)10（1）用2乘以上式的两边可得2S＝1+3×0.5+5×（0.5）2+7×（0.5）3+…+17×（0.5）8+19×（0.5）9（2）用（2）式减去（1）式的两边，得S=1+2×0.5+2×(0.5)2+2×(0.5)3＋…+2×(0.5)8+2×(0.5)9-19×(0.5)10=1+1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8-19×（0.5）10再设 A=1+0.5+（0.5）2+…+（0.5）7+（0.5）8（3）用2乘以（3）式的两边可得：2A=2+1+0.5+…+（0.5）7（4）用（4）式减去（3）式两边，得A=2-（0.5）8=2-0.00390625=1.99609375于是，有：S=1+1.99609375-19×（0.5）10=2.99609375-19×0.0009765625=2.99609375-0.0185546875=2.9775390625．例3 计算：11×12×13+12×13×14+13×14×15+…+100×101×102解：利用裂项法，有11×12×13=（11×12×13×14-10×11×12×13）÷4，12×13×14=（12×13×14×15-11×12×13×14）÷4，13×14×15=（13×14×15×16-12×13×14×15）÷4，…100×101×102=（100×101×102×103-99×100×101×102）÷4，把这90个等式相加，得原式=（100×101×102×103-10×11×12×13）÷4=25×101×102×103-10×11×3×13=26527650-4290=26523360．例4 规定 a*b=a b（其中 a、 b都是自然数），分别计算（5*3）*2和5*（3*2）．解：由5*3=5 3=125125*2=125 2=15625，即有（5*3）*2=15625又由3*2=3 2=9，5*9=5 9=1953125即有5*（3*2）=1953125．说明：规定新的代数运算是一类以近世代数为基础的新题型，近年来多次出现于国内外的数学竞赛题中．解这类问题的关键在于牢记新运算的定义，在计算时严格遵照规定的法则代入数值，遇到括号要优先运算．值得注意的是，有些规定的新运算未必满足交换律或结合律．譬如，本例实质上是乘方运算，由计算结果可知（5*3）*2≠5*（3*2）这就是说，本例规定的运算不满足结合律．又如，运算a△b=3×a-b÷2就不满足交换律，事实上1△2=1×3-2÷2=3-l=2，2△l=2×3-1÷2=6-0.5-5.5，即1△2≠2△1．并且=（a×b+a+b）×c+（a×b+a+b）+c=a×b×c+a×c+b×c+a×b+a+b+c，=a×（b×c+b+c）+a+（b×c+b+c）=a×b×c+a×b+a×c+a+b×c+b+c，从而有=5+7=12，因此例5 互为反序①的两个自然数之积是92565，求这两个互为反序的自然数．注释：①例如1204与4021是互为反序的自然数，而120与21不是互为反序的数．解：①这两个自然数必是三位数．首先，这两个自然数不能是小于100的数，因为小于100的两个最大的反序数是99和99，而99×99＜92565．其次，这两个自然数也不能大于998，因为大于998的两个最小的反序数是999与999，而999×999＞92565．由于a×c的个位数字是5，可以推得：a×c=1×5或3×5或5×5或7×5或9×5；而当a×c≥3×5时有即这是不合题意的．因此，我们可以断定：a×c=1×5，不妨设 a=1， c=5.又由于b是0，1，2，…，9之一，经检验，只有b=6符合题意，这时有165×561=92565．答：所求的两个互为反序的自然数是165和561．如果a≠4，b≠3，c≠2且d≠1，那么满足上述条件的四位数一共有多少个？分析分类、枚举、筛选是解决这类组合计数问题的基本思路．解：依题意，因为a≠4，所以分三类讨论：①首位数字a=1时，百位数字b可取2或4，于是可以画出如下“树形图”①：注释：①树形图是图论中常用的一种分类的直观表示方法．再考虑十位数字c的限制条件，可以画出如下树形图：最后考虑个位数字d的限制条件，可以画出如下树形图：②首位数字a=2时，百位数字b可取1或4，于是画出如下树形图：再考虑十位数字c的限制条件，可以画出如下树形图：最后考虑个位数字d的限制条件，可以画出如下树形图：③首位数字a=3时，类似①、②可以画出如下树形图：说明。

师：很好，我们减一下可以得到差是45。

所以根据45可以知道的那页是多少呢？生：45页。

师：45页？还有不同答案吗？生：22页和23页。

师：对，同学们真细心。

所以卡尔的书掉了22页和23页。

同学们觉得有什么问题吗？师：同学们，我们可以翻开我们的书，一起来看一看，22页和23页在哪里。

【配合课件动画】生：老师，这是在两张上的。

师：对了，而我们题目中告诉我们卡尔的的书掉了几张？生：1张。

师：所以，我们算出来的和实际并不符合。

同学们知道老师为什么知道卡尔算错了吗？生：知道了。

师：如果我们不翻书，同学们能知道22页和23页为什么不在同一页上吗啊？生：知道。

师：嗯，因为每一张纸的前面一页是奇数，后面一页是偶数。

【教师在讲解时，要配合课件演示整个解题过程】师：既然你们都理解了，那就一起来计算一下练习五的题吧。

师：我请两位同学上台板演，其他同学写在课堂练习本上。

【课件出示练习五，教师请两位中上的学生上台板演，教师下台巡视观察学生的解题情况】板书：（1＋48）×48÷2=11761176－1131=45（45－1）÷2＝22（页）22＋1＝23（页）22页和23页不在同一张纸上。

答：卡尔算出的掉的两页不在同一张上。

练习五：一本书的中间被撕掉了一张，余下的各页码数和正好是1200，这本书有多少页，撕掉的一张上的页码分别是什么？分析：本题难度中等偏难。

学生要对学过的知识牢牢掌握，就能较快的解出。

这题需要学生利用等差数列求和的公式，并利用“凑数法”和1200比较大小。

板书：假设这本书有50页，（1＋50）×50÷2＝1275。