2020年广东省广州市番禺区高考数学模拟试卷(文科)(3月份)

广东省2020年高考文科数学模拟试题及答案（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．集合A ＝{1，2，3}，B ＝{2，4，5}，则A ∪B ＝( )A ．{2}B ．{6}C ．{1，3，4，5，6}D ．{1，2，3，4，5} 2．设p ：log 2x 2>2，q ：x >2，则p 是q 成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3. 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是（ ） A. 3y x =B. y x 1=-C. y x 1=-D. xy 2=4. 已知{a n }为递增的等差数列，a 4+a 7=2，a 5•a 6=-8，则公差d=（ ） A. 6B. 6-C. 2-D. 45. 根据新高考改革方案，某地高考由文理分科考试变为“3+3”模式考试．某学校为了解高一年425名学生选课情况，在高一年下学期进行模拟选课，统计得到选课组合排名前4种如下表所示，其中物理、化学、生物为理科，政治、历史、地理为文科，“√”表示选择该科，“×”表示未选择该科，根据统计数据，下列判断错误．．的是A. 前4种组合中，选择生物学科的学生更倾向选择两理一文组合B. 前4种组合中，选择两理一文的人数多于选择两文一理的人数C. 整个高一年段，选择地理学科的人数多于选择其他任一学科的人数D. 整个高一年段，选择物理学科的人数多于选择生物学科的人数6. 已知函数，且，则以下结论正确的是 A.B.C.D.7. 1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于每一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果分别为A. 是奇数？；B. 是偶数？；C. 是奇数？；D. 是偶数？；8. 已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),2x R f x f x ∈+=，当01x ≤≤，()2f x x =，若直线y x a =+与函数()f x 的图像在[]0,2内恰有两个不同的公共点，则实数的值是（ ）A. 0B. 0或12-C.14-或12-D. 0或14- 9. 据中国古代数学名著《九章算术》中记载，公元前344年，先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器一商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），其体积为12.6立方寸.若取圆周率3π=，则图中x 值为（ ）A. 1.5B. 2C. 3D. 3.110. 若tan()34πα+=-，则2sin 2cos αα-=（ ）A.35 B. 25-C. -1D. 311.已知双曲线2222:1x y C a b-=()0,0a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ,过2F 作垂直于实轴的弦PQ ,若12PF Q π∠=,则C 的离心率e 为( )112 12. 已知()f x 是定义域为R 的偶函数,且在()0,+∞单调递增,设21log 3m f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()0.17n f -=, ()4log 25p f =,则,,m n p 的大小关系为( )A.m p n >>B.p n m >>C.p m n >>D.n p m >> 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年广东省广州市高考数学一模试卷（文科）、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的•1. （5 分）已知集合 U {1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7} , M {3 , 4, 5} , N {1 , 3, 6}，则集 合{2 , 7}等于（）A . M I NB . e u （M J N ）C . e u （M | N ）D . M J N2.（5分）某地区小学，初中，高中三个学段的学生人数分别为 4800人，4000人，2400人.现 采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中， 初中学生 人数为70人，则该样本中高中学生人数为 （ ） A . 42 人B . 84 人C . 126 人D . 196 人. . 2 2 、.3. （5分）直线kx y 1 0与圆x y 2x 4y 10的位置关系是（ ）A.相交 B .相切C .相离D .不确定e ,x, 0A . 4B .25. ( 5 分)已知向量 a (2,1) r ,b (x,2),若 41A .-B —926. ( 5 分) 如图所示， 给出的是 :计算1 1 124 6的条件是 ( )?］的值为（)C .-1 D .-24r rr ra b| |2ab |，则实数x 的值为（)9C . -D . 241-值的程序框图，其中判断框内应填入 22 lnx x 04. ( 5分)已知函数f(x) /，贝V f[fB. i 10C. i 11D. i 1217.（5分）设函数f（x） 2cos（_x ），若对任意x R都有f（x）Uf（x） f （x2）成立，则x2 |2 3的最小值为（）A . 4B . 2 C. D.-2& （5分）刘徽是我国古代伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产刘徽是世界上最早提出十进小数概念的人，他正确地提出了正负数的概念及其加减运算的规则.提出了“割圆术”，并用“割圆术”求出圆周率为3.14 .刘徽在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”被视为中国古代极限观念的佳作. 其中“割圆术”的第一步是求圆的内接正六边形的面积，第二步是求圆的内接正十二边形的面积，依此类推.若在圆内随机取一点，则该点取自该圆内接正十二边形的概率为F 2 ,点P 是双曲线C 上位于第一象限内的点. 过点F 2作 FPF 2的平分线的垂线，垂足为A ,若b IFF 2I 2|OA|，则双曲线C 的离心率为（）A . 79. （ 5分）已知sin cos7 A .2510 . （5分）已知点 率为k ，若k ［- 33( 6. 221,07 25P （x 。

2020年广州市番禺区高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合A ={x|x −1<0}，B ={x|x 2−5x >0}，则)A. (0,1)B. (1,5]C. [5,+∞)D. [0,1)2. 设复数z 满足(i −2)z =5，则复数z −=( )A. i +2B. −2−iC. i −2D. 2−i3. 设a =lge,b =(lge)2,c =lg √e ，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a4. 已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(1,1)，B(−3,3)，C(4,2)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( ) A. √10B. −√10C. √22D. −√225. 若a 1，a 2，a 3，…a 20这20个数据的平均数为x −，方差为0.21，则a 1，a 2，a 3，…a 20，x −这21个数据的方差为( )A. 0.19B. 0.20C. 0.21D. 0.226. 如图，在矩形区域ABCD 中，AB =2，AD =1，且在A ，C 两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)，若在该矩形区域内随机选一地点，则该地点无信号的概率是( )A. 2−π2B. π2−1C. 1−π4D. π47. 已知sinα=45，且α∈(π2,π)，那么cos2α等于( )A. −725B. 725C. 925D. −9258. 如果函数f (x )=cos (ωx +π4)(ω>0)的相邻两个零点之间的距离为π6，则ω的值为( )A. 3B. 6C. 12D. 249. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线与x 轴相交于点M ，N 为抛物线上的一点且NF =12MN ，则)A. 30∘B. 90∘C. 60∘D. 45∘10. 已知f(x)=lg(√x 2+1−x)+1，则f(2015)+f(−2015)为( )A. 0B. 1C. 2D. 411.已知双曲线C：y29−x2b2=1(b>0)，其焦点F到C的一条渐近线的距离为2，该双曲线的离心率e为()A. √133B. √132C. 23D. 3212.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点E为线段AA1上的点，点F为B1C的中点，则三棱锥D1−EDF的体积为()A. 18B. 16C. 13D. 15二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设变量x，y满足约束条件{y≥xx+2y≤2x≥−2，则z=x−3y的最小值______．14.设曲线y=x−alnx在点(1,1)处的切线方程为y=3x−2，则a=________．15.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=2csinB，则sin C等于______ ．16.在△ABC中，∠C=π2，∠B=π6，AC=2，M为AB中点，将△ACM沿CM翻折成直二面角，则三棱锥M−ABC的外接球的表面积为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的公差为2，a4=7．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n=1a n a n+1，求数列{b n}的前100项和T100．18.地球海洋面积远远大于陆地面积，随着社会的发展，科技的进步，人类发现海洋不仅拥有巨大的经济利益，还拥有着深远的政治利益.联合国于第63届联合国大会上将每年的6月8日确定为“世界海洋日”.2019年6月8日，某大学的行政主管部门从该大学随机抽取100名大学生进行一次海洋知识测试，并按测试成绩(单位：分)分组如下：第一组[65,70)，第二组[70,75)，第二组[75,80)，第四组[80,85)，第五组[85,90)，得到频率分布直方图如下图：(1)求实数a的值；(2)若从第二组、第五组的学生中按组用分层抽样的方法抽取9名学生组成中国海洋实地考察小队，出发前，用简单随机抽样方法从9人中抽取2人作为正、副队长，求“抽取的2人为不同组”的概率．19.在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，E为线段AD的中点，如图1，沿BE将△ABE折起至△PBE，使BP⊥CE，如图2所示．(1)求证：平面PBE⊥平面BCDE；(2)求二面角C−PD−E的余弦值．20.平面上两定点F1(−1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=k(1)求动点P的轨迹；(2)当k=4时，动点P的轨迹为曲线C，已知M(−12,0)，过M的动直线l(斜率存在且不为0)与曲线C交于P，Q两点，S(2,0)，直线l1：x=−3，SP，SQ分别与l1交于A，B两点．A，B，P，Q坐标分别为A(x A,y A)，B(x B,y B)，P(x P,y P)，Q(x Q,y Q)，求证：1y A +1 y B1 y P +1y Q为定值，并求出此定值．21.函数(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程；(2)求函数y=f(x)在区间[e,e2]上的最小值．22. 在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ (其中θ为参数)的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为．(Ⅰ)求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；(Ⅱ)设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN|的最小值．23. 已知函数f(x)=|2x −a|+|2x +3|，g(x)=|2x +1|+3．(1)解不等式：|g(x)|<5；(2)若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：D解析：本题主要考查了集合交并补的混合运算，属于基础题． 分别解出集合A ，B 的范围，即可求出答案． 解：∵集合A ={x|x −1<0}={x |x <1}， B ={x|x 2−5x >0}={x|x >5或x <0}，， ．故选D .2.答案：C解析：根据复数代数形式的运算法则，计算即可． 本题考查了复数的代数形式运算问题，是基础题． 解：复数z 满足(i −2)z =5， 则z =5i−2=5(−2−i)(−2)2−i 2=−2−i ， 复数z −=−2+i ． 故选：C ．3.答案：B解析：由0<lge <12可知(lge )2<12lge <lge ，即a >c >b ．4.答案：B解析：解：A(1,1)，B(−3,3)，C(4,2)， 可得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,2)，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,1)，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC |=√9+1=−√10， 故选：B ．求得向量AB ，AC 的坐标，再由向量的投影的定义，计算可得所求值．本题主要考查平面向量的坐标运算和向量数量积的坐标表示以及向量的投影求法，考查运算能力，属于基础题．5.答案：B解析：本题考查了平均数与方差的概念与应用问题，是基础题．根据平均数与方差的概念，计算即可得出答案．解：a 1，a 2，a 3，…a 20这20个数据的平均数为x −，方差为0.21， ∴则a 1，a 2，a 3，…a 20，x −这21个数据的平均数为x −， ∴s 2=120×[(a 1−x −)2+(a 2−x −)2+(a 3−x −)2+⋯+(a 20−x −)2]=0.21，∴(a 1−x −)2+(a 2−x −)2+(a 3−x −)2+⋯+(a 20−x −)2=4.2，方差为 s′2=121×[(a 1−x −)2+(a 2−x −)2+(a 3−x −)2+⋯+(a 20−x −)2+(x −−x −)2] =121×4.2=0.20.故选B .6.答案：C解析：解：∵扇形ADE 的半径为1，圆心角等于90° ∴扇形ADE 的面积为S 1=14×π×12=π4， 同理可得扇形CBF 的面积S 2=π4， 又∵长方形ABCD 的面积S =2×1=2，∴在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是： P =S−(S 1+S 2)S=2−(π4+π4)2=1−π4．故选：C ．根据题意，算出扇形区域ADE 和扇形区域CBF 的面积之和，结合矩形ABCD 的面积，再由测度比是面积比得答案．本题考查几何概型概率的求法，明确测度比是面积比是关键，是基础题．7.答案：A解析：解：∵sinα=45，且α∈(π2,π)， ∵cos2α=1−2sin 2α=1−2×(45)2=−725．故选：A ．由已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力，属于基础题．8.答案：B解析：由题意得：T2=π6，解得：T =π3，因为T =2πω=π3，所以ω=6...9.答案：C解析：本题考查抛物线的几何性质，属于中档题．过N 作NE 垂直于准线与E ，由抛物线的定义得NE =NF ，在Rt △ENM 中求出∠EMN =30°.即可得到结论． 解答：解：过N 作NE 垂直于准线与E. 由抛物线的定义得：NE =NF ， 在Rt △ENM 中因为EN =NF =12MN ．所以 ∠EMN =30∘，故 ∠NMF =90∘−∠EMN =60∘． 故选C ．10.答案：C解析：解：由题意，得函数的定义域为R ，f(x)+f(−x)=[lg(√x 2+1−x)+1]+[lg(√x 2+1+x)+1]=lg1+2=2，∴f(2015)+f(−2015)=2故选：C ．直接利用函数的奇偶性求解函数值即可． 本题考查函数的奇偶性，推理与证明．是基础题．11.答案：A解析：解：双曲线C ：y 29−x 2b 2=1(b >0)，其焦点F(0,√9+b 2)到C 的一条渐近线y =3b x 的距离为2，可得√9+b 2√1+(3b)=2，可得b =2，a =3，所以c =√13，所以双曲线的离心率为：e =√133．故选：A ．求出双曲线的焦点坐标以及双曲线的渐近线方程，然后利用已知条件求解即可． 本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程以及离心率求法，考查计算能力．12.答案：B解析：本题考查了棱锥的体积，关键是明确三棱锥D 1−EDF 的体积等于三棱锥F −EDD 1的体积，进一步明确其底面面积和高，利用体积公式解答． 解：∵B 1C//平面EDD 1，∴三棱锥D1−EDF的体积等于三棱锥F−EDD1的体积，而三棱锥F−EDD1，高为正方体的棱长，等于1，底面EDD1是以1为底1为高的三角形，∴V D1−EDF =V F−EDD1=13S△EDD1×CD=13×12×1×1×1=16．故选B．13.答案：−8解析：解：变量x，y满足约束条件所对应的平面区域为△ABC如图，化目标函数z=x−3y为y=13(x−z)将直线l：y=13(x−z)平移，因为直线l在y轴上的截距为−13z，所以直线l越向上移，直线l在y轴上的截距越大，目标函数z的值就越小，故当直线经过区域上顶点A时，将x=−2代入，直线x+2y=2，得y=2，得A(−2,2)将A(−2,2)代入目标函数，得达到最小值z min=−2−3×2=−8故答案为：−8作出变量x，y满足约束条件所对应的平面区域，采用直线平移的方法，将直线l：y=13(x−z)平移使它经过区域上顶点A(−2,2)时，目标函数达到最小值−8本题考查了用直线平移法解决简单的线性规划问题，看准直线在y轴上的截距的与目标函数z符号的异同是解决问题的关键．14.答案：−2解析：本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，属于基础题．求出函数的导数，求出切线的斜率，由条件可得a 的方程，即可得到所求值．解：函数f(x)=x −alnx 的导数为y ′=1−a x 由在点(1,1)处的切线方程为y =3x −2， 故k =1−a 1=3，解得a =−2．故答案为：−2． 15.答案：12解析：解：∵b =2csinB ，由正弦定理可得：sinB =2sinCsinB ，∵sinB ≠0，则sinC =12．故答案为：12．利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 16.答案：解析：解：由题意，在△BCM 中，BC =2√3，∠BMC =120∘，设△BCM 的外接圆半径为r ，则，设球心到平面BCM 的距离为d ，球的半径为R ，则R 2=4+d 2=(√3)2+(√3−d)2，∴d =√3，R 2=133，∴三棱锥M −ABC 的外接球的表面积为， 故答案为．由已知中求出球半径后，代入球的表面积公式，可得答案．本题考查的知识点是球的体积和表面积，其中根据已知条件求出球的半径是解答本题的关键． 17.答案：解：(1)等差数列{a n }的公差为2，a 4=7，可得a 1+3d =7，即有a 1=7−6=1，则a n=1+2(n−1)=2n−1；(2)b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，可得数列{b n}的前100项和为T100=12(1−13+13−15+⋯+1199−1201)=12(1−1201)=100201．解析：(1)由等差数列的通项公式可得首项，即可得到所求通项；(2)b n=1a n a n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，运用数列的求和方法：裂项相消求和，计算可得所求和．本题考查等差数列的通项公式和数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．18.答案：解：(1)：根据题意得(0.01+0.07+0.06+a+0.02)×5=1，∴a=0.04；(2)根据题意知，随机抽取100名大学生中第二组有100×0.07×5=35人，第五组有10人，∴抽取得9人中有有第二组9×3535+10=7人，抽取第五组人数为9−7=2人，∴从9人中随机抽取2人共有C92=36种，其中两人不同组的有7×2=14种，∴所求的概率为：1436=718．解析：第一问由频率直方图面积之和为1可得，第二问先求出抽的人，再求出符合题意得抽选，算出概率．本题考查频率直方图，以及概率，属于基础题．19.答案：解：(1)证明：在图1中连接EC，如图：则∠AEB =∠CED =45°，∠BEC =90°，BE ⊥CE ．∵PB ⊥CE ，PB ∩PE =P ，PB ⊂平面PBE ，PE ⊂平面PBE ，∴CE ⊥平面PBE ，∵CE ⊂平面BCDE ，∴平面PBE ⊥平面BCDE ．(2)解：取BE 中点O ，连接PO ，∵PB =PE ，∴PO ⊥BE ，∵平面PBE ⊥平面BCDE ，平面PBE ∩平面BCDE =BE ，∴PO ⊥平面BCDE ．以O 为坐标原点，以过点O 且平行于CD 的直线为x 轴，过点O 且平行于BC 的直线为y 轴，直线PO 为z 轴，建立空间直角坐标系，则B(12,−12,0)，E(−12,12,0)，C(12,32,0)，D(−12,32,0)，P(0,0,√22)， PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,12,−√22)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,0)，CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−32,√22)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,0)． 设平面PDE 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，平面PCD 的法向量为n ⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 由{m ⃗⃗⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x 1+12y 1−√22z 1=0m ⃗⃗⃗ ⋅DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−y 1=0，令x 1=−2，可得m ⃗⃗⃗ =(−2,0,√2)， 由{n ⃗ ⋅CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12x 2−32y 2+√22z 2=0n⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x 2=0，令y 2=23，可得n ⃗ =(0,23,√2)， 则cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√3311， 由图形知二面角C −PD −E 的平面角为钝角二面角，所以二面角C −PD −E 的余弦值为−√3311．解析：本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)在图1中连接EC，推导出BE⊥CE，PB⊥CE，从而CE⊥平面PBE，由此能证明平面PBE⊥平面BCDE;(2)取BE中点O，连接PO，由PO⊥BE，得PO⊥平面BCDE.以O为坐标原点，以过点O且平行于CD的直线为x轴，过点O且平行于BC的直线为y轴，直线PO为z轴，建立直角坐标系，利用向量法能求出二面角C−PD−E的余弦值．20.答案：解：(1)由题意：当k<2时，动点P不表示任何图形；当k=2时，动点P的轨迹是线段；当k>2时，动点P的轨迹是椭圆．(2)当k=4时，动点P的轨迹方程为：x24+y23=1，设PQ：x=ny−12(n≠0)，则{x24+y23=1x=ny−12可得：(3n2+4)y2−3ny−454=0∴y P+y Q=3n3n2+4,y P⋅y Q=−4543n2+4∴y P+y Qy P⋅y Q =3n3n2+4−4543n2+4=−4n15∴1y P+1y Q=−4n15又点P，Q在直线PQ上，∴x P=ny P−12,x Q=ny Q−12，∴k SP=y Px P−2=y Pny P−52，同理：k SQ=y Qx Q−2=y Qny Q−52，又k SA=y A−5；k SB=y B−5由k SP=k SA；k SQ=k SB则y Pny P−52=y A−5，则1y A=52−ny P5y P=12y P−n5同理：1y B =12y Q−n5∴1y A +1y B=12(1y P+1y Q)−2n5=−8n15，∴1y A+1y B1y P+1y Q=2．解析：(1)分类讨论，可求动点P的轨迹；(2)当k=4时，动点P的轨迹方程为：x24+y23=1，与直线PQ联立，求出斜率，利用斜率关系，即可证明结论．本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21.答案：解：(1)当a=2时，f(x)=2x−lnx，f(1)=2，∴P(1,2)，又∵f′(x)=2−1x =2x−1x，∴f′(1)=1，即曲线在点P(1,2)处的切线斜率k=1，∴曲线在点P(1,2)处的切线方程为y−2=1⋅(x−1)，即y=x+1．(2)由条件知：f′(x)=a−1x =ax−1x，x>0，当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在[e,e2]上单调递减，∴f(x)在[e,e2]上的最小值为：f(e2)=ae2−2；当a>0时，由f′(x)=0，得x=1a，当x∈(0 , 1a ]时，f′(x)≤0，当x∈[1a , +∞)时，f′(x)≥0，∴f(x)在(0 , 1a ]上单调递减，在[1a , +∞)上单调递增．1°当1a ≤e即a≥1e时，f(x)在[e,e2]上单调递增．∴f(x)在[e,e2]上的最小值为：f(e)=ae−1；2°当e<1a <e2即1e2<a<1e时，f(x)在[e , 1a]上单调递减，在[1a , e2]上单调递增．∴f(x)在[e,e2]上的最小值为：f(1a)=1+lna；3°当1a ≥e2即0<a≤1e时，f(x)在[e,e2]上单调递减．∴f(x)在[e,e2]上的最小值为：f(e2)=ae2−2；综上所述，当a≤1e2时，f(x)在[e,e2]上的最小值为：f(e2)=ae2−2，当1e2<a<1e时，f(x)在[e,e2]上的最小值为：f(1a)=1+lna．当a ≥1e 时，f(x)在[e,e 2]上的最小值为：f(e)=ae −1．解析：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力，属于一般题．(1)当a =2时，f(x)=2x −lnx ，f(1)=2，P(1,2)，求出导函数，得到切线的斜率，然后求解切线方程．(2)由条件知：f′(x)=a −1x =ax−1x ，通过当a ≤0时，当a >0时，判断函数的单调性，然后求解函数的最值． 22.答案：解：(Ⅰ)参数方程{x =cosθy =sinθ(其中θ为参数)的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2x y′=y 得到曲线C ：x 24+y 2=1；曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102.转化为直角坐标方程为：x +y −3√5=0；(Ⅱ)设点P(2cosθ,sinθ)到直线x +y −3√5=0的距离为d ，d =√5|√2=√5sin(θ+α)−3√5|√2，其中tanα=2，当sin(θ+α)=1时，d min =√10．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角恒等变换，点到直线的距离公式的应用，属于一般题．(Ⅰ)直接利用转换关系的应用，把参数方程经过变换后转化为一般方程，极坐标方程转化为直角坐标方程．(Ⅱ)利用点到直线的距离公式，三角函数的恒等变换和正弦型函数的性质即可求出结果． 23.答案：解：(1)由|g(x)|<5得||2x +1|+3|<5⇒−5<|2x +1|+3<5⇒−8<|2x +1|<2 ⇒−3<2x <1⇒−32<x <12．故原不等式的解集为(−32,12)，(2)∴对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)成立，∴f(x)min ≥g(x)min ，∵f(x)=|2x −a|+|2x +3|≥|(2x−a)−(2x+3)|=|a+3|，g(x)=|2x+1|+3≥3，∴|a+3|≥3，解得a≥0或a≤−6，∴实数a的取值范围是(−∞,−6]∪[0,+∞)．解析：本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．(1)利用绝对值不等式的解法，转化求解即可．(2)对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)=g(x2)成立⇔f(x)min≥g(x)min，列出不等式转化求解即可．。

2020年广东省广州市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数(1)z i i =+，则||(z =)A ．12B ．22C ．1D ．22．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，{1B =-，0，1}，P A B = ，则P 的子集共有()A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个3．（5分）设向量(,1)a m = ，(2,1)b =- ，且a b ⊥ ，则(m =)A ．2-B ．12-C ．12D ．24．（5分）已知{}n a 是等差数列，35a =，2467a a a -+=，则数列{}n a 的公差为()A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（5分）已知命题:p x R ∀∈，210x x -+<；命题:q x R ∃∈，23x x >，则下列命题中为真命题的是()A ．p q∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q⌝∧⌝6．（5分）已知偶函数()f x 满足2()(0)f x x x x=->，则{|(2)1}(x f x +>=)A ．{|4x x <-或0}x >B ．{|0x x <或4}x >C ．{|2x x <-或2}x >D ．{|2x x <-或4}x >7．（5分）如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点，点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将||OP OP -' 表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[0，]π上的图象大致为()A ．B ．C ．D ．8．（5分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为()A ．(722)π+B ．(1022)π+C ．(102)π+D ．(112)π+9．（5分）某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为()A ．1211e er R e e ++--B ．111e er R e e ++--C ．1211e er R e e-+++D ．111e er R e e-+++10．（5分）已知函数()1f x x alnx =--存在极值点，且()0f x 恰好有唯一整数解，则实数a 的取值范围是()A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．1(0,2ln D ．1(2ln ，)+∞11．（5分）已知1F ，2F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若||2AB =2ABF ∆的内切圆的半径为()A．3B．3C．3D．312．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题：①1EF B C ⊥；②直线FG 与直线1A D 所成角为60︒；③过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；④三棱锥B EFG -的体积为56．其中，正确命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于直线y x =对称，则f （4）=．14．（5分）设x ，y 满足约束条件1302x x y ⎧⎨+⎩，则2z x y =-的最小值为．15．（5分）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为．16．（5分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1122n n n S a --=，则34a a +=，数列2{}n n a a +-的前n 项和n T =．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：)mm ，得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01)；（2）已知尺寸在[63.0，64.5)上的零件为一等品，否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率．18．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2222sin sin sin sin sin 3A C A CB +-=．（1）求sin B 的值；（2）若2b =，ABC ∆的面积为ABC ∆的周长．19．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，2AC ==．（1）求证：AC PB ⊥；（2）求点C 到平面PAB 的距离．20．（12分）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB =-．（1）判断点(0,1)D -是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程．21．（12分）已知函数()xbe f x alnx x=-，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=．（1）求a ，b 的值；（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且0()222f x ln <-．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），曲线2C 的参数方程为sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．（1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B 两点，且||AB =sin α的值．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知0a >，0b >，且1a b +=．（1）求12a b+的最小值；（2）证明：22212ab b a b +<++．2020年广东省广州市高考数学模拟试卷（文科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知复数(1)z i i =+，则||(z =)A ．12B．2C ．1D【解答】解：(1)1z i i i =+=-+，||z ∴==故选：D ．2．（5分）已知集合{0A =，1，2，3}，{1B =-，0，1}，P A B = ，则P 的子集共有()A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【解答】解： 集合{0A =，1，2，3}，{1B =-，0，1}，{0P A B ∴== ，1}，P ∴的子集共有224=．故选：B ．3．（5分）设向量(,1)a m = ，(2,1)b =- ，且a b ⊥ ，则(m =)A ．2-B ．12-C ．12D ．2【解答】解： 向量(,1)a m =，(2,1)b =- ，且a b ⊥ ，∴210a b m =-=，解得12m =，∴实数12m =．故选：C ．4．（5分）已知{}n a 是等差数列，35a =，2467a a a -+=，则数列{}n a 的公差为()A ．2-B ．1-C ．1D ．2【解答】解：{}n a 是等差数列，35a =，2467a a a -+=，∴111125(3)57a d a d a d a d +=⎧⎨+-+++=⎩，解得11a =，2d =．∴数列{}n a 的公差为2．故选：D ．5．（5分）已知命题:p x R ∀∈，210x x -+<；命题:q x R ∃∈，23x x >，则下列命题中为真命题的是()A ．p q∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q⌝∧⌝【解答】解：22131()024x x x -+=-+>恒成立，故命题:p x R ∀∈，210x x -+<为假命题，当1x =-时，23x x >，成立，即命题:q x R ∃∈，23x x >，为真命题，则p q ⌝∧为真，其余为假命题，故选：B ．6．（5分）已知偶函数()f x 满足2()(0)f x x x x=->，则{|(2)1}(x f x +>=)A ．{|4x x <-或0}x >B ．{|0x x <或4}x >C ．{|2x x <-或2}x >D ．{|2x x <-或4}x >【解答】解：偶函数()f x 满足2()(0)f x x x x=->，在(0,)+∞递增，且f （2）1=，故(2)1f x +>，即|2|2x +>，解得{|0x x >或者4}x <-，故选：A ．7．（5分）如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点，点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将||OP OP -' 表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[0，]π上的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【解答】解：设PP '的中点为M ，则||||2||OP OP P P PM '-'==，当[0x ∈，]2π时，在Rt OMP ∆中，||1OP =，OPM POA x ∠=∠=，所以||cos ||PM x OP =，所以||cos PM x =，||2cos OP OP x -'= ，即()2cos f x x =，[0x ∈，]2π．从四个选项可知，只有选项A 正确，故选：A ．8．（5分）陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为()A ．(722)π+B ．(1022)π+C ．(102)π+D ．(112)π+【解答】解：由题意可知几何体的直观图如图：上部是圆柱，下部是圆锥，几何体的表面积为：144223(102)2ππππ+⨯⨯⨯=+．故选：C ．9．（5分）某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为()A ．1211e er R e e ++--B ．111e er R e e ++--C ．1211e er R e e-+++D ．111e er R e e-+++【解答】解：椭圆的离心率：(0,1)ce a=∈，(c 为半焦距；a 为长半轴），只要求出椭圆的c 和a ，即可确定卫星远地点离地面的距离，设卫星近地点，远地点离地面距离分别为m ，n ，由题意，结合图形可知，a c r R -=+，远地点离地面的距离为：n a c R =+-，m a c R =--，1r Ra e +=-，()1r R ec e+=-，所以远地点离地面的距离为：()121111r R e r R e en a c R R r R e e e e+++=+-=+-=+----．故选：A ．10．（5分）已知函数()1f x x alnx =--存在极值点，且()0f x 恰好有唯一整数解，则实数a 的取值范围是()A ．(,1)-∞B ．(0,1)C ．1(0,2ln D ．1(2ln ，)+∞【解答】解：函数的定义域为(0,)+∞，且()1a x af x x x-'=-=，又函数()f x 存在极值点，即()y f x ='有变号零点，故0a >，故函数()f x 在(0,)a 单调递减，在(,)a +∞单调递增，注意到f （1）0=，0x →时，()0f x >，①当01a < 时，显然()0f x 恰好有唯一整数解1x =，满足题意；②当1a >时，只需满足f （2）0>，即120aln ->，解得12a ln <；综上，实数a 的取值范围为1(0,)2ln ．故选：C ．11．（5分）已知1F ，2F 是双曲线222:1(0)x C y a a-=>的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若||AB =2ABF ∆的内切圆的半径为()A ．3B ．3C ．3D ．3【解答】解：由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a ==，再由1b =，可得a =2212x y -=，所以1(F 0)，2F 0)，所以2121122ABF S AB F F === 三角形2ABF 的周长为2211(2)(2)42C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+=设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积1122S C r r === ，所以=r =，故选：B ．12．（5分）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题：①1EF B C ⊥；②直线FG 与直线1A D 所成角为60︒；③过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形；④三棱锥B EFG -的体积为56．其中，正确命题的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：如图；连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确；过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形EHFGI ．所以③不正确；三棱锥B EFG -的体积为：123115(22131)232223G EBM V -+=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=．123115(22131)132226F EBM V -+=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56．④正确；故选：C ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知函数()y f x =的图象与2x y =的图象关于直线y x =对称，则f （4）=2．【解答】解：由题意可知，函数()y f x =与函数2x y =互为反函数，2()log f x x ∴=，f ∴（4）2log 42==，故答案为：2．14．（5分）设x ，y 满足约束条件1302x x y ⎧⎨+⎩，则2z x y =-的最小值为1-．【解答】解：由约束条件得到如图可行域，由目标函数2z x y =-得到1122y x z =-；当直线经过A 时，直线在y 轴的截距最大，使得z 最小，由12x x y =⎧⎨+=⎩得到(1,1)A ，所以z 的最小值为1211-⨯=-；故答案为：1-．15．（5分）羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成．某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为29．【解答】解：设分为甲乙两队；则甲队的人任选的话有：11339⨯=种情况，乙队去选时有：11224⨯=种情况；故共有9436⨯=种情况；若1A 和1B 两人组成一队，在甲队时，乙队有11224⨯=种情况；在乙队时，甲队有11224⨯=种情况；故共有448+=种情况；所以：1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为：82369=．故答案为：29．16．（5分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1122n n n S a --=，则34a a +=18-，数列2{}n n a a +-的前n 项和n T =．【解答】解：（1）由于数列{}n a 满足1122n n n S a --=，①当2n 时，112122n n n S a ----=②，①-②得：11211222n n n n n a a a ----+=-，整理得1121122n n n n a a ---+=-，所以43321111122848a a +=-=-=-．（2）由于1121122n n n n a a ---+=-，故2111122n n n na a ++++=-③，所以111122n n n n a a +-+=-④，③-④得：211121222n n n n n a a ++--=-+，所以21032111121121121()()(222222222n n n n T +-=-++-++⋯+-+，23112011111111111()2()(222222222n n n +-=++⋯+-⨯++⋯++++⋯+，11111(1(1)142222()2()()111111222n n n⨯-⨯--=-⨯+---，11122n +=-．故答案为：（1）18-，（2）11122n +-三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分．17．（12分）某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：)mm ，得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01)；（2）已知尺寸在[63.0，64.5)上的零件为一等品，否则为二等品．将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：(0.0750.225)0.50.15+⨯=，0.150.750.50.525+⨯=，所以中位数在[63.0，63.5)内，设为a ，则0.15(63.0)0.750.5a +-⨯=，解得63.47a ≈，所以估计中位数为63.47；（2）尺寸在[63.0，64.5)上的频率为(0.7500.6500.200)0.50.8++⨯=，且10.80.2-=，所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2．18．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，2222sin sin sin sin sin 3A C A CB +-=．（1）求sin B 的值；（2）若2b =，ABC ∆的面积为ABC ∆的周长．【解答】解：（1）因为2222sin sin sin sin sin 3A C A CB +-=．由正弦定理可得，22223a cb ac +-=，由余弦定理可得，1cos 3B =，故22sin 3B =；（2）1sin 26ABC S ac B ∆=== ，所以3ac =，因为22223a cb ac +-=，所以28()448123a c ac +=+=+=，所以2a c b ++=+．19．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ∠=︒，90ABC ∠=︒，2AC ==．（1）求证：AC PB ⊥；（2）求点C 到平面PAB 的距离．【解答】（1）证明：取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．在PAC ∆中，PA PC = ，O 为AC 的中点，PO AC ∴⊥，在BAC ∆中，BA BC = ，O 为AC 的中点，BO AC ∴⊥，OP OB O = ，OP ，OB ⊂平面OPB ，AC ∴⊥平面OPB ，PB ⊂ 平面POB ，AC BP ∴⊥；（2）解：在直角三角形ABC 中，由2AC =，O 为AC 的中点，得1BO =，在等腰三角形APC 中，由120APC ∠=︒，得3PO =，又3PB =，222PO BO PB ∴+=，即PO BO ⊥，又PO AC ⊥，AC OB O = ，PO ∴⊥平面ABC ，求解三角形可得PA =，又AB =12PAB S ∆==设点C 到平面PAB 的距离为h ，由P ABC C PAB V V --=，得11132236⨯=⨯，解得h =，故点C 到平面PAB．20．（12分）已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB =-．（1）判断点(0,1)D -是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程．【解答】解：（1）由抛物线的方程可得顶点(0,3)P -，由题意可得直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：4y kx =+，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 联立直线与抛物线的方程：2134y kx by x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，整理可得：244(3)0x kx b --+=，△21616(3)0k b =++>，即230k b ++>，124x x k+=，124(3)x x b =-+，2222222121212()4(3)412y y k x x kb x x b k b k b b b k =+++=-+++=-，21212()242y y k x x b k b +=++=+，因为1(PA PB x =，123)(y x +，222221212123)3()94(3)123(42)923y x x y y y y b b k k b b b +=++++=-++-+++=+-，而4PA PB =-，所以2234b b +-=-，解得1b =-，m 满足判别式大于0，即直线方程为1y kx =-，所以恒过(0,1)-可得点(0,1)D -在直线AB 上．（2）因为点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，所以点M 是三角形PAB 三条边的中垂线的交点，设线段PA 的中点为F ，线段PB 的中点为为E ，因为(0,3)P -，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 所以1(2x F ，13)2y -，2(2x E ，23)2y -，113PA y k x +=，223PB y k x +=，所以线段PA 的中垂线的方程为：11113()232y x xy x y --=--+，因为A 在抛物线上，所以211134y x +=，PA 的中垂线的方程为：211143(82x x y x x -+=--，即211418x y x x =-+-，同理可得线段PB 的中垂线的方程为：222418x y x x =-+-，联立两个方程211222418418x y x x x y x x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩，解得1212221212()3288M x x x x x x x x x y +⎧=-⎪⎪⎨++-⎪=⎪⎩，由（1）可得124x x k +=，124(3)8x x b =-+=-，所以8432M kx k -⨯=-=，22221212122()288M x x x x x x y k +++===，即点2(,2)M k k ，所以212M M x y =，即点M 的轨迹方程为：212x y =．21．（12分）已知函数()xbe f x alnx x=-，曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=．（1）求a ，b 的值；（2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且0()222f x ln <-．【解答】解：（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()()x x a b xe e f x x x-'=-，则f '（1）a =，f （1）be =-，故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=，又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=，2a ∴=，1b =；（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则22()x xx xe e f x x -+'=，令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减，又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<，故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<，故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，且当0(0,)x x ∈时，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减，故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即00002,(1,2)1x x e x x =∈-，则0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，令2()2,121h x lnx x x =-<<-，则222()0(1)h x x x '=+>-，故()h x 在(1,2)上单调递增，由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即00222221lnx ln x -<--，0()222f x ln ∴<-．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），曲线2C 的参数方程为sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数）．（1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B 两点，且||AB =sin α的值．【解答】解：（1）由曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），消去参数t ，可得tan 1y x α=+；由曲线2C 的参数方程为sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数θ，可得y =，即221(0)2y x y += ．（2）把cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数）代入2212y x +=，得22(1cos )2sin 10t t αα++-=．∴1222sin 1t t cos αα-+=+，12211t t cos α-=+．12||||AB t t ∴=-===．解得：2cos 1α=，即cos 1α=±，满足△0>．sin 0α∴=．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知0a >，0b >，且1a b +=．（1）求12a b+的最小值；（2）证明：22212ab b a b +<++．【解答】解：（1）12122()(333a b a b a b a b b a +=++=+++=+ ，当且仅当“b =”时取等号，故12a b+的最小值为3+；（2）证明：2222222224122)155ab bab b ab b b b a b ab b a +++===++++++，当且仅当1,22a b ==时取等号，此时1a b +≠．故2221ab b a b +<++。

2020年广东省广州市市番禺区南沙中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆：，左右焦点分别为，过的直线交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则的值是A.1B.C.D.参考答案：D略2. 在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（）A. B. C. D.参考答案：C3. 设集合A={﹣1，1，2}，B={a+1，a2﹣2}，若A∩B={﹣1，2}，则a的值为（）A．﹣2或1 B．0或1 C．﹣2或﹣1 D．0或﹣2参考答案：A【考点】1E：交集及其运算．【分析】由交集定义得到或，由此能求出a的值．【解答】解：∵集合A={﹣1，1，2}，B={a+1，a2﹣2}，A∩B={﹣1，2}，∴或，解得a=﹣2或a=1．故选：A．4. 若复数（a∈R,i是虚数单位）是纯虚数，则a的值为 ( )A.6B.-6 C. D.参考答案：B略5. “x＞0”是“x≠0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：由题意看命题“x＞0”与命题“x≠0”是否能互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．解答：解：对于“x＞0”?“x≠0”；反之不一定成立，因此“x＞0”是“x≠0”的充分而不必要条件，故选A．点评：本小题主要考查了命题的基本关系，题中的设问通过对不等关系的分析，考查了命题的概念和对于命题概念的理解程度．6. 设a=0.70.4，b=0.40.7，c=0.40.4，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a参考答案：C【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=0.70.4＞0.40.4=c，b=0.40.7＜c=0.40.4，∴a＞c＞b．故选：C．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也. 又以高乘之，三十六成一. 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为 3. 那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为A． B． C． D．参考答案：B8. 已知为偶函数，且，当时，，若则A． B． C． D．参考答案：D9. 设i是虚数单位，复数＝( )．A．2－i B．2＋i C．－1－2i D．－1＋2i参考答案：A10. 已知等差数列{a n}满足a3+a13﹣a8=2，则{a n}的前15项和S15=（）A．60 B．30 C．15 D．10参考答案：B【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列通项公式求出a1+7d=a8=2由此能求出{a n}的前15项和S15．【解答】解：∵等差数列{a n}满足a3+a13﹣a8=2，∴a1+2d+a1+12d﹣（a1+7d）=2，即a1+7d=a8=2∴{a n}的前15项和S15===15a8=30故选：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若满足约束条件,则的取值范围是．参考答案：考点：线性规划的知识及运用．【易错点晴】本题考查的是线性规划的有关知识及综合运用.解答时先依据题设条件画出不等式组表示的平面区域如图, 借助题设条件搞清楚的几何意义是动直线在轴上的截距的取值范围问题.然后数形结合,平行移动动直线,通过观察可以看出当动直线经过坐标原点时,；当动直线经过坐标轴上的点时,,故其取值范围是.12. 已知，，那么；参考答案：13. 对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满足,与的夹角,且和都在集合中.给出下列命题：①若时，则. ②若时，则.③若时，则的取值个数最多为7.④若时，则的取值个数最多为.其中正确的命题序号是（把所有正确命题的序号都填上）参考答案：①③略14. 若，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2其中正确的序号是：．参考答案：④【考点】GA：三角函数线．【分析】构造函数f（x）=xsinx，x∈[﹣，]，判断函数f（x）为偶函数，利用f′（x）判断f（x）=xsinx在x∈[0，]上的单调性，从而选出正确答案．【解答】解：根据题意，令f（x）=xsinx，x∈[﹣，]，∵f（﹣x）=﹣x?sin（﹣x）=x?sinx=f（x），∴f（x）=xsinx，在x∈[﹣，]上为偶函数；又f′（x）=sinx+xcosx，∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，∴f（x）=xsinx在x∈[0，]单调递增；同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[﹣，0]单调递减；∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立，∴α2＞β2，④正确；其他命题不一定成立．故答案为：④．15. 若的方差为3，则的方差为．参考答案：27略16. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积的最大值为 .参考答案：17. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点坐标为，则．参考答案：由三角函数定义得，所以三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020年广东省高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 已知集合{}1,2A =，集合{}0,2B =，设集合{},,C z z xy x A y B ==∈∈，则下列结论中正确的是A. A C φ⋂=B. A C C ⋃=C. B C B ⋂=D. A B C =2. 若复数2(1)z m m m i =+++是纯虚数，其中m 是实数，则1z= A. i B. i - C. 2iD. 2i -3. 若1sin()43x π-=，则sin 2x = A.79B. 79-C.13D. 13-4. 在矩形ABCD 中，8AB =，6AD =，若向该矩形内随机投一点P ，那么使ABP ∆与ADP ∆ 的面积都小于4的概率为 A.136B.112C.19D.495. 在等差数列{}n a 中，3a ，9a 是方程224120x x ++=的两根，则数列{}n a 的前11项和等于 A. 66B. 132C. -66D. -1326. 设函数2()23f x x x =--，若从区间[2,4]-上任取一个实数x ，则所选取的实数x 满足()0f x ≤的概率为A.12B.13C.23D.147. 设α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，且l ⊂α,m ⊂β( ) A ．若l ⊥β，则α⊥β B ．若α⊥β，则l ⊥m C ．若l ∥β，则α∥β D ．若α∥β，则l ∥m8. 已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则 =aA. 2B.26C. 25D. 19. 函数ln ()xf x x=的图象大致为 A. B.C. D.10.已知函数532sin 2064y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象与一条平行于x 轴的直线有两个交点，其横坐标分别为1x ，2x ，则12x x =+ A.43πB.23π C.3π D.6π 11.已知三棱锥ABC D -四个顶点均在半径为R 的球面上，且22===AC BC AB ，，若该三棱锥体积的最大值为1，则这个球的表面积为 A.81500π B. 9100π C. 925πD. π412. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分別为12,F F ，过2F 的直线与椭圆交于,A B 两点，若1F AB ∆是以A 为直角项点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为A B ．22 D -二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年3月广州市高考一模数学（文）试卷一、单选题 1．已知复数z i =()1i +，则z =（ ）A ．12B ．2C ．1D ．2．已知集合{}0,1,2,3A =，}{1,0,1B =-，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个3．设向量a r (),1=m ，b r ()2,1=-，且a b ⊥r r，则m =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．24．已知{}n a 是等差数列，35a=，2467a a a -+=，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，23x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝6．已知偶函数()f x 满足()()20f x x x x=->，则()}{21x f x +>=（ ） A ．{4x x <-或}0x > B ．{0x x <或}4x > C ．{2x x <-或}2x > D ．{2x x <-或}4x >7．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-u u u r u u u r表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(7+πB ．(10+πC ．(10+πD ．(11+π9．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 10．已知函数()ln 1f x x a x =--存在极值点，且()0f x ≤恰好有唯一整数解，则实数a 取值范围是（ ）A ．(),1-∞ B ．()0,1C ．10,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭11．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A ．3B ．3C D ．12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 13．已知函数()y f x =的图像与2x y =的图像关于直线y x =对称，则()4f =________.14．设x ，y 满足约束条件13,02,x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩则2z x y =-的最小值为__________.15．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为_________. 16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1122n n n S a --=，则34a a +=_____________，数列{}2n n a a +-的前n 项和n T =______________.三、解答题17．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如下的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）； （2）已知尺寸在[)63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品. 将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率.18．已知,,a b c 分别是△ABC 内角,,A B C 的对边，2222sin sin sin sin sin 3+-=A C A C B .（1）求sin B 的值；（2）若2b =，△ABC ，求△ABC 的周长.19．如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ︒∠=，90ABC ︒∠=，2AC ==.（1）求证：AC PB ⊥； （2）求点C 到平面PAB 的距离.20．已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-u u u r u u u r . （1）判断点()0,1D-是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程.21．已知函数()e ln xb f x a x x=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =.（1）求a ，b 的值； （2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-.22．已知曲线1C 的参数方程为cos ,(1sin ,x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数)， 曲线2C的参数方程为sin ,(x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数).（1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B两点，且AB =sin α的值.23．已知0a >，0b >，且1a b +=. （1）求12a b+的最小值； （2）证明：2221ab b a b +<++.解析2020年3月广州市高考一模数学（文）试卷一、单选题 1．已知复数z i =()1i +，则z =（ ）A ．12B ．2C ．1D ．【答案】D【解析】根据复数模的性质直接计算即可.(1)z i i =+Q ,|||(1)||||1|z i i i i ∴=+=+=,故选：D【点睛】本题主要考查了复数模的性质，属于容易题. 2．已知集合{}0,1,2,3A =，}{1,0,1B =-，P A B =⋂，则P 的子集共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【答案】B【解析】由交集运算求出集合P ，写出所有子集即可.{}0,1,2,3A =Q ，}{1,0,1B =-，{0,1}P A B ∴=⋂=， ∴P 的子集有,{0},{1},{0,1}φ共4个，故选：B【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，属于容易题. 3．设向量a r(),1=m ，b r ()2,1=-，且a b ⊥r r，则m =（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．2【答案】C【解析】根据向量垂直则数量积为0直接计算即可求解. 【详解】a b ⊥r r Q ,()(),12,1210a b m m ∴⋅=⋅-=-=r r ,解得12m =，故选：C【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算，向量垂直的性质，属于容易题. 4．已知{}n a 是等差数列，35a=，2467a a a -+=，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】根据条件，联立方程组，即可求出公差. 【详解】{}n a Q 是等差数列，35a =，2467a a a -+=,112537a d a d +=⎧∴⎨+=⎩解得2d=，故选：D 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了计算能力，属于容易题. 5．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，23x x >，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝【答案】B【解析】分别判断两个命题p ， q 的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可． 【详解】对于命题p ，取1x =时，10<不成立，故命题p 为假命题， 对于命题q ，1x =-时，23(1)(1)->-成立，故命题 q 为真命题，所以p q ∧为假命题，p q ⌝∧为真命题，p q ∧⌝为假命题，p q ⌝∧⌝为假命题，故选：B 【点睛】本题主要考查复合命题真假关系的判断，结合条件判断命题p ，q 的真假是解决本题的关键. 6．已知偶函数()f x 满足()()20f x x x x=->，则()}{21x f x +>=（ ） A ．{4x x <-或}0x >B ．{0x x <或}4x >C ．{2x x <-或}2x > D ．{2x x <-或}4x >【答案】A【解析】根据题意可得函数的单调性,将所求不等式转化为()|2|(2)1f x f +>=，则有 |2|2x +>，求解即可. 【详解】0x Q >时，()2f x x x=-， 2(2)212f ∴=-=，Q 函数()f x 为偶函数，()2(|2|)1(2)f x f x f ∴+=+>=，Q 当0x >时，()2f x x x=-为增函数， |2|2x ∴+>，解得0x >或4x <- 故选：A 【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及指数不等式的解法，属于基础题.7．如图，圆O 的半径为1，A ，B 是圆上的定点，OB OA ⊥，P 是圆上的动点， 点P 关于直线OB 的对称点为P '，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将OP OP '-u u u r u u u r表示为x 的函数()f x ，则()y f x =在[]0,π上的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据图象分析变化过程中在关键位置及部分区域，即可排除错误选项，得到函数图象，即可求解. 【详解】由题意，当0x =时，P 与A 重合，则P '与B 重合，所以||2OP OP BA '-==u u u r u u u r u u u r,故排除C,D 选项；当02x π<<时，||2sin()2cos 2OP OP P P x x π''-==-=u u u r u u u r ，由图象可知选B. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数的图像与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键,属于中档题.8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（ ）A ．(7+πB ．(10+πC ．(10+πD ．(11+π【答案】C 【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,几何体的表面积为：14423(102ππππ+⨯⨯⨯=+， 故选：C 【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.9．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ） A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 【答案】A【解析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.【详解】椭圆的离心率：=(0,1)c e a∈，（ c 为半焦距; a 为长半轴）， 设卫星近地点，远地点离地面距离分别为r ，n ，如图：则,n a c R r a c R =+-=--所以1r R a e +=-,()1r R ec e+=-, ()121111r R e r R e en a c R R r R e e e e+++=+-=+-=+---- 故选：A 【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键，属于中档题. 10．已知函数()ln 1f x x a x =--存在极值点，且()0f x ≤恰好有唯一整数解，则实数a 取值范围是（ ）A ．(),1-∞ B ．()0,1C ．10,ln 2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,ln 2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据函数有极值点可得0a <，()0f x ≤有唯一整数解可转化为1(1)ln x x a-≤有唯一整数解，令1()(1)g x x a=-，()ln h x x =，只需满足(2)2g h >（）即可求解.【详解】()1af x x'=-Q (0)x >，且()ln 1f x x a x =--存在极值点 ()10af x x'∴=-=有正根， 可得0a >，()0f x ≤Q 恰好有唯一整数解，即1(1)ln x x a-≤恰好有唯一整数解， 令1()(1)g x x a=-，()ln h x x =， 因为(1)1=g h =（）0， 所以只需满足(2)2g h >（）即可，解得10ln 2a <<， 故选：C 【点睛】本题主要考查了函数的极值，利用转化思想处理不等式有唯一整数解，属于中档题.11．已知1F ，2F 是双曲线222:1xC y a-=()0a >的两个焦点，过点1F 且垂直于x 轴的直线与C 相交于A ，B 两点，若AB =△2ABF 的内切圆的半径为（ ）A ．3B ．3C D ．【答案】B【解析】设左焦点1F 的坐标， 由AB 的弦长可得a 的值，进而可得双曲线的方程，及左右焦点的坐标，进而求出三角形ABF 2的面积，再由三角形被内切圆的圆心分割3个三角形的面积之和可得内切圆的半径. 【详解】由双曲线的方程可设左焦点1(,0)F c -，由题意可得22b AB a==由1b =，可得a =所以双曲线的方程为: 2212x y -=所以12(F F ，所以2121122ABF S AB F F =⋅⋅==V 三角形ABF 2的周长为()()22112242C AB AF BF AB a AF a BF a AB =++=++++=+==设内切圆的半径为r ，所以三角形的面积1122S C r r =⋅⋅=⋅=，所以=，解得3r =， 故选：B 【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的性质及三角形的面积的求法，内切圆的半径与三角形长周长的一半之积等于三角形的面积可得半径的应用，属于中档题.12．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别是棱AD ，1CC ，11C D 的中点，给出下列四个命题: ①1EF B C ⊥;② 直线FG 与直线1A D 所成角为60︒;③ 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为六边形; ④ 三棱锥B EFG -的体积为56. 其中，正确命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】画出几何体的图形，然后转化判断四个命题的真假即可． 【详解】 如图；连接相关点的线段，O 为BC 的中点，连接EFO ，因为F 是中点，可知1B C OF ⊥，1EO B C ⊥，可知1B C ⊥平面EFO ，即可证明1B C EF ⊥，所以①正确；直线FG 与直线1A D 所成角就是直线1A B 与直线1A D 所成角为60︒；正确； 过E ，F ，G 三点的平面截该正方体所得的截面为五边形；如图：是五边形EHFGI ．所以③不正确； 如图：三棱锥B EFG -的体积为： 由条件易知F 是GM 中点， 所以B EFG B EFM F BEM V V V ---==, 而=2311522131=2222BEMABE EDM ABMD S S S S ∆∆+⨯-⨯⨯-⨯-⨯=-梯形， 1551326F EBM V -=⨯⨯=．所以三棱锥B EFG -的体积为56，④正确；故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及空间几何体的体积，直线与平面的位置关系的应用，平面的基本性质，是中档题．二、填空题 13．已知函数()y f x =的图像与2x y =的图像关于直线y x =对称，则()4f =________.【答案】2【解析】根据函数图像之间的关系知()y f x =与2x y =互为反函数，求解析式计算即可.【详解】 因为函数()y f x =的图像与2x y =的图像关于直线y x =对称，所以()y f x =是2x y =的反函数，即2()log f x x =， 所以()24log 42f ==，故答案为：2 【点睛】本题主要考查了反函数的性质，反函数的求法，属于容易题. 14．设x ，y 满足约束条件13,02,x x y ≤≤⎧⎨≤+≤⎩ 则2z x y =-的最小值为__________.【答案】1-【解析】先根据条件画出可行域，设2z x y =-，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y 轴上的截距最大，只需求出直线2z x y =-，取得截距的最小值，从而得到z 最小值即可． 【详解】由约束条件得到如图可行域，由目标函数2z x y =-得到1122y x z =-； 当直线经过A 时，直线在y 轴的截距最大，使得z 最小，由12x x y =⎧⎨+=⎩得到(1,1)A ，所以z 的最小值为1211-⨯=-； 故答案为：1-． 【点睛】本题考查了简单线性规划问题；借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．15．羽毛球混合双打比赛每队由一男一女两名运动员组成. 某班级从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，把选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛，则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为_________. 【答案】19【解析】分别计算出选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛的基本事件总数和满足1A 和1B 两人组成一队的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案 【详解】从3名男生1A ，2A ，3A 和3名女生1B ，2B ，3B 中各随机选出两名，共有22339C C =，选出的4人随机分成两队进行羽毛球混合双打比赛有11224C C =， 故总的事件个数为9436⨯=种，其中1A 和1B 两人组成一队有11224C C =种，故则1A 和1B 两人组成一队参加比赛的概率为41369=， 故答案为：19． 【点睛】本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键． 16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1122n n n S a --=，则34a a +=_____________，数列{}2n n a a +-的前n 项和n T =______________.【答案】18-11122n +- 【解析】（1）根据n S 与n a 的关系即可推导出112n n n a a ++=-，令3n =即可求解； （2）由（1）知112n n n a a ++=-，利用上式可得2112n nn a a ++-=，由等比数列求和公式即可求解. 【详解】1122n n n S a --=Q , 11122n n nS a ++∴-=, 两式相减可得：11122n n n n a a a ++-+=-，即112n n na a ++=-， 所以3431128a a +=-=-， 由112n nn a a ++=-可得21112n n n a a ++++=-， 两式相减可得：211111222n n n n n a a +++-=-+=， {}2n n a a +∴-是以14为首项，12为公比的等比数列，111(1)114212212n n n T +-∴==--， 故答案为：18-，11122n +- 【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，n S 与n a 的关系，等比数列的求和公式，属于较难题.三、解答题17．某企业质量检验员为了检测生产线上零件的情况，从生产线上随机抽取了80个零件进行测量，根据所测量的零件尺寸（单位：mm ），得到如下的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这80个零件尺寸的中位数（结果精确到0.01）； （2）已知尺寸在[)63.0,64.5上的零件为一等品，否则为二等品. 将这80个零件尺寸的样本频率视为概率，从生产线上随机抽取1个零件，试估计所抽取的零件是二等品的概率. 【答案】（1）63.47（2）0.2【解析】（1）由频率分布直方图中中位数两边频率相等，即可求出中位数的大小；（2）计算尺寸在[63.0，64.5)外的频率，用频率估计概率，即可得出结论． 【详解】（1）由频率分布直方图的性质得：(0.0750.225)0.50.15+⨯=，0.150.750.50.525+⨯=，所以中位数在[63.0，63.5)内，设为a ， 则0.15(63.0)0.750.5a +-⨯=， 解得63.47a ≈，所以估计中位数为63.47；（2）尺寸在[63.0，64.5)上的频率为(0.7500.6500.200)0.50.8++⨯=， 且10.80.2-=，所以从生产线上随机抽取1个零件，估计所抽取的零件是二等品的概率为0.2． 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求中位数、概率的应用问题，是基础题． 18．已知,,a b c 分别是△ABC 内角,,A B C 的对边，2222sinsin sin sin sin 3+-=A C A C B .（1）求sin B 的值；（2）若2b =，△ABC ，求△ABC 的周长.【答案】（1）3（2）2+【解析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理可求cos B ，然后结合同角平方关系可求sin B ；（2）由已知结合三角形的面积公式可求ac ，然后结合余弦定理即可求解a c +，进而可求三角形的周长． 【详解】 （1）因为2222sinsin sin sin sin 3+-=A C A C B ．由正弦定理可得，22223ac b ac =+-， 由余弦定理可得，1cos 3B =，故sin 3B =；（2）1sin 2ABC S ac B ∆===Q ， 所以3ac =，因为22223ac b ac =+-， 所以28()448123a c ac +=+=+=，所以2a c b ++=+ 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式的综合应用，属于中档试题．19．如图，三棱锥P ABC -中，PA PC =，AB BC =，120APC ︒∠=，90ABC ︒∠=，2AC ==.（1）求证：AC PB ⊥； （2）求点C 到平面PAB 的距离.【答案】（1）证明见解析（2【解析】（1）取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ，证明PO AC ⊥，BO AC ⊥，推出AC ⊥平面OPB ，即可证明AC BP ⊥；（2）在直角三角形ABC 中，由2AC =，O 为AC 的中点，得1BO =，求解PO =，结合=PB ，可得PO BO ⊥，又PO AC ⊥，得到PO ⊥平面ABC ，然后利用等体积法求点C 到平面PAB 的距离．【详解】 （1）证明：取AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．在PAC ∆中，PA PC =Q ，O 为AC 的中点，PO AC ∴⊥， 在BAC ∆中，BA BC =Q ，O 为AC 的中点，BO AC ∴⊥，OP OB O =Q I ，OP ，OB ⊂平面OPB ，AC ∴⊥平面OPB ，PB ⊂Q 平面POB ，AC BP ∴⊥；（2）在直角三角形ABC 中，由2AC =，O 为AC 的中点，得1BO =，在等腰三角形APC 中，由120APC ∠=︒，得PO ，又PB Q ，222PO BO PB ∴+=，即PO BO ⊥， 又PO AC ⊥，AC OB O =I ，PO ∴⊥平面ABC ，求解三角形可得PA =，又AB =，得12PAB S ∆=．设点C 到平面PAB 的距离为h ，由C P A ABCP B V V --=，得111323⨯=，解得5h =，故点C 到平面PAB ．【点睛】本题考查等体积法的应用，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题． 20．已知点P 是抛物线21:34C y x =-的顶点，A ，B 是C 上的两个动点，且4PA PB ⋅=-u u u r u u u r . （1）判断点()0,1D-是否在直线AB 上？说明理由；（2）设点M 是△PAB 的外接圆的圆心，求点M 的轨迹方程.【答案】（1）点()0,1D-在直线AB 上，理由见解析（2）212x y =【解析】（1）由抛物线的方程可得顶点P 的坐标，设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出数量积PA PB uu r uu r g ，再由题意4PA PB =-u u u r u u u rg 可得直线AB 恒过(0,1)-，即得D 在直线AB 上； （2）设A ，B 的坐标，可得直线PA ，PB 的斜率及线段PA ，PB 的中点坐标，进而求出线段PA ，PB 的中垂线的方程，两个方程联立求出外接圆的圆心M 的坐标，由（1）可得M 的横纵坐标关于参数k 的表达式，消参数可得M 的轨迹方程． 【详解】 (1) 点()0,1D-在直线AB 上.理由如下，由题意, 抛物线21:34C y x =-的顶点为(0,3)P - 因为直线与抛物线有2个交点， 所以设直线AB 的方程为()()1122,,,y kx b A x y B x y =+，联立2134y x y kx b⎧=-⎪⎨⎪=+⎩得到244(3)0x kx b --+=， 其中21616(3)0k b ∆=++>，12121244(3)4(3)x x k x x b x x b +==-+=-+，所以()21212242y y k x x b k b +=++=+，()()()2212121212y y kx b kx b k x x kb x x b =++=+++2224(3)4k b k b b =-+++2212k b =-+ 因为()()1122,3,,3PA x y PB x y =+=+u u u r u u u r所以()()121233PA PB x x y y ⋅=+++u u u r u u u r()12111239x x y y y y =++++()()2224(3)123429b k b k b =-++-++++223b b =+- 4=，所以2221(1)0b b b ++=+=， 解得1b =-， 经检验，满足>0∆，所以直线AB 的方程为1y kx =-，恒过定点()0,1D-.（2）因为点M 是PAB ∆的外接圆的圆心，所以点M 是三角形PAB 三条边的中垂线的交点， 设线段PA 的中点为F ，线段PB 的中点为为E ， 因为(0,3)P -，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 所以1(2x F ，13)2y -，2(2x E ，23)2y -，113PA y k x +=，223PB y k x +=，所以线段PA 的中垂线的方程为：11113()232y x xy x y --=--+， 因为A 在抛物线上，所以211134y x +=，PA 的中垂线的方程为：211143()82x x y x x -+=--，即211418x y x x =-+-，同理可得线段PB 的中垂线的方程为：222418x y x x =-+-， 联立两个方程211222418418x y x x x y x x ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-+-⎪⎩，解得1212221212()3288M x x x x x x x x x y +⎧=-⎪⎪⎨++-⎪=⎪⎩， 由（1）可得124x x k +=，124(3)8x x b =-+=-，所以8432M k x k -⨯=-=，22221212122()288M x x x x x x y k +++===， 即点2(,2)M k k ，所以212M M x y =， 即点M 的轨迹方程为：212x y =． 【点睛】本题考查求直线恒过定点的方程及直三角形外接圆的性质，和直线与椭圆的综合应用，属于难题．21．已知函数()e ln xb f x a x x=-，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为22x y ---0e =.（1）求a ，b 的值； （2）证明函数()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()02ln 22f x <-.【答案】（1）2,1a b ==（2）证明见解析 【解析】（1）求导，可得f '（1）a =，f （1）be =-，结合已知切线方程即可求得a ，b 的值；（2）利用导数可得0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--，0(1,2)x ∈，再构造新函数2()2,121h x lnx x x =-<<-，利用导数求其最值即可得证． 【详解】（1）函数的定义域为(0,)+∞，2()()x x a b xe e f x x x-'=-， 则f '（1）a =，f （1）be =-，故曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为0ax y a be ---=， 又曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程为220x y e ---=，2a ∴=，1b =；（2）证明：由（1）知，()2x e f x lnx x =-，则22()x xx xe e f x x-+'=， 令()2x x g x x xe e =-+，则()2x g x xe '=-，易知()g x '在(0,)+∞单调递减，又(0)20g '=>，g '（1）20e =-<，故存在1(0,1)x ∈，使得1()0g x '=，且当1(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，当1(x x ∈，)+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减， 由于(0)10g =>，g （1）20=>，g （2）240e =-<，故存在0(1,2)x ∈，使得0()0g x =，且当0(0,)x x ∈时，()0>g x ，()0f x '>，()f x 单调递增，当0(x x ∈，)+∞时，()0<g x ，()0f x '<，()f x 单调递减，故函数存在唯一的极大值点0x ，且00000()20x x g x x x e e =-+=，即00002,(1,2)1x x e x x =∈-， 则0000002()221x e f x lnx lnx x x =-=--， 令2()2,121h x lnx x x =-<<-，则222()0(1)h x x x '=+>-，故()h x 在(1,2)上单调递增， 由于0(1,2)x ∈，故0()h x h <（2）222ln =-，即00222221lnx ln x -<--，0()222f x ln ∴<-． 【点睛】本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查推理论证能力，属于中档题．22．已知曲线1C 的参数方程为cos ,(1sin ,x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数)， 曲线2C的参数方程为sin ,(x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数).（1）求1C 与2C 的普通方程；（2）若1C 与2C 相交于A ，B两点，且AB =sin α的值. 【答案】（1）tan 1y x α=+，221(0)2y x y +=…（2）0 【解析】（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；（2）把直线的参数方程代入2C 的普通方程，化为关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t 的几何意义求解．【详解】（1）由曲线1C 的参数方程为cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数），消去参数t ，可得tan 1y x α=+；由曲线2C的参数方程为sin x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数），消去参数θ，可得y =即221(0)2y x y +=…． （2）把cos (1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数）代入2212y x +=，得22(1cos )2sin 10t t αα++-=．∴1222sin1t t cos αα-+=+，12211t t cos α-=+．12||||AB t t ∴=-解得：2cos 1α=，即cos 1α=±，满足△0>．sin 0α∴=．【点睛】本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题． 23．已知0a >，0b >，且1a b +=.（1）求12a b +的最小值；（2）证明：22212ab b a b +<++.【答案】（1）3+2）证明见解析【解析】（1）利用基本不等式即可求得最小值；（2）关键是配凑系数，进而利用基本不等式得证．【详解】（1）12122()()333a b a b a b a b b a +=++=+++=+…“b =”时取等号， 故12a b +的最小值为3+（2）222222222412)155ab b ab b ab b b b a b ab b a +++===++++++…当且仅当1,2a b =时取等号，此时1a b +≠．故2221ab b a b +<++．【点睛】本题主要考查基本不等式的运用，属于基础题．。