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第十章 定积分的应用 3 平面曲线的弧长与曲率一、平面曲线的弧长设平面曲线C=⌒AB. 如图所示，在C 上从A 到B 依次取分点： A=P 0,P 1,P 2,…,P n-1,P n =B ，它们成为曲线C 的一个分割，记为T. 用线段联结T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦P i-1P i (i=1,2,…,n)，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记：T =ni 1max ≤≤|P i-1P i |，s T =∑=n1i i 1-i |P P |，分别表示最长弦的长度和折线的总长度。
定义1：对于曲线C 的无论怎样的分割T ， 如果存在有限极限：0T lim →s T =s ，则称曲线C 是可求长的， 并把极限s 定义为曲线C 的弧长.定义2：设平面曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 如果x(t)与y(t)在[α,β]上连续可微，且x ’(t)与y ’(t)不同时为零 (即x ’2(t)+y ’2(t)≠0, t ∈[α,β])，则称C 为一条光滑曲线.定理：设曲线C 由参数方程x=x(t), y=y(t), t ∈[α,β]给出. 若C 为一光滑曲线，则C 是可求长的，且弧长为：s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.证：对C 作任意分割T={P 0,P 1,…,P n }，并设P 0与P n 分别对应t=α与t=β, 且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )), i=1,2,…,n-1.于是，与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T ’： α=t 0< t 1<t 2<…t n-1<t n =β.在T ’所属的每个小区间△i =[t i-1,t i ]上，由微分中值定理得△x i =x(t i )-x(t i-1)=x ’(ξi )△t i , ξi ∈△i ；△y i =y(t i )-y(t i-1)=y ’(ηi )△t i , ηi ∈△i . 从而C 的内接折线总长为s T =∑=∆+∆n1i 2i 2i y x =∑='+'n1i i 2i 2)(ηy )(ξx △t i .记σi =)(ηy )(ξx i 2i 2'+'-)(ξy )(ξx i 2i 2'+'，则s T =[]∑=+'+'n1i i i 2i 2σ)(ηy )(ξx △t i .又由三角形不等式可得：|σi |≤||y ’(ηi )|-|y ’(ξi )||≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|. 由y ’(t)在[α,β]上连续，从而一致连续，∴对任给的ε>0, 存在δ>0， 当T '<δ时，只要ηi , ξi ∈△i ，就有|σi |≤|y ’(ηi )-y ’(ξi )|<α-βε, i=1,2,…,n. ∴|s T -∑='+'n1i i 2i 2)(ξy )(ξx △t i |=|∑=n1i i σ△t i |≤∑=n1i i |σ|△t i <ε,∴0T lim →s T =∑=→''+'n1i i 2i 20T )(ξy )(ξx lim △t i ，即s=⎰'+'βα22(t)y (t)x dt.注：1、若曲线C 由直线坐标方程y=f(x), x ∈[a,b]表示，则看作参数方程：x=x, y=f(x), x ∈[a,b]. 因此，当f(x)在[a,b]上连续可微时，此曲线即为一光滑曲线，其弧长公式为：s=⎰'+ba 2(x )f 1dx. 2、若曲线C 由极坐标方程r=r(θ), θ∈[α,β]表示，则 化为参数方程：x=r(θ)cos θ, y=r(θ)sin θ, θ∈[α,β]. 由x ’(θ)=r ’(θ)cos θ-r(θ)sin θ, y ’(θ)=r ’(θ)sin θ+r(θ)cos θ, 得：x ’2(θ)+y ’2(θ)=r 2(θ)+r ’2(θ)，∴当r ’(θ)在[α,β]连续，且r(θ)与r ’(θ)不同时为零时，此极坐标曲线为一光滑曲线， 其弧长公式为：s=⎰'+βα22 )(θr )(θr d θ.例1：求摆线x=a(t-sint), y=a(1-cost)(a>0)一拱的孤长.解：∵x’(t)=a-acost; y’(t)=asint. ∴x’2(t)+y’2(t)=2a2(1-cost)=4a2sin22t.其弧长为s=⎰2π222tsin4a dt=4a⎰2π02tsin d⎪⎭⎫⎝⎛2t=8a.例2：求悬链线y=2ee-xx+从x=0到x=a>0那一段的弧长.解：∵y’=2ee-xx-. ∴1+y’2=2x-x2ee⎪⎪⎭⎫⎝⎛+.其弧长为s=⎰+a-xx2ee dx=2ee-aa-.例3：求心形线r=a(1+cosθ) (a>0)的周长.解：∵r’(θ)=-asinθ. ∴r2(θ)+r’2(θ)=4a2cos22θ.其周长为s=⎰2π02θacos2dθ=4a⎰2π02θcos d⎪⎭⎫⎝⎛2θ=8a.注：∵s(t)=⎰'+'tα22(t)y(t)x dt连续，∴dtds=22dtdydtdx⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛，即有ds=22dydx+. 特别称s(t)的微分dx为弧微分. (如左下图)PR为曲线在点P处的切线，在Rt△PQR中，PQ为dx，QR为dy，PR则为dx，这个三角形称为微分三角形。
一、选择题1、曲线上ln y x =相应于x ≤≤ ）A.1B.12ln 23C.131ln 22-D. 131ln 22+答案：D答案解析：由弧长公式，得:131ln 22s x x x ====+ 故应选（D ）.2、曲线1ρθ=自34θ=至43θ=的一段弧长为（ ） A.3ln 2- B.3ln 2 C.53ln 122+ D.53ln 122-答案：C答案解析：由弧长的极坐标公式，得:4s θθθ===⎰53ln 122=+，故应选（C ）. 3、曲线y =[]1,3上的一段弧长为（ ） A.1ln 312+ B.1ln 312- C.11ln 32- D.11ln 32+ 答案：A答案解析：由弧长公式，得:331111111d d 222x s x x x x x x +⎛⎫====+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 31111ln ln 3 1.222x x ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦故应选（A ）.4、抛物线()220y px p =>自点()0,0至点,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭的一段曲线弧长为（ ）A.(ln 1ln 2p p p ⎤++⎦B.(21ln 12p p ⎤+⎥⎦C.(ln 12p p ⎤+⎦D.(ln 12p ⎤+⎦ 答案：C答案解析：将该抛物线看作x 关于y 的函数，则得:21'',2y x y p p⎡⎤==⎢⎥⎣⎦则弧长为：0022ps y y y -===⎰⎰⎰(20011ln 2ppy p p ⎤==⎥⎦⎰()(21ln ln 1.22p p p p p ⎤⎤==+⎥⎦⎦故应选（C ）. 二、填空题1、星形线33cos sin x a ty a t⎧=⎪⎨=⎪⎩的全长为___________. 答案：6.a答案解析：由弧长的参数方程公式得，446.s t a θ===2、连续曲线段2xy π-=⎰的弧长为___________.答案：4.答案解析：cos 0,,22x x ππ≥∴-≤≤2022d 2sin 4.22x x s x x x π⎤=====⎥⎦三、判断题1、渐伸线()()cos sin sin cos x a t t t y a t t t =+⎧⎪⎨=-⎪⎩上相应于t 从0变到π的一段弧长为22a π.答案：错误.答案解析：ds atdt ===22001.22t s a tdt a a πππ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰2、半立方抛物线232(1)3y x =-在被抛物线23x y =截得的一段弧的长度为3295182⎡⎤⎛⎫⎢⎥- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.答案：正确.答案解析：立方联立两条曲线的方程，消去2y ，得321(1)33x x -=，所以3226520x x x -+-=，解之得，2x =，右半立方抛物线与x 轴的交点为()1,0，由对称性，()()312221111852231311.392s x d x ⎡⎤⎛⎫⎢⎥====--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰⎰⎰四、计算题1、计算曲线2x xe e y -+=相应于区间[]0,a 上的一段弧长.答案：2a ae e--答案解析：由弧长公式，得:000d .222ax xx x a aa e e e e e e s x x x x ---⎡⎤+--======⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ 2、计算摆线()()()sin 01cos x a t t a y a t =-⎧⎪>⎨=-⎪⎩在一拱()02t π≤≤的弧长.答案解析：2sin 2t ds a dt ==== 22002sin 22cos 8.22t t s a dt a a ππ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰3、计算心形线()1cos r a θ=+的全长. 答案解析：由极坐标弧长公式及心形线关于极轴对称性知：02,s πθ=⎰()()()()2222222'1cos cos 4cos ,2a a θρθρθθθ⎡⎤+=++-=⎣⎦00022cos 8cos 8sin 8.2222s a d a d a a πππθθθθθ⎡⎤=⨯===⎢⎥⎣⎦⎰⎰。
§3 平面曲线的弧长与曲率一 平面曲线的弧长先建立平面曲线弧长的概念，设C=AB 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，在C 上从A 到B 依次取分点A=P 0,P 1,P 2,…，P n =B,它们成为对曲线C 的一个分割，记为T ，然后用线段连接T 中每相邻两点，得到C 的n 条弦1(1,2,...,)i i P P i n -=，这n 条弦又成为C 的一条内接折线，记||T||=max|P i-1P i |,11||nT i ii s PP -==∑分别表示最长弦的长度和折线的总长度。
定义1 如果存在有限极限||||0lim s T T s →=，即任给ε>0,恒存在δ>0，使得对于C 的任何分割T ，只要||T||<δ，就有|s T -s|<ε,曲线C 是可求长的，并把s 定义为曲线C 的弧长。
定理10.1 设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线，由参数方程x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]给出，若x(t)、y(t)在[α,β]上连续可微，则C 是可求长的，且弧长为s βα=⎰。
证明 对C 作任一分割T={ P 0,P 1,P 2,…，P n },并设P0与Pn 分别对应t=α和t=β,且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )),i=1,2,…,n -1,于是与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T'：α=t 0,t 1,t 2,…,t n =β。
现在用反证法先证明||||0lim ||||0T T →'=.假设||||0lim ||||0T T →'≠，则存在ε0>0，对于任何δ>0，都可以找到一个分割T 使得||T||<δ而同时||T'||>ε0,从而可以找到C 上两点Q'和Q''，使得|Q''Q'|<δ，而它们对应的参量t'和t''满足|t't''|≥ε0,依次取δ=1/n,n=1,2,…,则得到两个点列{Q'n }和{Q''n }和它们对应的参量数列{t'n }和{t''n },它们满足|Q n ''Q n '|<1/n, |t'n t''n |≥ε0,由致密性定理，存在子列{}{}k kn n t t '''及,和t*和t**∈[α,β]，使得lim *,lim **k knn k k t t t t →∞→∞'''==，显然|t*-t**|≥ε0,即t*≠t**。
两点之间的曲线长度公式
两点之间的曲线长度公式是数学中的一个重要概念。
它用于计算两点之间曲线的实际长度，而不仅仅是直线距离。
在数学中，曲线长度公式也被称为弧长公式。
曲线长度的计算需要使用积分的概念。
具体而言，我们可以使用弧长公式来计算曲线上两点之间的长度。
弧长公式的一般形式是：
L = ∫(|dr/rr|)rr
其中，L代表曲线的长度，d r/rr表示曲线参数化方程的导数，r代表参数。
对于平面曲线公式而言，弧长公式可以简化为：
L = ∫(√(dx/dt)² + (dy/dt)²) dt
其中，dx/dt和dy/dt分别表示曲线的参数方程 x(t) 和 y(t) 的导数。
对于空间曲线公式而言，弧长公式可以简化为：
L = ∫(√(dx/dt)² + (dy/dt)² + (dz/dt)²) dt
其中，dx/dt，dy/dt和dz/dt分别表示曲线的参数方程 x(t)，y(t) 和 z(t) 的导数。
通过使用这些公式，我们可以计算出两点之间曲线的实际长度，无论是在平面还是在空间中。
这对于计算弯曲的道路、河流、电线杆等曲线的长度非常有用。
总结起来，两点之间曲线的长度公式是使用积分和导数的数学工具得出的。
它可以用于计算曲线在平面或空间中的实际长度。
这个公式在数学和物理学等领域具有广泛应用，是研究和解决实际问题的重要工具之一。
