数学建模模拟题,图论,回归模型,聚类分析,因子分析等 (48)

第五章习题一摘要本文针对狼，山羊以及卷心菜渡河问题，进行了一系列的分析与求解。

显然这个问题是一个循环的问题，摆渡人要经过多次的运输，将这三者成功运过河。

其间，要注意狼和山羊，山羊和卷心菜都不能单独放在一起。

这一点便是这个问题的困难之处，我所采用的方法便是利用图解法来求解出最佳解决方法。

关键词：循环问题，图解法I问题重述本问题主要讲的是摆渡人如何将在同一河岸的狼，山羊以及卷心菜运到河的另一侧。

但在运输的过程中，有一些要求。

首先，一次只能运输三种中的一种，其次，狼和山羊，山羊和卷心菜两两均不能在一块。

要求求出一个方案来解决摆渡人的烦恼。

II问题分析由题意知人划船一次只能运三者之一或者自己独自划船，且无论在河的左岸还是右岸都要保证无人情况下狼和山羊，山羊和卷心菜不能单独在一起。

在这里，羊所受的限制条件是最多的，所以羊只能独处或在船上被带走，因此,A：人首先只能把山羊带去河的对岸（右岸），将山羊放在右岸；B：人自己回来，可以带狼过去也可以带卷心菜过去，若带卷心菜去对岸，因为卷心菜不能与山羊在一起，所以人回来时要将山羊再带回左岸；C：人将山羊留在左岸，带狼去对岸，将狼放在右岸；D：人自己回来再将山羊带去对岸。

用图论方法：对于人，狼，山羊，卷心菜的位置状态，可用1表示在左岸，用0表示不在左岸，则由无人情况下狼和山羊，山羊和卷心菜不能单独在一起，列出可以存在的状态如下表：注释：A表示人，狼，山羊，卷心菜都在河的左岸；B表示狼和卷心菜在河的左岸，人和山羊在河的对岸（右岸）；III模型假设根据问题分析，假设先把山羊运过去，再怎样运输比较合适的。

显然，这里有很多种方法来供我们选择，就像最短路问题，怎样行走，才能使路程最少。

这里要注意的是每次运输后的结果都要保证狼和山羊，山羊和卷心菜不在一起，即每次运输后的结果都是狼和卷心菜呆在一起，直至最后一次三者在一起为止。

在运输过程中，摆渡者在往返中均可以载事物，假设用不同的顶点来表示不同的运输状态，则，点与点间的连线便是运输方案了。

（利用聚类分析对省、自治区分类）摘要本题旨在通过聚类分析将这些省、自治区进行分类。

我们利用spss软件，对数据进行分类。

通过对其所包含的信息量的比重来选择应该分为几类。

关键词：聚类分析Ⅰ问题重述1.1 表49 是1999 年中国省、自治区的城市规模结构特征的一些数据，试通过聚类分析将这些省、自治区进行分类。

表49城市规模结构特征数据Ⅱ模型假设Ⅲ符号说明Ⅳ模型建立及求解5.1.问题分析本题通过给出1999 年中国省、自治区的城市规模结构特征的一些数据，让我们利用聚类分析的方法，将这些省、自治区进行分类。

5.2.模型建立及求解我们可以利用spss软件对该问题进行求解。

在计算过程当中，我们不妨先检验其是否能包含题中数据信息的85%以上。

所以，我们先检验其是否符合因子分析，经验证P 值为0，适合做因子分析（详见表一）。

所以我们开始验证能分几组就能包含总信息的85%以上。

经验证，当分为三类时，其所包含的信息量为90.274%（详见表二）。

所以，我们不妨将省、自治区分为3类。

通过应用spss软件16.0版本，得到问题的求解。

具体为表三所示。

即其具体的分类为：Ⅴ模型评价与改进该题应用聚类分析将这些省、自治区进行分类。

通过图表的形式呈现较为简便。

但是在分类的过程中，由于我们只将其分为3类，不能包含题中数据所呈现的全部内容。

所以不具有普遍性。

对此，我们应尽量的多分几组，使得其涵盖的内容更为全面。

参考文献[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。

[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。

[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。

（习题11.1 单样本方差分析——关于抗生素与血浆蛋白质结合有无显著性差异的研究）摘要将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。

所以，通过研究5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，来对其进行相关的研究。

本题利用单样本方差分析的方法，研究在样本服从正态分布且方差相等的情况下，各类抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著性的差异。

通过建立模型以及求解得知，P值为6.7398e-08小于α（α的取值为0.05）。

所以我们认为各类抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有显著性的差异。

关键词：单样本方差分析描述分布特征的统计量Ⅰ问题重述1.1将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。

所以该题研究了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。

试在水平α= 0.05 下检验这些百分比的均值有无显著的差异。

设各总体服从正Ⅱ模型假设假设一：该样本数据真实可靠。

能够反映真实情况。

假设二：各样本总体服从正态分布，且方差相同。

假设三：所选的牛的体质是一样的。

忽略其他因素对实验数据的影响。

Ⅲ符号说明1μ表示青霉素1x 的均值。

2μ表示四环素2x 的均值。

3μ表示链霉素3x 的均值。

4μ表示红霉素4x 的均值。

5μ表示氯霉素5x 的均值。

IV 模型建立及求解3.1对该问题的分析对于该问题，是研究抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著性的差异。

即只考虑血浆蛋白质对抗生素的影响，而其他影响因素都保持不变。

3.2模型建立及求解假设各总体服从正态分布，且方差相同。

即各类抗生素均服从总体i x 的正态分布2(,)i N μσ，1,2,3,4,5i =。

又设j n 为第j 次试验，1,2,3,4j =。

所以我们不妨提出原假设0H :12345μμμμμ====；112345:,,,,H μμμμμ不全相等。

故其模型为：()51200,,1,2,3,4,5;1,2,3,4ij i ij i i ij x N i j μαεαεα=⎧=++⎪⎪=⎨⎪⎪==⎩∑ 注：μ为总均值。

数学建模模拟试题及答案一、填空题（每题5分，共20分）1.一个连通图能够一笔画出的充分必要条件是 .2. 设银行的年利率为0.2，则五年后的一百万元相当于现在的 万元.3. 在夏季博览会上，商人预测每天冰淇淋销量N 将和下列因素有关：（1） 参加展览会的人数n ；（2）气温T 超过C10； （3）冰淇淋的售价p .由此建立的冰淇淋销量的比例模型应为 .4. 如图一是一个邮路，邮递员从邮局A 出发走遍所有长方形街路后再返回邮局.若每个小长方形街路的边长横向 均为1km ，纵向均为2km ，则他至少要走km . 二、分析判断题（每题10分，共20分）1. 有一大堆油腻的盘子和一盆热的洗涤剂水。

为尽量图一 多洗干净盘子，有哪些因素应予以考虑？试至少列出四种。

2. 某种疾病每年新发生1000例，患者中有一半当年可治愈.若2000年底时有1200个病人，到2005年将会出现什么结果？有人说，无论多少年过去，患者人数只是趋向2000人，但不会达到2000人，试判断这个说法的正确性.三、计算题（每题20分，共40分）1. 某工厂计划用两种原材料B A ,生产甲、乙两种产品，两种原材料的最高供应量依次为22和20个单位；每单位产品甲需用两种原材料依次为1、1个单位，产值为3（百元）；乙的需要量依次为3、1个单位，产值为9（百元）；又根据市场预测，产品乙的市场需求量最多为6个单位，而甲、乙两种产品的需求比不超过5：2，试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：（1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.2. 两个水厂21,A A 将自来水供应三个小区,,,321B B B 每天各水厂的供应量与各小区的需求量以及各水厂调运到各小区的供水单价见下表.试安排供水方案，使总供水费最小？四、综合应用题（本题20分）某水库建有10个泄洪闸，现在水库的水位已经超过安全线，上游河水还在不断地流入水库.为了防洪，须调节泄洪速度.经测算，若打开一个泄洪闸，30个小时水位降至安全线，若打开两个泄洪闸，10个小时水位降落至安全线.现在，抗洪指挥部要求在3个小时内将水位降至安全线以下，问至少要同时打开几个闸门？试组建数学模型给予解决.注：本题要求按照五步建模法给出全过程.数学建模06春试题模拟试题参考解答一、填空题（每题5分，共20分）1. 奇数顶点个数是0或2；2. 约40.1876 ；3. ),10(,/)10(0C T p T Kn N ≥-= K 是比例常数； 4. 42. 二、分析判断题（每题10分，共20分）1. 解： 问题与盘子、水和温度等因素直接相关，故有相关因素：盘子的油腻程度，盘子的温度，盘子的尺寸大小；洗涤剂水的温度、浓度； 刷洗地点的温度等.注：列出的因素不足四个，每缺一个扣2.5分。

数学建模模拟试题一、问题描述假设你是一家餐厅的经理，你的餐厅每天都会接待大量的顾客，他们点菜、用餐的时间长短不一。

你想要优化餐厅的桌位安排，使得尽可能多的顾客得到满意的服务。

问题1：通过合理的桌位安排，如何最大化服务的顾客数量？问题2：如果顾客点餐的平均时间和用餐的平均时间不同，如何调整桌位安排，以满足更多顾客的需求？问题3：如果餐厅的座位数有限，如何在满足顾客需求的前提下最大化利润？二、模型建立为了解决上述问题，我们可以建立以下数学模型：模型1：顾客到达与点菜模型在任意给定时间段内，顾客到达的时间间隔服从某个已知的分布，如泊松分布。

假设顾客到达的间隔时间服从参数为λ的指数分布，即泊松分布的特例。

同时，顾客到达后点菜的时间也服从某个已知的分布，如均匀分布。

我们可以通过模型1来模拟顾客的到达和点菜过程。

模型2：桌位分配模型为了最大化服务的顾客数量，我们需要合理分配桌位。

在每个时刻，我们可以计算出当前空闲桌位的数量，并根据顾客到达和点菜的情况，决定是否安排顾客入座。

具体来说，当有顾客到达时，我们首先检查是否有空闲桌位，如果有，则安排该顾客入座；如果没有空闲桌位，则查看是否有早于这个顾客到达时间的顾客离开，如果有，则安排新顾客入座，同时有早于该顾客到达时间的顾客离开；如果没有，则拒绝新顾客入座。

模型3：利润最大化模型如果餐厅的座位数有限，我们需要在满足顾客需求的前提下最大化利润。

为了实现这一目标，我们可以通过制定合理的定价策略和座位调度策略。

具体来说，我们可以分析不同座位数下顾客的需求和付费能力，然后根据市场条件和餐厅的运营成本制定最佳的定价策略。

同时，我们可以通过合理的座位调度策略，如优先满足高付费能力的顾客等，来提高利润。

三、模型求解通过使用模型1、模型2和模型3，我们可以建立一个数学建模模拟系统，通过调整模型中的参数和假设，来获得最佳的桌位安排和利润最大化策略。

具体求解的步骤如下：1. 收集数据：收集顾客到达和点菜时间的统计数据，以及餐厅的座位数、市场条件和运营成本等数据。

第九章第二题摘要关键词：Ⅰ问题重述已知平面区域5600≤，4800x0≤≤的高程数据见所给表格，试用二维插值求y0≤x, y 方向间隔都为50 的高程，并画出该区域的等高线。

Ⅱ问题分析由于数据表中所给的数据比较少，要想更加真实的画出该区域的等高线，我们需要对数据进行插值后进行图形的绘制效果会更好，所以我们采用matlab的griddata命令将间隔设为50然后对数据进行插值处理后在绘制出该区域的等高线。

Ⅲ模型假设Ⅳ符号说明Ⅴ模型建立Ⅵ模型求解我们对所给数据进行插值处理然后再对插值处理后的数据进行等高线的绘制并输出图形，通过matlab7.0.1编写程序（见附录）其等高线图形如下：图一区域等高线图Ⅶ模型评价与改进本题目是采用matlab的插值命令对数据进行处理后绘制出的等高线图形，通过观察图形我们发现输出图形十分直观效果很理想。

参考文献[编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。

[编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。

[编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。

附录：x=0:400:5600;y=0:400:4800;z=[ 370 470 550 600 670 690 670 620 580 450 400 300 100 150 250510 620 730 800 850 870 850 780 720 650 500 200 300 350 320650 760 880 970 1020 1050 1020 830 800 700 300 500 550 480 350740 880 1080 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 780 750 650 550 830 980 1180 1320 1450 1420 400 1300 700 900 850 810 380 780 750880 1060 1230 1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 870 900 936 950 910 1090 1270 1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010 880 1000 1050 1100950 1190 1370 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 900 1050 1150 12001430 1450 1460 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1500 1550 15501420 1430 1450 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 850 750 550 500 1380 1410 1430 1450 1470 1320 1280 1200 1080 940 780 620 460 370 350 1370 1390 1410 1430 1440 1140 1110 1050 950 820 690 540 380 300 210 1350 1370 1390 1400 1410 960 940 880 800 690 570 430 290 210 150 ];xi=0:50:5600;yi=0:50:4800;zi=griddata(x,y,z,xi,yi','cubic')subplot(1,2,1), meshc(xi,yi,zi)subplot(1,2,2), surfc(xi,yi,zi)subplot(2,2,3),contour(xi,yi,zi)。

题目：矿脉金属含量与距矿脉距离的关系摘要采用回归分析的方法，建立数学模型拟合出数据之间的关系，对于关系类型的数据可以首先画出散点图做初步判断，然后可以建立不同的比较符合实际的模型，而后可以用方差分析方法对模型的误差进行分析，对拟合的优劣给出评价，找出最为拟合的模型, 从而实现数据之间的相关关系。

关键词回归分析相关系数剩余标准差112i i O1 OQ1 0811 OG 02 4 6 8 1 O 1 2 14 1 6 1 Q 20I 、 问题重述一矿脉有13个相邻样本点，人为地设定一•原点，现测得各样本点对原 点的距离x ,与该样本点处某种金属含量y 的一组数据，画出散点图观测二 者的关系，试建立合适的回归模型，如二次曲线、双曲线、对数曲线等。

II 、 模型假设题目中没有给出具体的模型建立方法，因此要先画出散点图，对其进行分析, 然后建立模型。

III 、 符号说明IV 、 模型分析具体的说，回归分析是在数据的基础上研究以下几个问题：(1)建立因变量y 和自变量x 之间的回归模型 (2)对回归模型的可信度进行检验 (3)判断每个自变量x 对y 影响是否显著 (4) 诊断回归模型是否适合这组数据V 、模型的建立及求解MATLAB 统计工具箱用命令regress 实现多元线性回归，用的方法是最小二 乘法，用法是b=regress(Y, X)，其中Y, X 为按(22)式排列的数据，b 为回归 系数估计值。

[b, bint, r, rint, stats] =regress (Y, X, alpha),这里Y, X 同上,alpha 为显著性 水平(缺省时设定为0. 05), b,bint 为回归系数估计值和，它们的置信区间， r,rint 为残差(向量)及其置信区间，stats 是用于检验回归模型的统计量， 有四个数值，第-一个是R2 ,第二个是F,第三个是与F 对应的概率p , p<a 拒 绝Ho,回归模型成立，第四个是残差的方差$2。

高二数学数学建模练习题及答案一、简答题1. 什么是数学建模？数学建模是将现实问题抽象为数学模型，通过数学方法进行分析、求解并得出相应结论的过程。

它将数学知识与实际问题相结合，帮助我们理解问题的本质，预测和优化相关情况。

2. 数学建模的步骤有哪些？数学建模通常包括以下步骤：（1）问题的理解和描述：明确问题的背景、目标和限制条件，并对问题进行适当的简化和抽象。

（2）建立数学模型：将问题转化为数学表达式，建立合适的数学模型。

（3）模型的求解：利用数学方法对模型进行求解，得到定量的结果或结论。

（4）模型的验证和分析：对模型的结果进行检验，分析结果的合理性和可靠性。

（5）结果的解释与应用：解释模型结果，为实际问题提供有效的解决方案，并给出具体的应用建议。

3. 数学建模的意义是什么？数学建模在许多领域都具有重要意义：（1）在科学研究中，数学建模可以帮助解决实际问题，推动科学发展。

（2）在工程技术中，数学建模可以优化设计，提高效率和质量。

（3）在经济管理中，数学建模可以帮助决策者制定合理的策略和政策。

（4）在社会科学中，数学建模可以辅助分析社会问题，提供决策依据。

（5）数学建模还培养了学生的创新思维和解决问题的能力。

4. 数学建模过程中需要的数学知识有哪些？数学建模需要的数学知识包括但不限于：（1）数学分析：微分方程、积分、极限等。

（2）线性代数：矩阵运算、特征值与特征向量等。

（3）概率与统计：概率分布、统计推断等。

（4）最优化理论：线性规划、非线性规划等。

（5）图论与网络优化：最短路径、最小生成树等。

二、应用题1. 盒子问题已知一长方体盒子的长为20cm，宽为15cm，高为10cm。

现在要将一个边长为2cm的小正方体放入该盒子中，问最多可以放多少个小正方体？解答：盒子的体积为20 cm × 15 cm × 10 cm = 3000 cm³。

小正方体的体积为2 cm × 2 cm × 2 cm = 8 cm³。

数学建模模拟试题及答案一、填空题（每题5分，共20分） 1. 若,,x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是.2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 .3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型.二、分析判断题（每小题15分，满分30分）1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种.2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是),ml /mg (100/56 又过两个小时，含量降为),ml /mg (100/40试判断，当事故发生时，司机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)ml /mg (.（提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ∆+内酒精浓度的改变量为t t kC t C t t C ∆-=-∆+)()()(其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 三、计算题（每题25分，满分50分）1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答：（1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.2. 三个砖厂321,,A A A 向三个工地321,,B B B 供应红砖.各砖厂的供应量与各工地的需求量以及各砖厂调运红砖到各工地的单价见表.试安排调运方案，使总费用最小？数学建模模拟试题（一）参考答案一、填空题（每题5分，共20分） 1. k kx y ,=是比例常数； 2. )()(2211t n p m t n p m +<+； 3. 增长率是常数还是人口的递减函数； 4. 类比.二、分析判断题（每小题15分，满分30分）1. 问题涉及到时间、地点和人员三大因素，故应该考虑到的因素至少有以下几个： （1）教师：是否连续上课，对时间的要求，对多媒体的要求和课程种类的限制等； （2）学生：是否连续上课，专业课课时与公共基础课是否冲突，选修人数等； （3）教室：教室的数量，教室的容纳量，是否具备必要的多媒体等条件； （每个因素3分）2. 设)(t C 为t 时刻血液中酒精的浓度，则浓度递减率的模型应为,/kC C -=其通解是,e)0()(ktC t C -=而)0(C 就是所求量.由题设可知,40)5(,56)3(==C C 故有56e )0(3=-k C 和 ,40e )0(5=-k C由此解得.94e 56)0(17.040/56e 32≈=⇒≈⇒=k k C k可见在事故发生时，司机血液中酒精的浓度已经超出了规定. 三、计算题（每题25分，满分50分） 1. 设21,x x 表示甲、乙两种产品的产量，则有 原材料限制条件： ,902321≤+x x,303221≤+x x ,805821≤+x x目标函数满足 ,680580m ax 21x x z += 合在一起便是所求线性规划模型：,680580m ax 21x x z +=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≥≤+≤+≤+.2,1,0,8058,3032,9023212121j x x x x x x x j （1）使用图解法易得其最优生产方案只有一组（这是因为所有约束条件所在直线的斜率与目标函数直线的斜率均不相等），从而最优方案没有可选择余地.计算知：最优解为,)740,745(T*=X 目标值为753300max =z （万元）.（2）利用图解法求解中只用到了后两个约束条件，故羊毛有剩余量，将解代入可检验而知羊毛有7259单位的剩余量. 2. 本问题是一个产销平衡的运输问题，可以利用表上作业法直接求解， 首先确定初始方案：其次对方案进行最优性检验：λ11 = 10-4+6-7=5 > 0， λ12 = 6-4+6-5=3 > 0， λ31 = 8-7+5-3=3 > 0，λ33 = 9-3+5-6=5 > 0，故上述方案已是最优方案，即总运费最低的调运方案为：21503310223021160231701,,,,B A B A B A B A B A −→−−→−−→−−→−−→− 总费用为2460150310630516071704=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯（百元）.。

问题重述向人体注入抗生素，人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效，本题列出5 种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，检验在水平α = 0.05下检验这些百分比的均值有无显著的差异。

问题分析设抗生素A 有5个水平1A 2A 3A 4A 5A ,已知在水平i A 下总体服从正态分布()2,σμi N ,5,4,3,2,1=i ，这里2,σμi 未知，i μ可以互不相同，但已知i x 具有相同的方差。

又设在每个水平i A 下作了i n 次独立试验，从中抽取容量为4的样本，记作4,3,2,1,=j x ij ，ij x 服从()4,3,2,15,4,3,2,1,2==j i N i σμ且相互独立，将这些数据列成表一的形式。

图表 1模型假设在做的实验足够多的情况下，判断判断A 的r 个水平对指标有无显著影响，相当于要作以下的假设检验： 543.211543210:;:μμμμμμμμμμH H ====不全相等符号说明∙i x ：第i 组数据的组平均值 x ：总平均值A S ：各组均值对总方差的偏差平方和，称为组间平方和E S ：各组内的数据对均值偏差平方和的总和μ：总均值i α：是水平i A 对指标的效应模型建立由于ij x 的取值既受不同水平i A 的影响，又受i A 固定下随机因素的影响，所以将它分解为1,2,1,2,1n j r i x ij i ij ==+=εμ （1）其中()2,0~σεN ij ,且相互独立，记∑∑===-===ri ri i i i i i r i n n n n 11,2,1,,1 μμαμμ（2） 由（1）（2）式可建立模型()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===++=∑=iijr i i iji ij n j r i N x ,2,1,2,1,,0~021σεαεαμ （3）模型求解所要检验的假设可以写成 0:210====r H ααα (4) 引起诸ij x 波动的原因有两个：一个是假设0H 为真时，ij x 的波动纯粹是随机性引起的；另一个可能是假设不真而引起的。