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第6章名义刚性1．什么是卢卡斯批判？为什么卢卡斯批判对凯恩斯宏观经济学的政策建议有影响？答：（1）卢卡斯批判的含义卢卡斯批判，又称卢卡斯批评，是卢卡斯提出的一种认为传统政策分析没有充分考虑到政策变动对人们预期影响的观点，该名称来自卢卡斯的论文《计量经济学的政策评价：一个批判》。
卢卡斯指出，由于人们在对将来的事态做出预期时，不但要考虑过去，还要估计现在的事件对将来的影响，并且根据他们所得到的结果而改变他们的行为。
这就是说，他们要估计当前的经济政策对将来事态的影响，并且按照估计的影响采取对策，即改变他们的行为，以便取得最大的利益。
行为的改变会使经济模型的参数发生变化，而参数的变化又是难以衡量的。
因此，经济学者用经济模型很难评价经济政策的效果。
（2）卢卡斯批判的具体内容具体来说，卢卡斯批判的内容有：①任何政策都是政府与私人部门之间的博弈，双方力图猜中对方的最优策略。
假如政府把私人部门当成被动的“机器”来控制，其政策的基本假设已经错误了。
政府的每一个策略，假如已经被私人部门准确地预见到，则政策的“货币效应”将消失，政府的货币政策将是“中性”的，不会产生任何物质力量。
而政府的财政开支将以其物质力量与私人部门竞争资源，产生所谓的“挤出效应”，即以每一元政府开支从市场里挤出去一元钱的私人开支，结果政府开支仅仅是替私人花钱而已。
所以政府的任何政策，不论是货币的还是实物的，都不会产生有益于社会的效果。
②理论解释为什么在战后确实出现了持续繁荣，是否与凯恩斯政策有关系。
卢卡斯认为，凯恩斯政策假如短期内有效，那就是因为市场中存在大量“接电话”的噪音使私人听不清信号。
当大多数私人因为听不清信号而放弃行动时，政府相当于在与一个完全被动的机器博弈，所以很轻易实行“最优控制”以达到预期效果。
但是当人们反复听取信号，终于搞清楚了政府意图时，博弈就又回到主动的理性人之间的博弈了。
战后繁荣的代价就是，政府为了不断造成“惊奇”效应，必须不断使自己的政策强度升级。
罗默《高级宏观经济学》【教材精讲+经典考题串讲】讲义第1章索洛增长模型第一部分重难点解读“一旦人们开始思考（经济增长）问题，他将很难再顾及其他问题。
”——罗伯特·卢卡斯（Robert Lucas，1988）1.1模型假设投入与产出生产函数采取如下形式：()()()()(),Y t F K t A t L t =其中，t ：时间，A ：有效劳动．．．．——劳动增加型．．．．．的或哈罗德中性．．．．．。
生产函数生产函数是规模报酬不变的：()(),,F cK cAL cF K AL =，对于所有0c ≥规模不变结合两个不同的假设：第一是经济规模足够大，以至于专业化的收益已被全部利用。
第二是除资本、劳动与知识以外的其他投入相对不重要。
把单位有效劳动的产出写成单位有效劳动的函数：()1,1,⎛⎫= ⎪⎝⎭K F F K AL AL AL定义/=k K AL ，/=y Y AL 以及()(),1=f k F k ，得：()=y f k 关于()f k 的假设：（1）()00=f ，()0'>f k ，()0''<f k （如何推导？比较重要！）（2）稻田条件（Inada condition）：()0lim →'=∞k f k ，()lim 0→∞'=k f k 柯布一道格拉斯函数：()()1,,01ααα-=<<F K AL K AL 。
根据规模报酬不变假设，整理可得：()α=f k k ，图示如图1.1所示。
图1.1柯布-道格拉斯生产函数生产投入的演化给定资本、劳动与知识的初始水平，劳动与知识以不变的增长率增长：()()∙=L t nL t ()()∙=A t gA t 其中，n 与g 是外生参数。
求解以上两微分方程，可得：()()0=ntL t L e()()0=gtA t A e 假设：用于投资的产出份额s 是外生且不变的，则有资本动态积累方程：()()()δ∙=-K t sY t K t 其中，δ为资本折旧率。
第5章实际经济周期理论1．假设价格有完全的伸缩性，并且，经济中产出的波动正如真实经济周期理论所说的是由于技术冲击所造成的。
那么：（1）如果央行保持货币供给不变，随着产出的波动，物价水平会发生什么变动？（2）如果央行调整货币供给以稳定物价水平，随着产出的波动，货币供给会发生什么变动？（3）经济学家观察到，货币供给的波动与产出的波动正相关，我们可以将此作为反对实际经济周期模型的证据，认为产出的波动源自货币供给的波动吗？答：实际经济周期理论假定物价具有完全的伸缩性，所以货币不具有实际影响，物价会随货币调整使货币市场保持均衡。
这意味着实际总供给和总需求决定利率和产量，物价则自由调整以保证货币市场出清。
（1）当产量增加时，实际货币余额需求会上升。
如果央行保持货币供给不变，则物价必须下降以使货币市场保持均衡。
反之，当产量减少时，实际货币余额需求会下降。
如果央行保持货币供给不变，则物价必须上升以使货币市场保持均衡。
所以，物价与产量反方向变动。
（2）假如央行通过调整货币供给以保证物价水平稳定，则当产量增加时，实际货币余额需求会上升，为使物价保持稳定，央行必须增加货币供给。
反之，当产量减少时，实际货币余额需求会下降，为使物价保持稳定，央行必须减少货币供给。
所以，货币供给和产出同方向变动。
（3）货币供给与产出呈正相关并不能否定实际经济周期模型。
如果央行执行（2）中的政策稳定物价，即使货币对产量没有任何影响，也将观察到货币与产量密切相关，只不过这一相关性来自于货币当局对产量波动的内生反应而已，并非货币供给影响到了产出。
2．简述实际经济周期（RBC）理论。
答：实际经济周期理论指把经济波动归因于实际因素（或供给方面的）冲击，而不是货币因素的一种经济周期理论。
实际周期理论是新古典宏观经济学的代表性理论之一，该理论认为经济波动之源是技术冲击，分析了波动传导以及货币与产出的关系。
（1）技术变革是引起经济波动的实际因素中至关重要的一个。
第一部分考研真题精选一、判断题1．在理性预期时，只有欺骗民众的货币政策才有可能产生实际效果。
[对外经济贸易大学2018研]【答案】√【解析】在理性预期时，人们可以最好地利用所有可以获得的信息，包括关于现在政府政策的信息来预期未来，所以正常的货币政策对实际经济状况不会造成影响，只有通过欺骗民众的货币政策，使民众产生错误的预期，才有可能改变实际经济状况。
2．根据费雪模型，当消费者面临借贷约束时，其消费水平会下降。
（）[上海财经大学2017研]【答案】×【解析】当消费者面临借贷约束时，消费可能不降反增。
比如在没有借贷约束时，消费者在当期是贷款者。
即他消费完还剩多余的资金，他愿意将剩下的资金贷款出去从而获得一部分收益，而如果现在消费者面临借贷约束时，消费者就可能无法将手中多余的资金贷款放出去，这时候他就不得不把多余的资金花出去。
则当期的消费会上升。
3．根据庇古的实际余额效应，总需求将随着价格水平的下降而增加，这是因为利率下降导致投资需求增加。
（）[对外经济贸易大学2016研]【答案】×【解析】实际余额效应是指价格水平下降，使人们所持有的货币及其他以货币为固定价值的资产的实际价值升高，人们会变得相对的富裕，于是人们的消费水平就相应的上升，带来消费需求上升并进一步带来总需求的提升，所以总需求曲线是向右下方倾斜的。
题目中所述的逻辑本身是正确的，属于货币市场理论与投资理论的内容，但与实际余额效应无关。
4．托宾q理论认为企业家应该根据企业资本市场价值和企业资本的重置成本比率做出投资决策。
（）[上海财经大学2013研]【答案】√【解析】托宾q值是企业作出投资决策的比例依据，q＝已安装资本的市场价格/已安装资本的重置成本。
如果q大于1，那么股票市场对现有资本的估价就大于其重置成本，在这种情况下，企业就会增加投资；如果q小于1，那么股票市场对资本的估价就小于其重置成本，在这种情况下，企业就会减少投资。
第9章投资1．存货投资的加速数模型与资本积累的可变加速数模型之间是什么关系？答：（1）存货投资的加速数模型与资本积累的可变加速数模型的含义①存货投资的加速数模型是描述收入变动或消费需求的变动引起存货投资变动的模型。
加速数模型表明投资支出与产出变动成比例，而不受资本成本的影响。
I＝a（Y－Y－1）该模型的含义包括：第一，投资并不是产量（或收入）的绝对量的函数，而是产量变动的函数。
即投资变动取决于产量的变动，若产量的增加逐期保持不变（产量变动率为零），则投资总额也不变；第二，投资率变动的幅度大于产量（或收入）的变动率，产量的微小变化会引起投资率较大幅度的变化；第三，若要保持增长率不至于下降，产量必须持续按一定比率增长。
因为一旦产量的增长率变缓，投资增长率就会停止或下降。
即使产量未绝对地下降，而只是相对地放缓了增长速度，也可能引起投资缩减；第四，加速数与乘数一样都从两个方向发生作用。
即当产量增加时，投资的增长是加速的，当产量停止增长或减少时，投资的减少也是加速的；第五，要使加速原理发挥正常作用，只有在不存在过剩生产能力时才能实现。
存货投资水平与产出变动的联系，是增加经济整体易变性的重要渠道。
②可变加速数模型是用来解释企业如何计划其调整资本存量速度的。
资本存量K是预期产出Y、劳动力的实际工资率w和资本租金成本rc（实际利率＋折旧率）的函数。
它背后的基本观点是，现有资本存量与合意资本存量之间的差距越大，企业投资速度就越快。
根据可变加速数模型，企业在每一时期都打算填补合意资本存量与实际资本存量之间λ部分的差距。
上期结束时的资本存量表示为K－1，合意资本存量与实际资本存量之间的差距则表示为（K*－K－1）。
企业打算在上期资本存量K－1上增加差距（K*－K－1）的一部分，即λ（K*－K－1），以便使得当前时期结束时的实际资本存量K为：K＝K－1＋λ×（K*－K－1）（i）方程（i）表明了要将资本存量从K－1增加到K的水平，企业必须实现净投资量，I＝K －K－1，因此，可以写出净投资：I＝K－K－1＝λ（K*－K－1）（ii）它是净投资逐渐调整的表达式。
罗默《高级宏观经济学》【教材精讲+经典考题串讲】讲义第7章消费第一部分重难点解读7.1确定性条件下的消费：永久性收入假说假设考虑一个寿命为T 时期的个人，其终生效用为：()1Tt t U u C ===∑，()0u '∙>，()0u ''∙<令初始财富0A ，在T 时期的生命中，其劳动收入分别为12,,,T Y Y Y ⋯。
为简化分析，令利率为0。
因此，该个人的预算约束为：011TTttt t CA Y ==≤+∑∑行为最大化问题的拉格朗日函数为：()0111TTTt ttt t t L u C A Y C λ-===⎛⎫=++ ⎪⎝⎭∑∑∑一阶条件为：()t u C λ'=该式对各期都成立，因而12T C C C === 。
进一步：011Tt C A Y T ττ=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑，对所有t 含义该分析意味着，在一个既定时期，个人消费不是由该期的收入决定的，而是由其整个一生的收入决定的——永久性收入．．．．．（perminant income）。
假设在生命第一期得到一项意外收入Z 。
尽管该意外收入将当期收入提高了Z ，但是永久性收入只被提高了Z 。
因此，若个人的生命相当长，那么意外收入对当期消费的影响会很小。
含义：暂时性的减税对消费影响甚微。
个人在第t 期的储蓄为收入与消费之差：111T t t t t t t S Y C Y Y A T T =⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭∑当收入高于其平均水平（即当暂时性收入较高）时，储蓄也较高；在当期收入低于永久性收入时，储蓄为负。
因此，个人利用储蓄和借款来平滑消费路径。
这就是莫迪格利安尼和布伦伯格（Modigliani and Brumberg，1954）以及弗里德曼（Friedman，1957）所提出的永久性收入假说的核心思想。
经验性应用：理解估计的消费函数传统凯恩斯主义消费函数假定，消费决定于当期可支配收入。
凯恩斯断言，绝对收入水平的提高通常会导致更高比例．．．．的收入被储蓄。
第11章通货膨胀与货币政策1．凯恩斯模型（Keynesian Model）：IS-LM、总需求（AD）和总供给（AS）。
（1）根据凯恩斯模型，名义货币供给增加会怎样影响短期和长期的名义利率？假定在调整过程中预期通货膨胀率不变。
请画出IS-LM、AS-AD曲线的相应变化，并解释你的答案。
（2）假设联邦储备局（Federal Reserve）试图锁住利率，同时存在政府支出赤字（government budget deficit）永久性增长，而这是由政府借债来实现的，这会如何影响货币供应量的增长？请使用IS-LM的理论框架来说明这个问题。
这会如何影响长期的价格水平和通货膨胀率走势？（3）假设联邦储备局的目标是尽量减少实际产出的大幅波动，联储可以选择这两种政策：保持货币供给稳定或者利率稳定。
如果总产出的波动来自IS曲线的移动，那么哪一种政策会带来更小的产出波动？如果总产出的波动是由货币需求变化（LM曲线）造成的，那么哪一种政策将会更有效？答：（1）名义货币供给增加会使得LM曲线向右下方移动，在短期，名义利率下降。
在长期，名义利率保持不变。
在短期内，由于物价水平不变，货币供给的增加使实际货币余额增加，从而导致LM曲线右移，经济的均衡点从A点移到B点，如图11-1所示。
此时，国民收入从Y＿增加到Y2，利率从r1降低到r2。
利率下降刺激了投资的增加，国民收入增加，使居民可支配收入增加，从而引起消费增加。
图11-1 IS-LM模型中货币供给增加在长期，由于短期均衡的产出水平超过了长期均衡的产出水平，最终产品和劳务的高需求拉动物价水平上升，从而导致实际货币余额减少，LM曲线左移，如图11-1所示。
利率水平上升，投资减少。
价格继续上涨直到经济恢复到初始的位置A。
此时，利率回到r1，国民收入回到Y＿，投资和消费也回到原来的水平。
因此，从长期来看，货币供给增加对经济中的实际变量没有影响，这也就是货币中性。
（2）政府赤字的永久性增长，由于政府通过借债来实现，则货币供应量将永久性增长。
《高级宏观经济学》考研罗默版2021考研真题库第一部分考研真题精选一、判断题1在理性预期时，只有欺骗民众的货币政策才有可能产生实际效果。
[对外经济贸易大学2018研]【答案】√查看答案【解析】在理性预期时，人们可以最好地利用所有可以获得的信息，包括关于现在政府政策的信息来预期未来，所以正常的货币政策对实际经济状况不会造成影响，只有通过欺骗民众的货币政策，使民众产生错误的预期，才有可能改变实际经济状况。
2根据费雪模型，当消费者面临借贷约束时，其消费水平会下降。
（）[上海财经大学2017研]【答案】×查看答案【解析】当消费者面临借贷约束时，消费可能不降反增。
比如在没有借贷约束时，消费者在当期是贷款者。
即他消费完还剩多余的资金，他愿意将剩下的资金贷款出去从而获得一部分收益，而如果现在消费者面临借贷约束时，消费者就可能无法将手中多余的资金贷款放出去，这时候他就不得不把多余的资金花出去。
则当期的消费会上升。
3根据庇古的实际余额效应，总需求将随着价格水平的下降而增加，这是因为利率下降导致投资需求增加。
（）[对外经济贸易大学2016研]【答案】×查看答案【解析】实际余额效应是指价格水平下降，使人们所持有的货币及其他以货币为固定价值的资产的实际价值升高，人们会变得相对的富裕，于是人们的消费水平就相应的上升，带来消费需求上升并进一步带来总需求的提升，所以总需求曲线是向右下方倾斜的。
题目中所述的逻辑本身是正确的，属于货币市场理论与投资理论的内容，但与实际余额效应无关。
4托宾q理论认为企业家应该根据企业资本市场价值和企业资本的重置成本比率做出投资决策。
（）[上海财经大学2013研]【答案】√查看答案【解析】托宾q值是企业作出投资决策的比例依据，q＝已安装资本的市场价格/已安装资本的重置成本。
如果q大于1，那么股票市场对现有资本的估价就大于其重置成本，在这种情况下，企业就会增加投资；如果q小于1，那么股票市场对资本的估价就小于其重置成本，在这种情况下，企业就会减少投资。
第3章内生增长
1．金融危机、货币宽松与经济增长（请阅读下面关于美国量化宽松的描述并简要回答问题，要求简明指出要点）。
2007年中，美国爆发次贷危机和金融危机，金融市场波动增加，风险增大。
美联储（美国中央银行）采取了一系列的对抗措施，力图阻止经济产生更大波动，稳定增长和就业，促进经济增长。
先是把联邦基金利率从2007年7月的5.25%，下降到2008年12月的几乎为零，一年半的时间内下调了超过5个百分点。
然后先后在2008年11月、2010年11月、2012年9月推出三轮量化宽松的政策，大量购买美国国债、机构债、资产抵押债券，向市场注入资金。
（1）根据你的货币政策知识，简要描述降低利率和量化宽松的区别。
（2）2011年9月，美联储推出了扭曲操作，出售4000亿美元中短期国债，购入相同数量的中长期国债。
美联储进行这样的操作的预期效果是什么？
根据《联邦储备法案》，美联储的政策目标是“充分就业、价格稳定和适中的长期利率”。
次贷危机和金融危机以来，美国的失业率快速上升而且居高不下，从2007年5月的4.4%上升到2009年10月的10%，后来缓慢下降，但是迄今一直保持在7.2%以上，远远高于6.5%以下的政策目标，而且美国的通货膨胀率也一直不高。
因此，美联储一直没有退出量化宽松政策。
（3）基于索罗模型，一个经济体的产出由技术和要素投入决定：Y＝AF（K，L，H），其中Y是产出，A是生产技术，K是资本，L是劳动力，H是附着在劳动力上面的人力资本。
这个模型还可以进一步扩展，比如把自然资源包含进去作为生产函数的另一种要素投入，再
比如进一步考虑生产技术A如何变化。
一个有意思的观察是，在增长模型中并没有货币因素，也没有就业，可是为什么美联储认为货币政策可以促进就业呢？请从政策目标之间的关系考虑。
（4）从2007年危机爆发至今，已有6年多的时间。
虽然美联储的货币政策一直极为宽松，但是美国的经济复苏一直不强劲、不稳定，而且在此期间美国在技术领域取得了诸多进展，比如页岩气开采技术等等。
如果你是政策制定者，根据索罗模型，你认为美国的经济政策应该如何进一步促进增长？
（5）基于你对问题（4）的回答，你认为长时间的货币宽松有助于经济增长吗？简要回答理由。
答：（1）货币当局调节货币供应量的方法有两种：①改变货币的价格，即改变利率。
②直接改变货币供应量。
降息属于前者；量化宽松属于后者，量化宽松主要是指中央银行在实行零利率或近似零利率政策后，通过购买国债等中长期债券，增加基础货币供给，向市场注入大量流动性资金的干预方式，以鼓励开支和借贷，也被简化地形容为间接增印钞票。
量化是指扩大一定数量的货币发行，宽松即减少银行的资金压力。
当银行和金融机构的有价证券被央行收购时，新发行的钱币便被成功地投入到私有银行体系。
量化宽松政策所涉及的政府债券，不仅金额庞大，而且周期也较长。
当一个经济体陷入凯恩斯陷阱中，即使货币当局降息，也不会释放出多少流动性时，通常会采取量化宽松货币政策来刺激经济。
（2）从次贷危机爆发开始，美联储先后使用降低利息和量化宽松的手段来稳定经济波动。
但是，长时间的量化宽松政策并没有取得良好的效果，美国经济增长仍然乏力，导致就业市场疲软，失业率未有明显降低。
此时，由于利率已经被调整至较低水平，而通货膨胀水平也不高。
因此，为了实现充分就业的目标，美联储再次采取量化宽松政策。
这样做的预期效果是：
①量化宽松货币政策会增加货币供给，提高通货膨胀率。
根据短期菲利普斯曲线描述的失业率与通货膨胀率的替代关系，量化宽松政策将适当提高通货膨胀率，刺激总需求，从而降低失业率。
②出售4000亿美元中短期国债，购入相同数量的中长期国债，实际上延长了其持有的4000亿美元国债的期限，表明这4000亿美元的基础货币会在长期流通，故能够压低长期利率，降低长期利率预期，刺激投机，从而提振经济。
（3）索罗模型研究长期经济增长，认为经济体的产出在长期是由技术进步决定的。
在拓展的索罗模型中，还考虑到了内生增长理论有关内容，如把生产技术内生化，加入人力资本和自然资本等因素。
从超长期的视角来看，由于货币中性和失业率处于自然失业率（即充分就业水平），这两个因素不会影响索罗模型中的相关变量。
因此，这些拓展模型中并没有货币因素和就业。
索罗模型及其拓展模型侧重于研究长期经济增长问题，尤其是生产技术方面的问题。
而对于短期而言，特别是当出现大量失业和有效需求不足时，由于投资受利率影响，当利率下降时，投资增加，提高了需求，所以，美联储采用一系列宽松的货币政策时，降低了利率，刺激了投资，从而促进经济增长。
即使经济陷入凯恩斯陷阱，量化宽松的货币政策以及扭曲操作依然可以使人们形成对未来利率持续较低的预期，从而达到刺激投资、提高总需求并增加短期总产出的目标。
（4）根据索罗模型，美国应采取如下经济政策来进一步促进增长：
①提高储蓄率。
根据索罗模型，增加储蓄率虽然无法提高总产出增长率，但是可以提高人均产出水平。
对于美国而言，人力资本和技术水平已到达发展瓶颈，甚至进入边际报酬递减的区域。
因此通过增加人力资本和提高技术水平来促进经济增长的效率很低。
但美国储蓄率低，提高储蓄率，适当引导居民增加储蓄，有助于经济达到新的稳定状态，促进经济增长。
②再工业化。
次贷危机和金融危机的爆发让使美国意识到过度发展虚拟经济的危害，凸显了实体经济的重要性。
通过再工业化来引导制造业的回归，以及实体资金和技术回流，在生产技术领域取得了诸多进展的背景下，再工业化的意义更加重大，有助于经济增长。
同时，在美国失业率高企的情形下，再工业化可以增加工作岗位，调整结构性失业，减少失业率，这将进一步增加有效工人数量，促进经济增长。
（5）长时间的货币宽松不会有助于经济增长。
长期经济增长与技术进步、人口和资本有关，但与利率和货币的供给量无关。
要促进长期经济增长，应该更多地引导社会资源从生产力的提高角度上来入手。
增加科研投入，有效地转化科研成果；提高储蓄，增加人均资本量；改革部分不合理体制，增加就业的积极性。
但是，量化宽松的货币政策只是改变利率预期，短期刺激生产和需求，不会有助于长期经济增长。
2．考虑封闭经济中的索洛增长模型：储蓄率s外生给定，0＜s＜1，即储蓄率始终为可支配收入的固定比率；人均生产函数表示为：y＝f（k）＝Akα，0＜α＜1；资本折旧率σ为0；技术A的进步速率为g＝0，人口增长率为n＞0。
（1）假如政府通过一项移民法令使得移民流入下降，受其影响该国人口增长率从n下降到n new，即0＜n new＜n。
假设这一政策改革瞬间完成，并一直持续下去。
进一步假设该国在政策改革之前就已经处于稳态之中。
请回答：这一政策改革对于稳态的人均资本存量k，人均产出y，工资率w，资本价格r的影响？谁是受益者，劳动者还是资本所有者？
（2）假设政府通过的移民法令并未改变人口增长率，但限制了高技术人员的移民门槛，这使得技术水平从A下降到A new，即0＜A new＜A，假设这一政策实施了一段时间，从t1开始，到t2结束。
进一步假设该国在政策改变之前就已处于稳态之中。
请绘图并回答：该国的人均资本存量k t和人均产出y t是如何随着时间而变化的？（分别作出k t和y t的图像，
以时间为x轴）
（3）假设我们把模型引入政府。
政府消耗资源但并不参与生产或资本积累活动。
假设人均负担政府消费为g t，政府为了维持这一支出，其唯一收入来源是对产出征税，税率为τt。
假设政府每期预算始终平衡，收支相抵。
请推导出人均资本存量的积累方程，并求解稳态时人均资本存量。
作图回答一项永久性的政府支出增加（税率相应改变以维持政府每期的预算平衡）对于人均产出，人均资本存量，人均消费的影响。
（分别作出y t，k t和c t的图像，以时间为x轴）。
（4）假设生产函数为y t＝k tαg tβ，其中α＞0，β＞0，0＜α＋β＜1。
假设人均负担政府消费为g t，政府为了维持这一支出，其唯一的收入来源是对产出征税，税率为τt。
假设政府每期预算始终平衡，收支相抵。
请推导出人均资本存量的积累方程，并求解稳态时人均资本存量。
定义最优税率为最大化人均资本存量的税率，求解这一最优税率水平。
解：（1）当资本折旧率和技术进步速率均为零时，经济稳态条件为：sy＝nk。
如图3-1所示，人口增长率下降使稳态的人均资本存量k和人均产出y提高，其初始提高速度很快，然后逐步放缓，直至提高速度降为零，经济实现新的稳态。
稳态的工资率是使劳动力市场供求均衡的工资率。
人口增长率下降不影响劳动力需求的增长率，但降低了劳动力供给的增长率，故劳动力供不应求，稳态工资率w提高了。
由于劳动力供不应求，资本的边际产出MP K下降，当资本折旧率为零时，资本价格r＝MP K也下降了。
此项政策使劳动者收益。
图3-1 人口增长率下降的影响
（2）如图3-2所示，当技术水平发生变化时，稳态人均资本也发生变化。
图3-2 技术水平下降的影响
由图3-2可知，稳态时人均资本量会减少，从而人均收入也会减少。
图3-3、图3-4分别代表k t、y t的变化路径：。
