第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页…………外………………内……………○……在※※装※※订※※线………○……第II卷（非选择题）二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．若(x2+a)(x+x)8的展开式中x8的系数为9,则a的值为.14．北宋时期的科学家沈括在他的著作《梦溪笔谈》一书中提出一个有趣的问题,大意是:酒店把酒坛层层堆积,底层摆成长方形,以后每上一层,长和宽两边的坛子各少一个,堆成一个棱台的形状(如图1),那么总共堆放了多少个酒坛?沈括给出了一个计算酒坛数量的方法——隙积术,设底层长和宽两边分别摆放a,b个坛子,一共堆了n层,则酒坛的总数S=ab+(a-1)(b-1)+(a-2)(b-2)+…+(a-n+1)(b-n+1).现在将长方形垛改为三角形垛,即底层摆成一个等边三角形,向上逐层等边三角形的每边少1个酒坛(如图2),若底层等边三角形的边上摆放10个酒坛,顶层摆放1个酒坛,那么酒坛的总数为.15．定义:如果函数f(x)在[a,b]上存在x1,x2(a<x1<x2<b)满足f'(x1)=f'(x2)=f(b)-f(a)b-a,则称函数f(x)是[a,b]上的“中值函数”.已知函数f(x)=13x3-12x2+m是[0,m]上的“中值函数”,则实数m的取值范围是.16．设函数f(x)=exx+a(x-1)+b(a,b∈R)在区间[1,3]上总存在零点,则a2+b2的最小值为.三、解答题(共6题，共70分)17．已知数列{a n}的各项均为正数,S n为其前n项和,且4S n=a n2+2a n-3.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若T n=a1+1S1−a3+1S3+a5+1S5-…+(-1)n+1a2n-1+1S2n-1,比较T n与1的大小.18．已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2a sin(C+π6)=b+c.(1)求角A的大小;(2)若a=√7,BA⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ =-3,角A的平分线交边BC于点T,求AT的长.19．垃圾是人类生产和生活中产生的废弃物,由于排出量大,成分复杂多样,且具有污染性,因此需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量,采用简单随机抽样的方法抽取20个镇进行分析,得到样本数据(x i,y i)(i=1,2,…,20),其中x i和y i分别表示第i个镇的人口(单位:万人)和该镇年垃圾产生总量(单位:吨),并计算得∑i=120x i=80,∑i=120y i=4 000,∑i=120(x i-x¯)2=80,∑i=120(y i-y¯)2=8 000,∑i=120(x i-x¯)(y i-y¯)=700.(1)请用相关系数说明该组数据中y与x之间的线性相关程度;(2)求y关于x的线性回归方程;(3)某机构有两款垃圾处理机器,其中甲款机器每台售价100万元,乙款机器每台售价80万元,下表是这两款垃圾处理机器的使用年限(整年)统计表:根据以往经验可知,某镇每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元,若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限(使用年限均为整年),以频率估计概率,该镇选择购买哪一款垃圾处理机器更划算?参考公式:相关系数r=∑i=1n(x i-x¯)(y i-y¯)√∑i=1(x i-x¯)2∑i=1(y i-y¯)2,对于一组具有线性相关关系的数据(x i,y i)(i=1,2,…,n),其回归直线y^=b^x+a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^=∑i=1nx i y i−nx-y-∑i=1nx i2−nx-2，a^=y-−b^x-.20．如图,已知各棱长均为2的直三棱柱ABC-A1B1C1中,E为AB的中点.(1)求证:BC1∥平面A1EC;(2)求点B1到平面A1EC的距离.21．已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为2√2.(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点S(-13,0)的动直线l交椭圆C于A,B两点,试问:在x轴上是否存在一个定点T,使得无论直线l如何转动,以AB为直径的圆恒过点T?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.22．已知函数f(x)=lnx,g(x)=-12x.(1)令F(x)=ax·f(x)-2x2·g(x),讨论F(x)的单调性;(2)设φ(x)=f(x)x-g(x),若在(√e,+∞)上存在x1,x2(x1≠x2)使不等式|φ(x1)-φ(x2)|≥k|lnx1-lnx2|成立,求k的取值范围.第3页共4页◎第4页共4页参考答案1.D【解析】解法一 因为A ={x ||x |≤3}={x |-3≤x ≤3},(题眼)(方法点拨:含有一个绝对值的不等式的解法口诀是“大于在两边,小于在中间”,即|x |≤a 的解集是{x |-a ≤x ≤a },|x |≥a 的解集是{x |x ≤-a 或x ≥a })B ={x |x ≤2},所以A ∩B ={x |-3≤x ≤2},故选D.解法二 因为3∉B ,所以3∉(A ∩B ),故排除A,B;因为-3∈A 且-3∈B ,所以-3∈(A ∩B ),故排除C.故选D. 【备注】无 2.B【解析】解法一 z =4-3i 2-i=(4-3i)(2+i)(2-i)(2+i)=11-2i 5=115−25i,所以|z |=√(115)2+(-25)2=√5,(题眼)故选B.解法二 |z |=|4-3i2-i |=|4-3i||2-i|=√42+(-3)2√22+(-1)2=√5=√5,故选B.(方法总结:若z 1,z 2∈C ,则|z 1z 2|=|z 1|·|z 2|,|z1z 2|=|z 1||z 2|(|z 2|≠0)) 【备注】无3.A【解析】解法一 由sin x =1,得x =2k π+π2(k ∈Z ),则cos (2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又由cosx =0,得x =k π+π2(k ∈Z ),而sin(k π+π2)=1或-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,(判断充分、必要条件应分三步:(1)确定条件是什么,结论是什么;(2)尝试从条件推结论(充分性),从结论推条件(必要性);(3)确定条件和结论是什么关系)故选A.解法二 由sin x =1,得x =2k π+π2 (k ∈Z ),则cos(2k π+π2)=cos π2=0,故充分性成立;又cos 3π2=0,sin 3π2=-1,故必要性不成立.所以“sin x =1”是“cos x =0”的充分不必要条件,故选A. 【备注】无 4.A【解析】由题可知,数列{a n }是首项为29、公比为12的等比数列,所以S n =29[1-(12)n ]1-12=210-210-n,T n =29×28×…×210-n=29+8+…+(10-n )=2n(19-n)2,由T n >S n ,得2n(19-n)2>210-210-n,由n(19-n)2≥10,可得n 2-19n +20≤0,结合n ∈N *,可得2≤n ≤17,n ∈N *.当n =1时,S 1=T 1,不满足题意;当n ≥18时,n(19-n)2≤9,T n ≤29,S n =210-210-n>210-1>29,所以T n <S n ,不满足题意.综上,使得T n >S n 成立的n 的最大正整数值为17. 【备注】无 5.B【解析】依题意,1=a 2+b 2-2a ·b =1+1-2a ·b ,故a ·b =12,所以(a -b )·(b -c )=a ·b -b 2-(a -b )·c =(b -a )·c -12=|b -a ||c |·cos<b -a ,c >-12≤1-12=12,当且仅当b -a 与c 同向时取等号.所以(a -b )·(b -c )的最大值为12.故选B.【备注】无 6.D【解析】由已知可得∠xOP =∠P 0OP -∠P 0Ox =π2t -π3,所以由三角函数的定义可得y =3sin∠xOP =3sin(π2t -π3),故选D.【备注】无 7.B【解析】本题主要考查古典概型、排列与组合等知识,考查的学科素养是理性思维、数学应用. “礼、乐、射、御、书、数”六节课程不考虑限制因素有A 66=720(种)排法,其中“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排课方法可以分两类:①“数”排在第一节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 41A 22A 33=48(种)排法;②“数”排在第二节,“礼”和“乐”两门课程相邻排课,则有C 31A 22A 33=36(种)排法.(方法总结:解决排列组合问题常以元素(或位置)为主体,即先满足特殊元素(或位置),再考虑其他元素(或位置))故“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的排法共有48+36=84(种),所以“数”排在前两节,“礼”和“乐”相邻排课的概率P =84720=760,故选B. 【备注】无 8.C【解析】解法一 由已知可得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.在平面ACC 1A 1内,过点C 1作C 1H ⊥PC ,垂足为H ,如图.由CC 1⊥底面ABC ,可得CC 1⊥BC ,因为AC ⊥BC ,AC ∩CC 1=C ,所以BC ⊥平面ACC 1A 1,所以BC ⊥C 1H ,又C 1H ⊥PC ,PC ∩BC =C ,所以C 1H ⊥平面PBC ,连接BH ,故∠C 1BH 就是直线BC 1与平面PBC 所成的角.在矩形ACC 1A 1中,CP =√CA 2+AP 2=√42+22=2√5,sin∠C 1CH =cos∠PCA =AC CP =2√5=√5=C 1H CC 1=C 1H 3,故C 1H =3×√5=√5.故在△BC 1H中,sin∠C 1BH =C 1HBC 1=√53√2=√105,所以直线BC 1与平面PBC 所成角的正弦值等于√105.故选C.解法二 由已知得AA 1⊥底面ABC ,且AC ⊥BC ,所以V A -PBC =V P -ABC =13×S △ABC ×PA =13×12×3×4×PA =4,解得PA =2.如图,以C 为坐标原点,分别以CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,C C_1的方向为x ,y ,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则C (0,0,0),P (0,4,2),B (3,0,0),C 1(0,0,3),则CB⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,4,2),B ⃗ C_1=(-3,0,3).设平面BCP 的法向量为n =(x ,y ,z ),则由{n ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⊥CP⃗⃗⃗⃗ 可得{n·CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3x =0,n·CP ⃗⃗⃗⃗ =4y +2z =0,即{x =0,2y +z =0,得x =0,令y =1,得z =-2,所以n =(0,1,-2)为平面BCP 的一个法向量.设直线BC 1与平面PBC 所成的角为θ,则sin θ=|cos<n ,B ⃗ C_1>|=|n·B⃗⃗ C_1||n||B⃗⃗ C_1|=√(-3)2+32×√12+(-2)2=√105.故选C.【备注】求直线与平面所成角的方法:(1)定义法,①作,在直线上选取恰当的点向平面引垂线,确定垂足的位置是关键;②证,证明所作的角为直线与平面所成的角,证明的主要依据是直线与平面所成角的概念;③求,利用解三角形的知识求角.(2)向量法,sin θ=|cos<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n >|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·n||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||n|(其中AB 为平面α的斜线,n 为平面α的法向量,θ为斜线AB 与平面α所成的角).9.B【解析】本题主要考查集合以及自定义问题的解题方法；G =N,⊕为整数的加法时，对任意a,b ∈N ，都有a ⊕b ∈N ，取c =0，对一切a ∈G ，都有a ⊕c =c ⊕a =a ，G 关于运算⊕为“融洽集”. 【备注】无 10.D【解析】对于A,甲街道的测评分数的极差为98-75=23,乙街道的测评分数的极差为99-73=26,所以A 错误;对于B,甲街道的测评分数的平均数为75+79+82+84+86+87+90+91+93+9810=86.5,乙街道的测评分数的平均数为73+81+81+83+87+88+95+96+97+9910=88,所以B 错误;对于C,由题中表可知乙街道测评分数的众数为81,所以C 错误;对于D,甲街道的测评分数的中位数为86+872=86.5,乙街道的测评分数的中位数为87+882=87.5,所以乙的中位数大,所以D 正确. 故选D. 【备注】无 11.A【解析】本题考查函数的图象与性质,数形结合思想的应用,考查考生分析问题、解决问题的能力. 解法一 易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,显然x ≠-3,当x ≠0且x ≠−3时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得a =|x|x 3+3x 2,设g (x )=|x|x 3+3x 2,则g (x )的图象与直线y =a 有3个不同的交点.当x >0时,g (x )=1x 2+3x ,易知g (x )在(0,+∞)上单调递减,且g (x )∈(0,+∞).当x <0且x ≠-3时,g (x )=-1x 2+3x,g'(x )=2x+3(x 2+3x)2,令g'(x )>0,得-32<x <0,令g'(x )<0,得−3<x <−32或x <−3,所以函数g (x )在(−∞,−3)和(−3,−32)上单调递减,在(−32,0)上单调递增,且当x 从左边趋近于0和从右边趋近于−3时,g (x )→+∞,当x 从左边趋近于-3时,g (x )→−∞,当x →−∞时,g (x )→0,可作出函数g (x )的大致图象,如图所示,由图可知,a >49.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).解法二 易知x =0是方程|x |-a (x 3+3x 2)=0的一个根,当x ≠0时,由|x |-a (x 3+3x 2)=0,得1|x|=a (x +3),则该方程有3个不同的根.在同一坐标系内作出函数y =1|x|和y =a (x +3)的图象,如图所示.易知a >0,当y =a (x +3)与曲线y =1|x|的左支相切时,由-1x=a (x +3)得ax 2+3ax +1=0,Δ=(3a )2-4a =0,得a =49.由图可知,当a >49时,直线y =a (x +3)与曲线y =1|x|有3个不同的交点,即方程1|x|=a (x +3)有3个不同的根.综上,实数a 的取值范围是(49,+∞).【备注】【方法点拨】利用方程的根或函数零点求参数范围的方法及步骤:(1)常规思路:已知方程的根或函数的零点个数,一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数,这时图象一定要准确,这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题.(2)常用方法:①直接法——直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数范围;②分离参数法——先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;③数形结合法——先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.(3)一般步骤:①转化——把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况;②列式——根据零点存在性定理或结合函数图象列式;③结论——求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围 12.B【解析】因为圆x 2+y 2=a 2与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ,所以∠A 1MA 2=90°,tan∠MOA 2=ba,所以∠PMA 2=90°.因为△MPA 2是等腰三角形,所以∠MA 2P =45°.因为∠PA 2M 的平分线与y 轴平行,所以∠OA 2M =∠PA 2x ,又∠OA 2M +∠A 2MO +∠MOA 2=180°,∠OA 2M =∠A 2MO ,所以∠MOA 2=∠MA 2P =45°,(题眼)所以b a=tan∠MOA 2=1,所以C 的离心率e =c a =√a 2+b 2a 2=√1+b 2a 2=√2.故选B.【备注】无 13.1【解析】二项式(x +1x )8的展开式中,含x 6的项为C 81x 7(1x )1=8x 6,含x 8的项为C 80x 8(1x )0=x 8,所以(x 2+a )(x +1x)8的展开式中,x 8的系数为8+a =9,解得a =1.【备注】无 14.220【解析】根据题目中已给模型类比和联想,得出第一层、第二层、第三层、…、第十层的酒坛数,然后即可求解.每一层酒坛按照正三角形排列,从上往下数,最上面一层的酒坛数为1,第二层的酒坛数为1+2,第三层的酒坛数为1+2+3,第四层的酒坛数为1+2+3+4,…,由此规律,最下面一层的酒坛数为1+2+3+…+10,所以酒坛的总数为1+(1+2)+(1+2+3)+…+(1+2+3+…+10)=1+3+6+…+55=220. 【备注】无 15.(34,32)【解析】由题意,知f '(x )=x 2-x 在[0,m ]上存在x 1,x 2(0<x 1<x 2<m ),满足f '(x 1)=f '(x 2)=f(m)-f(0)m=13m 2-12m ,所以方程x 2-x =13m 2-12m 在(0,m )上有两个不相等的解.令g (x )=x 2-x-13m 2+12m (0<x <m ),则{Δ=1+43m 2-2m >0,g(0)=-13m 2+12m >0,g(m)=23m 2-12m >0,解得34<m <32.【备注】无16.e 48 【解析】设x 0为函数f (x )在区间[1,3]上的零点,则e x 0x 0+a (x 0-1)+b =0,所以点(a ,b )在直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0上,(题眼)而a 2+b 2表示坐标原点到点(a ,b )的距离的平方,其值不小于坐标原点到直线(x 0-1)x +y +e x 0x 0=0的距离的平方,(名师点拨:直线外一点到直线上的点的距离大于等于该点到直线的距离)即a 2+b 2≥e 2x 0x 02(x 0-1)2+12=e 2x 0x 04-2x 03+2x 02.令g (x )=e 2xx 4-2x 3+2x 2,x ∈[1,3],则g'(x )=2e 2x (x 4-2x 3+2x 2)-e 2x (4x 3-6x 2+4x)(x 4-2x 3+x 2)2=2x(x-1)2(x-2)e 2x (x 4-2x 3+x 2)2,则当1≤x <2时,g'(x )<0,当2<x ≤3时,g'(x )>0,所以函数g (x )在区间[1,2)上单调递减,在区间(2,3]上单调递增,所以g (x )min =g (2)=e 48,所以a 2+b 2≥e 48,所以a 2+b 2的最小值为e 48. 【备注】无17.解:(1)令n =1,则4a 1=a 12+2a 1-3,即a 12-2a 1-3=0,解得a 1=-1(舍去)或a 1=3.因为4S n =a n 2+2a n -3 ①,所以4S n +1=a n+12+2a n +1-3 ②,②-①,得4a n +1=a n+12+2a n +1-a n 2-2a n ,整理得(a n +1+a n )(a n +1-a n -2)=0, 因为a n >0,所以a n +1-a n =2,所以数列{a n }是首项为3、公差为2的等差数列,所以a n =3+(n -1)×2=2n +1.(2)由(1)可得,S n =(n +2)n ,a 2n -1=4n -1,S 2n -1=(2n +1)(2n -1), 所以a 2n-1+1S 2n-1=4n (2n+1)(2n-1)=12n-1+12n+1.当n 为偶数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…-(12n-1+12n+1) =1-12n+1<1; 当n 为奇数时,a 1+1S 1−a 3+1S 3+a 5+1S 5-…+(-1)n+1a 2n-1+1S 2n-1=(1+13)-(13+15)+(15+17)-…+(12n-1+12n+1)=1+12n+1>1.综上,当n 为偶数时,T n <1;当n 为奇数时,T n >1. 【解析】无 【备注】无 18.无【解析】(1)由已知及正弦定理,得2sin A sin(C +π6)=sin B +sin C ,所以sin A cos C +√3sin A sin C =sinB +sin C.(有两角和或差的正弦(余弦)形式,并且其中有一个角是特殊角时,常常将其展开) 因为A +B +C =π,所以sin B =sin(A +C ),所以sin A cos C +√3sin A sin C =sin(A +C )+sin C ,则sin A cos C +√3sin A sin C =sin A cos C +cos A sin C +sin C ,即√3sin A sin C =sin C cos A +sin C.因为sin C ≠0,所以√3sin A =cos A +1,即sin(A -π6)=12. 因为0<A <π,所以A =π3.(2)由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3可知cb cos 2π3=-3,因此bc =6. 由a 2=b 2+c 2-2bc cos∠BAC =(b +c )2-2bc -bc =7,可得b +c =√7+3×6=5. 由S △ABC =S △ABT +S △ACT 得,12bc sin π3=12c ·AT ·sin π6+12b ·AT ·sin π6,(与角平分线相关的问题,常常利用三角形的面积来解决)因此AT =bcsinπ3(b+c)sinπ6=6×√325×12=6√35. 【备注】无19.解:(1)由题意知,相关系数r =∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)√∑i=1(x i -x ¯)2∑i=1(y i -y ¯)2=√80×8 000=78=0.875, 因为y 与x 的相关系数接近于1,所以y 与x 之间具有较强的线性相关关系.(2)由题意可得,b ^=∑i=120(x i -x ¯)(y i -y ¯)∑i=120(x i-x ¯)2=70080=8.75,a ^=y -−b ^x -=4 00020-8.75×8020=200-8.75×4=165,所以y ^=8.75x +165.(将变量x ,y 的平均值代入线性回归方程,求得a ^)(3)以频率估计概率,购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用X (单位:万元)的分布列为E (X )=-50×0.1+0×0.4+50×0.3+100×0.2=30(万元).购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用Y (单位:万元)的分布列为E (Y )=-30×0.3+20×0.4+70×0.2+120×0.1=25(万元).因为E (X )>E (Y ),所以该镇选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.(根据已知数据,分别计算随机变量X 和Y 的分布列、期望,期望越大,说明节约费用的平均值越大,也就越划算)【解析】本题主要考查变量相关性分析、线性回归方程的求解、概率的计算以及随机变量期望的意义和求法,考查的学科素养是理性思维、数学应用.第(1)问,由已知数据,代入相关系数公式,求得相关系数r 即可判断x 和y 的相关程度;第(2)问,根据最小二乘估计公式,求得b ^,a ＾的值,从而确定y 关于x 的线性回归方程;第(3)问,根据统计数据计算随机变量X 和Y 的分布列,并分别求期望,由期望的意义可知,数值越大表示节约的垃圾处理费用的平均值越大,从而确定购买哪一款垃圾处理机器. 【备注】无20.(1)如图,连接AC 1交A 1C 于点O ,连接OE ,则BC 1∥OE.(题眼)BC 1∥OEOE ⊂平面A 1EC BC 1⊄平面A 1EC }⇒BC 1∥平面A 1EC.(运用直线与平面平行的判定定理时,关键是找到平面内与已知直线平行的直线)(2)如图,连接A 1B ,则V A 1-ACE =12V A 1-ABC =12×13V ABC-A 1B 1C 1=12×13×√34×22×2=√33.(题眼) 根据直三棱柱的性质,易得A 1A ⊥平面ABC ,因为CE ⊂平面ABC ,所以AA 1⊥CE .因为E 为AB 的中点,△ABC 为正三角形,所以CE ⊥AB. 又AA 1∩AB =A ,AA 1,AB ⊂平面ABB 1A 1,所以CE ⊥平面ABB 1A 1, 因为A 1E ⊂平面ABB 1A 1,所以A 1E ⊥CE .在Rt△A 1CE 中,A 1E ⊥CE ,A 1C =2√2,A 1E =√5,EC =√3,所以S △A 1CE =12×√5×√3=√152. 设点A 到平面A 1EC 的距离为h ,则点B 1到平面A 1EC 的距离为2h .因为V A 1-ACE =V A-A 1CE =13×S △A 1CE ×h ,(点到平面的距离可转化为几何体的体积问题,借助等体积法来解决.等体积法:轮换三棱锥的顶点,体积不变;利用此特性,把三棱锥的顶点转换到易于求出底面积和高的位置是常用方法) 所以h =2√55,即点A 到平面A 1EC 的距离为2√55, 因此点B 1到平面A 1EC的距离为4√55.【解析】无【备注】高考文科数学对立体几何解答题的考查主要设置两小问:第(1)问通常考查空间直线、平面间的位置关系的证明;第(2)问通常考查几何体体积的计算,或利用等体积法求点到平面的距离.21.解:(1)由椭圆的定义可得2a =2√2,则a =√2, ∵椭圆C 的离心率e =ca =√22,∴c =1,则b =√a 2-c 2=1,∴椭圆C 的标准方程为y 22+x 2=1.(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),(由于存在直线l 与x 轴重合的情形,故需进行分类讨论) 由{x =my-13y 22+x 2=1消去x 并整理,得(18m 2+9)y 2-12my -16=0,Δ=144m 2+64(18m 2+9)=144(9m 2+4)>0恒成立,则y 1+y 2=12m 18m 2+9=4m 6m 2+3,y 1y 2=-1618m 2+9. 由于以AB 为直径的圆恒过点T ,则TA ⊥TB ,TA⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13,y 1),TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 2-t -13,y 2), 则TA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(my 1-t -13)(my 2-t -13)+y 1y 2 =(m 2+1)y 1y 2-m (t +13)(y 1+y 2)+(t +13)2=-16(m 2+1)-m(t+13)×12m18m 2+9+(t +13)2=(t +13)2-(12t+20)m 2+1618m 2+9=0,∵点T 为定点,∴t 为定值,∴12t+2018=169,(分析式子结构,要使此式子的取值与m 无关,必须要将含有m 的相关代数式约去,通常采用分子与分母的对应项成比例即可解决) 解得t =1,此时TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(43)2-169=0,符合题意. 当直线l 与x 轴重合时,AB 为椭圆C 的短轴,易知以AB 为直径的圆过点(1,0).综上所述,存在定点T (1,0),使得无论直线l 如何转动,以AB 为直径的圆恒过定点T .【解析】本题主要考查椭圆的定义及几何性质、直线与椭圆的位置关系,考查的学科素养是理性思维、数学探索.(1)首先由椭圆的定义求得a 的值,然后根据离心率的公式求得c 的值,从而求得b 的值,进而得到椭圆C 的标准方程;(2)当直线l 不与x 轴重合时,设直线l 的方程为x =my -13,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),T (t ,0),与椭圆方程联立,得到y 1+y 2,y 1y 2,由题意得出TA⃗⃗⃗⃗⃗ ·TB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,然后根据平面向量数量积的坐标运算及T 为定点求得t 的值,当直线l 与x 轴重合时,验证即可,最后可得出结论. 【备注】无22.(1)∵F (x )=ax ·f (x )-2x 2·g (x ),∴F (x )=x +ax ·ln x , ∴F'(x )=1+a +a ln x .①当a =0时,F (x )=x ,函数F (x )在(0,+∞)上单调递增;②当a >0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递增,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )<0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )>0,所以当a >0时,F (x )在(0,e -1-1a )上单调递减,在(e-1-1a,+∞)上单调递增;③当a <0时,函数F'(x )=1+a +a ln x 在(0,+∞)上单调递减,令F'(x )=1+a +a ln x =0,得x =e-1-1a>0,∴当x ∈(0,e -1-1a )时,F'(x )>0,当x ∈(e -1-1a ,+∞)时,F'(x )<0,∴F (x )在(0,e -1-1a )上单调递增,在(e -1-1a ,+∞)上单调递减. (2)由题意知,φ(x )=lnx x+12x,∴φ'(x )=1-lnx x 2−12x 2=1-2lnx 2x 2,令φ'(x )=0,得x =√e ,∴x >√e时,φ'(x )<0,∴φ(x )在(√e ,+∞)上单调递减.不妨设x 2>x 1>√e ,则φ(x 1)>φ(x 2),则不等式|φ(x 1)-φ(x 2)|≥k |ln x 1-ln x 2|等价于φ(x 1)-φ(x 2)≥k (ln x 2-ln x 1),即φ(x 1)+k ln x 1≥φ(x 2)+k ln x 2.令m (x )=φ(x )+k ln x ,则m (x )在(√e ,+∞)上存在单调递减区间, 即m'(x )=φ'(x )+kx=-2lnx+2kx+12x 2<0在(√e ,+∞)上有解,即-2ln x +2kx +1<0在(√e ,+∞)上有解,即在(√e ,+∞)上,k <(2lnx-12x)max .令n (x )=2lnx-12x(x >√e ),则n'(x )=3-2lnx 2x 2(x >√e ),由 n'(x )=0得x =e 32, ∴函数n (x )=2lnx-12x在(√e ,e 32)上单调递增,在(e 32,+∞)上单调递减.∴n (x )max =n (e 32)=2ln e 32-12e 32=e -32,∴k <e -32.故k 的取值范围为(-∞,e -32).【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性和最值,考查分类讨论思想、化归与转化思想的灵活应用,考查考生的运算求解能力以及运用所学知识分析问题和解决问题的能力.(1)通过对函数求导,对参数进行分类讨论,来讨论函数的单调性;(2)依据函数的单调性将不等式转化为函数存在单调递减区间,最后转化为函数的最值问题来解决.【备注】【素养落地】本题将函数、不等式等知识融合起来,借助导数研究函数的性质,考查逻辑推理、数学运算等核心素养.【技巧点拨】解决本题第(2)问的关键是化归与转化思想的应用,先利用函数的单调性将不等式转化为φ(x1)+k ln x1≥φ(x2)+k ln x2,然后根据式子的结构特征构造函数m(x)=φ(x)+k ln x,将m(x)在(√e,+∞))max.上存在单调递减区间转化为m'(x)<0在(√e,+∞)上有解,进而转化为k<(2lnx-12x。
