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弧长公式是什么怎么计算弧长数学知识也是比较广泛的，几何也是其中一个知识面，那么几何中的弧长公式到底是怎么推导出来的，今天就让给大家详细的讲解一下关于弧长公式的计算方法。
弧长公式是什么弧长公式是平面几何的基本公式之一。
弧长公式叙述了弧长，即在圆上过两点的一段弧的长度，与半径和圆心角的关系。
在弧度制下，若弧所对的圆心角为θ，则有公式l=Rθ。
弧长计算公式是一个数学公式，为L=n(圆心角度数)× π(1)× r(半径)/180(角度制)，L=α(弧度)× r(半径) (弧度制)。
其中n是圆心角度数，r是半径，L是圆心角弧长。
弧长计算公式是什么l = n(圆心角)× π(圆周率)× r(半径)/180=α(圆心角弧度数)× r(半径)，在半径是R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就等于圆周长C=2πr，所以n°圆心角所对的弧长为l=n°πr÷180°(l=n°x2πr/360°)。
如果已知它的沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。
它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。
一般指半径为R的圆中，n°的圆心角所对弧长为nπR/180°，广义上指光滑曲线的弧长。
在数学和物理中，弧度是角的度量单位。
它是由国际单位制导出的单位，单位缩写是rad。
定义：弧长等于半径的弧，其所对的圆心角为1弧度。
(即两条射线从圆心向圆周射出，形成一个夹角和夹角正对的一段弧。
当这段弧长正好等于圆的半径时，两条射线的夹角的弧度为1)。
弧长公式是什么?通过上面文章所给出的解答之后，大家都应该清楚的知道了弧长计算公式，想要学习到更多数学知识的朋友，不如关注一下。
曲线的弧长与曲率在微积分学中，曲线的弧长和曲率是研究曲线性质的重要概念。
曲线的弧长是曲线上两点之间的距离，在物理、几何和工程等领域都有广泛的应用。
而曲率则描述了曲线弯曲的程度，是曲线几何形状的重要属性。
本文将从弧长和曲率的定义、计算方法以及它们之间的关系等方面进行探讨。
1. 弧长的定义和计算方法在平面直角坐标系中，设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，其中a≤t≤b。
我们希望计算曲线C上从点P到点Q的弧长。
假设P的参数值为t1，Q的参数值为t2。
首先，我们将弧长近似分为许多小线段，然后对这些小线段进行求和，即可得到总的弧长。
若将两个相邻点之间的距离表示为Δs，将其与曲线上相应的曲线段长度Δl进行比较，可以得到如下近似关系：Δs ≈ Δl。
通过不断缩小曲线上相邻点的数量和距离，我们可以得到越来越精确的弧长。
当曲线弧长的计算求和极限存在时，我们说曲线是可求长的。
对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，我们可以先求出曲线上相邻两点P(t)和Q(t+Δt)的坐标，然后利用勾股定理求出Δl≈√(Δx)²+(Δy)²的近似值，再将这些近似值相加就可以得到曲线C的弧长L。
当Δt无限接近于0时，上述近似值趋于精确的弧长。
2. 曲率的定义和计算方法曲线的曲率描述了曲线弯曲的程度。
在平面直角坐标系中，曲线C的曲率表示为k。
对曲线上任意一点P(x,y)，选择与该点相切的一条线段，该线段称为切线。
切线与曲线在P点处的夹角被称为曲线在该点的切角α。
切线的斜率由直线的斜率表示，可以通过求导得到。
曲线的曲率k定义为切线斜率对弧长s的导数，即k=dy/dx。
求解曲率的计算方法有多种，其中一种常用的方法是使用参数方程。
设曲线C的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，对其分别关于参数t求导，即可得到曲线的导函数dx/dt和dy/dt。
然后，利用链式法则可以求得dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
曲线的定义及其在数学中的应用曲线是数学中常见的一种图形形式，以其独特的特性广泛应用于各个数学分支中，如微积分、几何学、代数学等领域。
本文将从曲线的定义、曲线的性质以及曲线在数学中的应用三个方面进行论述，以加深对曲线的理解。
一、曲线的定义在数学中，曲线是由一系列点所组成的一条连续的线。
简单来说，这些点能够按照某种规律相互连接起来，形成一条线段。
曲线可以用数学方程来描述，最常见的是使用函数来表达。
例如，二次曲线可以由二次函数表示，三次曲线可以由三次函数表示，以此类推。
曲线的形状和性质由曲线的方程来决定。
方程中的参数可以调整曲线在坐标系中的位置、形状和大小。
通过改变参数的值，我们可以得到各种不同的曲线形式，如直线、抛物线、椭圆、双曲线等。
二、曲线的性质曲线具有许多独特的性质，以下是其中几个常见的性质：1. 曲线的斜率：曲线上的任意一点都有一个斜率，表示曲线在该点处的变化速率。
斜率可以用微积分的导数来计算，它可以反映曲线的陡峭程度。
斜率的正负可以告诉我们曲线的上升或下降方向。
2. 曲线的弧长：曲线的弧长是指曲线上两点之间的距离。
弧长可以用积分的方法来计算，根据已知的曲线方程，将弧长元素进行积分，即可得到曲线的弧长。
3. 曲线的凸凹性：曲线的凸凹性可以通过曲线的二阶导数来判断。
当曲线的二阶导数大于零时，曲线呈现凸形；当曲线的二阶导数小于零时，曲线呈现凹形。
三、曲线在数学中的应用曲线在数学中有广泛的应用，以下是其中几个典型的例子：1. 几何学中的曲线：曲线在几何学中有许多应用，比如在平面几何中，曲线可以用来描述点、直线和曲线的关系，如直线与抛物线的交点等。
曲线也可以用来表示圆的边界，椭圆的形状等。
2. 微积分中的曲线：微积分中的曲线是一个重要的概念，它与函数的导数和积分密切相关。
通过研究曲线的斜率和弧长，我们可以推导出许多微积分的基本定理和公式。
3. 概率论中的曲线：曲线在概率论中有着重要的应用，特别是正态分布曲线。
空间曲线的弧长与曲率学习计算空间曲线的弧长与曲率的方法空间曲线是指在三维空间中描述的一条曲线。
研究空间曲线的弧长与曲率，是数学中的一个重要问题。
本文将介绍计算空间曲线弧长与曲率的方法。
一、空间曲线的弧长计算方法计算空间曲线的弧长是了解曲线长度的基本方法之一。
对于一条空间曲线，其弧长可以通过积分求解。
设空间曲线为C，其参数方程为x=f(u)，y=g(u)，z=h(u)，a≤u≤b。
弧长s可以表示为：s = ∫[a,b]√(x'(u)²+y'(u)²+z'(u)²)du其中x'(u)，y'(u)，z'(u)分别表示曲线C在参数方程u下的导数。
举例来说，若曲线C的参数方程为x=2u，y=u²，z=3u，则其导数为x'(u)=2，y'(u)=2u，z'(u)=3。
将导数代入上述公式进行积分计算，即可得到曲线的弧长。
二、空间曲线的曲率计算方法曲率是描述曲线在某一点处弯曲情况的物理量，也是评估曲线平滑性和弯曲程度的重要指标。
对于一条空间曲线C，其曲率可以通过求解其导数的导数的模长来计算。
首先计算曲线的切向量T：T = (x'(u), y'(u), z'(u))然后计算切向量的导数的模长，即曲率：κ = |(x''(u), y''(u), z''(u))|其中x''(u)，y''(u)，z''(u)分别表示曲线C在参数方程u下的二阶导数。
举例来说，若曲线C的参数方程为x=2u，y=u²，z=3u，则曲线的切向量为T=(2,2u,3)，其二阶导数为x''(u)=0，y''(u)=2，z''(u)=0。
将二阶导数代入上述公式，计算曲率κ。
曲线的弧长参数表示指的是通过曲线上的弧长来参数化曲线。
通常采用的参数是t，其中t的取值范围可以是一个区间，比如[0,1]。
该参数对应于曲线上的一个具体点，通过变化参数值t，可以获得曲线上其他点的坐标。
弧长参数化的曲线具有一定的优势，例如可以方便地计算曲线长度、求曲线的切向量等。
一般参数表示指的是通过一个或多个自变量来描述曲线的参数化形式。
一般参数化的曲线可以采用不仅仅是弧长参数t，还包括其他自变量，如x、y、z等。
比如，对于平面上的曲线，可以使用x和y作为参数，表示为(x(t), y(t))。
在三维空间中的曲线，则可以用x、y、z三个参数表示曲线上的点。
需要注意的是，弧长参数化和一般参数化是两种不同的方式来描述曲线，它们在表示形式和使用方法上有所区别。
在具体实践中，选择使用哪种参数化方式一般取决于问题的要求和曲线的特性。
参数方程曲率公式推导在数学中，曲线的曲率是描述曲线弯曲程度的一个重要概念。
对于一条平面曲线，可以通过曲率来衡量曲线局部弯曲的程度。
曲率的概念最早由数学家高斯引入，并且在微分几何中得到了深入的研究。
本文将介绍如何推导出参数方程曲线的曲率公式。
参数方程曲线是指通过参数方程来表示的曲线，形如x=f(t),y=g(t)。
1.弧长元素的推导首先，我们需要推导出参数方程曲线的弧长元素。
弧长元素（ds）表示曲线上两点之间的长度。
假设我们有参数方程 x=f(t), y=g(t)，我们可以通过求参数的导数来表示弧长元素。
ds=sqrt((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt，其中 sqrt 表示取平方根，dx/dt 和 dy/dt 分别表示 x 和 y 关于 t 的导数。
2.弧长的计算接下来，我们可以通过积分来计算参数方程曲线的弧长。
假设我们希望计算曲线上t1和t2之间的弧长，我们可以将弧长元素累加起来进行积分。
s=∫[t1,t2] sqrt((dx/dt)²+(dy/dt)²) dt3.计算参数的导数在推导曲率公式之前，我们需要计算参数的导数。
对于参数方程x=f(t), y=g(t)，我们可以计算其一阶导数 dx/dt 和 dy/dt。
dx/dt=f'(t)dy/dt=g'(t)注意，这里的f'(t)和g'(t)分别表示f(t)和g(t)关于t的导数。
4.曲率的定义曲率是衡量曲线局部弯曲程度的一个指标。
定义上，曲率 k等于曲线的弯曲率 dr/ds 的绝对值，其中 dr 表示曲线的切向矢量的变化，ds 表示曲线的弧长。
5.计算曲率根据前面的推导，我们可以计算出曲线的切向矢量 dr 和弧长 ds。
将这两个量代入曲率的定义中，我们可以计算参数方程曲线的曲率。
dr/ds=(dx/dt, dy/dt) / sqrt((dx/dt)²+(dy/dt)²)k=，dr/ds，=，dx/dt * g'(t) - dy/dt * f'(t)， /sqrt((dx/dt)²+(dy/dt)²)³其中f'(t)和g'(t)是参数方程x=f(t),y=g(t)的一阶导数。
r(t j) r(t j 1)( t j) r (t j 1)R2j ,其中余项R2j(X ( 1j), y (2j), z ( 3j))r(t j) r(t j 1) (t j) r (t j 1) (t j 1),当t j t j t j 1 0 .此时屮 R2j，第一章曲线的局部微分几何§2曲线的弧长和弧长元素通俗地讲，将曲线的一段想象成软绳的一段，则软绳的所谓“长度” 是可以用“直尺”测量出来的•如果软绳并不是太“弯”，则其两个端点的“直线距离”就是其长度的近似值•这种看法在人们的日常生活中经常自觉或不自觉地被加以运用•在数学发展史上，类似的抽象观点被有效利用的年代可以追溯到古希腊的阿基米德时代；而被严格并且广泛地利用于自然科学当中，则是从Newton和Leib niz创立微积分学开始.粗略地说，在微积分学之中，当曲线“可求长”时，“长度”理解为一族“逼近”曲线的折线列的“长度”的极限值，而构成折线的各个直线段的“长度”被认为总是可以确定的；在此，勾股定理确定了三维Euclid空间的基本度量规则.换个角度去看，基本的度量规则确定了所谓的“长度”，同时决定了在抽象理论中适当给“长度”以定义的各种等价方式；而基本度量规则的改变，将导致不同的关于距离的几何学•在学习到第六章内蕴几何学的内容以后，可以再回过头来仔细体会上述说法的含义.下面，将从几何学的角度给出长度概念及其解释•E3中正则曲线段的长度给定E3中Descartes 直角坐标系O-xyz .设C: r(t) (x(t), y(t), z(t)), t [a, b]是正则曲线上的一个弧段•任取参数区间的一个划分D n： t o a < t1 < …< t n = b ,对应有曲线上的分点P j： r(t j) , j = 0, 1,…,n .相应折线的长度确定为n n nP j 1P j r(t j) r(t j 1) V(X j x j 1)2(y j y j 1)2(zz 1)2j = 1 j = 1 j = 1由Taylor展开式，可写D n X M y M ZMnnn2(t j )2r(t j )r(t j i ) r (t j 1)t j <R 2j j = 1j = 12j = 0, 1,…,n }, t [a, b]}, t [a, b]},t [a, b]},max{ t j max{ x (t) max{ y (t) max{ z (t)nW D nX M 2 y M 2 Z M 2t jj = 1D n , XM 2 y M 2 Z M 2(b a) 0 ,当 D n0 .按照Riemann 积分意义，此即证得下述结论.定理1正则曲线上的弧段C: r(t) (x(t), y(t), z(t)) , t [a, b]是可求长的，且长度取值为 L(C) a r (t) dt .为了说明按分析意义引进的“长度”作为几何概念是合理的 ，需要验证其为几何不变量.首先，它不依赖于正则参数的选取；这只要在参数变换下验证其不变，而这只要注意到复合求导关系以及定积分变量代换公式 便容易得到•其次，它不依赖于E 3中Descartes 直角坐标系的选取；这只要在正交标架变换或刚体运动下验证其不变(留作习题).分析意义下的可求长曲线对连续可微性的要求是可以降低的.关于降 低可微阶数的讨论，在一般的场合，并不是本课程中所关心的内容.二•弧长和弧长参数定义 对正则曲线 C: r(t) (x(t), y(t), z(t)) , t (a, b)，任取 t o (a, b), 称s(t) s(t o ) t 0r(u) du 为曲线C 上的从参数t o 到t 的有向弧长，简称弧长；称ds r (t) dt 为曲线C 上的有向弧长元素，简称弧长元素；称函数 s(t) s(t 0)为曲线C 上以r(t 0)为起点的有向弧长参数函数，简称弧长参数.dr(t(s)) ds drdt(t(s))dtds=[r (t) r(t) ]t= t(s)T(t(s)).同讨论长度一样，易证( 留作习题)弧长元素在保向正则参数变换下不变，且在刚体运动下不变；弧长参数由正则参数曲线本身确定到相互差某个常数，该常数等于不同起点之间的有向弧长. 此外，当一般正则参数转换为相应的弧长参数时，有自然，单位切向作为保向正则参数变换下的不变量，用弧长参数表示以及计算一定有其意义.一般地，由于弧长参数具有明确的几何属性，因而在几何理论研究中被广泛地使用；其重要性表现在简化计算的同时，能突出所讨论对象的几何意义.弧长参数的存在性和特征可以总结成下列结果.定理 2 对正则曲线C: r (t) (x(t), y(t), z(t)) , t (a, b),①总可以弧长参数化；②参数t成为弧长参数的充要条件为r (t) 1 , t (a, b).约定：以后在不容易混淆时，通常以s表示曲线的弧长参数，通常以ds表示曲线的弧长元素.例圆柱螺线参数化为r(t) (a cos( t) , a sin( t) , vt) , t R，其中三个常数a > 0 , 0和v 0 .试求其从点(a, 0, 0)计起的弧长参数，并确定其一个螺纹的长度.解：r (t)=(a sin( t),a cos( t),v),故r (t).[ a si n(t)]2[a cos( t)]2v2.a22v20 , t为正则参数, 且有ds r (t) dt a22v2 dt ,s(t)s(t0)：r (u)du t/-a22 v2du.a2 2v2 (t t0).点(a, 0, 0)对应于参数t 0 ,故从点(a, 0, 0)计起的弧长参数为s(t) s(0) . a2 2 v21 .一个螺纹对应于参数t取值区间为［t°, t0+2 / ］，故所求长度为s(2 / ) s(0) 2 .a2 2 v2/ . □习题1.证明正则曲线上的弧段的长度在E3的正交标架变换下不变.2.证明正则曲线上的弧长元素在保向正则参数变换下不变.3.证明正则曲线上的弧长参数由正则参数曲线本身确定到相互差某个常数，该常数等于不同起点之间的有向弧长.4.试求下列曲线段的弧长元素、单位切向和在指定参数范围内的弧长：①双曲螺线r(t) (ch t , sh t , t) ; [ 1,1];②悬链线r(t) (t , ch t , 0) ; [0,1];③E2中的曳物线r(t) (cos t , ln(sec t tan t) sin t ) ; [0, t].5.试求平面极坐标系下方程为()的曲线的弧长，其中和分别为极坐标系的极径和极角.6.试求曲线｛二3y在平面y 7和y 9之间的弧段的长度.7.讨论曲线； ^) o的单位切向、弧长元素和弧长的算法.。
弧长元素ds公式
弧长元素ds公式是描述曲线上一小段弧长的数学公式。
它的形式是ds = sqrt(dx^2 + dy^2)，其中dx和dy分别表示曲线上一小段的水平位移和垂直位移。
这个公式在微积分中经常被使用，用于计算曲线的长度。
当我们用人类的视角来理解这个公式时，可以将其解释为测量曲线的长度所需的步骤。
假设我们想要测量一条曲线的长度，我们可以将曲线分成很多小段，每一小段的长度可以近似为一条直线的长度。
而这个公式就是描述了如何计算每一小段的长度。
在使用这个公式时，我们需要将曲线分成很多小段，并计算每一小段的长度。
首先，我们需要找到曲线上两个相邻点的坐标，记为(x1, y1)和(x2, y2)。
然后，我们可以计算这两个点在水平方向上的位移dx，即x2 - x1，以及在垂直方向上的位移dy，即y2 - y1。
接下来，我们可以使用勾股定理来计算这一小段的长度，即sqrt(dx^2 + dy^2)。
通过重复这个步骤，我们可以计算出曲线上每一小段的长度，并将它们相加，从而得到整条曲线的长度。
这个公式在实际应用中非常有用，特别是在测量曲线长度或计算曲线的弧度时。
总的来说，弧长元素ds公式是一种计算曲线长度的数学工具，它可以帮助我们理解曲线的形状和长度。
通过将其视为测量曲线长度的
步骤，我们可以更好地理解和应用这个公式。
无论是在数学领域还是实际应用中，这个公式都起着重要的作用，并为我们提供了一种更深入地了解曲线的方式。
第二章曲线的局部微分几何
§2曲线的弧长和弧长元素
通俗地讲，将曲线的一段想象成软绳的一段，则软绳的所谓“长度”是可以用“直尺”测量出来的．如果软绳并不是太“弯”，则其两个端点的“直线距离”就是其长度的近似值．这种看法在人们的日常生活中经常自觉或不自觉地被加以运用．在数学发展史上，类似的抽象观点被有效利用的年代可以追溯到古希腊的阿基米德时代；而被严格并且广泛地利用于自然科学当中，则是从 Newton 和 Leibniz 创立微积分学开始．粗略地说，在微积分学之中，当曲线“可求长”时，“长度”理解为一族“逼近”曲线的折线列的“长度”的极限值，而构成折线的各个直线段的“长度”被认为总是可以确定的；在此，勾股定理确定了三维 Euclid 空间的基本度量规则．换个角度去看，基本的度量规则确定了所谓的“长度”，同时决定了在抽象理论中适当给“长度”以定义的各种等价方式；而基本度量规则的改变，将导致不同的关于距离的几何学．在学习到第六章内蕴几何学的内容以后，可以再回过头来仔细体会上述说法的含义．
下面，将从几何学的角度给出长度概念及其解释．
一．E3中正则曲线段的长度
给定E3中Descartes直角坐标系O-xyz．设C: r(t) =(x(t),y(t),z(t)) , t∈[a, b] 是正则曲线上的一个弧段．任取参数区间的一个划分
D n: t0=a < t1 < …< t n = b，
对应有曲线上的分点P j: r(t j) , j= 0, 1, …, n．相应折线的长度确定为n
∑j = 1| P j-1P j|=
n
∑
j = 1
|r(t j) - r(t j-1) |=
n
∑
j = 1
(x j-x j-1)2+ (y j-y j-1)2+ (z j-z j-1)2．
由 Taylor 展开式，可写
r(t j) - r(t j-1) = (∆t j) r'(t j-1) +(∆t j)2
2!
R2j，
其中余项R2j= (x"(ξ1j), y"(ξ2j), z"(ξ3j))→r"(t j-1) , 当∆t j=t j-t j-1→0 ．此时||r(t j) - r(t j-1)|-|(∆t j) r'(t j-1)||≤|(∆t j)22!R2j|，
|n∑j = 1|r(t j) - r(t j-1)|-
n
∑
j = 1
|r'(t j-1)|∆t j|≤
n
∑
j = 1
|(∆t j)2
2!
R2j|．
记
||D n||= max{∆t j|j= 0, 1, …, n } ，
x M= max{|x"(t)||t∈[a, b]} ，
y M= max{|y"(t)||t∈[a, b]} ，
z M= max{|z"(t)||t∈[a, b]} ，
则
n ∑j = 1|(∆t j)2
2!
R2j|
≤||D n||x M2+y M2+z M2
n
∑
j = 1
∆t j
=||D n||x M2+y M2+z M2 (b-a)
→0 , 当||D n||→0 ．
按照 Riemann 积分意义，此即证得下述结论．
定理1正则曲线上的弧段C: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , t∈[a, b] 是可求长
的，且长度取值为L(C) =⎰b
a
|r'(t)| d t．
为了说明按分析意义引进的“长度”作为几何概念是合理的，需要验证其为几何不变量．首先，它不依赖于正则参数的选取；这只要在参数变换下验证其不变，而这只要注意到复合求导关系以及定积分变量代换公式便容易得到．其次，它不依赖于E3中Descartes直角坐标系的选取；这只要在正交标架变换或刚体运动下验证其不变（留作习题）．
分析意义下的可求长曲线对连续可微性的要求是可以降低的．关于降低可微阶数的讨论，在一般的场合，并不是本课程中所关心的内容．
二．弧长和弧长参数
定义对正则曲线C: r(t) = (x(t), y(t), z(t)) , t∈(a, b) ，任取t0∈(a, b) ，
称s(t) -s(t0) =⎰t
t0
|r'(u)| d u为曲线C上的从参数t0到t的有向弧长，简称弧长；称d s=|r'(t)|d t为曲线C上的有向弧长元素，简称弧长元素；称函数s(t) -s(t0) 为曲线C上以r(t0) 为起点的有向弧长参数函数，简称弧长参数.
同讨论长度一样，易证（留作习题）弧长元素在保向正则参数变换下
不变，且在刚体运动下不变；弧长参数由正则参数曲线本身确定到相互差某个常数，该常数等于不同起点之间的有向弧长．此外，当一般正则参数转换为相应的弧长参数时，有
d r(t(s)) d s = d r
d t(t(s))
d t
d s =
[r'(t) 1
|r'(t)|
]|t = t(s)=T(t(s)) ．
自然，单位切向作为保向正则参数变换下的不变量，用弧长参数表示以及计算一定有其意义．一般地，由于弧长参数具有明确的几何属性，因而在几何理论研究中被广泛地使用；其重要性表现在简化计算的同时，能突出所讨论对象的几何意义．弧长参数的存在性和特征可以总结成下列结果．定理2对正则曲线C: r (t) = (x(t), y(t), z(t)) , t∈(a, b) ，
①总可以弧长参数化；
②参数t成为弧长参数的充要条件为|r'(t)|≡ 1 , ∀t∈(a, b) ．
约定：以后在不容易混淆时，通常以s表示曲线的弧长参数，通常以 d s表示曲线的弧长元素．
例圆柱螺线参数化为r(t) = (a cos(ωt) , a sin(ωt) , vt) , t∈R，其中三个常数a > 0 , ω≠ 0 和v≠ 0 ．试求其从点 (a, 0, 0) 计起的弧长参数，并确定其一个螺纹的长度．
解：r'(t) = (-aω sin(ωt) , aω cos(ωt) , v) ，
故|r'(t)|=[-aω sin(ωt)]2+ [aω cos(ωt)]2+v2=a2ω2+v2≠ 0 ，t为正则参数，且有
d s=|r'(t)| d t=a2ω2+v2 d t，
s(t) -s(t0) =⎰t
t0|r'(u)| d u=⎰t
t0
a2ω2+v2d u=a2ω2+v2 (t-t0) ．
点 (a, 0, 0) 对应于参数t= 0 ，故从点 (a, 0, 0) 计起的弧长参数为
s(t) -s(0) =a2ω2+v2t．
一个螺纹对应于参数t取值区间为 [t0, t0+2π/|ω|] ，故所求长度为
|s(2π/|ω|) -s(0)|= 2πa2ω2+v2/|ω|．□
习题
⒈证明正则曲线上的弧段的长度在E3的正交标架变换下不变．
⒉证明正则曲线上的弧长元素在保向正则参数变换下不变．
⒊证明正则曲线上的弧长参数由正则参数曲线本身确定到相互差某个常数，该常数
等于不同起点之间的有向弧长．
⒋试求下列曲线段的弧长元素、单位切向和在指定参数范围内的弧长：
①双曲螺线r(t) = (ch t , sh t , t) ; [-1, 1] ；
②悬链线r(t) = (t , ch t , 0) ; [0, 1] ；
③E2中的曳物线r(t) = (cos t , ln(sec t+ tan t) - sin t ) ; [0, t] ．
⒌试求平面极坐标系下方程为ρ =ρ(θ) 的曲线的弧长，其中ρ 和θ分别为极坐标系的
极径和极角．
⒍试求曲线{x3= 3y
2xz= 1 在平面y=
1
3 和y= 9 之间的弧段的长度．
⒎讨论曲线{f(x, y, z) = 0
g(x, y, z) = 0
的单位切向、弧长元素和弧长的算法．。
