【步步高 学案导学设计】-学年高中数学(人教a版,必修二)第2章 习题课 课时作业]

§1.3 导数在研究函数中的应用1．3.1 函数的单调性与导数一、基础过关1． 命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2． 函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞)3． 函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，其中a ，b ，c 为实数，当a 2－3b <0时，f (x )是( ) A ．增函数B ．减函数C ．常数D ．既不是增函数也不是减函数4． 下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e 2C ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x 5． 函数y ＝f (x )在其定义域⎝⎛⎭⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为________．6．函数y ＝x －2sin x 在(0,2π)内的单调递增区间为______．7．已知函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，试画出函数y ＝ f (x )的大致图象．二、能力提升8． 如果函数f (x )的图象如图，那么导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( ) 9． 设f (x )，g (x )在[a ，b ]上可导，且f ′(x )>g ′(x )，则当a <x <b 时，有( ) A ．f (x )>g (x )B ．f (x )<g (x )C．f(x)＋g(a)>g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)10．函数y＝ax3－x在R上是减函数，则a的取值范围为________．11．求下列函数的单调区间：(1)y＝x－ln x；(2)y＝12x.12．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．三、探究与拓展13．已知函数f(x)＝mx3＋nx2(m、n∈R，m≠0)，函数y＝f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行．(1)用关于m的代数式表示n；(2)求函数f(x)的单调增区间．答案1．A 2．D 3．A 4．B5.⎣⎡⎦⎤－13，1∪[2,3) 6.⎝⎛⎭⎫π3，5π37．解 由y ＝f ′(x )的图象可以得到以下信息：x <－2或x >2时，f ′(x )<0，－2<x <2时，f ′(x )>0，f ′(－2)＝0，f ′(2)＝0.故原函数y ＝f (x )的图象大致如下：8．A 9．C10．a ≤011．解 (1)函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝1－1x， 由y ′>0，得x >1；由y ′<0，得0<x <1.∴函数y ＝x －ln x 的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0,1)．(2)函数的定义域为{x |x ≠0}，y ′＝－12x 2， ∵当x ≠0时，y ′＝－12x 2<0恒成立． ∴函数y ＝12x的单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，没有单调增区间． 12．解 (1)由y ＝f (x )的图象经过点P (0,2)，知d ＝2，∴f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋2，f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c .由在点M (－1，f (－1))处的切线方程为6x －y ＋7＝0，知－6－f (－1)＋7＝0，即f (－1)＝1，f ′(－1)＝6.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2b ＋c ＝6－1＋b －c ＋2＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧2b －c ＝－3b －c ＝0解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.(2)f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x)>0，得x<1－2或x>1＋2；令f′(x)<0，得1－2<x<1＋ 2.故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为(－∞，1－2)和(1＋2，＋∞)，单调递减区间为(1－2，1＋2)．13．解(1)由已知条件得f′(x)＝3mx2＋2nx，又f′(2)＝0，∴3m＋n＝0，故n＝－3m.(2)∵n＝－3m，∴f(x)＝mx3－3mx2，∴f′(x)＝3mx2－6mx.令f′(x)>0，即3mx2－6mx>0，当m>0时，解得x<0或x>2，则函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，解得0<x<2，则函数f(x)的单调增区间是(0,2)．综上，当m>0时，函数f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)；当m<0时，函数f(x)的单调增区间是(0,2)．。

习题课一、基础过关1． 函数f (x )＝x cos x 的导函数f ′(x )在区间[－π，π]上的图象大致是 ( ) 2． 函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B ．(π，2π) C.⎝⎛⎭⎫3π2，5π2D ．(2π，3π)3． 已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)4． 函数y ＝f (x )的图象如下图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是 ( )5．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上单调递增，则a 的最大值为________． 6．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在[－2,1]上的最大值为92，则m ＝________.二、能力提升7． 已知函数f (x )、g (x )均为[a ，b ]上的可导函数，在[a ，b ]上连续且f ′(x )<g ′(x )，则f (x )－g (x )的最大值为( )A ．f (a )－g (a )B ．f (b )－g (b )C ．f (a )－g (b )D ．f (b )－g (a )8． 已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0时，有f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时，有( )A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )<0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )<09．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的交点，则a 的取值范围是________． 10．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x ＋6，若x ＝3是f (x )的一个极值点，求f (x )在[0，a ]上的最值． 11．设函数f (x )＝x ＋ax 2＋b ln x ，曲线y ＝f (x )过P (1,0)，且在P 点处的切线斜率为2.(1)求a ，b 的值； (2)证明：f (x )≤2x －2. 三、探究与拓展12．已知a ∈R ，函数f (x )＝(－x 2＋ax )e x (x ∈R )．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．答案1．A 2．B 3．A 4．D 5．3 6．27．A 8．B 9．(－2,2)10．解 f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3，由已知得f ′(3)＝0， ∴3×9－6a ＋3＝0.∴a ＝5， ∴f (x )＝x 3－5x 2＋3x ＋6. 令f ′(x )＝3x 2－10x ＋3＝0， 得x 1＝13，x 2＝3.则x ，f ′(x )，f (x )的变化关系如下表.∴f (x )在[0,5]上的最大值为f (5)＝21， 最小值为f (3)＝－3. 11．(1)解 f ′(x )＝1＋2ax ＋bx.由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝0，f ′(1)＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＝0，1＋2a ＋b ＝2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.(2)证明 因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知f (x )＝x －x 2＋3ln x . 设g (x )＝f (x )－(2x －2) ＝2－x －x 2＋3ln x ， 则g ′(x )＝－1－2x ＋3x＝－(x －1)(2x ＋3)x.当0<x <1时，g ′(x )>0，当x >1时， g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)内单调递增， 在(1，＋∞)内单调递减．而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0， 即f (x )≤2x －2.12．解 当a ＝2时，f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，f ′(x )＝(－x 2＋2)e x .当f ′(x )>0时，(－x 2＋2)e x >0， 注意到e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x < 2.所以，函数f (x )的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)． (2)因为函数f (x )在(－1,1)上单调递增， 所以f ′(x )≥0在(－1,1)上恒成立． 又f ′(x )＝[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ， 即[－x 2＋(a －2)x ＋a ]e x ≥0， 注意到e x >0，因此－x 2＋(a －2)x ＋a ≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a ≥x 2＋2x x ＋1＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上恒成立．设y ＝x ＋1－1x ＋1，则y ′＝1＋1(x ＋1)2>0，即y ＝x ＋1－1x ＋1在(－1,1)上单调递增，则y <1＋1－11＋1＝32，故a ≥32.。

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、选择题 1．异面直线是指( )A ．空间中两条不相交的直线B ．分别位于两个不同平面内的两条直线C ．平面内的一条直线与平面外的一条直线D ．不同在任何一个平面内的两条直线2．若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b ⊥c ，则a 与c 的关系是( )A ．异面B ．平行C ．垂直D ．相交3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是( )A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．正方体的一条对角线与正方体的棱可组成n 对异面直线，则n 等于( )A ．2B ．3C ．6D ．125. 过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 作直线L ，使L 与棱AB ，AD ，AA 1所成的角都相等，这样的直线L 可以作( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条6. 如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )二、填空题7．空间两个角α、β，且α与β的两边对应平行且α＝60°，则β为________．8．已知正方体ABCD—A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为________；(2)AD与BC′所成的角为________．9. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论中正确结论的序号为________．三、解答题10．空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别是BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小．11．已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD、AD的中点．求证：(1)四边形MNA1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.四、探究与拓展12．已知正四棱锥S－ABCD(底面为正方形，顶点在底面的射影为底面的中心)的侧棱长与底面边长都相等，E为SB的中点，求AE、SD所成角的余弦值．答案1．D 2.C 3.B 4.C 5.D 6.D7．60°或120° 8.(1)60° (2)45° 9．①③ 10.15°或75° 11. 证明 (1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M 、N 分别是CD 、AD 的中点， ∴MN 是三角形的中位线， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1. ∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1， 又因为ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.12. 解 如图所示，连接AC 、BD ，设其交点为O ，连接EO ， 依题意，EO 綊12SD ，∴∠AEO 或其补角为AE ，SD 所成的角， 设AB ＝SA ＝2a ， 在正△SAB 中， AE ＝AB 2－BE 2＝3a ，又∵EO ＝a ，AO ＝2a ， ∴AE 2＝AO 2＋OE 2，∴∠AOE ＝90°.在Rt △AEO 中， ∴cos ∠AEO ＝EO AE ＝a 3a ＝33.∴AE 与SD 所成角的余弦值为33.。

《步步高学案导学设计》2021-2022学度高中数学人教A版1-2(配套备课资源)第1章章末检测一、选择题1．下列语句表示的事件中的因素不具有相关关系的是()A．瑞雪兆丰年B．名师出高徒C．吸烟有害健康D．喜鹊叫喜，乌鸦叫丧2．下列结论正确的是()①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回来分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回来分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④3．独立性检验中，假设H0：变量X与变量Y没有关系，则在H0成立的情形下，P(K2≥6.635)≈0.010表示的意义是()A．变量X与变量Y有关系的概率为1%B．变量X与变量Y有关系的概率为99.9%C．变量X与变量Y没有关系的概率为99%D．变量X与变量Y有关系的概率为99%4．下表是某厂由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回来方程是y^＝－0.7x＋a^，则a^等于()A．10.5 B．5.15 C．5.2 D．5.255．下列说法：①在残差图中，残差点比较平均地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适；②用相关指数能够刻画回来的成效，值越小说明模型的拟合成效越好；③比较两个模型的拟合成效，能够比较残差平方和大小，残差平方和越小的模型拟合成效越好．其中说法正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③6．若线性回来方程为y^＝2－3.5x，则变量x增加一个单位，变量y 平均()A．减少3.5个单位B．增加2个单位C．增加3.5个单位D．减少2个单位7．依照一位母亲记录亲小孩3～9岁的身高数据，建立亲小孩身高(单位：cm)对年龄(单位：岁)的线性回来方程y^＝7.19x＋73.93，用此方程推测亲小孩10岁的身高，有关叙述正确的是A．身高一定为145.83 cmB．身高大于145.83 cmC．身高小于145.83 cmD．身高在145.83 cm左右8．下列关于残差图的描述错误的是()A．残差图的横坐标能够是编号B．残差图的横坐标能够是说明变量和预报变量C．残差点分布的带状区域的宽度越窄相关指数越小D．残差点分布的带状区域的宽度越窄残差平方和越小9．下列是x与y之间的一组数据则y 关于x 的回来方程y ＝b x ＋a ，对应的直线必过点( )A ．(32，4) B ．(32，2) C ．(2,2)D ．(1,2)10．在两个学习基础相当的班级实行某种教学措施的实验，测试结果见下表，则在犯错误的概率不超过0.005的前提下推断实验成效与教学措施A.有关 B ．无关 C ．关系不明确D ．以上都不正确二、填空题11．考古学家通过始祖鸟化石标本发觉：其股骨长度x(cm)与肱骨长度y(cm)的线性回来方程为y^ ＝1.197x －3.660，由此估量，当股骨长度为50 c m 时，肱骨长度的估量值为_____ cm.12．许多因素都会阻碍贫穷，教育也许是其中之一．在研究这两个因素的关系时，收集了美国50个州的成年人受过9年或更少教育的百分比(x)和收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比(y)的数据，建立的线性回来方程为y^ ＝0.8x ＋4.6.斜率的估量值为0.8说明__________．13．下面是一个2×则b －d ＝________.14．某调查者从调查中获知某公司近年来科研费用支出x(万元)与公司所获得利润y(万元)的统计资料如下表：则利润y 对科研费用支出x 的线性回来方程为________． 三、解答题15．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情形，随机抽取了100名观众进行调查．下面是依照调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时刻的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时刻不低于40分钟的观众称为“体育迷”． 依照已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？16．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时刻，为此作了4次试验，得到数据如下：(1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；(2)求y 关于x 的线性回来方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ ； (3)试推测加工10个零件需要的时刻．17．某校团对“学生性别与是否喜爱韩剧有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的12，男生喜爱韩剧的人数占男生人数的16，女生喜爱韩剧的人数占女生人数的23.若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜爱韩剧和性别有关，则男生至少有多少人？18．某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示：(1)假如随机抽查那个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一样的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是否有关系？说明理由．19．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下资料：该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回来方程，再对被选取的2组数据进行检验．(1)求选取的2组数据恰好是不相邻2天数据的概率；(2)若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请依照12月2日至12月4日的数据，求出y 关于x 的线性回来方程y ^ ＝b ^ x ＋a ^ ；(3)若由线性回来方程得到的估量数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回来方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回来方程是否可靠？答案1．D 2.C 3.D 4.D 5.C 6.A 7.D 8．C 9.A 10.A 11.56.19 12．美国一个地区的成年人受过9年或更少教育的百分比每增加1%，收入低于官方规定的贫困线的人数占本州人数的百分比将增加0.8%左右13．8 14.y^ ＝2x ＋2015．解 (1)由所给的频率分布直方图知，“体育迷”人数为100×(10×0.020＋10×0.005)＝25. “非体育迷”人数为75，则据题意完成2×2列联表：非体育迷 体育迷 合计 男 30 15 45 女 45 10 55 合计7525100将2×2列联表的数据代入公式运算：K2＝10030×10－45×15275×25×45×55≈3.030>2.706.因此在犯错误的概率不超过0.10的前提下能够认为“体育迷”与性别有关．16．解 (1)散点图如图所示：(2)x ＝2＋3＋4＋54＝3.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑4i ＝1xiyi ＝2×2.5＋3×3＋4×4＋5×4.5＝52.5， ∑4i ＝1x2i ＝4＋9＋16＋25＝54，∴b ^ ＝52.5－4×3.5×3.554－4×3.52＝0.7，a ^ ＝3.5－0.7×3.5＝1.05，∴所求线性回来方程为y^ ＝0.7x ＋1.05.(3)当x ＝10时，y^ ＝0.7×10＋1.05＝8.05，∴推测加工10个零件需要8.05小时．17．解喜爱韩剧不喜爱韩剧总计男生 x 6 5x 6 x 女生 x 3 x 6 x 2 总计x 2x3x 2若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜爱韩剧和性别有关，则k>3.841， 由k ＝3x 2x 6×x 6－5x 6×x 32x ·x 2·x2·x＝38x>3.841，解得x>10.24，∵x 2，x 6为整数，∴若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为是否喜爱韩剧和性别有关，则男生至少有12人．18．解 (1)随机抽查那个班的一名学生，有50种不同的抽查方法，由于积极参加班级工作的学生有18＋6＝24人，因此抽到积极参加工作的学生有24种不同的抽法，因此由古典概型的运算公式可得抽到积极参加班级工作的学生的概率是P1＝2450＝1225，又因为不太主动参加班级工作且学习积极性一样的学生有19人，因此抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一样的学生的概率是P2＝1950.(2)由K2统计量的运算公式得K2＝50×18×19－6×7224×26×25×25≈11.538，由于11.538>10.828，因此有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系”．19．解 (1)设事件A 表示“选取的2组数据恰好是不相邻2天的数据”，则A 表示“选取的数据恰好是相邻2天的数据”．差不多事件总数为10，事件A 包含的差不多事件数为4.∴P(A )＝410＝25，∴P(A)＝1－P(A )＝35.(2)x ＝12，y ＝27，∑3i ＝1xiyi ＝977，∑3i ＝1x2i ＝434，∴b ^ ＝∑3i ＝1xiyi －3x y ∑3i ＝1x2i －3x 2＝977－3×12×27434－3×122＝2.5， a ^ ＝y －b ^ x ＝27－2.5×12＝－3， ∴y^ ＝2.5x －3.(3)由(2)知：当x＝10时，y^＝22，误差不超过2颗；当x＝8时，y^＝17，误差不超过2颗．故所求得的线性回来方程是可靠的．。

《步步高学案导学设计》2018-2019学度高中数学人教A版2-2【配套备课资源】第二章2【一】基础过关1．反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是()①与条件矛盾②与假设矛盾③与定义、公理、定理矛盾④与事实矛盾A、①②B、①③C、①③④D、①②③④2．否定：〝自然数a，b，c中恰有一个偶数〞时正确的反设为()A、a，b，c都是偶数B、a，b，c都是奇数C、a，b，c中至少有两个偶数D、a，b，c中都是奇数或至少有两个偶数3．有以下表达：①〝a>b〞的反面是〝a<b〞；②〝x＝y〞的反面是〝x>y或x<y〞；③〝三角形的外心在三角形外〞的反面是〝三角形的外心在三角形内〞；④〝三角形最多有一个钝角〞的反面是〝三角形没有钝角〞．其中正确的表达有()A、0个B、1个C、2个D、3个4．用反证法证明命题：〝a、b∈N，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除〞时，假设的内容应为()A、a，b都能被5整除B、a，b都不能被5整除C 、a ，b 不都能被5整除D 、a 不能被5整除5． 用反证法证明命题：〝假设整系数一元二次方程ax2＋bx ＋c ＝0有有理根，那么a ，b ，c 中存在偶数〞时，否定结论应为( )A 、a ，b ，c 都是偶数B 、a ，b ，c 都不是偶数C 、a ，b ，c 中至多一个是偶数D 、至多有两个偶数6．〝任何三角形的外角都至少有两个钝角〞的否定应是____________________________.7．用反证法证明命题〝假设a2＋b2＝0，那么a ，b 全为0(a 、b 为实数)〞，其反设为_________．【二】能力提升8． x1>0，x1≠1且xn ＋1＝xn ·x2n ＋33x2n ＋1(n ＝1,2，…)，试证：〝数列{xn}对任意的正整数n 都满足xn>xn ＋1”，当此题用反证法否定结论时应为( )A 、对任意的正整数n ，有xn ＝xn ＋1B 、存在正整数n ，使xn ＝xn ＋1C 、存在正整数n ，使xn ≥xn ＋1D 、存在正整数n ，使xn ≤xn ＋19． 设a ，b ，c 都是正数，那么三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A 、都大于2B 、至少有一个大于2C 、至少有一个不小于2D 、至少有一个不大于210．假设以下两个方程x2＋(a －1)x ＋a2＝0，x2＋2ax －2a ＝0中至少有一个方程有实根，那么实数a 的取值范围是________．11．a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd>1， 求证：a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．12．a ，b ，c ∈(0,1)，求证：(1－a)b ，(1－b)c ，(1－c)a 不可能都大于14. 【三】探究与拓展13．函数f(x)＝ax ＋x －2x ＋1(a>1)，用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．答案1．D 2．D 3．B 4．B 5．B6．存在一个三角形，其外角最多有一个钝角7．a ，b 不全为0 8．D 9．C10．a ≤－2或a ≥－111．证明 假设a ，b ，c ，d 都是非负数， 因为a ＋b ＝c ＋d ＝1，所以(a ＋b)(c ＋d)＝1，又(a ＋b)(c ＋d)＝ac ＋bd ＋ad ＋bc ≥ac ＋bd>1，这与上式相矛盾，所以a ，b ，c ，d 中至少有一个是负数．12．证明 假设三个式子同时大于14，即(1－a)b>14，(1－b)c>14，(1－c)a>14，三式相乘得(1－a)a ·(1－b)b ·(1－c)c>143，①又因为0<a<1，所以0<a(1－a)≤(a ＋1－a 2)2＝14.同理0<b(1－b)≤14，0<c(1－c)≤14，所以(1－a)a ·(1－b)b ·(1－c)c ≤143②①与②矛盾，所以假设不成立，故原命题成立．13．证明 假设方程f(x)＝0有负数根，设为x0(x0≠－1)． 那么有x0<0，且f(x0)＝0.∴ax0＋x0－2x0＋1＝0⇔ax0＝－x0－2x0＋1.∵a>1，∴0<ax0<1，∴0<－x0－2x0＋1<1.解上述不等式，得12<x0<2.这与假设x0<0矛盾． 故方程f(x)＝0没有负数根．。

《步步高 学案导学设计》2018-2019学度 高中数学 人教A 版2-2【配套备课资源】第一章 1【一】基础过关1． 函数f(x)＝－x2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( )A 、f(2)，f(3)B 、f(3)，f(5)C 、f(2)，f(5)D 、f(5)，f(3)2． f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A 、－2B 、0C 、2D 、4 3． 函数y ＝ln xx 的最大值为( )A 、e －1B 、eC 、e2 D.1034． 函数y ＝4xx2＋1在定义域内( )A 、有最大值2，无最小值B 、无最大值，有最小值－2C 、有最大值2，最小值－2D 、无最值 5． 函数y ＝－x2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，那么a 等于( )A 、－32 B.12C 、－12 D.12或－326．函数f(x)＝xex 的最小值为________．7． f(x)＝－x2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，那么m 的取值范围是________．【二】能力提升8． 设直线x ＝t 与函数f(x)＝x2，g(x)＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，那么当|MN|达到最小时t 的值为( )A 、1B.12C.52D.229．函数f(x)＝ex －2x ＋a 有零点，那么a 的取值范围是________． 10．函数f(x)＝2x3－6x2＋a 在[－2,2]上有最小值－37，求a 的值及f(x)在[－2,2]上的最大值．11．函数f(x)＝x3－ax2＋bx ＋c(a ，b ，c ∈R)．(1)假设函数f(x)在x ＝－1和x ＝3处取得极值，试求a ，b 的值； (2)在(1)的条件下，当x ∈[－2,6]时，f(x)<2|c|恒成立，求c 的取值范围． 12．函数f(x)＝x3＋ax2＋b 的图象在点P(1,0)处的切线与直线3x ＋y ＝0平行．(1)求a ，b ；(2)求函数f(x)在[0，t] (t>0)内的最大值和最小值． 【三】探究与拓展 13．函数f(x)＝(x －k)ex. (1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．答案1．B 2．C 3．A 4．C 5．C6．－1e7．[－4，－2] 8．D9．(－∞，2ln 2－2]10．解 f ′(x)＝6x2－12x ＝6x(x －2)， 令f ′(x)＝0，得x ＝0或x ＝2，当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴当x ＝－2时，f(x)min ＝－40＋a ＝－37，得a ＝3.当x ＝0时，f(x)的最大值为3. 11．解 (1)f ′(x)＝3x2－2ax ＋b ，∵函数f(x)在x ＝－1和x ＝3处取得极值，∴－1,3是方程3x2－2ax ＋b ＝0的两根． ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝23a －1×3＝b 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝－9.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x2－9x ＋c ，f ′(x)＝3x2－6x －9.当x 变化时，f ′(x)，f(x)随x 的变化如下表：而f(－2)＝c －2，f(6)＝c ＋54，∴当x ∈[－2,6]时，f(x)的最大值为c ＋54， 要使f(x)<2|c|恒成立，只要c ＋54<2|c|即可， 当c ≥0时，c ＋54<2c ，∴c>54；当c<0时，c ＋54<－2c ，∴c<－18.∴c ∈(－∞，－18)∪(54，＋∞)，此即为参数c 的取值范围．12．解 (1)f ′(x)＝3x2＋2ax ，由条件⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝0f ′1＝－3即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋1＝02a ＋3＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝2. (2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2，f ′(x)＝3x2－6x ＝3x(x －2)． f ′x (－∞，0)0 (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x )2－2由f(x)＝f(0)，解得x ＝0，或x ＝3. 因此根据f(x)图象，当0<t ≤2时，f(x)的最大值为 f(0)＝2，最小值为f(t)＝t3－3t2＋2； 当2<t ≤3时，f(x)的最大值为 f(0)＝2，最小值为f(2)＝－2； 当t>3时，f(x)的最大值为f(t)＝t3－3t2＋2，最小值为f(2)＝－2. 13．解 (1)f ′(x)＝(x －k ＋1)ex. 令f ′(x)＝0，得x ＝k －1， f(x)与f x (－∞，k －1)k －1 (k －1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋f (x )－e k －1所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)． (2)当k －1≤0，即k ≤1时， 函数f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k ；当0<k－1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k－1]上单调递减，在(k －1,1)上单调递增，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1.当k－1≥1，即k≥2时，函数f(x)在[0,1]上单调递减，所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.。

1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)一、基础过关1． 下列结论不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若f (x )＝3x ＋1，则f ′(1)＝3C ．若y ＝－x ＋x ，则y ′＝－12x ＋1 D ．若y ＝sin x ＋cos x ，则y ′＝cos x ＋sin x 2． 函数y ＝x1－cos x的导数是( )A.1－cos x －x sin x 1－cos xB.1－cos x －x sin x (1－cos x )2C.1－cos x ＋sin x (1－cos x )2D.1－cos x ＋x sin x (1－cos x )23． 若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( )A ．－1B ．－2C ．2D ．04． 设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( )A ．2 B.12 C ．－12D ．－25． 设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．4B ．－14C ．2D ．－126．已知a 为实数，f (x )＝(x 2－4)(x －a )，且f ′(－1)＝0，则a ＝________.7．若某物体做s ＝(1－t )2的直线运动，则其在t ＝1.2 s 时的瞬时速度为________． 二、能力提升8． 设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈[0，5π12]，则导数f ′(1)的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[2，3]C ．[3，2]D ．[2，2]9．若函数f (x )＝13x 3－f ′(－1)·x 2＋x ＋5，则f ′(1)＝______.10．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x 2＋3)(3x －1)； (2)y ＝(x －2)2； (3)y ＝x －sin x 2cos x2.11．设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的表达式．12．设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，并求此定值． 三、探究与拓展13．已知曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝－(x －2)2，直线l 与C 1和C 2都相切，求直线l 的方程．答案1．D 2．B 3．B 4．D 5．A 6.12 7．0.4 m/s 8．D 9．610．解 (1)方法一 y ′＝(2x 2＋3)′(3x －1)＋(2x 2＋3)(3x －1)′＝4x (3x －1)＋3(2x 2＋3) ＝18x 2－4x ＋9.方法二 ∵y ＝(2x 2＋3)(3x －1) ＝6x 3－2x 2＋9x －3， ∴y ′＝(6x 3－2x 2＋9x －3)′ ＝18x 2－4x ＋9.(2)∵y ＝(x －2)2＝x －4x ＋4，∴y ′＝x ′－(4x )′＋4′＝1－4·12x －12＝1－2x －12.(3)∵y ＝x －sin x 2cos x 2＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－(12sin x )′＝1－12cos x .11．解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .又已知f ′(x )＝2x ＋2，∴a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c .又方程f (x )＝0有两个相等实根， ∴判别式Δ＝4－4c ＝0， 即c ＝1.故f (x )＝x 2＋2x ＋1.12．(1)解 由7x －4y －12＝0得y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12，∴f (2)＝12，① 又f ′(x )＝a ＋b x 2，∴f ′(2)＝74，②由①，②得⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为 y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12|－6x 0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.13．解 设l 与C 1相切于点P (x 1，x 21)，与C 2相切于点Q (x 2，－(x 2－2)2)．对于C 1：y ′＝2x ，则与C 1相切于点P 的切线方程为y －x 21＝2x 1(x －x 1)， 即y ＝2x 1x －x 21.①对于C 2：y ′＝－2(x －2)，则与C 2相切于点Q 的切线方程为y ＋(x 2－2)2＝－2(x 2－2)(x －x 2)，即y ＝－2(x 2－2)x ＋x 22－4.②因为两切线重合，所以由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧2x 1＝－2(x 2－2)，－x 21＝x 22－4解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝0，x 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，x 2＝0.所以直线l 的方程为y ＝0或y ＝4x －4.。