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第8章消费1．宏观经济学模型：储蓄、消费、税收和转移支付。
一个代表性家庭主要生活在两个时期：年轻和年老时期。
当处于年轻期，这个家庭的总收入为20个单位的商品，当处于年老期，其收入为0。
假定其真实利率为2%，这个代表性家庭总是选择年轻和年老时消费同样多的商品，请回答以下问题：（1）请写出代表性家庭的跨期预算约束（inter-temporal budget constraint）。
使用C1和C2分别代表年轻和年老时消费，结合给定的利率和总收入，补充其他需要的条件写出此代表性家庭完整的跨期预算约束。
（2）这个家庭应该储蓄多少？（3）假定这个家庭在年轻的时候需要缴纳4个单位的商品作为税收，而在年老时可以获得6个单位商品的转移支付（福利）。
写出在这种情况下新的跨期预算约束。
此时这个代表性家庭应该从可支配收入中储蓄多少？答：（1）由已知可得这个家庭的年轻收入为Y1＝20，年老收入为Y2＝20，假定利率为r，则代表性家庭的跨期预算约束为：C1＋C2/（1＋r）＝Y1＋Y2/（1＋r）＝20；即：C1＋C2/（1＋2%）＝20。
假定年轻时，政府征税T单位商品，年老时获得转移支付TR单位商品，则代表性家庭完整的跨期预算约束为：C1＋C2/（1＋r）＝Y1－T＋（Y2＋TR）/（1＋r）；即：C1＋C2/（1＋2%）＝20－T＋TR/（1＋2%）。
（2）由于代表性家庭总是选择年轻和年老时消费同样多的商品，则C1＝C2，在不考虑政府税收和转移支付的情况下（T＝TR＝0），将r＝2%代入C1＋C2/（1＋2%）＝20，可得：C 1＝C 2＝20/[1＋1/（1＋2%）]＝10.1。
因此，这个家庭应该储蓄S ＝Y 1－C 1＝20－10.1＝9.9。
（3）若T ＝4，TR ＝6，则新的跨期预算约束为：C 1＋C 2/（1＋2%）＝20－4＋6/（1＋2%）＝16＋6/（1＋2%）由C 1＝C 2代入，可得：C 1＝C 2＝11.05。
目 录第1章 索洛增长模型第2章 无限期模型与世代交叠模型第3章 内生增长第4章 跨国收入差距第5章 实际经济周期理论第6章 名义刚性第7章 动态随机一般均衡周期模型第8章 消 费第9章 投 资第10章 失 业第11章 通货膨胀与货币政策第12章 预算赤字与财政政策第1章 索洛增长模型1.1 增长率的基本性质。
利用变量增长率等于其对数的时间导数这一性质证明：（a）两个变量之积的增长率等于其各自增长率之和。
即，若Z（t）＝X（t）Y（t），则：（b）两个变量之比的增长率等于其各自增长率之差。
即，若Z（t）＝X（t）/Y（t），则：（c）若Z（t）＝X（t）α，则。
证明：（a）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的积的对数等于两个变量各自对数之和，所以有下式：再简化为下面的结果：则得到（a）的结果。
（b）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：因为两个变量的比率的对数等于两个变量各自对数之差，所以有下式：再简化为下面的结果：则得到（b）的结果。
（c）因为一个变量的增长率等于对该变量取对数后再对时间求导，那么可得下式：又由于ln[X（t）α]＝αlnX（t），其中α是常数，有下面的结果：则得到（c）的结果。
1.2 假设某变量X的增长率从时刻0到时刻t1为常数，并且等于a＞0；在时刻t1降为0；从时刻t1到t2逐渐从0增加到a；在时刻t2后为常数，并且等于a。
（a）用图形表示出X的增长率随时间的变化。
（b）用图形表示出lnX随时间的变化。
答：（a）根据题目的规定，X的增长率的图形如图1-1所示。
从时刻到t 1时刻X的增长率为常数且等于a（a＞0），为图形中的第一段。
X的增长率从0上升到a，对应于图中的第二段。
从t2时刻之后，X的增长率再次变为a。
图1-1 时间函数X的增长率（b）注意到lnX关于时间t的导数（即lnX的斜率）等于X的增长率，即：因此，lnX关于时间的图形如图1-2所示：从0时刻到t1时刻，lnX的斜率为a（a＞0），在t1时刻，X（t）的增长率出现不连续的变化，因此lnX 的斜率出现扭曲，在t1时刻至t2时刻，lnX的斜率由0逐渐变为a；从t2时刻之后，lnX的斜率再次变为a（a＞0）。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。
假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。
假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。
（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数：F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数：ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N 个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y =F (K,AL ),()Y F K AL =，，或者采用紧凑形式Y =ALf (k )。
假设f ′(·)>0,f ′′(·)<0。
假设所有厂商都能以工资wA 雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A 值都相同。
（a ）考虑厂商生产Y 单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y ，并由此证明所有厂商都选择相同的k 值。
（b ）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N 个厂商的总和，证明其产出也等于述N 个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本wAL +rK ，同时厂商受到生产函数Y =ALf (k )的约束。
这是一个典型的最优化问题。
min wAL +rKs.t.Y =ALf (k )构造拉格朗日函数：F (K,AL,λ)=wAL +rK +λ[Y −ALf (k )]求一阶导数：ðF ðK =r −λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=0 ðF ðAL=w −λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=0 得到：r =λ[ALf ′(K AL ⁄)(1AL ⁄)]=λf ′(k )w =λ[f (K AL ⁄)− ALf ′(K AL ⁄)(K (AL )2⁄)]=λ[f (k )−kf ′(k )]r w =f ′(k )f (k )−kf ′(k )上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。
很明显，k 的选择独立于Y 。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，则N 个成本最小化厂商的总产量为：∑Y i =N i=1∑AL i f (k )N i=1=Af (k )∑L i Ni=1=AL̅f (k ) L ̅为N 个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。
第4章 跨国收入差距4.1 黄金律的教育水平。
考虑第4.1节中的模型，假设G （E ）的形式为。
（a ）找出最大化平衡增长路径上人均产出水平的E 值的表达式。
是否存在这个值等于0的情形？是否存在该值等于T 的情形？（b ）假设内点解，描述E 的黄金律水平[即（a ）小题中你找到的E 值]如何受下述变化的影响（如果有影响的话）。
（i ）T 增加。
（ii ）n 下降。
答：（a ）在均衡增长路径上假设，则人均产出为：（1）其中，则在均衡增长路径上每单位有效劳动的产出关于E 最大化的自然对数为（注意y *和A （t ）不是E 的函数）：（2）一阶条件是：（3） 或者：（4）化简可得：（5）(E)e E G φ=()E GE e φ=()1bgpnE nT EnTY e e y A t eN e φ--*--⎛⎫= ⎪-⎝⎭()**y f k =()/bgpY N ln ln ln ()ln ln 1bgpnE nT nTY y A t E e e e N φ*---⎛⎫⎡⎤⎡⎤=+++--- ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭()ln 1()0bgpnEnE nTY N e n Ee eφ---∂=+-=∂-()nE nT nE e e ne φ----=()nE nT n e e φφ---=方程（5）化简得：（6）方程（6）两边取自然对数得：（7）在（7）两边乘以－1/n ，得到教育的黄金律水平：（8）（b ）（i ）求E *关于T 的导数：（9） 因此，生命期限的增加一比一的提高了教育的黄金律水平。
（ii ）n 下降会提高教育的黄金律水平。
由方程（6）可知：（10）或者：（11）在（11）两边同时乘以φ/n 得：（12）方程（12）的左边等价于：nE nT e e nφφ--=-()ln ln nE n nT φφ-=---⎡⎤⎣⎦1ln E T n n φφ*⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦1E T*∂=∂()n T E n eφφ*---=()1n T E neφ*---=()11n T E e nφ*--⎡⎤-=⎣⎦（13）对方程（12）进行微分，即：（14） 求解方程（14）可得：（15）由于因此，dE */dn ＜0，即下降会提高教育的黄金律水平。
第1章索洛增长模型1．在Solow模型中，假设一个经济体在初始时候处于稳定状态。
现在一场自然灾害夺去了一部分人的生命，但资本总量却在灾害中没有损失。
请问人均资本、人均产出在短期和长期的变化趋势。
答：（1）索洛增长模型的总量生产函数是Y＝F（K，L），或者以人均形式来表示为y ＝f（k）。
在短期，如果自然灾害夺取了部分人的生命，L下降，使k＝K/L上升了。
由总量形式的生产函数可知，劳动力减少，则总产出下降。
但是，由于人均资本存量水平上升了，工人人均产出将会增加。
（2）劳动力的减少意味着自然灾害后的人均资本存量高于灾害发生之前，而灾害前的经济处于稳定状态，所以灾害后的人均资本存量水平高于稳定状态水平。
如图1-1所示，灾害发生后的人均资本存量位于k*右边的某一个位置k1。
但是k1不是稳定状态，这时人均储蓄小于资本扩展化水平，所以资本深化为负，人均资本存量会降低，经济逐渐向稳定状态过渡。
因此，在长期中，人均资本存量下降到k*，经济重新达到稳定状态。
在这个过程中，由于人均资本存量一直在下降，所以人均产出也一直在下降。
在稳定状态，技术进步决定人均产出增长率，一旦经济恢复到稳定状态，人均产量仅由技术进步决定。
因此这和灾害发生前是一样的。
图1-1 资本存量恢复稳态水平2．某经济体的生产函数为：Y t＝（A t L t）αK t1－α，其中A t L t为效率劳动单位，如参数A t上升，则同样数量的劳动者可提供更多的效率劳动。
在每一期，消费者将s比例的产出投资于新资本，即I t＝sY t，资本运动方程为：K t＋1＝（1－δ）K t＋I t，其中δ为折旧率。
设劳动力与劳动生产率均以固定比率增长：L t＋1＝（1＋l）L t，A t＋1＝（1＋μ）A t。
试回答以下问题：（其中前4问反映的是卡尔多指出的经济增长进程的典型化事实）（1）设代表性竞争企业分别按实质工资W t和实质利息R t雇佣劳动和资本，写出企业的最优化问题，证明劳动和资本分配份额W t L t/Y t和R t K t/Y t在该经济中均为常数。
第7章 动态随机一般均衡周期模型7.1 价格制定失衡时的费希尔模型。
假设经济由第7.2节中的模型所刻画，只是每个时期会有一半的厂商制定价格，其中比例为f 的厂商在奇数期制定价格，比例为1－f 的厂商在偶数期制定价格。
因此当t 为偶数时，价格水平为，当t 为奇数时，价格水平为。
推导每一期关于p t 和y t 的类似于（7.27）式和（7.28）式的表达式。
解：由题意知，当t 为偶数时，价格水平为：（1）其中，表示比例为f 的厂商在t －1期设定的t 期价格，表示比例为1－f 的厂商在t －2期设定的t 期价格。
等于t －1期对的期望，即有：（2）将方程（1）代入（2），并利用如下事实：在设定的时候，就已经确定，因此不存在不确定性。
得：（3） 解得：（4）等于t －2期对的期望，有：（5）将方程（1）代入（5）得：（6） ()121t t fp f p +-()121t t f p fp -+()121t t t p fp f p =+-1t p 2t p 1t p *it p ()1*111t t it t t t p E p E p m φφ--+-==⎡⎤⎣⎦1t p 2t p ()()111211t t t tt m f E f p p p φφ-+-+-⎡⎤=⎣⎦()()()()121111111t t tt pE f m ff p φφφφ-=------+2t p *it p ()2*221t t it t t t p E p E p m φφ--+-==⎡⎤⎣⎦()()2221211t t tt t t m fE p p f E p φφ--+--=+⎡⎤⎣⎦由于方程（4）左右两边相等，因此在t －2期对两边求期望也必定相等。
因此：（7）运用重复映射法则，将方程（7）代入（6）得：（8）求解方程（8）得：（9）化简得：（10）（11） （12）所以，t －2期设定的t 期价格水平为：（13）将方程（13）代入（4）得：（14）即：()()()()1222111111t t t t t f m p E E fp fφφφφ----+---=-212t t t t t m E m E E ---=()()()()()()2222211111111t t t tt t t f f f m E m p f p f f p E φφφφφφ----+-+⎡⎤=⎢⎥⎣+----⎦-()()()()()()()()()()222111111111111t tt t f f p E m f f f f f p f f φφφφφφφφφφ-⎡⎤--+----+----+-=⎢⎥--⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎣⎦-()()()()222111111t t t t p E f m ffp φφφφ-=------+()()()()()2211111111t tt f f p m E f f φφφφφ-⎡⎤-----=⎢--⎥--⎣⎦()()221111t t t p m fE fφφφφ---=--22t t t p E m -=()()()()121111111t t tt t pE f f m E m fφφφφ----+=----（15）又所以，方程（15）又可以写成：（16）为了得到总价格水平的表达式，将方程（16）和（13）代入方程（1）得：（17）化简得：（18）为了求解t 期的产出，将方程（18）代入总需求的表达式y t ＝m t －p t ，得：（19）即：（20）又且，所以，方程（20）又可以写成：（21）()()()()()221111111111tt t t t t t f f E p E f m m E m f φφφφφ---⎡⎤---+-++⎢⎥-⎦=⎣---()()()()()()11111111f ff fφφφφφφ---+-=--+--+-=-()()211211t t t t t t t p E fE m m E m φφ---=--+-()()()1222111t t t t t t t t t p f E m m E m m E f E f φφ----⎡⎤=+-⎢⎥--⎣⎦+-()()21211t t t t t t t fp m E m E fE m φφ---=--+-()()22111t t t t t t t t fE m m E m y m E fφφ---=-----()()()()11211111111t t t t t t t t E m E f f f f y m E f fm m φφφφφφ---⎡⎤⎡⎤-+----=-⎢⎥⎢++⎥----⎣⎦⎣⎦()()111f f f φφ-+-=--()()111f f f φφ---=-()()()()121111t t t t t t t t f y E m E mfm m E φ---+-=----方程（18）和（21）给出了偶数期的均衡价格和均衡产量。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数,()=，，或者采用紧凑形式。
假设Y F K AL。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r 租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数：求一阶导数：得到：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于Y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和A，则N个成本最小化厂商的总产量为：为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择。
因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：（a）已知和和W，则此人效用最大化的和是多少？（b）两期消费之间的替代弹性为，或。
证明，若效用函数为（2.43）式，是则与之间的替代弹性为。
答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）（2）求解约束条件：（3）将方程（3）代入（1）中，可得：（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程（4）两边对求一阶条件可得：解得：（5）将方程（5）代入（3），则有：解得：（6）将方程（6）代入（5）中，则有：（7）（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8）对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数,()=，，或者采用紧凑形式。
假设Y F K AL。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a）题目的要厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数：求一阶导数：得到：上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于Y。
上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
（b）因为每个厂商拥有同样的k和A，则N个成本最小化厂商的总产量为：为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k，k的决定独立于Y的选择。
因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2 相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期，其效用函数由方程（2.43）给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：（a）已知和和W，则此人效用最大化的和是多少？（b）两期消费之间的替代弹性为，或。
证明，若效用函数为（2.43）式，是则与之间的替代弹性为。
答：（a）这是一个效用最大化的优化问题。
（1）（2）求解约束条件：（3）将方程（3）代入（1）中，可得：（4）这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程（4）两边对求一阶条件可得：解得：（5）将方程（5）代入（3），则有：解得：（6）将方程（6）代入（5）中，则有：（7）（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8）对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
第10章失业1．结合相关理论和模型回答有关经济周期的问题：（1）以下各变量的周期性（顺周期、反周期、无周期）是怎样的？a．消费b．投资c．就业人数d．失业率e．就职率f．离职率g．职位空缺率h．净出口i．资本利用率（2）消费、投资与总产出的波动性有怎样的关系？造成此现象的可能原因有？（3）什么是保留工资？它是如何受到失业保障金水平影响的？（4）技术进步对就职率的影响是不是确定的？有哪些可能影响？（5）贝弗里奇曲线指哪两个变量的关系？如何解释这一关系？（6）资本利用率是如何决定的？如何受到技术进步冲击的影响？答：（1）顺周期性指变量按与实际GDP相同的方向波动；反周期性，又称逆周期性，指变量按与实际GDP相反的方向波动；无周期性，又称非周期性，指变量在经济周期期间不按特定方向波动。
题中给出的各变量的周期性分别如下：a．消费，是顺周期性的。
b．投资，是顺周期性的。
c．就业人数，是顺周期性的。
d．失业率，是反周期性的。
e．就职率，是顺周期性的。
f．离职率，是无周期性的。
g．职位空缺率，是顺周期性的。
h．净出口，是反周期性的。
i．资本利用率，是顺周期性的。
（2）实际消费支出一般按与实际总产出（实际GDP）相同的方向波动，但变化幅度小于总产出的变化幅度。
实际总投资也按与实际总产出（实际GDP）相同的方向波动，但在比例上要比总产出的波动大得多。
造成此现象的可能原因如下：当劳动市场和资本服务市场出清时，可以得到一个简化的家庭预算约束公式：消费＋实际储蓄（投资）＝实际收入。
家庭会将实际收入在消费和投资之间进行划分。
但是投资是为了增加未来的消费，所以实际收入的划分是对现期消费还是今后消费做出选择。
收入的增加会带来两种效应：收入效应和跨时期替代效应。
若收入增加是暂时性的，则此时只有跨时期替代效应而没有收入效应，表明现期的消费不变，收入的增加全部用来投资。
此时边际消费倾向为0，边际储蓄倾向为1；若收入增加是永久性的，则此时只有收入效应而无跨时替代效应，现期消费会增加，而投资不变。
第二章无限期模型与世代交叠模型高级宏观经济学_第四版—中文_罗默课后题答案第2章无限期模型与世代交叠模型2.1考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数，Y = F K, AL，或者采用紧凑形式。
假设。
假设所有厂商都能以工资wA雇用劳动，以成本r租赁资本，并且所有厂商的A值都相同。
（a）考虑厂商生产Y单位产出的成本最小化问题。
证明使成本最小化的k 值唯一确定并独立于Y，并由此证明所有厂商都选择相同的k值。
（b）考虑某单个厂商，若其具有相同生产函数，并且其劳动和资本的投入是上述N个厂商的总和，证明其产出也等于述N个厂商成本最小化的总产出。
证明：（a题目的要求是厂商选择资本K和有效劳动AL以最小化成本，同时厂商受到生产函数的约束。
这是一个典型的最优化问题。
构造拉格朗日函数:求一阶导数：得到:上式潜在地决定了最佳资本k的选择。
很明显，k的选择独立于丫第二章无限期模型与世代交叠模型上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。
(b)因为每个厂商拥有同样的k和A,贝U N个成本最小化厂商的总产量为:为N个厂商总的雇佣人数，单一厂商拥有同样的A并且选择相同数量的k, k的决定独立于丫的选择。
因此，如果单一厂商拥有的劳动人数，则它也会生产的产量。
这恰好是N个厂商成本最小化的总产量。
2.2相对风险规避系数不变的效用函数的替代弹性。
设想某个人只活两期，其效用函数由方程(2.43)给定。
令和分别表示消费品在这两期中的价格，W表示此人终生收入的价值，因此其预算约束是：(a)已知和和W,则此人效用最大化的和是多少？(b)两期消费之间的替代弹性为，或。
证明，若效用函数为(2.43)式，是则与之间的替代弹性为。
答：(a)这是一个效用最大化的优化问题。
---- ------------ (1)(2)求解约束条件：(3)将方程(3)代入(1)中，可得：---- ---------------------------- (4) 这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。
在方程( 4)两边对求一阶条件可得：(5)解得:将方程（5）代入（3）,则有:解得：------------------- （6）将方程（6）代入（5）中，则有：------------------- （7）（b）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：（8）对方程（8）两边取对数可得：（9）则消费的跨期替代弹性为：因此，越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。
2.3 （a）假设事先知道在某一时刻，政府会没收每个家庭当时所拥有财富的一半。
那么，消费是否会在时刻发生突然变化？为什么？（如果会的话，请说明时刻前后消费之间的关系。
）（b）假设事先知道，在某一时刻，政府会没收每个家庭当时所拥有的部分财富，其数量等于当时所有家庭财富平均水平的一半。
那么，消费是否会在时刻发生突然变化？为什么？（如果会，请说明时刻前后消费之间的关系。
）答：（a）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期内，从到。
考虑家庭在时期减少每单位有效劳动的消费为。
然后他在投资并消费这一部分财富。
如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。
这一变化有一效用成本前，在会有一收益，财富的回报率为，不过，此刻有一半的财富会被没收。
此时的效用收益为后。
总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：前后在时，有下式：前后因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。
征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。
（b）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。
家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。
2.4设方程（2.1）中的瞬时效用函数为。
考虑家庭在（2.6）的约束下最大化方程（2.1）的问题。
请把每一时刻的C表示为初始财富加上劳动收入现值、以及效用函数各参数的函数。
答：OO X—————— 2.6 本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用OOOO令一建立拉格朗日方程:求一阶条件:抵消—项得: OO(1)—(2)第二章无限期模型与世代交叠模型(1)(3)可以推出：(4)将其代入预算约束方程，得：—(5)将代入上式，得：OO— (6)只要 ，则积分项收敛，为，贝——(7)将方程(7)代入(4):——(8)因此，初始消费为：——(9)个人的初始财富为 ------ ，方程(9)说明消费是初始财富的一个不变的比例。
为个人的财富边际消费倾向。
可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡 增长路径上是独立于利率的。
对于折现率 而言，越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。
2.5设想某家庭的效用函数由(2.1) ~ (2.2)式给定。
假设实际利率不变， 令W 表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值 [(2.6)的右端]。
已知r 、W 和 效用函数中的各参数，求 C 的效用最大化路径。
OO—— 2.1 ----- 2.2答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：OOW 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率 r 是常数建立拉格朗日方程如下:求一阶条件，可得:抵消 ，得：（3）两边对时间t 求导，可得：得到下面的方程：—（4）将方程（3）代入（4），可得：抵消 然后求消费的增长率 ——，可得：————（5）由于利率r 是常数，所以消费的增长率为常数。
如果 ，则市场利率超过贴现率，则消费会增加；反之，如果 ，则市场利率小于贴现率，则消费会减少。
如果 ，则 决定了消费增长的幅度。
值越低，也就是替代弹性越高， 越高，即消费增长的越快。
重写方程（5），得：———— （6）对方程（6）积分，积分区间是从时间T =0到时间T =t ，可得：OO(2)上式可以简化为：对方程（7）两边取指数，可得：下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得:代入上式，可得：------（9），从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得:OO--------- （10）将方程（10）代入（9）中，求解--------- （11）将方程（11）代入（8），求解 ：--------- （12）上式便是C 的效用最大化路径。
2.6生产力增长减速与储蓄。
设想一个正处于平衡增长路径上的拉姆塞一 卡斯一库普曼期模型，假设g 永久性下降。
（a ） 曲线会如何变化（如果有影响）？ （b ）曲线会如何变化（如果有影响）？（c ） 当g 下降时，c 如何变化？（d ） 用一个式子表示g 的边际变化对平衡增长路径上储蓄率的影响。
能否 判断此表达式的正负？（e ） 设生产函数是柯布一道格拉斯函数 ，请用、n 、g 、B 和a重新表示（d ）中的结果。
（提示：利用等式o ）答：（a ）关于资本的欧拉方程为:（7），整理得：将只要(1)该方程描述了资本的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了技术特征， 是该模型的核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组， 从而决定了该模型的最终解。
在平衡增长路径上， ，由此可以推出： 。
在该方程中，当g 永久性地下降时，会导致消费C 上升以保持方程的均衡。
因而在图形 上 曲线向上移动。
同时，保持 k 不变，g 永久性地下降会导致持平投资下 降，这样就会有更多的资源用于消费。
由于持平投资 下降的幅度更大，因而在更高的k 水平上，向上移动得更大。
图2-1是该模型的图示。
(b )每单位有效劳动消费的欧拉方程为：(2)该方程描述了消费的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了偏好特征， 是该模型的核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组， 从而决定了该模型的最终解。
在平衡增长路径上，要求，即为保持 ， 必须下降。
由于 因此， 必须上升，在图形上表现为(c) 在g 永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资 决定的，因而不会发生不连续的变化。
它仍然保持在平衡增长路径处。
与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着 g 永久性地下降而迅速变化。
为，在g 永久性地下降时, ，因而 下降必然导致k 上升。
向右移动，如图2-1所示。
图2-1拉姆塞模型使经济从旧的平衡增长路径达到新的平衡增长路径，每单位有效劳动的消费c必将发生变化。
不过，此处无法确定新的平衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定每单位有效劳动的消费c是上升还是下降。
存在一种特殊情况，即如果新的平衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费c 甚至可能保持不变。
因此，c和k逐步移动到新的平衡增长路径，此时的值高于原先的平衡增长路径值。
（d）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：因为k保持不变，即，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可知：由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为：（3）对方程（3）两边关于g求导数，可得：可以再简化为：- --------------------------------- （4）由于由决定，对该式两边关于g求导数，可得：，从而求出为：（5）将方程（5）代入（4）中，可得：- --------------------------------- （6）在方程（6）中，分母为负，分子中第一项为正，而第二项为负，因而无法确定正与负。
因此，无法判断在平衡增长路径上g永久性地下降会使s上升还是下降。
（e）将柯布一道格拉斯生产函数代入方程（6）中，可得:简化为：从上式可以推出：最终有下面的结果:2.7说明下列变化如何影响图2.5中的线和线，并在此基础上说明其如何影响平衡增长路径上的c值和k值。
（a）上升（b）生产函数向下移动。
（c）折旧率由本章中假设的零变为某一正值。
图2-2 鞍点路径答：（a）关于c与k的欧拉方程为：- -------------- （1）（2）的上升即消费的跨期替代弹性下降，表明家庭不太愿意接受消费的跨期替代，同时表明随着消费的上升，消费的边际产品下降得很快。
这种情况使家庭更偏好于即期消费。
由于没有出现在资本积累方程(2)中，因而资本积累方程不受的上升的影响。
在消费的动态方程中，在平衡增长路径上，从而，由于的上升，因而必须上升，又因为，所以为使，k必须下降。
此时向左移动，消费移动到新的鞍点路径A点上，此刻家庭消费得更多了，经济最终移动到新的稳定点，此时和低于原先的值。
如图2-3所示。
图2-3 上升的影响(b)由于生产函数的向下移动，因而和都变小了，如图2-4所示图2-4生产函数向下移动根据资本的欧拉方程：，在平衡增长路径上，因而有。
由于变小，因此这条曲线会向下移动，如图2-5所示。
根据消费的欧拉方程：一----------------- ，在平衡增长路径上，从而，由于变小，为保持，必须使k下降，从而使保持不变。
