高数上第六章-弧长

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2.7《弧长》课件(共18张PPT)

过了中后卫布林德的头顶下落就算德罗巴不用跳起不用移动也可以顶到这个球这个球距离球门不到的向禁区内移动抢点或者解围但是一切都太晚了布隆坎普几步来到底线附近在无人盯防的情况下右脚传出了一记漂亮的弧线球找中路的德罗巴这脚球传的速度奇快又非常舒服越松的接到皮球把球一磕改变了方向然后快速下底这个时候阿贾克斯的球员发现了布隆坎普的动作顿时大惊失色梅尔奇奥特快速向移向边路防止布隆坎普的传中双方的球员都纷纷慢慢移动不知不觉的已经到了几乎和禁区平行的位置就在几乎所有人都以为阿尔蒂多雷要远射的时候阿尔蒂多雷却突然把球传到了一个所有人都想不到的地方右边路布隆坎普轻太阳穴的位置触球球直接飞出了底线顿时眼镜碎了一地谁都想不到在距离球迷击德罗巴德罗巴庞大的身躯在德波尔有意的撞击之下发生了一点改变这一点改变就是致命的因为布隆坎普的这脚传球太快德罗巴本来是想用额头把球砸进球门这一下却变成了用有那么强大了早就看到了这个落点却被德罗巴卡住位置的德波尔终于等到了机会老奸巨猾的德波尔也貌似要跳起头球其实他根本就不可能碰到球他只是佯装跳起用身体狠狠的撞状的看着禁区看着德罗巴希望德罗巴不要抢到点这时候德罗巴却出人意料的起跳了他想微微跳起然后把球砸向球门如果双脚站在地面上德罗巴就是巨人安泰但是跳起之后他就没被打丢了德罗巴沮丧的跪在草皮上不住的摇头痛骂自己是傻呼的这时气得狠狠的蹲下捶地他不能想象在这一瞬间德罗巴那浆糊脑袋里想的是什么冰玩艺术了加分啊一个必进球略了这是防守失误的起因阿贾克斯逃过一劫但是这样的错误不能再犯下一次阿尔克马尔人海会再给你们机会吗解说员指责阿贾克斯的球员在这个球的处理上太大意竟然没发现移 X啊啊啊不可思议一个必进球被德罗巴打飞这是一个打飞比打进更难的球阿尔克马尔的球员真是奇葩啊布隆坎普被忽 5米的情况下德罗巴把这个球顶飞了阿贾克斯的球迷为德罗巴发出了欢呼声姜牧本来准备展开双臂欢 5米远只要顶到必进无

高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用

y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s

2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12

0

3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2

弧长PPT教学课件

2）求这三段弧长的和.
A
B
C
例题.如图，三角形ABC的三条边长都是27毫米。分别以A、B、C三点为圆心，27 毫米为半径画弧.
2）
A
B
C
例题.如图，三角形ABC的三条边长都是27毫米。分别以A、B、C三点为圆心，27 毫米为半径画弧.
A
B
C
思考
下列图形中圆心角AOB各是几度？所对的弧是圆周长
张
弓站似一棵
松
北第
腿
少林武当
功
一
部 3 32 5 56 34 32 1 - 2. 3 5.6. 1.7. 6. - - - ..
不摇坐如
钟走路一阵
太极八卦分掌
连环风
. 56 17 6 - - -
中华有神功
6.
1
.. 56
.
17
6 ---
.
6 . 1 56 45
3 ---
猎人合唱是德国作曲家韦伯的著名歌剧《自由射手》第三幕里的一段选曲。这部歌剧创作于1820年。故事取材于德国和捷克斯洛伐克广为流传的、一个名叫《黑猎人》的民间传说。它描写年轻的猎人马克斯与守林人的女儿阿格泰相爱，并战胜重重困难，最后结为夫妻的故事。
威尔第
（１８１３－１９０１）
意大利作曲家。作有29部歌剧，代表作《博尼法乔伯爵奥贝尔托》《纳布科》《弄臣》《茶花女》《游吟诗人》《假面舞会》《命运的力量》《阿依达》《奥塞四罗幕》歌和剧《《福茶斯花塔女夫》》的等剧歌本剧由，意至大利作家皮今阿仍维在根舞据台小上仲久马演同不名衰悲。剧小说改编。1853年3月首演于威尼斯。歌剧讲述了女主人公薇奥莱塔与青年阿尔弗来德的爱情悲剧故事。

弧长公式高中数学

弧长公式高中数学
弧长公式是高中数学中用于计算圆或圆弧长度的重要公式。

具体来说，弧长公式有两种形式：
1. 弧长公式：L=n×π×r/180，其中n是圆心角度数，r是半径，L是圆心角弧长。

这个公式是基于角度制来计算的。

2. 弧长公式：L=α×r，其中α是圆心角度数（以弧度为单位），r是半径，L是圆心角弧长。

这个公式是基于弧度制来计算的。

需要注意的是，角度制和弧度制是两种不同的角度计量单位。

在角度制中，一个完整的圆被定义为360度；而在弧度制中，一个完整的圆被定义为2π弧度。

在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的弧长公式来计算圆或圆弧的长度。

弧长和扇形面积课件

VS
详细描述
通过观察扇形的形状，我们可以将其分解为三角形和其他基本图形，然后通过测量各部分的长度来计算面积。这种方法需要一定的几何知识，但对于一些简单的情况非常有效。
04
弧长和扇形面积的应用
在几何图形中的应用
弧长和扇形面积是几何学中重要的概念，广泛应用于各种几何图形的研究和计算。
在圆形、椭圆、抛物线等图形中，弧长和扇形面积的计算对于确定图形的形状、大小以及解决相关问题具有重要意义。
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感谢您的观看
扇形面积的单位
扇形面积的单位是面积单位，常用的单位有平方米、平方厘米、平方千米等。
弧长和扇形面积的关联知识
弧长和扇形面积的关系
在同一个圆或等半径的圆中，如果圆心角增大，则对应的弧长和扇形面积都会增大。这是因为弧长和扇形面积都与圆心角的大小有关。
弧长和扇形面积的应用
在实际生活中，弧长和扇形面积的应用非常广泛，例如在几何学、工程学、天文学等领域都有应用。
利用微积分计算弧长
总结词
通过微积分的方法，我们可以对弧长进行精确的计算，适用于复杂曲线的弧长计算。
详细描述
微积分提供了一种积分的方法来计算曲线的长度。对于弧长，可以通过对曲线函数进行积分来得到。具体来说，弧长 = ∫(sqrt(1 + (y')^2)) dx，其中 y' 是曲线在 x 处的导数。
弧长和扇形面积课件
目录
• 弧长和扇形面积的基本概念 • 弧长的计算方法 • 扇形面积的计算方法 • 弧长和扇形面积的应用 • 弧长和扇形面积的扩展知识
01
弧长和扇形面积的基本概念
弧长的定义
弧长是圆弧上任意两点间的长度，它是圆的一部分。

弧长计算公式课件

不同形状的弧长计算公式
01
圆弧
$s = r theta$
02
椭圆弧
$s = a theta$
03
抛物线弧
$s = frac{1}{2} p theta$
04
双曲线弧
$s = e theta$
弧长计算公式的近似方法
泰勒级数展开
将弧长表示为角度的幂级数，适用于小角度计算。
数值积分
利用数值积分方法，将弧长计算转化为积分运算，适用于任意角度。
目录
CONTENTS
• 弧长计算公式的基本概念 • 弧长计算公式的推导过程 • 弧长计算公式的应用 • 弧长计算公式的变种和推广 • 弧长计算公式的实际案例分析
01
弧长计算公式的基本概念
弧长的定义
01
弧长是圆弧的长度，表示圆周上任意两点之间的距离。
02
弧长可以通过圆心角和半径来计算，公式为：弧长 = 圆心角 /360° × 2πr。
桥梁和建筑结构设计
自动化生产线设计
弧长计算公式在桥梁和建筑结构设计中用于计算曲线形结构的长度，以确保结构的稳定性和安全性。
在自动化生产线设计中，弧长计算公式用于优化机器人的运动轨迹，提高生产效率。
管道设计
在管道设计中，弧长计算公式用于计算管道的长度，以确保流体在管道中的流动效率。
04
弧长计算公式的变种和推广
详细描述
在电路设计中，电线的弧长是影响电路性能的重要因素之一。使用弧长计算公式，工程师可以精确地计算出电线的弧长，从而选择合适的电线长度和弯曲程度，确保电路的正常运行和稳定性。同时，电线的弧长也会影响到电路的信号传输质量和能耗，因此精确的弧长计算对于电路设计来说是非常重要的。

6[1].2弧长大学数学高数一

=a∫
= a∫
0
2π
[1 − cos t ]2 + [sint ]2 dt
2 − 2 cos t dt = 2 a ∫0
2π
0
t sin dt 2
t 2π = 4a ( − cos ) = 8a 2 0
5
曲线是极坐标方例3 (曲线是极坐标方曲线是时求弧长) 程时求弧长求心脏线
r = a (1 + cos θ )的全长。的全长。
x a
−
x a
)由 x = −a 至
s=
−a
∫ ds = ∫
a
a
′ ) 2 dx 1+ (y
2
−a
=
−a
∫
ae 2 a
x a
−e
x − a
) dx
2
=
−a
∫
1 ⋅ (e + e 4
x a
−
x a
) dx
2
1 = 2
−a
∫ (e
x a
a
x a
+e
−
−
x a
x x − a a 求悬链线 y = (e + e a ) 2
y
ds
dx
dy
由x = − a 至 x = a 一段弧长 .
−a
o
a
x
1
直角系下解在直角系下，用微元法可得弧微元
ds = (dx ) 2 + (dy ) 2
dy 2 = 1 + ( ) dx = 1 + ( y′ )2 dx
a 于是悬链线 y = ( e + e 2 x = a 的一段弧长为 :

《参数函数弧长公式》课件

参数函数弧长公式的应用实例
参数函数弧长公式的应用步骤
确定参数函数：首先需要确定参数函数的形式，例如 y=弧长L
验证结果：将计算结果与实际结果进行比较，验证公式的正确性
应用实例：给出具体的应用实例，如计算圆弧的弧长等
参数函数弧长公式的应用实例解析
实例一：求曲线y=sin(x)在区间[0, π]上的弧长实例二：求曲线y=cos(x)在区间[0, π]上的弧长实例三：求曲线y=sin(x)在区间[0, 2π]上的弧长实例四：求曲线y=cos(x)在区间[0, 2π]上的弧长
参数函数弧长公式的注意事项
参数函数弧长公式的适用范围
展望
未来研究方向和热点问题
公式在工程实践中的应用案例
参数函数弧长公式的应用前景
公式在数学教育中的重要性和挑战
感谢观看
汇报人：PPT
《参数函数弧长公式》PPT 课件
PPT,a click to unlimited possibilities
汇报人：PPT
添加目录标题
参数函数弧长公式概述
参数函数弧长公式的应用实例
参数函数弧长公式的注意事项
参数函数弧长公式的推导过程
总结与展望
添加章节标题
参数函数弧长公式概述
参数函数弧长公式的定义
参数函数弧长公式是描述参数函数在区间[a, b] 上的弧长的公式
公式形式：L = ∫[a, b] sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx
其中，L表示弧长，y表示参数函数，x表示自变量
公式中的sqrt 表示平方根， dy/dx表示导数
参数函数弧长公式的应用场景
物理领域：计算曲线的长度、面积等

大一高数课件第六章 6-4-1

2
a
3
0
3 sin d a . 3 2

2
五、小结
平面曲线弧长的概念
弧微分的概念直角坐标系下
求弧长的公式参数方程情形下极坐标系下
思考题
闭区间[a , b] 上的连续曲线 y f ( x ) 是否一定可求长？
思考题解答
不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．
的面积；
2 2 2
s a 0
1 2 d 1 2 ln 1 2 a 1 2 2
2
2 0
例6
解
r 3a sin cos a sin cos , 3 3 3 3 3
s r 2 ( ) r 2 ( )d
一、填空题： 1、曲线 y ln x 上相应于 3 x 8 的一段弧长为 ____________； 2、渐伸线 x a (cos t t sin t ) ， y a (sin t t cos t ) 上相应于 t 从 0 变到的一段弧长为______； r 1 自 3 至 4 一段弧长为 3、曲线 4 3 ____________ .
设曲线弧为 y f ( x )
( a x b) ，
o a
b
x
其中 f (x )在[a , b]上有一阶连续导数
取积分变量为 x ，在[a , b]上任取小区间[ x, x dx]，
以对应小切线段的长代替小弧段的长，小切线段的长
y
dy
(dx )2 (dy )2 1 y 2 dx
弧长 s
r 2 ( ) r 2 ( )d .

高数-对弧长的曲线积分讲解

质量m。如图11-1所示。
L
A
o
x
图11-1
2. 曲线形构件的质量（2）
(1) 分割：在L上取点M1, M2, …, Mn-1 , 把L分成n小段, 记第i小段的长度为 si
(2)近似：
m ( , )s
i
i
i
i
n
n
(3) 求和：
m

m i

(
i
,
i
)
s i
i 1
(x, y) L 。
A L f (x, y)ds
x
L
y
6. 对弧长的曲线积分的计算（1）
定理1 设 f (x, y)在曲线 L上连续, L的参数方程为
x (t),

y

(t
),
( t )
其中 (t), (t) 在[, ]上具有一阶连续导数, 且 2(t)
谢谢！
i 1
y B
M n1
Mi
(i
,i )
M
i
si
1
L
M2
M1 A
o
图11-1
x
n
(4)
取极限：m

lim 0

i 1

( i
, i
)s i
，其中 max{s1,s2,
, sn}
3. 对弧长的曲线积分的定义（1）
定义：设L为 xoy 面内的一条光滑曲线弧，函数 f (x, y) 在 L 上有界。在
思考
(1) L能否为空间曲线？
(2) 定义的条件能否适当减弱？
(3) 可积条件？

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ds (dx)2 (dy)2 [ 2(t ) 2(t )](dt )2
2(t ) 2(t )dt
弧长 s 2(t) 2(t)dt.
例3
求摆线
x y
a a1
sin cos
的一拱0
2
的长度。
解 x a1 cos y asin
s 2 x2 y2 d 0
2
2 (
x 1)3 被抛物线y 2
x
3
3
截得的一段弧的长度 .
三、计算星形线 x a cos3 t ，y a sin3 t 的全长 .
四、求心形线r a ( 1 cos )的全长.
五、证明：曲线 y sin x (0 x 2) 的弧长等于椭圆
x 2 2 y 2 2 的周长.
六、在摆线 x a ( t sin t ), y a ( 1 cos t ) 上求分摆线第一拱成1 : 3 的点的坐标.
弧长元素 ds 1 y2dx 弧长 s b 1 y2dx. a
例1
计算曲线
y
2
x
3 2
上相应于
x 从a 到b 的一
3
段弧的长度.
解
y
1
x2,
ds
1
(
x
1 2
)2
dx
1 xdx,
所求弧长为
a
b
s
b
1
xdx
2
[(1
3
b)2
(1
3
a)2 ].
a
3
x
例2. 求连续曲线段 y
cos t dt 的弧长.
解 r a,
s
r 2( ) r2( )d
2
2
0
a2 2 a2d a 0
2 1d
a 2 1 42 ln( 2 1 42 ) . 2
例6 求心形线r a1 cos a 0的全长。
解由对称性
s2
r 2 ( ) r2 ( )d
0
2 2a 1 cos d 0
练习题答案
一、1、1 1 ln 3 ；2、a 2 ；
22
2
二、
8
[(
5
)
3 2
1].
92
三、6a .
四、8a .
六、(( 2 3)a, 3 a) . 3 22
3、 5 ln 3 . 12 2
i 1
曲线弧AB 的弧长.
二、直角坐标情形
设曲线弧为 y f ( x) y (a x b)，其中 f ( x)
在[a, b]上有一阶连续导数
取积分变量为x ，在[a,b]
dy
上任取小区间[ x, x dx]，
o a x x dx b x
以对应小切线段的长代替小弧段的长
小切线段的长 (dx)2 (dy)2 1 y2dx
2
解:
cos x 0,
2
x
2
s 2 1 y2 d x 2 2 1 ( cos x )2 d x
2
0
2 2
0
2 cos x d x 2 2
2
2sin
x 2
2
0
4
三、参数方程情形
曲线弧为
x y
(t) ,
(t)
( t )
其中 (t ), (t )在[ , ]上具有连续导数.
四、极坐标情形
曲线弧为 r r( ) ( )
其中 ( )在[ , ]上具有连续导数.
x y
r( r(
)cos )sin
( )
ds (dx)2 (dy)2 r 2( ) r2( )d ,
弧长 s r 2( ) r2( )d .
例 5 求阿基米德螺线r a (a 0)上相应于从0到2的弧长.
一、平面曲线弧长的概念
设 A、B 是曲线弧上的两 y
个端点，在弧上插入分点
A M0 , M1, Mi ,
M2 M1
M n1 B Mn
, Mn1, Mn B
A M0
o
x
并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目
无限增加且每个小弧段都缩向一点时，
n
此折线的长 | M i1M i |的极限存在，则称此极限为
4a cos d 8a. 02
五、小结
平面曲线弧长的概念
弧微分的概念
直角坐标系下
求弧长的公式
参数方程情形下
极坐标系下
思考题
闭区间[a, b] 上的连续曲线 y f ( x)
是否一定可求长？
思考题解答
不一定．仅仅有曲线连续还不够，必须保证曲线光滑才可求长．
练习题
一、填空题：
1、曲线 y ln x 上相应于 3 x 8 的一段弧长为
2a
si
n
d
0
2
8a.
2
2
2
例 4 求星形线 x 3 y 3 a 3 (a 0)的全长.
解星形线的参数方程为
x a cos3 t
y
a
sin
3
t
(0 t 2)
y
a
o
ax
根据对称性 s 4s1
4 2 0
x2 y2dt
4 2 3a sin t cos tdt 0
6a.
____________；
2、渐伸线 x a(cos t t sin t ) ， y a(sin t t cos t)
上相应于 t 从 0 变到的一段弧长为______；
3、曲线 r 1 自 3 至 4 一段弧长为
4
3
____________ .
二、计算半立方抛物线 y 2