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正弦函数余弦函数的单调性

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1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 课件

1.4.2第2课时 正、余弦函数的单调性与最值 课件
栏目 导引
第一章 三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时， 要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定 义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利 用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的 形式求最值．
第一章 三角函数
栏目 导引
第一章 三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)． 所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)； 单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目 导引
第一章 三角函数
【名师点评】 正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采 用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调 区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
栏目 导引
第一章 三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间． 解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)． 由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增 区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递 增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．

正弦函数、余弦函数的单调性与最值

正弦函数、余弦函数的单调性与最值

∵函数y＝sin
π π x在－2＋2kπ，2＋2kπ(k∈Z)上是增函数，
π π π ∴－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ， 2 3 2 π 5π 即－ ＋kπ≤x≤ ＋kπ(k∈Z)． 12 12
π π 5π ∴函数y＝3sin 3 －2x 的单调递减区间为 －12＋kπ，12＋kπ
π π π 13π ∴cos ＞cos ，即cos－8 ＞cos . 8 7 7
(2)sin 194°＝sin (180°＋14°)＝－sin 14°， cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°. ∵0°＜14°＜70°＜90°且y＝sin
比较三角函数值大小的方法 (1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公 式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调 性比较． (2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先 化为同名的三角函数，后面步骤同上．
[活学活用] 比较下列各组数的大小．
π 13π (1)cos －8 与cos ； 7
(3)在区间[0,2π]上，函数y＝cos x仅当x＝0时取得最大值1. ( × )
2．在下列区间中，使函数y＝sin x为增函数的是 ( A．[0，π]
π π C．－2，2 π 3π B．2 ， 2
)
D．[π，2π]
答案：C
3．函数y＝2－sin x的最大值及取最大值时x的值为 π A．ymax＝3，x＝ 2 π B．ymax＝1，x＝ ＋2kπ(k∈Z) 2 π C．ymax＝3，x＝－ ＋2kπ(k∈Z) 2 π D．ymax＝3，Biblioteka ＝ ＋2kπ(k∈Z) 2值域
[点睛]

正弦函数和余弦函数的图像与性质

正弦函数和余弦函数的图像与性质

例2.求下列函数的最大值与最小值，及取到最值 时的自变量 x 的值. (2) y 3sin x cos x (1) y sin(2 x )
4 解:(1)视为 y sin u , u 2 x 4
8 3 当 u 2k ，即 x k , k Z 时， 2 8 ymin 1 2
二、正弦函数与余弦函数的周期
对于任意 x R 都有
sin( x 2k ) sin x, k Z cos( x 2k ) cos x, k Z
正弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2
周期，最小正周期是 2 余弦函数是周期函数， k , k Z , k 0 都是它的 2 周期，最小正周期是 2
注：一般三角函数的周期都是指最小正周期
1 (1) f ( x) cos 2 x (2) f ( x) sin( x ) 2 6 解: (1)设 f ( x)的周期为 T f ( x T ) f ( x)
即 cos[2( x T )] cos 2 x 即 cos(2 x 2T ) cos 2 x 即 对任意 u 都成立：cos(u 2T ) cos u 因此 2T 2 ，从而 T 解毕
第六章 三角函数
5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形
6.1.1 正弦函数和余弦函数的图像与性质
一、正弦函数和余弦函数的概念 实数集与角的集合可以建立一一对应的关系， 每一个确定的角都对应唯一的正弦(余弦)值. 因此，任意给定一个实数 x ，有唯一确定的值
sin x(cos x) 与之对应.
函数 y sin x 叫做正弦函数 函数 y cos x 叫做余弦函数 正弦函数和余弦函数的定义域是 R 正弦函数和余弦函数的值域是[1,1]

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

正弦、余弦函数的奇偶性、单调性

正弦、余弦函数的单调性
例1 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0： (1) sin(

) – sin( 18



10
)
解： 2 10 18 sin(
5

2
又 y=sinx 在[
)

10
) < sin(

18
即：sin( 18 ) – sin( 10 )>0
正弦、余弦函数的奇偶性
一般的，对于函数f(x)的定义域内的任 意一个x，都有f(-x) ＝ f(x)，则称f(x)为这一 定义域内的偶函数。
关于y轴对称
cos(-x)= cosx (xR)
y
1 -4 -3 -2 -
y=cosx (xR) 是偶函数
o
-1

2
3
4
5
6
x
正弦、余弦函数的奇偶性
+2k, +2k],kZ 上单调递减 2 2 3 [ +2k , +2k],kZ上单调递增 函数在 2 2
3 8 8 3 3 7 2k 2 x 2k k x k 2 4 2 8 8 3 所以：单调增区间为 [k , k ] 8 8 3 7 , k ] 单调减区间为 [k 8 8 k x k
1 2k x 2k 2 3 4 2
正弦、余弦函数的单调性
(5) y = -| sin(x+ )| 4 解： 令x+ =u , 则 y= -|sinu| 大致图象如下： 4
y 1
y=|sinu|
2
2

3 2

正弦函数余弦函数的单调性(教学课件201911)

正弦函数余弦函数的单调性(教学课件201911)

2
42
kZ
2k x 2k
12 3
43
kZቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数的单调递减区间是[ 2k , 2k ] ，k Z
12 3 4 3
② y 1 cos2 x
解：y sin 2 x
1 cos 2x 1 cos 2x 1
2
2
2
2k 2x 2k
正弦函数、余弦函数的单调性
（复习课）
每
课 已知：ABC是锐角三角形，
一
函数f (x)在[0,1]上是增函数，那么有 （ ）
练
A f (sin B) f (cosA) ．
Ｃ．f (sin B) f (sin A)
Ｂ．f (sin B) f (cosA) Ｄ．f (cosB) f (cosA)
州 瑰宅中常有父时旧部曲数百 历官无畜聚 恐贼觉 太清三年 出为都督 帝必惊觉 夏四月壬申 上以邵诚节 封前寿
1．求下列函数的单调递减区间：
① y sin( 3x)
4
② y 1 cos2 x

① y sin( 3x) 4
解： y sin(3x )
4
2k 3x 2k
x 如果对于属于 I
内某个区间上的任意两个自变量的值
x 1
,
,
2
x x 当 1
2时,都有
f (x ) 1
f (x ) 2
那么就说 f (x) 在这个区间上是减函数。这个区间为单调减区间。；第二 https:/// 第二 ；
不从 中大通三年 冲等重请 为吴兴太守 追尊所生妣阮修容为文宣太后 衣染天血 圣情孝友 特赐宅一区 以待湘州之捷 求为始丰

正弦函数、余弦函数的单调性与最值

正弦函数、余弦函数的单调性与最值
________ T＝2π
函数名称 图象与性质 性质分类 图象 奇偶性 _________ 奇函数 _________ 偶函数 y＝sinx y＝cosx
不同处
函数名 称 图象与性质 性质分类 在 不同 处 y＝sinx y＝cosx
单调性
π π [2kπ－π，2kπ](k∈Z) 上 2kπ－ ，2kπ＋ (k∈Z) 在 ____________________ 2 2 ________________________ 递增； 上递增； 在 在 π 3 [2kπ，2kπ＋π](k∈Z) 2kπ＋ ，2kπ＋ π(k∈Z) ________________________ 2 2 ________________________ 上递减 上递减
π π π 【解】 (1)由 2kπ－2≤x＋3≤2kπ＋2(k∈Z)， 5 π 得 2kπ－6π≤x≤2kπ＋6(k∈Z)． π π 3 由 2kπ＋2≤x＋3≤2kπ＋2π(k∈Z)， π 7 得 2kπ＋6≤x≤2kπ＋6π(k∈Z)． ∴函数
π y＝2sinx＋3的单调增区间为
(2)可化为 y＝Asin2x＋Bsinx＋C 或 y＝Acos2x＋Bcosx＋C(A≠0) 的最大、最小值可利用二次函数在区间[－1,1]上的最大、最小值 的求法来求(换元法)． Asinx＋B Acosx＋B 2 (3)形如 y＝ 或 y＝ (A ＋C2≠0)的最大值最 Csinx＋D Ccosx＋D 小值可解出 sinx 或 cosx 后利用其有界性来求．
2．比较三角函数值大小的方法 先利用诱导公式把要比较的三角函数值转化为同一单调区间 上的同名三角函数值，再利用三角函数的单调性比较大小． 3．求三角函数值域或最值的常用方法 (1)可化为单一函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 或 y＝Acos(ωx＋φ)＋k 的最大值为|A|＋k， 最小值为－|A|＋k(其中 A、 ω、 k 为常数， A≠0， ω≠0)．

正余弦函数的单调性

．内容及解析（一）内容：本节课从正弦函数的图像出发研究正弦函数的单调区间，并在此基础上类比得出余弦函数的单调区间.内容还包含利用三角函数的单调性比较一组数的大小，以及求已知三角函数的单调区间.（二）解析：由于三角函数是刻画周期变化现象的重要数学模型,这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方,而且对于周期函数,我们只要认识清楚它在一个周期上的单调性那么它在整个定义域内的单调性即可知道.二、目标及解析（一）教学目标1．掌握正弦函数、余弦函数的单调性；3.会利用三角函数的单调性判断一组数的大小，会求给出的三角函数单调区间.（二）解析1.根据《课程标准》提出本节内容的要求及本节课内容对今后学习的影响，提出了上述教学目标并给出了相应的要求定位.单调性是学习最值的基础.2.正、余弦函数的单调性与前面学习的函数的单调性的含义是一样的.3. 正、余弦函数的单调性，要求由图象观察，可以进一步学习的类比的思想方法，渗透数形结合思想.三、问题诊断分析同学在研究过程中对取区间来进行研究理解可能会遇到困难，此处需引导学生观察图像，强调由于三角函数的周期性，首先我们只用研究一个周期内的情况，其次这个区间上有且仅有一个单调增区间和一个单调减区间；第二个难点，将一个周期的单调区间推广到整个定义域范围内，教学过程中要给学生充分的时间思考，教师引导他们得出单调区间的一般形式.四、教学过程设计（一）教学基本流程正弦函数的单调区间单调性的引入余弦函数的单调区间课堂小结单调性的运用（二）教学情境1.单调性的复习引入上次课我们学习了正、余弦函数的周期性及其奇偶性，这节课我们将继续来研究三角函数的另一个重要性质-----单调性.问题1：什么是函数的单调性？设计意图：引导学生复习单调性的概念.师生活动：教师提问，学生回答.问题2：我们研究函数的单调性是在定义域范围内研究的，正、余弦函数的定义域是什么？设计意图：此内容在学习三角函数图像的时候已经提过，此处提出来一是帮助学生记忆，二为接下来的内容做铺垫.师生活动：定义域为.2.正弦函数的单调区间问题3：观察正弦函数图象，它在整个定义域上具有单调性吗？在区间上具有单调性吗？设计意图：正弦函数在整个定义域范围内并不具有单调性，但在区间上具有单调性，提出此问题帮助学生从图象整体转移到部分.师生活动：学生观察图像，回答问题.教师适当点拨.问题4：你能写出正弦函数的几个单调递增区间吗？设计意图：此问题有助于学生发现这些区间之间的关系.师生活动：学生看图动手写，教师提问.问题5：整个定义域范围内的所有的单调增、减区间该怎么表示呢？设计意图：提出问题，引导学生思考取哪个区间来作为出发点.在学习了周期性的基础上来思考此问题，首先有助于加强周期性的运用，其次能提高学生的归纳能力.师生活动：（1）学生观察函数图象说出自己的想法及理由；（2）师生得出应以为出发点，原因之一这个区间有且仅有一个单调增区间和一个单调减区间，其次这个区间在原点附近，便于研究.(3)正弦函数的周期是多少？得出单调递增区间：得出单调递减区间：（4）请同学们观察在区间内函数值的变化范围？在整个定义域范围内的函数值变化情况呢？3、余弦函数的单调区间问题6：类比正弦函数的单调区间的研究过程，你能得出余弦函数的单调区间吗？其函数值的变化情况又怎样呢？设计意图：同学用研究正弦函数的方法，类比研究余弦函数的增减区间，培养类比思维.师生活动：（1）同学类比研究正弦函数方法，根据余弦函数的图像，自主探究余弦函数的单调性，讨论得出余弦函数的单调区间，函数值的变化情况.（2）教师给学生足够的时间思考、讨论，并巡视课堂做个别点拨,最后提问：我们应该选择哪个周期来作为研究对象？在这个周期内的增减情况如何？函数值变化情况怎样？如何将本周期内的情况扩充到整个定义域范围内？其一般情况如何表示？4、单调性的运用例1：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：（1）与；（2）与.设计意图：本题么难点在于用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，大部分同学可能想不到.通过运用单调性解决问题，一能帮助同学记忆单调区间，其次帮助同学掌握利用单调性比较两个三角函数大小的基本方法.师生活动：教师用提问的方式提示同学将角转化到同一个单调区间内：（1）我们知道正、余弦函数具有周期性，利用单调性来比较已知角的三角函数值的大小，若已知角不在同一个单调区间内，怎么办？变式训练：利用三角函数的单调性，比较下列数的大小：与设计意图：及时巩固例1的解题方法.师生活动：学生自主完成，教师巡视进行个别辅导.例2：求函数的单调递增区间.设计意图：本题对同学来说可能会有一定难度，通过本题，进一步理解函数的单调性，掌握利用单调性解题的基本方法.师生活动：教师提示同学将分解，可提出问题：（1）的单调递增区间是什么？（2）的单调递增区间是什么？（3）的单调递增区间是什么？变式训练：你能求的单调递增区间吗？设计意图：通过解决本问题，使学生对求相对复杂函数的单调区间的问题有一个完整的认识.师生活动：同学先行试解，一定时间后教师将错误答案呈现出来，然后同学利用描点画图的方法将此函数图像画出来观察其单调增区间是否与答案一致.（1）我们发现与答案恰好相反，为什么？（2）同学们观察此函数与例1的函数有什么区别，为什么用例1的方法结果是错的？（3）能否将此函数转化为与例1类似的形式？5、目标检测：1．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：（1）与（2）与2.求函数的单调递增区间.6、小结（1）正、余弦函数的单调区间，函数值变化情况分别是什么？（2）利用三角函数的单调性比较一组数的大小需注意什么问题？（3）如何求一个已知三角函数的单调区间？。

正弦,余弦函数的单调性和奇偶性[优质ppt]

x 内的任意一个 ，都有 f(x)f(x)则称 f (x) 为
这一定义域内的偶函数。偶函数的图像关于 y
轴对称。
定义：一般地，如果对于函数 f ( x)的定义
域内的任意一个 x都 f(x)f(x),则称 f (x)
为这一定义域内的奇函数。奇函数图像关于原 点对称。
x 注意：1、 是任意的
2.奇函数，偶函数的定义域必须关于原点对称
正弦、余弦函数的性质
（奇偶性、单调性）
X
知识回顾 y
1
3 5 2
2 3
2

2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
y=sinx (xR) 定义域 xR
值 域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
3 5 2
x( , )
x( , )
且f(x)(x)si nx)(
且f(x)1si nx)(
xsinx
1sin x
f (x)
f(x)f(x)且 f(x)f(x)
函数 yxsinx是偶函数 y 1sinx是非奇非偶函数
判断下列函数的 （ 1）yxsinx
再观察正弦函数图像
y
1
3 5 2
2 3
2

2
O 3 2 5 3 x
2
2
2
1
正弦函数 ysinx在
在每个闭区间 [2k,2k]k (Z)上是增函数，
22
其函数值从-1增大到1
在每个闭区间 [2k,32k](kZ)是减函数，
其关于原点的对称点 P'(x,sinx) ， 由诱导公式 sinx()sixn, 即 P'(x,sinx()) 故P '也在正弦函数的图像上。

1.4.2 正弦 余弦函数的性质(单调性、最值)


3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2

2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:

2
1 y sin x 3 2
y sin z

2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-


2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…


2
…
0
1
…
2
…

-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k， 其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2


y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2

2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z

o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)

正弦、余弦函数的性质(奇偶性、单调性)



) <0
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
例2 求下列函数的单调区间： (1) y=2sin(-x ) 解：y=2sin(-x ) = -2sinx
函数在 [
函数在 [

2 2
+2k, +2k,

4

2 3 2
+2k],kZ 上单调递减 +2k],kZ上单调递增

2 k
(2) y=3sin(2x解：k 2
23 5
17 4
)
3 5
)=cos
3 5
23 5
=cos
cos(
3 5
17 4
)=cos

4
17 4
=cos
0


cos
3 5
4
又 y=cosx 在 [ 0 , ] 上是减函数

4
<cos
即： cos
17 4
– cos
<0
从而 cos( 235 ) - cos(
正弦、余弦函数的奇偶性、单调性
(3) y= ( tan 7 )sinx 6
解：
(4) 当
0 tan
7 6
tan

6

3 3
1
单调减区间为 单调增区间为
y log
1 2 1 2 cos( x
[2k [2k

3 )

,2 k ,2 k

], ( k Z ) ], ( k Z )

2
函数
单调性（单调区间）

+2k, 2 +2k],kZ 单调递增
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