数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (83)

第五章习题一摘要本文针对狼，山羊以及卷心菜渡河问题，进行了一系列的分析与求解。

显然这个问题是一个循环的问题，摆渡人要经过多次的运输，将这三者成功运过河。

其间，要注意狼和山羊，山羊和卷心菜都不能单独放在一起。

这一点便是这个问题的困难之处，我所采用的方法便是利用图解法来求解出最佳解决方法。

关键词：循环问题，图解法I问题重述本问题主要讲的是摆渡人如何将在同一河岸的狼，山羊以及卷心菜运到河的另一侧。

但在运输的过程中，有一些要求。

首先，一次只能运输三种中的一种，其次，狼和山羊，山羊和卷心菜两两均不能在一块。

要求求出一个方案来解决摆渡人的烦恼。

II问题分析由题意知人划船一次只能运三者之一或者自己独自划船，且无论在河的左岸还是右岸都要保证无人情况下狼和山羊，山羊和卷心菜不能单独在一起。

在这里，羊所受的限制条件是最多的，所以羊只能独处或在船上被带走，因此,A：人首先只能把山羊带去河的对岸（右岸），将山羊放在右岸；B：人自己回来，可以带狼过去也可以带卷心菜过去，若带卷心菜去对岸，因为卷心菜不能与山羊在一起，所以人回来时要将山羊再带回左岸；C：人将山羊留在左岸，带狼去对岸，将狼放在右岸；D：人自己回来再将山羊带去对岸。

用图论方法：对于人，狼，山羊，卷心菜的位置状态，可用1表示在左岸，用0表示不在左岸，则由无人情况下狼和山羊，山羊和卷心菜不能单独在一起，列出可以存在的状态如下表：注释：A表示人，狼，山羊，卷心菜都在河的左岸；B表示狼和卷心菜在河的左岸，人和山羊在河的对岸（右岸）；III模型假设根据问题分析，假设先把山羊运过去，再怎样运输比较合适的。

显然，这里有很多种方法来供我们选择，就像最短路问题，怎样行走，才能使路程最少。

这里要注意的是每次运输后的结果都要保证狼和山羊，山羊和卷心菜不在一起，即每次运输后的结果都是狼和卷心菜呆在一起，直至最后一次三者在一起为止。

在运输过程中，摆渡者在往返中均可以载事物，假设用不同的顶点来表示不同的运输状态，则，点与点间的连线便是运输方案了。

（习题11.1 单样本方差分析——关于抗生素与血浆蛋白质结合有无显著性差异的研究）摘要将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。

所以，通过研究5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，来对其进行相关的研究。

本题利用单样本方差分析的方法，研究在样本服从正态分布且方差相等的情况下，各类抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著性的差异。

通过建立模型以及求解得知，P值为6.7398e-08小于α（α的取值为0.05）。

所以我们认为各类抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有显著性的差异。

关键词：单样本方差分析描述分布特征的统计量Ⅰ问题重述1.1将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。

所以该题研究了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。

试在水平α= 0.05 下检验这些百分比的均值有无显著的差异。

设各总体服从正Ⅱ模型假设假设一：该样本数据真实可靠。

能够反映真实情况。

假设二：各样本总体服从正态分布，且方差相同。

假设三：所选的牛的体质是一样的。

忽略其他因素对实验数据的影响。

Ⅲ符号说明1μ表示青霉素1x 的均值。

2μ表示四环素2x 的均值。

3μ表示链霉素3x 的均值。

4μ表示红霉素4x 的均值。

5μ表示氯霉素5x 的均值。

IV 模型建立及求解3.1对该问题的分析对于该问题，是研究抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著性的差异。

即只考虑血浆蛋白质对抗生素的影响，而其他影响因素都保持不变。

3.2模型建立及求解假设各总体服从正态分布，且方差相同。

即各类抗生素均服从总体i x 的正态分布2(,)i N μσ，1,2,3,4,5i =。

又设j n 为第j 次试验，1,2,3,4j =。

所以我们不妨提出原假设0H :12345μμμμμ====；112345:,,,,H μμμμμ不全相等。

故其模型为：()51200,,1,2,3,4,5;1,2,3,4ij i ij i i ij x N i j μαεαεα=⎧=++⎪⎪=⎨⎪⎪==⎩∑ 注：μ为总均值。

数学建模模拟试题及答案一、填空题（每题5分，共20分）1.一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 .2. 设银行的年利率为0.2，则五年后的一百万元相当于现在的 万元.3. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：（1） 参加展览会的人数n ；（2）气温T 超过C10； （3）冰淇淋的售价p .由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .4. 如图一是一个邮路，邮递员从邮局A 出发走遍所有长方形街路后再返回邮局.若每个小长方形街路的边长横向 均为1km ，纵向均为2km ，则他至少要走km . 二、分析判断题（每题10分，共20分）1. 有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。

为尽量图一 多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种。

2. 某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性.三、计算题（每题20分，共40分）1. 某工厂计划用两种原材料B A ,生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为22和20个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为1、1个单位，产值为3（百元）；乙的需要量依次为3、1个单位，产值为9（百元）；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为6个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过5：2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：（1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.2. 两个水厂21,A A 将自来水供应三个小区,,,321B B B 每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见下表.试安排供水方案，使总供水费最小？四、综合应用题（本题20分）某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游河水还在不断地流入水库.为了防洪，须调节泄洪速度.经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时水位降至安全线，若打开两个泄洪闸，10个小时水位降落至安全线.现在，抗洪指挥部要求在3个小时内将水位降至安全线以下，问至少要同时打开几个闸门？试组建数学模型给予解决.注：本题要求按照五步建模法给出全过程.数学建模06春试题模拟试题参考解答一、填空题（每题5分，共20分）1. 奇数顶点个数是0或2；2. 约40.1876 ；3. ),10(,/)10(0C T p T Kn N ≥-= K 是比例常数； 4. 42. 二、分析判断题（每题10分，共20分）1. 解： 问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素：盘子的油腻程度，盘子的温度，盘子的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度； 刷洗地点的温度等.注：列出的因素不足四个，每缺一个扣2.5分。

数学建模模拟试题一、问题描述假设你是一家餐厅的经理，你的餐厅每天都会接待大量的顾客，他们点菜、用餐的时间长短不一。

你想要优化餐厅的桌位安排，使得尽可能多的顾客得到满意的服务。

问题1：通过合理的桌位安排，如何最大化服务的顾客数量？问题2：如果顾客点餐的平均时间和用餐的平均时间不同，如何调整桌位安排，以满足更多顾客的需求？问题3：如果餐厅的座位数有限，如何在满足顾客需求的前提下最大化利润？二、模型建立为了解决上述问题，我们可以建立以下数学模型：模型1：顾客到达与点菜模型在任意给定时间段内，顾客到达的时间间隔服从某个已知的分布，如泊松分布。

假设顾客到达的间隔时间服从参数为λ的指数分布，即泊松分布的特例。

同时，顾客到达后点菜的时间也服从某个已知的分布，如均匀分布。

我们可以通过模型1来模拟顾客的到达和点菜过程。

模型2：桌位分配模型为了最大化服务的顾客数量，我们需要合理分配桌位。

在每个时刻，我们可以计算出当前空闲桌位的数量，并根据顾客到达和点菜的情况，决定是否安排顾客入座。

具体来说，当有顾客到达时，我们首先检查是否有空闲桌位，如果有，则安排该顾客入座；如果没有空闲桌位，则查看是否有早于这个顾客到达时间的顾客离开，如果有，则安排新顾客入座，同时有早于该顾客到达时间的顾客离开；如果没有，则拒绝新顾客入座。

模型3：利润最大化模型如果餐厅的座位数有限，我们需要在满足顾客需求的前提下最大化利润。

为了实现这一目标，我们可以通过制定合理的定价策略和座位调度策略。

具体来说，我们可以分析不同座位数下顾客的需求和付费能力，然后根据市场条件和餐厅的运营成本制定最佳的定价策略。

同时，我们可以通过合理的座位调度策略，如优先满足高付费能力的顾客等，来提高利润。

三、模型求解通过使用模型1、模型2和模型3，我们可以建立一个数学建模模拟系统，通过调整模型中的参数和假设，来获得最佳的桌位安排和利润最大化策略。

具体求解的步骤如下：1. 收集数据：收集顾客到达和点菜时间的统计数据，以及餐厅的座位数、市场条件和运营成本等数据。

第九章第二题摘要关键词：Ⅰ问题重述已知平面区域5600≤，4800x0≤≤的高程数据见所给表格，试用二维插值求y0≤x, y 方向间隔都为50 的高程，并画出该区域的等高线。

Ⅱ问题分析由于数据表中所给的数据比较少，要想更加真实的画出该区域的等高线，我们需要对数据进行插值后进行图形的绘制效果会更好，所以我们采用matlab的griddata命令将间隔设为50然后对数据进行插值处理后在绘制出该区域的等高线。

Ⅲ模型假设Ⅳ符号说明Ⅴ模型建立Ⅵ模型求解我们对所给数据进行插值处理然后再对插值处理后的数据进行等高线的绘制并输出图形，通过matlab7.0.1编写程序（见附录）其等高线图形如下：图一区域等高线图Ⅶ模型评价与改进本题目是采用matlab的插值命令对数据进行处理后绘制出的等高线图形，通过观察图形我们发现输出图形十分直观效果很理想。

参考文献[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。

[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。

[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。

附录：x=0:400:5600;y=0:400:4800;z=[ 370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 350740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 550 830 980 1180 1320 1450 1420 400 1300 700 900 850 810 380 780 750880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 936 950 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 1100950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 12001430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 15501420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 500 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 350 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 210 1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 150 ];xi=0:50:5600;yi=0:50:4800;zi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic')subplot(1,2,1), meshc(xi,yi,zi)subplot(1,2,2), surfc(xi,yi,zi)subplot(2,2,3),contour(xi,yi,zi)。

第五章第八题摘要关键词：Ⅰ问题重述某公司计划推出一种新型产品，需要一系列完成的工作(详见图表)问题一:根据所给表格及其各个作业的相关关系画出产品的计划网络图问题二:求完成新产品的最短时间，列出各项作业的最早开始时间、最迟开始时间和计划网络的关键路线问题三:假定公司计划在17 周内推出该产品，各项作业的最短时间和缩短1 周的费，求产品在17 周内上市的最小费用问题四：如果各项作业的完成时间并不能完全确定，而是根据以往的经验估计出来的，其估计值如表所示。

试计算出产品在21 周内上市的概率和以95％的概率完成新产品上市所需的周数。

Ⅱ问题分析Ⅲ模型假设Ⅳ符号说明（1）x是事件i的开始时间，i（2）1为最初事件，n为最终事件（3）t是作业()j i,的计划时间ijⅤ模型建立Ⅵ模型求解根据图表所给紧前作业与作业的先后顺序我们可以画出如图示的计划网图图一计划网络图x是事件i的开始时间，1为最初事件，n为最终事件。

希望总的工期最设i短，即极小化1x x n -。

设ij t 是作业()j i ,的计划时间，因此，对于事件i 与事件j 有不等式设 i x 是事件i 的开始时间，1为最初事件，n 为最终事件。

希望总的工期最短，即极小化1x x n -。

设ij t 是作业()j i ,的计划时间，因此，对于事件i 与事件j 有不等式ij i j t x x +≥由此得到相应的数学规划问题1min x x n -..t s ()⎩⎨⎧∈≥∈∈+≥Vi x Vj i A j i t x x i ij i j ,0,,,, 其中V 是所有的事件集合，A 是所有的作业集合。

根据题目要求用lingo11.0编写程序（见附录）得到问题的解：图二 新产品最短时间根据图示结果可得：01=x ，则作业B A ,的开工时间均是第0天，62=x 作业C 的开工时间是第6天；03=x 则作业F 的工时间是第6天；等等。

每个作业只要按规定的时间开工，整个项目的最短工期为20天Ⅶ模型评价与改进参考文献[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。

题目：矿脉金属含量与距矿脉距离的关系摘要采用回归分析的方法，建立数学模型拟合出数据之间的关系，对于关系类型的数据可以首先画出散点图做初步判断，然后可以建立不同的比较符合实际的模型，而后可以用方差分析方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价，找出最为拟合的模型, 从而实现数据之间的相关关系。

关键词回归分析相关系数剩余标准差112i i O1 OQ1 0811 OG 02 4 6 8 1 O 1 2 14 1 6 1 Q 20I 、 问题重述一矿脉有13个相邻样本点，人为地设定一•原点，现测得各样本点对原 点的距离x ,与该样本点处某种金属含量y 的一组数据，画出散点图观测二 者的关系，试建立合适的回归模型，如二次曲线、双曲线、对数曲线等。

II 、 模型假设题目中没有给出具体的模型建立方法，因此要先画出散点图，对其进行分析, 然后建立模型。

III 、 符号说明IV 、 模型分析具体的说，回归分析是在数据的基础上研究以下几个问题：(1)建立因变量y 和自变量x 之间的回归模型 (2)对回归模型的可信度进行检验 (3)判断每个自变量x 对y 影响是否显著 (4) 诊断回归模型是否适合这组数据V 、模型的建立及求解MATLAB 统计工具箱用命令regress 实现多元线性回归，用的方法是最小二 乘法，用法是b=regress(Y, X)，其中Y, X 为按(22)式排列的数据，b 为回归 系数估计值。

[b, bint, r, rint, stats] =regress (Y, X, alpha),这里Y, X 同上,alpha 为显著性 水平(缺省时设定为0. 05), b,bint 为回归系数估计值和，它们的置信区间， r,rint 为残差(向量)及其置信区间，stats 是用于检验回归模型的统计量， 有四个数值，第-一个是R2 ,第二个是F,第三个是与F 对应的概率p , p<a 拒 绝Ho,回归模型成立，第四个是残差的方差$2。

高二数学数学建模练习题及答案一、简答题1. 什么是数学建模？数学建模是将现实问题抽象为数学模型，通过数学方法进行分析、求解并得出相应结论的过程。

它将数学知识与实际问题相结合，帮助我们理解问题的本质，预测和优化相关情况。

2. 数学建模的步骤有哪些？数学建模通常包括以下步骤：（1）问题的理解和描述：明确问题的背景、目标和限制条件，并对问题进行适当的简化和抽象。

（2）建立数学模型：将问题转化为数学表达式，建立合适的数学模型。

（3）模型的求解：利用数学方法对模型进行求解，得到定量的结果或结论。

（4）模型的验证和分析：对模型的结果进行检验，分析结果的合理性和可靠性。

（5）结果的解释与应用：解释模型结果，为实际问题提供有效的解决方案，并给出具体的应用建议。

3. 数学建模的意义是什么？数学建模在许多领域都具有重要意义：（1）在科学研究中，数学建模可以帮助解决实际问题，推动科学发展。

（2）在工程技术中，数学建模可以优化设计，提高效率和质量。

（3）在经济管理中，数学建模可以帮助决策者制定合理的策略和政策。

（4）在社会科学中，数学建模可以辅助分析社会问题，提供决策依据。

（5）数学建模还培养了学生的创新思维和解决问题的能力。

4. 数学建模过程中需要的数学知识有哪些？数学建模需要的数学知识包括但不限于：（1）数学分析：微分方程、积分、极限等。

（2）线性代数：矩阵运算、特征值与特征向量等。

（3）概率与统计：概率分布、统计推断等。

（4）最优化理论：线性规划、非线性规划等。

（5）图论与网络优化：最短路径、最小生成树等。

二、应用题1. 盒子问题已知一长方体盒子的长为20cm，宽为15cm，高为10cm。

现在要将一个边长为2cm的小正方体放入该盒子中，问最多可以放多少个小正方体？解答：盒子的体积为20 cm × 15 cm × 10 cm = 3000 cm³。

小正方体的体积为2 cm × 2 cm × 2 cm = 8 cm³。

《数学建模》模拟试题一、（02'）人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。

二、（02'）雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式。

三、（03'）要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。

将人体简化成一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=厚m c 2.0=，设跑步距离,1000m d =跑步最大速度s m v m /5=，雨速s m u /4= ，降雨量h cm w /2=，记跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论；（1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量（2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，如图1建立总淋雨量与速度v 及参数θ,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030,0==θθ时的总淋雨量。

（3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为∂，如图2建立总淋雨量与速度v 及参数∂,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030=θ时的总淋雨量。

四、（03'）建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与α,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。

参考答案一、人、猫、鸡、米分别记为4,3,2,1=i ，当i 在此岸时记1=i x ，否则记0=i x ，则此岸的状态可用()4321,,,x x x x s =表示。

（习题12.2）关于样本点距离与该点处某金属含量的回归关系摘要本文通过建立回归模型，运用进行多曲线拟合，对距离样本点的距离与该点处某金属的含量建立线性回归关系。

对于题中所给的有限组数据，我们编写程序，运用MATLAB8.1.0软件对其先做散点图分析，通过观察图示，初步定性的得出，二者之间的确存在着某种线性关联。

然后，根据经验，确定满足条件的若干条曲线，运用spss16.0软件，对其进行多曲线拟合，由所得结果确定最佳拟合曲线为二次曲线，然后建立二次曲线线性回归模型2210y a x a x a =++，最后求解出参数，模型为20.00280.1692108.8969y x x =-++。

该模型在建立时，进行多次定性定量的分析，具有较高的可行性，所得结果具有一定的科学性和较高的可信度，对于解决实际问题具有较大的参考价值。

关键词：线性回归模型、散点图、曲线拟合、定性分析、定量分析一 问题重述一矿脉有13个相邻样本点，人为地设定一原点，现测得各样本点对原点的距离x ，与该样本点处某种金属含量y 的一组数据如表1，画出散点图观测二者的关系，试建立合适的回归模型，如二次曲线、双曲线、对数曲线等。

表1二 问题分析由题意可得，x 和y 存在某种线性回归关系。

在表1中所给的13组数据中，可先画出散点图，对两者的关系做一个定性的判断，然后，模拟多种模型，从中选择出模拟效果最好的一个，建立模型，最后求解模型系数，确定二者之间的线性关系。

三 模型假设3.1 该题中所给的13组数据具有一定的代表性和概括性。

3.2 所求解的模型基于人工设定的该原点的条件下。

四 符号说明4.1 210,,:a a a 模拟方程的系数。

五 模型建立与求解5.1 模型的分析我们对表1中的数据进行录入，编写程序（源程序见附件程序1）用MATLAB8.1.0软件，得出x 与y 的散点图（图1）图1.散点图由图1可知，x与y的确存在某种线性关系。

进而，我们又用spss16.0软件，假定存在多种曲线关系，根据经验，我们选定一次曲线、二次曲线、对数曲线对图1上的点进行拟合，得到如下结果以及图2的拟合效果曲线。

有关某商品与居民可支配收入等四大因素的关系摘要随着社会的快速发展，社会经济的发展势头愈加猛烈，生产者与消费者的关系也更加密切。

因此，产品的销量决定了公司的竞争地位，也反应人们的主要需求。

故调查某一产品的销量对于提高公司的竞争力，更好的满足广大消费者的需求，推动社会的经济发展具有重要意义。

产品的销量并不是受单一因素影响，而是多方面因素影响，主要为居民可支配收入、该商品的平均价格指数、该商品的社会保有量和其他消费品平均价格指数。

对该商品的销量以及四大因素进行数据调查，并通过分析数据建立数学模型，从而得出明确具有说服力的结论。

关键词:主成分分析 spss matlab 标准化Ⅰ问题复述本文对某种商品的销量y 进行调查，并考虑有关的四个因素：1x －居民可支配收入，2x －该商品的平均价格指数 ， 3x －该商品的社会保有量，4x －其它消费品平均价格指数。

利用主成分方法建立y 与1x 、2x 、3x 、4x 的回归方程。

Ⅱ问题分析调查产品销量与其影响因素之间的关系，将会对人们生活，社会经济产生重要影响。

对于本问题的分析，本文利用了多元统计分析中的主成分分析的方法对该商品与居民可支配收入等四大因素的关系进行合理的分析及评价。

该商品销量与四大因素的数据调查表，表2.1（1）将表2.1中的数据进行标准化处理得附录1：（2）进行共线性诊断，得附录2由附录2可看出1x 和4x 的容忍度均为0.008<0.1并且其方差膨胀因子VIF 都很大，说明它们之间存在严重的共线性。

Ⅲ模型假设1.假设题目所给的数据真实可靠；2.调查期间天气等不确定因素均稳定3.假设市场不发生大的波动Ⅳ定义与符号说明λ：特征值*x ：标准化变量ϕ：特征值向量Ⅴ模型的建立与求解首先把设计矩阵X 标准化，对应的标准化变量记作*1x 、*2x 、*3x 、*4x 。

由(*Tx *X )/（n-1）(n=10)得三个特征值分别为1λ=3.944,2λ=0.040,3λ=0.013，4λ=0.004。

数模各年度题型分类
数模竞赛的题型可以分为以下几类：
1. 数学建模类题目：这类题目要求参赛选手通过数学模型来解决现实生活中的问题，包括数学建模、优化问题、模拟仿真等等。

比较常见的题目有线性规划、整数规划、图论、动态规划、概率论等等。

2. 算法设计类题目：这类题目要求参赛选手设计和实现算法来解决特定的问题，包括图算法、搜索算法、动态规划算法等等。

比较常见的题目有最短路径问题、最小生成树问题、背包问题等等。

3. 数据处理类题目：这类题目要求参赛选手对给定的数据进行处理和分析，包括数据统计、数据挖掘、数据预测等等。

比较常见的题目有数据聚类、数据降维、数据预测等等。

4. 实验设计类题目：这类题目要求参赛选手设计和进行实验来验证某个假设或解决某个问题，包括实验设计、数据采集、数据分析等等。

比较常见的题目有实验设计、因子分析、方差分析等等。

5. 编程设计类题目：这类题目要求参赛选手通过编程来实现特定功能的程序，包括算法实现、模拟仿真、图形处理等等。

比较常见的题目有程序设计、图形处理、游戏设计等等。

以上是数模竞赛常见的题型分类，每年的具体题目可能会有所不同，但大致可以归纳到以上几类。

第十二章回归分析3题摘要本文主要研究的是矿物分布的模型建立，通过对已知数据的分析，先画出散点图，在建立合适的回归模型，有线性模型，二次模型，双曲线模型，对数模型等。

运用matlab 软件，通过比较模型的剩余标准差，选出最合适的模型是二次模型。

关键词：散点图回归模型剩余标准差Ⅰ 问题重述1.1 一矿脉有13个相邻样本点，人为地设定一原点，得出样本点到原点的距离为x ，并设每一样本点处的金属含量为y,画出散点图，并建立合适的回归模型。

Ⅱ 问题分析 Ⅲ 模型假设本题需要先画出散点图，然后对其进行分析，建立模型。

从数理统计的观点看，这里涉及的都是随机变量，根据一个样本计算的系数，只是它们的一个点估计，应该对它们做区间估计或假设检验，如果置信区间太大，甚至包含了零点，则系数的估计值就显得毫无意义。

这样也可以用方差分析的方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价。

具体地说，回归分析在一组数据的基础上研究这样几个问题： （1） 建立因变量y 与自变量之间的回归模型： （2） 对回归模型的可信度进行检验； （3） 判断每个自变量对y 的影响是否显著； （4） 诊断回归模型是否适合这组数据； （5）利用回归模型对y 进行预报和控制。

Ⅳ 符号说明Ⅴ 模型建立和求解Matlab 统计工具箱用命令regress 实现多元线性回归，用的方法是最小二乘法,用法是：b=regress(Y.X),其中12n y y Y y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,111111m n nm x x X x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,b 为回归系数估计值01,,,.mβββ∧∧∧[](),int,,int,,,b b r r stats regress Y X alpha =，这里Y,X 同上，alpha 为显著性水平（缺省时设定为0.05），b,bint 为回归系数估计值和它们的置信区间，r,rint 为残差（向量）及其置信区间。

Stats 是用于检验回归模型的统计量，有四个数值，第一个是R 2,第二个是F,第三个是与F 对应的概率P ，P<α拒绝H 0，回归模型成立，第四个是残差的方差。

11.1抗生素显著性检验问题摘要在已知抗生素效果情况服从正态分布，且方差相同条件下。

通过用SPSS13.0软件编写程序，进行单因素方差分析。

检验五种抗生素之间是否存在明显差异。

关键词：抗生素方差分析显著性检验一问题重述抗生素注入人体后会与人体血浆蛋白质结合，以致减少了药效。

现在将常用的抗生素注入到牛的体内，得到抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。

在总体服从正态分布，且方差相同的条件下分析五种抗生素效果是否存在显著性差异。

二问题分析题目显示各类抗生素效果情况服从正态分布，为了进一步说明抗生素使用效果的差异，需要检查不同抗生素是否有显著性差异，即对数据进行显著性检验。

首先，应该提出抗生素之间没有显著性差异的假设。

然后通过SPSS13.0版本软件进行单因素方差检验[1]。

验证假设是否成立。

三模型假设四符号说明五模型建立与求解题目显示各类抗生素与血浆蛋白质结合的百分比情况属于正态总体，要对各类抗生素是否存在显著性差异。

应用软件SPSS13.0进行单因素方差检验。

其检验步骤如下：Step1. 提出假设:H:各类抗生素之间没有显著性差异；H:各类抗生素之间有显著性差异。

1α0.05。

Step2. 选定显著性水平=Step3. 用软件SPSS13.0进行单因素方差检验用SPSS13.0编写程序得到问题的解：即不同抗生素效果明显不同。

（各抗生素之间具体分析见附录一）六模型评价与改进参考文献[1]薛薇 ,《SPSS统计分析方法及应用》，出版地：电子工业出版社，2009。

[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。

[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。

附录附录一PSS13.0编写程序得到问题的解：11.2化肥与小麦种子的不同对小麦产量的影响问题摘要化肥与小麦的品种的差异将影响小麦的产量，进而影响农民的生活水平。

本文建立数学模型，就化肥的不同，小麦品种的不同这两种因素定量分析化肥与小麦品种对小麦实际产量的影响。

数学建模常用模型与算法一、常用模型☐（一）、评价模型：☐AHP(层次分析法)（确定权重)、模糊评价、聚类分析、因子分析、主成份分析、回归分析、神经网络、多指标综合评价、熵值法(确定权重)等☐（二）、预测模型：☐指数平滑法、灰色预测法、回归模型、神经网络预测、时间序列模型、马尔科夫预测、差分微分方程☐（三）、统计模型：☐方差分析、均值比较的假设检验☐（四）、方程模型：☐常微分方程、差分方程、偏微分方程、以及各种方程的求解（数值解和解析解）☐（五）运筹优化类：☐线性规划、非线性规划、目标规划、整数规划、图论模型（最短路、最大流、遍历问题等）、排队论、对策论、以及各种模型的算法☐(六)其他模型：☐随机模拟模型、等二、十大算法1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理）。

数学建模模拟试题及答案一、填空题（每题5分，共20分） 1. 若,,x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是.2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 .3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型.二、分析判断题（每小题15分，满分30分）1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种.2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是),ml /mg (100/56 又过两个小时，含量降为),ml /mg (100/40试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)ml /mg (.（提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ∆+内酒精浓度的改变量为t t kC t C t t C ∆-=-∆+)()()(其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 三、计算题（每题25分，满分50分）1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：（1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.2. 三个砖厂321,,A A A 向三个工地321,,B B B 供应红砖.各砖厂的供应量与各工地的需求量以及各砖厂调运红砖到各工地的单价见表.试安排调运方案，使总费用最小？数学建模模拟试题（一）参考答案一、填空题（每题5分，共20分） 1. k kx y ,=是比例常数； 2. )()(2211t n p m t n p m +<+； 3. 增长率是常数还是人口的递减函数； 4. 类比.二、分析判断题（每小题15分，满分30分）1. 问题涉及到时间、地点和人员三大因素，故应该考虑到的因素至少有以下几个： （1）教师：是否连续上课，对时间的要求，对多媒体的要求和课程种类的限制等； （2）学生：是否连续上课，专业课课时与公共基础课是否冲突，选修人数等； （3）教室：教室的数量，教室的容纳量，是否具备必要的多媒体等条件； （每个因素3分）2. 设)(t C 为t 时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为,/kC C -=其通解是,e)0()(ktC t C -=而)0(C 就是所求量.由题设可知,40)5(,56)3(==C C 故有56e )0(3=-k C 和 ,40e )0(5=-k C由此解得.94e 56)0(17.040/56e 32≈=⇒≈⇒=k k C k可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定. 三、计算题（每题25分，满分50分） 1. 设21,x x 表示甲、乙两种产品的产量，则有 原材料限制条件： ,902321≤+x x,303221≤+x x ,805821≤+x x目标函数满足 ,680580m ax 21x x z += 合在一起便是所求线性规划模型：,680580m ax 21x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥≤+≤+≤+.2,1,0,8058,3032,9023212121j x x x x x x x j （1）使用图解法易得其最优生产方案只有一组（这是因为所有约束条件所在直线的斜率与目标函数直线的斜率均不相等），从而最优方案没有可选择余地.计算知：最优解为,)740,745(T*=X 目标值为753300max =z （万元）.（2）利用图解法求解中只用到了后两个约束条件，故羊毛有剩余量，将解代入可检验而知羊毛有7259单位的剩余量. 2. 本问题是一个产销平衡的运输问题，可以利用表上作业法直接求解， 首先确定初始方案：其次对方案进行最优性检验：λ11 = 10-4+6-7=5 > 0， λ12 = 6-4+6-5=3 > 0， λ31 = 8-7+5-3=3 > 0，λ33 = 9-3+5-6=5 > 0，故上述方案已是最优方案，即总运费最低的调运方案为：21503310223021160231701,,,,B A B A B A B A B A −→−−→−−→−−→−−→− 总费用为2460150310630516071704=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（百元）.。

数学建模试题现如今，数学建模已成为解决实际问题的重要工具之一。

它涉及到数学、计算机科学和领域知识的综合运用，对发展科学技术和解决现实问题具有重要意义。

本文将通过一个实际数学建模试题，展示数学建模的过程和方法。

一、问题描述某市某路段的公交站点数量可以用一个整数n来表示，现要求在这个路段上建立起一个公交车站点网络，使得每个站点到其他站点的最短路程都最短。

现给出了两个具体站点之间的距离表，请你设计一个数学建模方法，确定该市该路段上站点的最佳布局方式。

二、问题分析首先，我们需了解最短路程的计算方法。

根据数学建模的原则，我们可以将问题转化为图论中的最短路径问题。

通过构建图模型，可以使用迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法来计算任意两个站点之间的最短路径。

三、模型建立1. 构建图模型：根据公交站点的数量n，我们将每个站点看作图中的一个节点。

在图中，每两个站点之间的距离即为边的权重。

我们可以用邻接矩阵表示该图模型。

2. 最短路径计算：根据所给的距离表，我们可以通过迪杰斯特拉算法计算任意两点之间的最短路径。

该算法的基本思想是从一个源点出发，通过不断选择当前最短路径的节点来逐步扩展最短路径，直到到达目标节点。

通过反复迭代，可以计算出任意两节点之间的最短路径。

3. 建立模型：我们可以根据最短路径计算结果，结合具体问题要求，建立一个评价模型。

例如，可以以总路径长度最短作为评价标准，以此选择最佳的站点布局方式。

四、模型求解在实际问题中，我们可以使用计算机编程语言来实现模型的求解过程。

以Python为例，我们可以使用numpy库来进行矩阵计算，使用networkx库来构建图模型，并借助已有的迪杰斯特拉算法实现最短路径计算。

五、结果分析计算完毕后，我们可以得到最佳布局方式下的最短路径总长度。

通过分析结果，我们可以找出在该市该路段上最适合建立公交车站点网络的布局方式。

六、模型评价模型的评价标准应考虑以下几个方面：1. 结果的合理性：根据实际问题需求，最佳布局方式的路径总长度是否满足要求。