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9第九讲 结构网格生成方法

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贴体结构化网格的生成方法

贴体结构化网格的生成方法
方 法 ：解 椭 圆 型 偏 微 分 方 程 方 法 。
点介绍 解偏微分 方程生成 网格的 方法 。
２ ３ 微分 方程法 ．偏 偏微分 方程 生成 网格的基本思 想为 ： 定义计算域坐标 与物理域坐标之 间的一组 偏微 分 方程 ，解这 组 方程将 计算 域 上的 网格转 化到物理域 。偏微分 方程有三种 ： 椭 圆型 、双 曲型和抛物 型方程 ． 下面主要 讲述一 下求 解椭 圆型偏微分的 网格生成方
（ ｘＦ＋Ｏｘ ） Ｐ ，
ｏ 一 ２ ∈ ＋Ｙ Ｘ 一Ｊ 【ｙ ｐ ｙ ｎ ｎ
的深入， 所要研究的对象形状 日益复杂， 如何
能够快速有效地生成满足计算要求 的网格 已经成为当前计算流体力学发展的一个 重
要 的 研 究 课题 。
求出内部一点 （ Ｙ）对应的 芎 、Ｔ。 Ｘ， １
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ（ ） ４
网格 生成 ； 构化 网格 ； 结 构化 网格 ； 体 坐 标 结 非 适
计算 流体 力学 作 为计算 机 学科 、 流 体力学、微积分理论 、数值分析等学科的 交叉融合 ， 它的发展不仅依赖于这些学科的 发展， 更加直接地受制于网格生成技术及数 值计算方法的发展， 随着计算流体力学发展
一
ｐ Ｔ＝ ，） 一 Ｉ
ｎ＝ｌ
卜
域我 们总 可以 将其 取 为规 则区域 ，所 以 用椭 圆型 方程来生成 网格一般都通过求解 计算平 面上 的边 值 问题 来进行 的 。 Ｌ ｐａ ｅ ａ ｌｃ 方程描述 了一个稳态 的扩散 过 程 ，扩 散过 程 的结果 是边 界 上规 定的 疏密不同的分布 传递 到区域 内部时 已经被 抹平 ，但是我 们在 进行 数值 计 算时 ，理 想的情 况是希 望在物理平面上的 网格划分

生成结构网格的方法、结构网格的使用方法、计算机程序和计算机可读介质[发明专利]

生成结构网格的方法、结构网格的使用方法、计算机程序和计算机可读介质[发明专利]

专利名称：生成结构网格的方法、结构网格的使用方法、计算机程序和计算机可读介质
专利类型：发明专利
发明人：加埃塔·康佩尔,博里斯·劳伯
申请号：CN201980099303.4
申请日：20190814
公开号：CN114222659A
公开日：
20220322
专利内容由知识产权出版社提供
摘要：一种用于生成结构网格的方法、结构网格的使用方法、计算机程序和计算机可读介质。

本发明涉及一种生成结构(2)的结构网格(9)的方法，该结构网格通过增材制造构建过程被构建于三维构建体积(1)中并且包括至少一个样本6a，b和用于将至少一个样本(6a，b)支撑在构建体积(1)的边界(5)上的至少一个支撑件(8)，其中结构网格(9)可被用于模拟结构(2)的增材制造构建过程中。

本发明还涉及结构网格(9)的使用方法、计算机程序和计算机可读介质。

申请人：西门子工业软件公司
地址：比利时勒芬
国籍：BE
代理机构：北京康信知识产权代理有限责任公司
代理人：陈方鸣
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流体机械结构化网格

流体机械结构化网格

流体机械结构化网格流体机械是指利用流体力学原理转换机械能的设备，如泵、水轮机、风力发电机等。

为了对流体机械进行仿真和优化设计，在计算流体力学（CFD）中，需要对流体机械进行结构化网格的建立。

结构化网格是由规则、有序的网格单元构成的网格，网格单元之间的连接关系易于描述，适合用于边界条件的设定和问题的求解。

对于流体机械，结构化网格可以更准确地模拟流体流动的特性，提高计算结果的准确性。

本文将介绍流体机械结构化网格的建立方法。

首先，流体机械结构化网格的建立首先要确定流动区域的几何形状，包括叶轮、叶片等。

可以使用CAD软件对流动区域进行绘制，并将其导出为标准格式（如STEP、IGES）的文件。

然后，使用网格生成软件，如ANSYSICEMCFD、GAMBIT等，将几何模型导入进行后续的网格划分。

其次，进行网格划分时需要根据流体机械流动的特性进行设计。

对于轴对称的叶轮，可以采用旋转体对称法进行网格划分，保证计算时的对称性。

对于多叶片叶轮，可以采用斜叶片法进行网格划分，保证流线在叶轮上的分布均匀。

另外，要根据流体机械的尺寸、速度等参数确定网格尺寸的设置，过细的网格会增加计算量，过粗的网格会损失较多的信息，影响计算精度。

通常采用网格划分的自动化方法，根据预设的网格尺寸进行划分，并进行适当的网格尺寸修正。

然后，进行网格的连接和连接关系的设定。

对于旋转体对称的叶轮，可以通过复制旋转体的方式进行网格连接。

对于多叶片叶轮，需要确定叶片之间的连接关系，保证网格整体的连续性。

在连接过程中，可以通过调整网格的节点位置，保证相邻网格之间的连接平滑。

连接完成后，可以导入流体机械的边界条件，如叶轮的入口、出口条件，以及叶片表面的壁面条件。

最后，进行网格的质量检查和修正。

质量检查可以通过软件自带的质量评估工具进行，对网格中的不良单元（如扭曲单元、翻转单元）进行标记。

对于标记出的不良单元，可以通过调整网格节点位置、重新设定网格尺寸等方法进行修正，使得整个网格质量达到要求。

网格生成技术

网格生成技术

双曲方程生成的内流网格
抛物方程生成网格
5 非结构网格
• 没有固定结构，节点编号命名无一定规则甚至随 意，节点的邻点个数也不是固定不变 • 二维和三维空间中最简单的形状是三角形和四面 体，任何平面或空间区域都可被三角形或四面体 填满。 • 除了每一单元及其节点的几何信息必须存储外， 相邻单元的编号也必须存储起来
椭圆型方程法 – 封闭边界情况
双曲型方程法 – 外部流动、内部流动 抛物型方程法 – 同上
A 保角变换法
• 根据复变函数中的保角变换理论，映射得到物理 域边界和计算域边界间的对应关系，进而利用边 界的对应关系生成内部节点。 • 可以保证物理平面上所生成的网格的正交性 • 仅适用于二维问题
B 代数法
网格自适应化的方法
• 网格细化法 (h型方法)：通过网格的进一步 细化来实现自适应目标 • 重新分布法 （r型方法）：指保持单元或节 点数不变而通过重新分布节点位置实现自 适应目标
通过边界点控制网格加密
网格局部加密
外掠后台阶流场计算的 网格自适应调整
控制容积凝聚法生成的粗密网格
8 区域扩充法
第9章 网格生成技术
为什么要研究网格生成技术？
工程上的流动与传热问题大多发生在复杂区域内
网格生成：计算流体和传热中十分重要的研究领域
数值计算的最终精度及效率，取决于：
生成的网格 采用的算法 高效的数值计算： 网格生成，求解算法 良好匹配
9.1 网格生成技术概述
正交曲线坐标系（14种）
保角变换法 边界规范化方法 双边界法
• 直角坐标系简单方便，不少研究者愿意在 直用阶梯形边界逼近真实边界
采用阶梯形边界逼近真实边界
• 在计算传热学发展的早期，曾广泛采用这种方法。 由于这种网格的构造简单，可以适用于任何形状 的物体，因而近年来又引起了许多研究者的兴趣， 特别在计算大规模问题时（如环境工程问题）经 常采用。并用局部加密的方法更好的逼近曲线边 界

9第九讲 结构网格生成方法

9第九讲 结构网格生成方法

10
1、控制方程的变换
1）、导数的变换
对于一阶偏导数，根据链式求导法则，有
∂φ ∂φ ∂φ ξx + ηx = ∂x ∂ξ ∂η
∂φ ∂φ ∂φ = ξy + ηy ∂y ∂ξ ∂η
对于二阶偏导数，有
∂ 2φ ∂ ∂φ ∂φ ( = ξ + ηx ) x ∂x 2 ∂x ∂ξ ∂η ∂φ ∂φ ∂ ∂φ ∂ ∂φ = ξ xx + η xx + ξ x ( ) + η x ( ) ∂ξ ∂η ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ξ xx + η xx + ξ x [ 2 ξ x + ηx ] +ηx[ ξx + 2 ηx ] = ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂ξ∂η ∂η ∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ 2 ξ xx + η xx + 2 (ξ x ) + 2 ξ xη x + 2 (η x ) 2 = ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
微分方程变换 同样推导 不好离散 其中 若物理平面边界点确定如下：
30
离散方程 其中
31
（*）
其中
当物理平面求解域边界的网格点坐标已经确定时，（*）式是 封闭的，可以解出xi, j, yi, j。由于（ * ）式是一个非线性方程 (主要是ai,j)，我们只能用迭代法求解：
32
首先给定边界网格坐标（已知量） ，并给
∇ 2ξ = P ∇ 2η = 0
P = − a ⋅ sgn(η − ηj ) ⋅ e
j =1
25
−d η −ηj
a = 200 d = 0.3
Δξ = 1 Δη = 1

网格生成

网格生成
2
( 2 ) ( 1 ) R L ( ) R1 R 2 [1 f ( )]R1 f ( ) R 2 (1 2 ) ( 2 1 )
x( ) [1 f ( )]x(1 ) f ( ) x( 2 ) y ( ) [1 f ( )] y (1 ) f ( ) y( 2 )
( xx yy ) ( xx yy )

J
2

2 J
2


J
2
( xx yy ) ( xx yy )
假设ξ,η是物理平面上Poisson方程的解，即有
2 P( , ), 2 Q( , )
δ(y)
M. Faghri, E. M. Sparrow & A. T. Prata, Finite-difference Solutions of Convection-diffusion Problems in Irregular Domains, Using a Nonorthogonal Coordinate Transformation, Numerical Heat Transfer, pp. 183-209,1984
网格生成
物理平面
R(ξ,η) R(x,y)
计算平面
网格生成的已知条件：物理平面上求解区域边界上的节点 是给定的，而在计算平面上网格一般总是均匀分布的。 网格生成的实质：如果把物理平面上节点的位置[以其矢 径R(x,y) 作代表]看成是计算平面上ξ,η的函数，则所谓网 格生成就是已知计算平面边界上每一点的R(ξ,η) ，而要确 定计算区域内每一节点相应的R(ξ,η) 。
通过对边界上已知值进行插值，是获得区域内各节点 的R(ξ,η) 值的一种最简易、直接的方法。这种网格生成方 法就是要找出合适的插值函数。由于这时用以生成网格的 表达式都是一些代数方程，称之为代数法。 代数法: (1)边界规范法; (2)双边界法; (3)无限插值法。

如何运用CAD软件进行网格生成的详细步骤

如何运用CAD软件进行网格生成的详细步骤CAD软件是一种广泛应用于设计和工程领域的工具，它可以帮助我们生成复杂的网格模型。

在本文中，我将介绍如何运用CAD软件进行网格生成的详细步骤，以帮助读者快速上手和掌握这项技巧。

步骤 1：准备工作首先，我们需要准备一些基础工作，以确保我们能够顺利进行网格生成。

这包括安装CAD软件、了解软件的界面和基本操作等。

步骤 2：导入几何模型一旦我们对CAD软件有了一定的了解，就可以开始导入几何模型了。

通常，我们会从其他软件或文件中导入几何模型，比如通过导入CAD文件、使用测量数据等方式。

步骤 3：裁剪模型在进行网格生成之前，我们通常需要先对导入的几何模型进行裁剪。

这是因为导入的模型可能会包含一些不需要的部分，我们需要裁剪掉这些部分以提高后续操作的效率。

步骤 4：选择网格生成工具CAD软件通常提供多种网格生成工具，我们需要根据具体需求选择合适的工具。

常见的网格生成工具包括三角网格生成器、四边形网格生成器等。

步骤 5：设置网格参数在进行网格生成之前，我们需要设置一些网格参数，以确保生成的网格符合我们的需求。

这些参数包括网格尺寸、网格密度、网格精度等。

不同的CAD软件可能提供不同的参数设置方式，我们可以根据具体的软件手册或帮助文档进行设置。

步骤 6：生成网格设置好网格参数后，我们就可以进行网格生成了。

根据选择的网格生成工具，我们可以使用相应的功能来生成网格。

通常，我们可以通过指定边界条件、选择网格类型等方式来控制生成的网格。

步骤 7：编辑网格在生成网格之后，我们通常还需要对网格进行一些编辑和调整，以满足实际需求。

这包括调整网格的形状、删减网格中的不必要部分等。

步骤 8：导出网格模型完成网格生成和编辑后，我们可以将生成的网格模型导出到其他软件或文件中。

通常，CAD软件支持多种格式的导出，我们可以选择适合自己需求的格式进行导出。

步骤 9：进一步处理有时，我们可能需要进一步处理生成的网格模型，比如进行分析、优化等操作。

网格生成技术

1. 网格生成技术数值模拟流体运动时，首先将流动区域离散成一定形状的网格，然后在网格节点上求解离散化的控制方程。

数值模拟的计算精度既与控制方程的离散格式的精度密切相关，也与网格结构和分布有关，为了尽量减少计算误差，保证解的稳定性，生成的网格至少满足下面的一些原则：①网格的贴体性。

计算网格应准确反映流动区域的边界形状，并且要能较容易的引入边界条件。

②网格的疏密变化。

在物理梯度大的地方，网格要密些，以提高对流动结构的捕捉能力，搞高数值模拟的精度。

另外，由于在数值模拟之前，人们对流动结构的主要特征不甚了然，如哪此地方会出现旋涡，水跃、激波会产生在什么地方等，因此，计算网格最好能根据计算结果的变化而进行调整，即网格具有自适应性。

由于流动边界和流体运动结构的复杂性，自动生成复杂流场的理想分布网格相当困难，网格生成所费人力也很高，即使在计算流体力学高度发展的国家，网格生成仍占一个计算任务全部人力时间的60%～80%，因此，网格生成技术成为了CFD（计算流体力学）中一个独立的分支，网格生成技术也是CFD中最活跃的研究领域之一。

目前，网格生成方法很多，根据网格拓扑结构可分为两大类：即结构网格和非结构网格。

1.1结构网格的生成结构网格中网格节点与邻点相连，连方式与节点的位置无关，如二维空间中的矩形网格、三维空间中的六面体网格。

对于简单的计算区域，很容易进行结构网格的剖分，对于复杂的流动区域，尽管可以采用阶梯形网格对边界进行近似处理，但是这种处理通用性差，且会影响计算精度，为解决这个问题，人们一般采用坐标变换技术生成计算网格。

坐标变换生成计算网格又称贴体坐标技术，其基本思想是通过数学变换将复杂的物理区域变换到规则的计算空间中，物理空间和计算空间一一对应。

目前生成贴体拟合坐标的方法可以分成代数变换和偏微分方程变换两大类。

代数变换网格生成是用代数公式，一般为显示，给出物理区域和计算区域之间的对应关系，常用的方法有保角变换（conformal mapping）、剪切变换(shearing transformation)和Hermit变换等。

CFD分析的结构化网格自动生成方法

CFD分析的结构化网格自动生成方法在CFD分析的全自动优化过程中，一个关键任务就是如何实现模型、网格的自动生成以及CFD流场分析的自动运行。

最近，我们在的一个名为“GAMMA”研究项目中，遇到这样一个难题——要求自动的生成一个结构化网格。

为什么要结构化网格与非结构化网格相比，结构化网格可以极大地加快流场分析，并且能得到一个精度较好的结果。

在大型设计研究中进行高质量的分析时，两者都可以很好的应用。

然而，在优化研究中，非结构化网格的自动化生成会更加容易实现——只需几何模型就可以实现。

结构画网格却不是这么简单。

结构网格的挑战关键问题在于结构化网格如何去填充一个任意几何的全部特征？举个我们研究的例子，例如涡轮增压器的蜗壳，它就存在一个虽然很小，但却很难处理的几何特征——蜗舌。

如下图所示：整体结构图——造成结构网格困难的区域蜗舌区域是蜗管体和出口段之间的过渡区域。

这对于结构网格来说有点复杂。

对于蜗管主体，可以很好划分结构化网格，一般这部分的结构化网格方式比较明确。

但是在蜗壳存在蜗舌结构，如何对蜗舌处划分结构化网格？在这里就有一些用户迷茫了。

几何框架考虑在这样的蜗壳几何生成结构化网格，那么就需要要为网格系统提取一些有用的信息。

对于各类复杂几何，是不可能只以一种方式来自动生成结构化网格。

我们所做的不仅是生成出新设计的网格，还基于CAESES软件建立一套基于模型参数化的几何框架（能引导生成结构化网格），它在某种逻辑上展示了网格是如何划分的，然后用该几何框架生成结构画网格。

下图展示了几何框架是如何布置的。

CAESES中自动结构化网格的参数化几何案例通过这些几何信息，实现了对这个复杂几何结构的结构化网格划分。

由于这些内部曲线是模型本身的一部分，所以当修改蜗壳的设计变量时，它们也会自动调整。

对于无界面使用者，也可以在优化过程中通过脚本形式创建几何，实现相同的效果，例如通过外部优化工具控制。

这也使得该方法能直接适用于HPC环境。

网格及其生成技术概述


CFD@XJTU2012
2.结构网格生成
贴体网格法
格式构造、边条处理的形式/精度统一，但计算方程复杂
贴体网格：一般曲线坐标系，且所有边界是一条曲线坐标的网格线
CFD@XJTU2012
优点：计算精度高，同样计算精度下网格数量少，非常适合粘性 流动的计算，尤其对于边界层流动的分辨率高。计算内存与CPU 消耗相对非结构网格小。 缺点：对于具有复杂几何结构的流动，很难生成结构网格。人工 操作较多，可以说是体力活。
CFD@XJTU2012
1.网格生成技术概述
结构网格——单连通区域
求解区域边界线内不包含有非求解区域
patched
chimera
CFD@XJTU2012
1.网格生成技术概述
结构网格——多块网格
CFD12
CFD@XJTU2012
1.网格生成技术概述
非结构网格
舍去网格之间结构性限制，节点和单元的分布是任意的。 二维网格单元：三角形、四边形； 三维网格单元：四面体、金字塔、三棱柱、六面体、多面体…
CFD@XJTU2012
1.网格生成技术概述
CFD@XJTU2012
1.网格生成技术概述
CFD@XJTU2012
1.网格生成技术概述
CFD@XJTU2012
1.网格生成技术概述
CFD@XJTU2012
1.网格生成技术概述
CFD@XJTU2012
1.网格生成技术概述
动网格、自适应网格：
CFD@XJTU2012
O型网格： 两边钝头截面 ——圆形、椭圆形
CFD@XJTU2012
1.网格生成技术概述
Cut line
C型网格： 一边钝、一边尖 界面——翼型
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4) 在物理平面求解域的边界上划分边界网格点，并 建立和计算平面边界网格点的一一对应关系
且它们和计算平面上求解域内点网格的对应关系为□
5)通过某种方法确定物理平面求解域的内点网格 ( xi,j, yi,j) ，
这样，我们就得到了贴体网格
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实例一、代数网格生成方法
所谓代数网格生成方法，是通过给定（1）或（2）的代数 形式来生成网格。考虑下面的由x=0,x=4;y=y1(x),y=y2(x)围
出内点网格坐标的初始估计值，如
33
34
35
椭圆型方程方法——泊松方程
二维泊松方程的特性：
∇ ξ = ξ xx + ξ yy = P
2
∇ 2η = η xx + η yy = Q
P<0
P>0
Q<0
Q>0
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卡门翼型网格生成
ξ坐标对应于物理平面上是径线，取68条，用 Laplace方程变换；η坐标对应于物理平面上的 纬线，取25条，用泊松方程变换，方程为：
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1、控制方程的变换
1）、导数的变换
对于一阶偏导数，根据链式求导法则，有
∂φ ∂φ ∂φ ξx + ηx = ∂x ∂ξ ∂η
∂φ ∂φ ∂φ = ξy + ηy ∂y ∂ξ ∂η
对于二阶偏导数，有
∂ 2φ ∂ ∂φ ∂φ ( = ξ + ηx ) x ∂x 2 ∂x ∂ξ ∂η ∂φ ∂φ ∂ ∂φ ∂ ∂φ = ξ xx + η xx + ξ x ( ) + η x ( ) ∂ξ ∂η ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ξ xx + η xx + ξ x [ 2 ξ x + ηx ] +ηx[ ξx + 2 ηx ] = ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂ξ∂η ∂η ∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ 2 ξ xx + η xx + 2 (ξ x ) + 2 ξ xη x + 2 (η x ) 2 = ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
11
2 2 ∂ 2φ ∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ φ ∂ φ 2 2 = + + + + ξ η ( ξ ) 2 ξ η ( η ) yy yy y y y y ∂y 2 ∂ξ ∂η ∂ξ 2 ∂ξ∂η ∂η 2
∂ 2φ ∂φ ∂φ ∂ 2φ ∂ 2φ ∂ 2φ ξ xy + η xy + 2 ξ xξ y + (ξ xη y + ξ yη x ) + 2 η xη y = ∂x∂y ∂ξ ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂η
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在导数的坐标变换公式中涉及到下列坐标变换系数： ξx，ξy，ηx，ηy。这 些系数称为坐标变换公式（1）对应的度量系数（metrics）。我们看到，为 了求解计算平面中的偏微分方程，如（5）式，必须确定度量系数（有时还 包括ξxx，ξxy，ξyy，ηxx，ηxy，ηyy，等）的离散值。那么，这些度量系数如何 计算呢？由于一般情况下，我们只知道坐标变换关系（1）、（2）的离散
微分方程变换 同样推导 不好离散 其中 若物理平面边界点确定如下：
30
离散方程 其中
31
（*）
其中
当物理平面求解域边界的网格点坐标已经确定时，（*）式是 封闭的，可以解出xi, j, yi, j。由于（ * ）式是一个非线性方程 (主要是ai,j)，我们只能用迭代法求解：
32
首先给定边界网格坐标（已知量） ，并给
ξ = ξ ( x, y ) （1） η = η ( x, y )
x = x(ξ ,η )
y = y(ξ ,η )
（2）
如果我们知道了这一变换关系，流体力学方程可以在计算平面中，用矩形 区域均匀网格下的有限差分方法求解。显然，这将简化数值计算方法的构 造和计算程序的编制
9
结构网格原理
1、控制方程的变换 由于计算是在计算平面上进行的,需要把关于(x,y) 的控制方程变换到(ξ, η)的控制方程. 2、计算区域的变换 为把计算结果映射到物理平面上,需要知道物理平 面和计算平面之间的映射关系.
成的区域。我们可以定义下面的变换关系：
21
计算平面边界和物理平面边界的对应关系为：
则计算平面 网格划分：
内点关系：22来自得贴体网格划分：23若变换关系为：
24
25
应该指出上面给出的例子是非常简单的情况。针对更 复杂的情形，变换关系式中的代数关系可以为分段函 数或者由某种插值方法确定的函数关系。目前，代数 网格生成方法已经发展到比较完善的程度。大部分交 互式网格生成商业软件均采用代数方法作为其基本方 法。代数网格生成方法的优点是方便灵活，可以较好 的控制网格的分布；其缺点是通用性差，自动化程度 不高，需要较多的人工干预，有时网格的质量较差。
表达式，度量系数一般也要通过有限差分方法近似计算。但是，直接构造 度量系数的差分近似是不容易的。以下图为例，根据偏导数的意义， ξ x为 y保持不变时ξ随x的变化，如图1所示，网格点处的的计算公式应为
过插值方法确定
由于Q一般不是网格点，因 此, xQ，ξQ是未知的，只能通
13
另一方面，我们可以定义逆变换（2）式的度量系数xξ , xη, yξ, yη 。一旦网 格划分后，在贴体坐标系ξ,η中，这些度量系数的有限差分离散非常简单。 如果采用中心差分离散，有
26
实例二、基于微分方程数值解的网格生成方法
我们首先介绍网格质量的概念。差分格式多采用的是直角坐标系 中的矩形网格。矩形网格中两族坐标线是正交的。理论分析和数 值实验均表明，在贴体坐标系中，正交网格下差分格式的计算效 果要优于非正交网格。当然，在某些情况下（如图1所示的求解 域，网格不可能完全正交，此时我们要求两族网格线的夹角尽量 接近90度。也就是说，高质量的网格是尽量正交的网格。在上节， 我们看到，度量系数一般通过有限差分方法计算，而有限差分方 法要求函数是充分光滑的。所以，高质量的网格还应该是充分光 滑的网格。
18
贴体网格生成步骤 1）任意给定Δξ，Δη，ξmin和ηmin，并给定ξ，η方 向的网格点数 Mx+1，My+1 。则在(ξ,η) 平面， 网格点的坐标为： 这样，我们就得到了计算平面(ξ, η) 上的网格形状， 它是矩形区域的均匀网格。 2) 画出物理平面求解域的边界。 3）建立计算平面求解域边界和物理平面求解 域边界的对应关系。
8
结构网格原理
物理平面 (x,y) 贴体网格
1.4 1.2 1
计算平面 (ξ, η) 均匀网格
0 0.5 1
0.8
0.6
0.4
在物理平面x,y（或空间）中，贴体网格一般是非均匀的。为了更好的模拟 如边界层等流动参数变化剧烈的区域中的流动，我们往往希望这些区域的 网格较密。但是，从有限差分方法的构造和实施上看，均匀网格更加简单。 注意到，贴体网格可以看作由任意曲线坐标(ξ, η) 的坐标线组成的网格， 这个任意曲线坐标和直角坐标系（笛卡儿坐标系）之间应该是一一对应的。 在CFD中，我们往往要寻找一个(ξ, η) 和(x, y) 之间的变换关系
把导数的变换关系代入微分方程，就可以得到微分方程在计 算平面中的形式。以直角坐标系中的Laplace方程为例：
∂ 2φ ∂ 2φ + 2 =0 2 ∂x ∂y
2 2 ∂ 2φ ∂ φ ∂ φ 2 2 2 2 [( ) ( ) ] 2 [ ] [( ) ( ) ] ξ + ξ + ξ η + ξ η + η + η x y x x y y x y 2 2 ∂ξ ∂ξ∂η ∂η （5） ∂φ ∂φ (ξ xx + ξ yy ) + (η xx + η yy ) = 0 + ∂ξ ∂η
因此，一般先数值求得以上度量系数xξ 等，然后通过逆变换求得控制方程中的度量系数ξ x
14
15
(1) (2)
(1)
(3)
16
(2)
(4)
上面四个关系中，只有三个是独立的[(3)(4)相同]，写成矩 阵形式，有
17
同理
只要坐标变换关系（网格）确定，度量系数就确定：
2 2 ∂ 2φ ∂ φ ∂ φ 2 2 2 2 ξ ξ ξ η ξ η η η [( ) ( ) ] 2 [ ] [( ) ( ) ] + + + + + x y x x y y x y 2 2 ∂η ∂ξ ∂ξ∂η ∂φ ∂φ (ξ xx + ξ yy ) + (η xx + η yy ) = 0 + ∂ξ ∂η 从而可以在计算平面内离散以上控制方程，进行数值计算
28
反过来，满足laplace方程并不一定是保形映射。 因此，我们可以用 Laplace 方程作为网格生成的 出发方程。显然 一般情况下，以上两式并不等 价，所以生成的网格不一定是正交的。但由于 Laplace 方程是椭 型方程，(x, y) (ξ, η) 和之间的 变换是光滑的和一一对应的。
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锯齿形 台阶形
画密一些 结果影响
4
结构网格 为了解决这些问题，一个常用的方法是 采用所谓“贴体网格”。贴体网格可以看 作由任意曲线坐标的坐标线组成的网格。
1.4
剪开/拉伸1.2
1
0.8
0.6
0.4 0 0.5 1
映射
5
结构网格
（1）H型网格
加密
加密
6
结构网格
（4）多块网格
7
非结构网格
（5）非结构网格。一般用于有限元或有限体积方法
∇ 2ξ = P ∇ 2η = 0
P = − a ⋅ sgn(η − ηj ) ⋅ e