数学建模之聚类分析

层次聚类
要点一
总结词
一种基于距离的聚类算法，通过构建层次结构来对数据进 行聚类。
要点二
详细描述
层次聚类算法的基本思想是，通过不断将相近的数据点合 并成新的集群，或者将现有的集群分裂成更小的集群，来 构建一个层次结构。算法首先将每个数据点视为一个独立 的集群，然后按照距离的远近逐步合并或分裂集群，直到 达到预设的停止条件。层次聚类算法有多种，其中最常用 的是凝聚层次聚类和分裂层次聚类。
密度峰值聚类
总结词
一种基于密度的聚类算法，通过识别密度峰值点来对 数据进行聚类。
详细描述
密度峰值聚类算法的基本思想是，通过识别数据集中的 密度峰值点来对数据进行聚类。算法首先计算每个数据 点在其邻域内的密度，并将密度最大的点视为密度峰值 点。然后，算法将每个密度峰值点作为中心点，将与其 相近的数据点归入同一个集群。通过这种方式，密度峰 值聚类算法能够识别出任意形状的集群，并处理异常值 和噪声点。与DBSCAN算法相比，密度峰值聚类算法 的计算复杂度较低，因此在处理大规模数据集时具有更 好的性能。
DBSCAN聚类
总结词
一种基于密度的聚类算法，通过识别高密度区域和低 密度区域来对数据进行聚类。
详细描述
DBSCAN聚类算法的基本思想是，通过识别高密度区 域和低密度区域来对数据进行聚类。算法首先从任意一 个未被访问过的数据点开始，搜索其邻域内的所有点， 如果邻域内的点数超过预设的阈值，则将该点标记为核 心点，并将其所在区域视为一个集群。然后，算法继续 搜索核心点的邻域内的点，并将这些点标记为边界点和 噪声点。通过这种方式，DBSCAN算法能够识别出任 意形状的集群，并处理异常值和噪声点。
通过分析不同群体的用户特征和行为模式，电商企业可以 制定更加精准的营销策略和个性化推荐方案，提高用户满 意度和忠诚度。

系统聚类法过程
1
最短距离系统聚类法
根据五个学生的六门课的成绩，对这五个学生进行分类
ID 学生1 学生2 学生3 学生4 学生5
数学 65 77 67 80 74
物理 61 77 63 69 70
化学 72 76 49 75 80
语文 84 64 65 74 84
历史 81 70 67 74 81




重心法: (Centroid clustering)
D (G p , Gq ) d ( x p , xq )
两个类的重心如下：
xp
xp2
x p1 x p 2 2
D(G p , Gq )
xq
xq1 xq 2 2
xq 2
x p1
xq1
ID 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
数学 物理 65 76 67 84 74 78 66 77 83 86 61 77 63 95 70 84 71 71 100 94
绝对值距离：
p d ( x1 , x2 ) | x1k x2 k | 27 k 1
欧氏距离：
d ( x1 , x2 )
分类准则
距离近的样品聚为一类 数据的一般的格式
样品与样品之间的常用距离（样品i与样品j）
p 绝对值距离：d ( xi , x j ) | xik x jk | k 1
欧氏距离：d ( x i, xj )
2 ( x x ) ik jk k 1
1 q
p
p Minkowski距离： d ( xi , x j ) ( xik x jk )q k 1

聚类分析聚类，或称分集，即所谓“物以类聚”，它是按某种相似规则对给定样本集、指标簇进行某种性质的划分，使之成为不同的类．将数据抽象化为样本矩阵()ij n m X X ⨯=，ij X 表示第i 个样本的第j 个变量的值．聚类目的，就是从数据出发，将样本或变量分成类．其方法大致有如下几个．（1） 聚类法．即谱系聚类法．将n 个样本看成n 类，将性质最接近的两类并为一新类，得1-n 类；再从1-n 类中找出最接近的两类加以合并，得2-n 类；继之，最后所有样本都成一类，得一聚类谱系，从谱系中可确定划分多少类，每类含有哪些样本．（2） 分解法．它是系统聚类的逆过程，将所有样本视为一类，按某种最优准则将它分成两类，继之，每一类都分到只含一个样本为止．（3） 动态聚类．即快速聚类法．将n 个样本粗糙地分成若干类，然后用某种最优准则进行调整，直至不能调整为止．（4） 有序样本聚类．按时间顺序，聚在一类的样本必须是次序相邻的样本．（5） 模糊聚类．它是将模糊数学用于样本聚类．（6） 运筹学聚类．它是将聚类问题化为线性规划、动态规划、整数规划模型的聚类．（7） 神经网络聚类．它是将样本按自组织特征映射的方法进行，也是我们要加以叙述的一个重点．（8） 预测中聚类．它是聚类在预测中的应用，以弥补非稳定信号回归的预测与分析．这里主要介绍谱系聚类法和快速聚类法． 一、距离定义样本矩阵()ij n m X x ⨯=，是m 维空间中n 个点，以距离度量样本之间的贴近度，就是距离聚类方法．最常用的第i 个与第j个样本的Minkowski 距离为p mk p jk ik ijx x d /11)||(∑=-=式中p 为一正整数．当2=p , ij d 就是欧几里德距离；当1=p ，ij d 就是绝对距离，或称“布洛克（cityblock ）”距离．而切比雪夫距离为||max 1jk ik mk ij x x d -=≤≤设m m C ⨯是变量的协方差矩阵，i x ,j x 为第i 行与第j 行m 个变量构成的向量，则马哈兰罗比斯距离定义为1()()T ij i j i j d x x C x x -=-- 根据距离的定义，就获得距离矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n n d d d d d d d d d d 212222111211 由距离性质可知，d 为实对称矩阵，ij d 越小，两样本就越相似，其中01211====nn d d d ，根据)(j i d ij ≠的n 个点分类，依聚类准则分为不同的类．对d 常用的系统聚类准则有： 1、类间距离定义（1） 最短距离；,min p qpq ij i Gj GD d ∈∈= （2） 最长距离；,maxpqpq ij i G j GD d ∈∈=（3） 质心距离；(,)pq p q D d x x = （4） 平均距离；1p qpq iji G j G p qD d n n ∈∈=∑∑（5） 平方距离：2()()p q T pqp q p q p qn n D x x x x n n =--+2．类间距离的递推公式（1）最短距离：min{,}rk pk qk D D D = （2）最长距离：max{,}rk pk qk D D D = （3）类平均距离：p q rk pk qk rrn n D D D n n =+（4）重心距离：2222pqp q rkpkqkpq r r r rn n n n D D D D n n n n =+-⋅（5）离差平方和距离：2222p k q k krkpk qk pq r kr kr kn n n n n D D D D n n n n n n ++=+-+++二、谱系聚类法例: 假如抽取5个样本，每个样本只测一个指标，即数据为x =[1，0；2，0；4.5，0；6，0；8，0] 试以最短距离准则进行距离聚类说明．解 这时，样本间的绝对距离、欧几里德距离或切比雪夫距离均一致，见表3.1．以最短距离准则聚类．根据定义，当令p Ω与q Ω中分别有pn 与q n 个样本，则最短距离为：},|min{),(q p ij nearj i d q p Ω∈Ω∈=δ于是，对于某步，假定具有样本为p n 的第p 集合与样本为q n 的第q 集合，聚成为具有样本为q p s n n n +=的第s 集合，则第k 集合与第s 集合的最短距离，可写为)},(),,(min{),(q k p k s k near near nearδδδ=(1)表1 绝对距离数据表中数据1、2、4.5、6、8视为二叉树叶子，编号为1、2、3、4、5．当每一个样本看成一类时，则式子(1)变为ij neard j i =),(δ，最小距离为1，即1与2合聚于6号，得表2．表中5.2)5.2,5.3min()}2,3(),1,3(min{)6,3(===δδδnear near near表2 一次合聚表2中最小距离为1.5，即4.5与6合聚于7，得表3．表中(6,7)min{(6,4.5),(6,6)}min(2.5,4) 2.5near nearnearδδδ===．表3 二次合聚表3中最小距离为2，即{4.5，6}元素（为7号）与8（为5号）合聚于8号，得表4．表中5.2)6,4,5.2min()}8,6(),6,6(),5.4,6(min{)8,6(===δδδδnear near near near表4 三次合聚最后集合{1，2}与{4.5，6，8}聚成一集丛．此例的Matlab 程序如下：x =[1，0；2，0；4.5，0；6，0；8，0])();'sin ',();'',(z dendrogram gle y linkage z CityBlock x pdist y ==绘得最短距离聚类谱系如图1所示，由图看出分两类比较合适．1号、2号数据合聚于6号，最小聚距为1；3号、4号数据合聚于7号，最小聚距为1.5；7号于5号数据合聚于8号，最小聚距为2；最后6号和8号合聚，最小聚距为2.5。

• 解释性-可用性 用户希望聚类结果是可解释的，可理解的，和可用的。 也就是说，聚类可能需要和特定的语义解释和应用相 联系。应用目标如何影响聚类方法的选择也是一个重 要的研究课题。 记住这些约束，我们对聚类分析的学习将按如下的步 骤进行。首先，学习不同类型的数据，以及它们对聚 类方法的影响。接着，给出了一个聚类方法的一般分 类。然后我们详细地讨论了各种聚类方法，包括划分 方法，层次方法，基于密度的方法，基于网格的方法， 以及基于模型的方法。最后我们探讨在高维空间中的 聚类和孤立点分析（outlier analysis）。
cophenet相关系数。 • cluster 函数 • 调用格式：T=cluster(Z,…) • 说明：根据linkage函数的输出Z 创建分类
利用spass进行聚类分析
两步聚类法
• 基本思想： 一种探索性的聚类方法，是随着人 工智能的发展起来的智能聚类方法中的一种。用 于解决海量数据或具有复杂类别结构的聚类分析 问题。
对象之间的距离 X：一个m×n的矩阵，它是由m个对象组成的数据 集，每个对象的大小为n。 • linkage函数 • 调用格式：Z=linkage(Y,’method’)
• 说 明：用‘method’参数指定的算法计算系统聚类 树。
• Y：pdist函数返回的距离向量
• cophenet函数 • 调用格式：c=cophenetic(Z,Y) • 说明：利用pdist函数生成的Y和linkage函数生成的Z计算
小于允许值，输出聚类结果。
Kmeans函数
• 使用方法：
Idx=Kmeans(X,K) [Idx,C]=Kmeans(X,K) [Idc,C,sumD]=Kmeans( X,K) [Idx,C,sumD,D]=Kmean s(X,K)

满足输出；不满足循环；
（7）重复；
初始聚类中心的选择
初始聚类中心的选取决定着计算的迭代 次数，甚至决定着最终的解是否为全局最优， 所以选择一个好的初始聚类中心是很有必要 的。
（1）方法一：选取前k个样品作为初始凝聚点。
(2)方法二： 选择第一个样本点作为第一个聚类 中心。然后选取距离第一个点最远的点作为第二个 聚 类中心。……
数据变换：进行[0,1]规格化得到
初始类个数的选择； 初始类中心的选择；
设k=3，即将这15支球队分成三个集团。现抽取日 本、巴林和泰国的值作为三个类的种子，即初始化三 个类的中心为 A：{0.3, 0, 0.19}； B：{0.7, 0.76, 0.5}； C：{1, 1, 0.5}；
样品到类中心的距离； 归类；
计算所有球队分别对三个中心点的欧氏 距离。下面是用程序求取的结果：
第一次聚类结果： A：日本，韩国，伊朗，沙特； B：乌兹别克斯坦，巴林，朝鲜； C：中国，伊拉克，卡塔尔，阿联酋，泰 国，越南，阿曼，印尼。
重新计算类中心；
下面根据第一次聚类结果，采用k-均值法调整各个类的 中心点。
A类的新中心点为：{(0.3+0+0.24+0.3)/4=0.21,
数据变换
（5）极差正规化变换:
x*ij
=
xij
min 1t n
xij
Rj
i 1,，2，...，,n; j 1,..., m
（6）对数变换x*:ij = log xij
i 1,，2，...，,n; j 1,..., m
k
样品间的距离
（1）绝对值距离：
m
dij
xit x jt
t 1

银行风险管理中的数学建模方法研究随着金融市场的不断发展，银行风险管理的重要性也日益凸显。

银行作为金融机构，其经营活动必然会面临各种各样的风险，而科学合理的风险管理方法也就变得至关重要了。

在银行风险管理中，数学建模方法已经成为了一种常用的手段，它可以帮助银行有效地识别、评估和控制各种风险，提高银行的稳健性和盈利能力。

本文将从以下几个方面，对银行风险管理中的数学建模方法进行综述和研究。

一、银行风险分类及数学模型选择首先，我们需要了解银行的常见风险类型，根据国际惯例，银行的风险主要有信用风险、市场风险、操作风险和流动性风险等。

针对不同的风险类型，银行需要选择不同的数学模型。

1. 信用风险模型信用风险是指因借款人或客户未能按照约定的还款计划进行偿付，导致银行遭受的损失，因此，信用风险模型的本质就是对借款人和客户的违约概率进行预测和度量。

常见的信用风险模型包括基于Logistic回归、神经网络、决策树等的评级模型和预测模型，其中评级模型常用于客户的信用评估和分类，预测模型则用于预测未来违约率。

2. 市场风险模型市场风险是指由于市场利率、汇率、股票价格等外部市场因素的波动导致的银行投资组合损失。

市场风险模型的选择主要取决于银行的投资策略和投资组合的构成，例如对股票、债券、外汇等不同资产类别，采用VaR、Expected Shortfall等风险度量指标，或者对固定收益产品采用债券定价模型等进行风险度量。

3. 操作风险模型操作风险是指由于银行内部人员、系统、流程等因素的错误或意外而导致银行损失。

常用的操作风险模型包括LDA、AMA等模型，其中LDA模型主要是基于统计学的方法，包括分布假设、估计方程等，而AMA模型则是更加模型化的金融工程方法，它可以对操作风险事件的时序、复杂程度等多个方面进行度量和分析。

4. 流动性风险模型流动性风险是指银行面临的资金流动性风险，它主要包括流动性溢价、资产负债管理、清算、融资成本等方面。

现代统计学1.因子分析(Factor Analysis)因子分析的基本目的就是用少数几个因子去描述许多指标或因素之间的联系，即将相关比较密切的几个变量归在同一类中，每一类变量就成为一个因子（之所以称其为因子，是因为它是不可观测的，即不是具体的变量），以较少的几个因子反映原资料的大部分信息。

运用这种研究技术，我们可以方便地找出影响消费者购买、消费以及满意度的主要因素是哪些，以及它们的影响力（权重）运用这种研究技术，我们还可以为市场细分做前期分析。

2.主成分分析主成分分析主要是作为一种探索性的技术，在分析者进行多元数据分析之前，用主成分分析来分析数据，让自己对数据有一个大致的了解是非常重要的。

主成分分析一般很少单独使用：a，了解数据。

(screening the data),b,和cluster analysis一起使用，c，和判别分析一起使用，比如当变量很多，个案数不多，直接使用判别分析可能无解，这时候可以使用主成份发对变量简化。

（reduce dimensionality）d,在多元回归中，主成分分析可以帮助判断是否存在共线性（条件指数），还可以用来处理共线性。

主成分分析和因子分析的区别1、因子分析中是把变量表示成各因子的线性组合，而主成分分析中则是把主成分表示成个变量的线性组合。

2、主成分分析的重点在于解释个变量的总方差，而因子分析则把重点放在解释各变量之间的协方差。

3、主成分分析中不需要有假设(assumptions),因子分析则需要一些假设。

因子分析的假设包括：各个共同因子之间不相关，特殊因子（specific factor）之间也不相关，共同因子和特殊因子之间也不相关。

4、主成分分析中，当给定的协方差矩阵或者相关矩阵的特征值是唯一的时候，的主成分一般是独特的；而因子分析中因子不是独特的，可以旋转得到不同的因子。

5、在因子分析中，因子个数需要分析者指定（spss根据一定的条件自动设定，只要是特征值大于1的因子进入分析），而指定的因子数量不同而结果不同。

聚类分析
分类





俗语说，物以类聚、人以群分。 但什么是分类的根据呢？ 比如，要想把中国的县分成若干类，就有很多 种分类法； 可以按照自然条件来分， 比如考虑降水、土地、日照、湿度等各方面； 也可以考虑收入、教育水准、医疗条件、基础 设施等指标； 既可以用某一项来分类，也可以同时考虑多项 指标来分类。
应用范围有限，要求用户制定分类数目(要告知)，只能对 观测量（样本）聚类，而不能对变量聚类，且所使用的聚类变 量必须都是连续性变量。
数据标准化处理：
存储中间过程数据
数据标准 化处理， 并存储。
指定5类
收敛标准值
存储最终结果输出情况，在数据文件中（QCL-1、QCL-2）
初始聚心选项，输出方差分析表
得到矩阵
G 7 G 8 D3 G 7 0 G8 12 .80 0
最后合并为一个大类。这就是按最短距离定义类间距离的 系统聚类方法。最长距离法类似！
最长距离（Furthest Neighbor ）
• x11• •
x21•
d12
• • •
•
20
组间平均连接（Between-group Linkage)
系统聚类法
Hierarchical Cluster
系统聚类法优点： 既可以对观测量（样品）也可对变量进行 聚类，既可以连续变量也可以是分类变量，提 供的距离计算方法和结果显示方法也很丰富。
聚类分析
1、系统聚类法------（分层聚类）系统聚类法是应 用最广泛的一种（Hierarchical Cluster过程） 1）、 聚类原则：都是相近的聚为一类，即距 离最近或最相似的聚为 一类。 2）、 分层聚类的方法可以用于样本聚类（Q） 型，也可以用于变量聚类（R型）。

四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。

1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。

1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。

1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。

1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何将尽可能多的物品装入背包。

多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。

如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。

多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。

该问题属于NP 难问题。

● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。

工人i 完成工作j 的时间为ij d 。

如何安排使总工作时间最小。

二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。

二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。

● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。

● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。

TSP 问题是VRP 问题的特例。

● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。

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聚类分析
1
分类
俗语说，物以类聚、人以群分。 但什么是分类的根据呢？ 比如，要想把中国的县分成若干类，就有很多
种分类法； 可以按照自然条件来分， 比如考虑降水、土地、日照、湿度等各方面； 也可以考虑收入、教育水准、医疗条件、基础
设施等指标； 既可以用某一项来分类，也可以同时考虑多项
指标来分类。
青海 5 12.80 23.54 3.51 2.21 0
因此将3.4合并为一类，为类6，替代了3、4两类
类6与剩余的1、2、5之间的距离分别为：
d(3,4)1=min(d31,d41)=min(13.80,13.12)=13.12
d(3,4)2=min(d32,d42)=min(24.63,24.06)=24.06
两类距离为两类元素两两之间平均平方距离
2.Within-groups linkage 类内平均法
两类距离为合并后类中可能元素两两之间平均平方距离
3.Nearest neighbor
最短距离法
4. Furthest neighbor
最长距离法
5.Centroid clustering 重心法
(欧式距离)
8
二、距离
每个样本有p个指标，因此每个样本可以看成 p维空间中的一个点，n个样本就组成p维空间 中的n个点，这时很自然想到用距离来度量n 个样本间的接近程度。
用 d ij 表示第i个样本与第j个样本之间的距 离。一切距离应满足以下条件：
dij 0,对于一切 i, j dij 0,等价于样i本与样本j的指标相同 dij＝dji，对于一i切, j dij dik dkj,对于一切 i, j,k
三维或者更高维的情况也是类似；只不过三维以 上的图形无法直观地画出来而已。在饮料数据中， 每种饮料都有四个变量值。这就是四维空间点的 问题了。

11.1抗生素显著性检验问题摘要在已知抗生素效果情况服从正态分布，且方差相同条件下。

通过用SPSS13.0软件编写程序，进行单因素方差分析。

检验五种抗生素之间是否存在明显差异。

关键词：抗生素方差分析显著性检验一问题重述抗生素注入人体后会与人体血浆蛋白质结合，以致减少了药效。

现在将常用的抗生素注入到牛的体内，得到抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。

在总体服从正态分布，且方差相同的条件下分析五种抗生素效果是否存在显著性差异。

二问题分析题目显示各类抗生素效果情况服从正态分布，为了进一步说明抗生素使用效果的差异，需要检查不同抗生素是否有显著性差异，即对数据进行显著性检验。

首先，应该提出抗生素之间没有显著性差异的假设。

然后通过SPSS13.0版本软件进行单因素方差检验[1]。

验证假设是否成立。

三模型假设四符号说明五模型建立与求解题目显示各类抗生素与血浆蛋白质结合的百分比情况属于正态总体，要对各类抗生素是否存在显著性差异。

应用软件SPSS13.0进行单因素方差检验。

其检验步骤如下：Step1. 提出假设:H:各类抗生素之间没有显著性差异；H:各类抗生素之间有显著性差异。

1α0.05。

Step2. 选定显著性水平=Step3. 用软件SPSS13.0进行单因素方差检验用SPSS13.0编写程序得到问题的解：即不同抗生素效果明显不同。

（各抗生素之间具体分析见附录一）六模型评价与改进参考文献[1]薛薇 ,《SPSS统计分析方法及应用》，出版地：电子工业出版社，2009。

[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。

[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。

附录附录一PSS13.0编写程序得到问题的解：11.2化肥与小麦种子的不同对小麦产量的影响问题摘要化肥与小麦的品种的差异将影响小麦的产量，进而影响农民的生活水平。

本文建立数学模型，就化肥的不同，小麦品种的不同这两种因素定量分析化肥与小麦品种对小麦实际产量的影响。

汽车租赁模型要结合蒙特卡罗算法176投票趋势模型177马尔可夫链Markov 决策离散概率模型串联和并联系统模型178无约束类生产计划模型192取整数类载货模型194动态规划类197多目标规划类投资问题有时须对目标进行取舍。

可采取加权系统层次分析196冲突目标Minmax 与maxmin机会约束约束满足概率性>P 矛盾约束约束相互矛盾单纯形法木匠生产模型注意步骤性。

215组合模型参数模型动态规划决策法背包问题排序问题多步骤形的规划线性规划模型数值搜索法工业流程优化黄金分割搜索法还有二分搜索法233最大树最大流最短路关键路线法网络计划布点问题中心问题重心问题运输问题网络流分配问题匈牙利方法最大匹配最优匹配旅行推销问题中国邮递员问题分式规划目标是分式凸规划非线性规划几何规划2人0种对策鞍点对策混合对策对策合作单摆模型通过实验选择最终模型253爆炸模型函数随爆炸威力上升改变258烤火鸡模型262量纲分析模型阻力模型使用相似性、比例性。

注意它额外定义的物理量。

268军备竞赛模型民防、移动发射台、多弹头271税收-能源危机模型参考经济学书籍！288图标模型税收归宿模型税收-汽油短缺模型马尔萨斯人口模型无限增长299人口模型有限增长模型可推广到其它生物的增长301用药模型储蓄模型关注Euler 法的使用（该法并不精确）326竞争捕猎模型363页：相应的Euler 法使用生物关系模型捕食者-食饵模型Scheafer 微分方程模型Lanchester 战斗模型350SIR 模型军备竞赛的经济模型355微分方程模型混沌与分形模型连续Steiner 树模型名称所在目录1，国有企业业绩分化的数学模型2，打假问题的机理数学分析3，足球比赛排名问题4，大象群落的稳定性分析5，火车便餐最有价格方案6，影院最优设计方案7，国有企业业绩分化的数学模型8，打假问题的机理数学分析9，足球比赛排名问题10，大象群落的稳定性分析11，火车便餐最有价格方案12，施肥效果分析13，迷宫问题14，锁具装箱问题15，密码问题16，席位分配模型初等模型17，双重玻璃窗功效模型18，储存模型优化模型19，森林救火模型20，消费者均衡模型21，加工奶制品模型数学规划模型22，自来水输送模型23，混合泳接力模型24，投入产出模型25，三级火箭模型26，糖尿病模型27，传染病模型28，生物种群模型29，人口模型30，分子模型31，扫雪模型32，商人过河问题。

数学建模数据分类数学建模是一种应用数学的方法，通过数学模型来描述和解决实际问题。

其中一个重要的应用领域就是数据分类。

数据分类是指将一组数据按照某种特征或属性进行划分和分类的过程。

在现实生活中，数据分类有着广泛的应用，如社交网络中的用户推荐、商品推荐、医学诊断等。

数据分类的目标是将数据集划分为多个互相独立且类似的子集。

为了实现这一目标，数学建模提供了多种方法和技术。

下面将介绍一些常见的数据分类方法。

1. 聚类分析：聚类分析是一种无监督学习的方法，通过将相似的数据点聚集在一起，将数据集划分为多个类别或簇。

常见的聚类算法包括K均值聚类、层次聚类和密度聚类等。

聚类分析可以帮助我们发现数据中的潜在模式和结构。

2. 决策树：决策树是一种基于树状结构的分类模型，通过一系列的决策规则将数据集划分为不同的类别。

决策树的每个节点表示一个特征，每个分支表示一个决策规则，每个叶节点表示一个类别。

通过对数据集进行递归划分，决策树可以实现对数据的分类。

3. 支持向量机：支持向量机是一种二分类模型，通过在高维空间中找到一个最优超平面，将不同类别的数据分开。

支持向量机可以处理非线性分类问题，并且具有较好的泛化能力和鲁棒性。

4. 神经网络：神经网络是一种模拟人脑神经系统的计算模型，通过多个神经元之间的连接和传递来实现对数据的分类。

神经网络可以处理复杂的非线性关系，并且具有较强的学习能力和适应性。

5. 贝叶斯分类：贝叶斯分类是一种基于贝叶斯定理的概率分类方法，通过计算后验概率来进行分类。

贝叶斯分类可以处理不完全的数据和不确定性，并且具有较好的鲁棒性和可解释性。

除了上述方法，还有许多其他的数据分类方法，如遗传算法、随机森林、朴素贝叶斯等。

每种方法都有其适用的场景和特点，选择合适的方法可以提高分类的准确性和效果。

在实际应用中，数据分类往往需要考虑多个因素，如特征选择、模型训练、模型评估等。

特征选择是指从原始数据中选择和提取最相关的特征，以便更好地进行分类。

1：蒙特卡罗算法； 2：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法 （常用matlab实现）； 3：线性规划、整数规划、多元规划、二次规划(用 lingo、lingdo、matlab即可实现)； 4：图论算法（包括最短路、网络流、二分图）； 5：动态规划、回溯搜索、分治算法、分支界定； 6：最优化理论的三大经典算法（模拟退火算法、 神经网络算法、遗传算法）； 7：网格算法和穷举法； 8：连续数据离散化； 9：数值分析算法； 10：图象处理算法（常用matlab来实现）。



摘要 关键词 （1）问题重述 （2）模型假设与约定 （3）符号说明及名词定义 （4）问题分析 （5）模型建立（问题分析，公式推导，基本模型，最终或 简化模型等）与求解(包括设计或选择合适的计算方法和算 法，设计算法的实现步骤和计算框图；所采用的软件名称； 引用或建立必要的数学命题和定理； 求解方案及流程 ) （6）进一步讨论 （7）模型检验 （8）模型优缺点 （9）附录 (10)参考文献
在优化方法中，决策变量、目标函数（尽量简
单、光滑）、约束条件、求解方法是四个关键 因素。其中包括无约束规则（用fminserch、 fminbnd实现）线性规则（用linprog实现）非 线性规则、（ 用fmincon实现）多目标规划 （有目标加权、效用函数）动态规划（倒向和 正向）整数规划。
时间序列是按时间顺序排列的、随时间变化且
相互关联的数据序列—通过对预测目标自身时 间序列的处理，来研究其变化趋势（长期趋势 变动、季节变动、循环变动、不规则变动）



时间序列建模的基本步骤 数据的预处理：数据的剔取及提取趋势项 取n=1，拟合ARMA(2n,2n-1)（即ARMA(2,1)）模型 n=n+1，拟合ARMA(2n,2n-1)模型 用F准则检验模型的适用性。若检验显著，则转入第2步。 若检验不显著，转入第5步。 检查远端时刻的系数值的值是否很小，其置信区间是否 包含零。若不是，则适用的模型就是ARMA(2n,2n-1) 。 若很小，且其置信区间包含零，则拟合ARMA(2n-1,2n2) 。 利用F准则检验模型ARMA(2n,2n-1)和ARMA(2n-1,2n-2) ， 若F值不显著，转入第7步；若F值显著，转入第8步。 舍弃小的MA参数，拟合m<2n-2的模型ARMA(2n-1,m) ， 并用F准则进行检验。重复这一过程，直到得出具有最 小参数的适用模型为止 舍弃小的MA参数，拟合m<2n-1的模型ARMA(2n,m) ， 并用F准则进行检验。重复这一过程，直到得出具有最 小参数的适用模型为止。

分别表示第i个样品和第j样品的p指标观测值所组成的列向 量，即样本数据矩阵中第i个和第j个行向量的转置，Σ表示观测 变量之间的协方差矩阵。在实践应用中，若总体协方差矩阵Σ未 知，则可用样本协方差矩阵作为估计代替计算。
马氏距离又称为广义欧氏距离。显然，马氏距离与上述 各种距离的主要不同就是马氏距离考虑了观测变量之间的相 关性。如果假定各 变量 之间相互独立，即观测变量的协方差 矩阵是对角矩阵， 则马氏距离就退 化为用各个 观测指标的标 准差的倒数作为权数进行加权的欧氏距离。 因此，马氏距离 不仅考虑了观测变量之 间的相关性 ，而且也 考 虑到了各个观 测指标取值 的差异程度，为了对马氏距离和 欧氏距离进行一 下比较，以便更清楚地 看清二者的区别和联 系 ，现考虑一个 例子。
p 1 q
（4）兰氏距离(Canberra)
d ij (L ) = ∑
p
xik − x jk xik + x jk
k =1
（5）马氏距离(Mahalanobis)
′ d ij (M ) = (xi − x j ) S −1 (xi − x j )
1 2
（6）切比雪夫距离(Chebychev)
d ij = d ji 对一切的i和j成立;
d ij ≤ d ik + d kj 对于一切的 i和j成立.
2、常用距离的算法
x i = ( xi1 , xi 2 ,L , xip )′
x j = ( x j1 , x j 2 ,L, x jp )′
把n个样本点看成p维空间的n个点 （1）绝对距离（Block距离）
2 p
2 ∑ x x x x [ k∑ ( − ) ][ ( − ) ] ik i jk j =1 k =1

一、模糊评价模糊评价法是应用模糊理论和模糊关系合成的原理,通过多个因素对被评价事物隶属等级状况进行综合性评价的一种方法。

运用模糊评价法,通过多因素 或多指标,既对被评价事物的变化区间作出某种划分,又对事物属于各评价等级 的程度作出分析,从而更深入和客观地对被评价事物进行描述。

特点：①模糊评价法的结果是一个向量,而不是一个数值,即被评价事物的状况是通过被评价事物的等级隶属度来表示。

②模糊评价法可以是一种多层的评价,即可以先对被评价事物的某一层面进行模糊评价,再将各层面的模糊评价结果进行模糊合成,得出总的模糊评价结果。

③模糊评价法具有指标或因素的自然可综合性。

由于模糊评价法只需确定各指标的等级隶属度,既可用于主观指标,又可用于客观指标,以此而无需专门对指标进行无量纲处理。

1.1模糊评价的应用①人事考核中的应用， ②单位员工的年终评定，③昆山公安信息化建设效绩的评估（下载文档）， ④我国商业银行内部控制评价体系研究（下载文档）， ⑤石化行业业绩评价（下载文档）等。

1.2一级模糊综合评判模型的建立步骤①确定因素集及评语集确定被评价对象的因素集U ，{}12=,,,n U u u u L ，评语集{}12,,,m V v v v =L ； ②构造模糊关系矩阵R ，进行单因素评判。

用ij r 表示U 中的因素i u 对应于V 中等级j v 的隶属关系，则有111212122212=,01m m ij n n nm r r r r r r R r r r r ⎛⎫⎪ ⎪≤≤ ⎪⎪⎝⎭L LM M M M L③确定各因素的权重用i a 表示第i 个因素的权重，11ni i a ==∑，则评价因素权向量A 为()12,,,n A a a a =L 。

④综合评判由模糊关系矩阵R 得到一个模糊变换为:()(),R T F U F V →则评判的综合结果为()11121212221212,,,m m n n n nm r r r r rr B A R a a a r r r ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L Lo L o M M M M L 。