第2章导数与微分

2.1 导数的概念历史背景数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学．微分学和积分学统称为微积分学．微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一．恩格斯曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了．”微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材．积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直到16世纪才应运萌生．从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代．而16世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展．生产实践的发展对自然科学提出了新的问题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展．在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生：（1）求变速运动的瞬时速度；（2）求曲线上一点处的切线；（3）求最大值和最小值．这三类实际问题的现实原形在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题．牛顿从第一个问题出发，莱布尼兹从第二个问题出发，分别给出了导数的定义．注：（1）恩格斯（F.Engels,1820-1895），德国哲学家，马克思主义创始人之一．（2）牛顿(I.Newton,1642-1727)，英国数学家．（3）莱布尼兹(G.W.Leibniz,1646-1716)，德国数学家．引例1． 变速直线运动的瞬时速度设物体沿直线作变速运动，其经过的路程s 与时间t 的函数关系是)(t s s =，求该物 体在时刻0t 处的瞬时速度v设物体从0t 到t t ∆+0时间段经过的路程为s ∆，即)()(00t s t t s s -∆+=∆，于是该物体在时间段内运动的平均速度tt s t t s t s ∆-∆+=∆∆=)()(00ν 如果物体作匀速运动，则ν是常数，它就是物体在时刻0t 的瞬时速度，但在变速运动中，ν是随时间t ∆的不同取值而不同，平均速度ν只是0t 时刻速度的近似值，而且t ∆越小，这种近似程度就越好，于是当t ∆→0时，平均速度ν就应趋向于物体在时刻0t 处的瞬时速度ν．即有tt s t t s t st t t ∆-∆+=∆∆==→∆→∆→∆)()(lim limlim 00000ν变速直线运动在时刻0t 处的瞬时速度 反映了路程s 对时刻t 变化快慢的程度，因 此，速度ν又称为路程s 在时刻0t 处的变化 率．2． 曲线切线的斜率 设l 是坐标平面内的一条曲线，其方程为)(x f y =．M 0)(0,0y x是曲线l 上的一点,求曲线在该点处切线M 0T 的斜率k ．在M 0点附近任取一点M ),,(00y y x x ∆+∆+作割线M 0M,倾角为β,其斜率为tan 1=k xy∆∆=β，当M 沿曲线l 接近M 0点时,割线就越接近切线,从而割线的斜率就越接近切线的斜率．换句话说，|x ∆|越小，其接近程度就越高,从而当0→∆x 时，点M 就沿着曲线趋向于M 0，割线M 0M 就趋向于曲线在M 0处的切线M 0T ，于是割线M 0M 的斜率1k 就应趋向于切线M 0T 的斜率k ．设切线M 0T 倾角为α，则=k tan 0lim →∆=x αtanxx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(lim lim0000β曲线l 在点M 0处的切线反映了曲线)(x f y =在点M 0处升降的快慢程度．因此，切线斜率k ，又称为曲线)(x f y =在0x x =处的变化率．上述两个实例，一个是运动问题，一个是几何问题，虽然所研究的问题内容不同，但数学模型却是一样的，都是求函数的改变量与自变量的改变量之比在自变量的改变量趋于零时的极限．此外，还有很多理论或实际问题，也要求计算这种类型的极限，如电流强度、线速度、角速度等，这些都是变化率问题；对于它们的讨论与研究，也都可归为求这类极限的问题．因此撇开这些量的具体意义，抓住它们在数量关系上的共性，便得出了函数导数的概念． 一、导数 1、导数设函数)(x f y =在点0x 的某一邻城内有定义，当 自变量在点0x 处取得增量x x ∆∆(≠0）时，函数)(x f 取得相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，若0→∆x 时，极限x x f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0000存在，则称此极限为)(x f 在0x 处的导数，记为),(0x f '或记为 0x x y ='，0x x dx dy =，)(x x dxx df =并称函数)(x f y =在点0x 处可导，即xx f x x f x yx f x x ∆-∆+=∆∆='→∆→∆)()(lim lim)(00000若极限xyx ∆∆→∆0lim不存在，则称函数)(x f y =在0x 处不可导．注：（1）如果不可导的原因是极限为无穷大，则导数是不存在的，但为了以后方便起见，也称函数)(x f y =在0x 处的导数为无穷大． （2）导数概念是函数变化率的精确描述，撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质：函数增量与自变量增量的比值xy ∆∆是函数y 在以0x 和x x ∆+0为端点的区间上的平均变化率，而导数0x x y ='则是函数y 在点0x 处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度． （3）导数定义的等价形式：hx f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→或xx f x x f x f x ∆--∆-='→∆)()(lim)(000或x x x f x f x f x x --='→)()(lim)(002、导函数如果函数)(x f y =在区间,(a )b 内的每一点都可导，则称函数)(x f y =在区间,(a )b 内可导．这时对,(a )b 内每一确定的x ，都对应着)(x f 的一个确定的导数值),(x f '当x 取遍,(a )b 内一切值时，这样就构成了一个新函数，这个函数叫做原来函数)(x f y =的 导函数，记为y '， )(x f '，dx dy 或dxx df )( 按照导数的定义，有xx f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim)(0而函数)(x f y =在点0x 的导数)(0x f '，就是导函数)(x f '在0x 点的函数值，即)()(0x x x f x f ='='在不引起混淆的情况下，导函数也简称导数．通常所说的求导数，就是指求函数的导函数．案例 2.1【高台跳水问题】运动员相对于水面的高度h （单位：米）与起跳后的时间t （单位：秒）存在如下函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++.（1）计算运动员在1到2秒末时间段内的平均速度； （2）计算2秒末附近某段时间间隔t ∆内的平均速度；当0t ∆→时，平均速度有怎样的变化趋势？（3）2t s =时的瞬时速度如何表示？（4）运动员在某个时刻0t 时的瞬时速度如何表示？解（1）(2)(1)21h h v -=-；（2）(2)(2)h t h v t+∆-=∆，当0t ∆→时，平均速度无限接近于2秒末时的瞬时速度；（3）20(2)(2)limt t h t h v t=∆→+∆-=∆；（4）000()(2)lim t t h t t h v t∆→+∆-=∆.3、左、右导数x x f x x f x ∆-∆+-→∆)()(lim 000称为函数)(x f y =在0x 处的左导数， 记作)0(0-'x f ．xx f x x f x ∆-∆++→∆)()(lim 000称为函数)(x f y =在0x 处的右导数，记作)0(0+'x f ．定理 )(x f 在点0x 处可导⇔左导数、右导数存在并且相等． 注：本定理常用于判断分段函数在分段点处是否可导． 4、函数的可导性如果函数)(x f 在开区间,(a )b 内可导，且)0(+'a f 和)0(-'b f 都存在，则称)(x f 在闭区间],[b a 上可导． 5、求导数的一般步骤：（1）写出函数的增量)()(x f x x f y -∆+=∆ （2）计算比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()( （3）求极限)()()(lim'0x f xx f x x f x =∆-∆+→∆【例1】求常函数 y C =(C 为常数)的导数. 解 (1)求函数的改变量()()0y f x x f x C C ∆=+∆-=-=(2)算比值0=∆∆xy(3)取极限00lim lim0==∆∆='→∆→∆x x x yy即()0C '=.就是说，常数的导数为零.【例2】求幂函数n x x f =)()(N n ∈的导数. 解(1)求函数的改变量n n x x x x f x x f y -∆+=-∆+=∆)()()(+∆+∆=--22211)(x x C x x C n n n n …()nn n C x +∆(2)算比值=∆∆xy +∆+=--x x C x C n n n n 2211…1()n n n C x -+∆ (3)取极限1110lim)(--→∆==∆∆='n n n x nx x C xy x f即1)(-='n n nx x .特别地，当1=n 时，1)(='x ；2=n 时，x x 2)(2='.一般地，对任意一实数α，有1)(-='αααx x这就是幂函数的导数公式．【例3】利用幂函数的求导公式求函数y =的导数.解 因为12y x ==，所以11 1221()2y x x -''==1212x -==． 【例4】 设x x x f =)(，求)16(f '.解 因为432121)()(x x x x x x f =⋅==由公式有4143)(-='x x f所以83)16(43)16(41=='-f .【例5】 求函数 x y sin =的导数. 解(1)求函数的改变量xx x x f x x f y sin )sin()()(-∆+=-∆+=∆2sin )2cos(2xx x ∆∆+= (2)算比值22sin )2cos(2sin )2cos(2x x x x x x x x xy∆∆∆+=∆∆∆+=∆∆(3)取极限x x xx x x y y x x cos 22sin)2cos(lim lim 00=∆∆∆+=∆∆='→∆→∆ 即x x cos )(sin ='这就是正弦函数的导数公式．用类同的方法可得余弦函数的导数公式x x sin )(cos -='.【例6】求函数x y a log =0(>a 且a ≠1)的导数. 解(1)求函数的改变量)1(log log log )()(xx x f x x f y a xa xx a∆+=-=-∆+=∆∆+ (2)算比值x aa xx x x x xy ∆∆+=∆∆+=∆∆1)1(log )1(log (3)取极限x a x x xx x y y ∆→∆→∆∆+=∆∆='100)1(log lim limxxa x xx x a x x x x x x ∆→∆∆→∆∆+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆+=)1(log 1lim )1(log lim 010 ax e x a ln 1log 1== 即()ax x a ln 1log =' 这就是对数函数的导数公式．特别地，若e a =时，有()xx 1ln ='2.1.4 导数的几何意义由前面切线问题的讨论及导数的定义可知，函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '在几何上表示为曲线)(x f y =在点000(,)M x y 处切线的斜率，即αtan )(0='=x f k α(≠2π） 这就是导数的几何意义（图2—2）．如果)(x f y =在点0x 处的导数为无穷大，即αtan 不存在，这时，曲线)(x f y =在点000(,)M x y 处的切线垂直于x 轴；如果)(x f y =在点0x 处的导数为零，这时曲线)(x f y =在点000(,)M x y 处的切线平行于x 轴．根据导数的几何意义及直线的点斜式方程，我们即可得到曲线)(x f y =在点000(,)M x y 处的切线方程为))((000x x x f y y -'=-法线方程)()(1000x x x f y y -'-=- )0)((0≠'x f 【例7】求曲线xy 1=在点1(,2)2处的切线方程与法线方程．图2—2解 因为21)(---='='x x y 4)21(1221-=-='==x y k 所以，所求切线方程为124()2y x -=--即044=-+y x法线方程为112()42y x -=- 即01582=+-y x .【例8】求曲线 x y ln =上的一点，使过该点的切线与直线022=+-y x 平行．解 设曲线x y ln =上点00(,)M x y 处的切线与直线022=+-y x 平行，由导数的几何意义，所求切线的斜率为1)(ln 0x x k x x ='==；而直线 022=+-y x 的斜率为21=k ；根据题意有2110=x ，所以20=x 将20=x 代入x y ln =，得2ln 0=y 所以曲线x y ln =在点)2ln ,2(处的切线与直线022=+-y x 平行．2.1.5 函数可导性与连续性的关系定理1 如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处必连续．证明 因为)(x f 在点0x 处可导，故有)(lim 00x f xyx '=∆∆→∆存在，由极限与无穷小的关系有α+'=∆∆)(0x f xy其中0lim 0=→∆αx ，因此x x x f y ∆+∆'=∆α)(0所以0lim 0=∆→∆y x ，这就是说，函数)(x f y =在点0x 处是连续的．应当指出，上述定理的逆命题不一定成立，也就是说，一个函数在某点处连续，但在该点处函数却不一定可导．举例说明如下：【例9】讨论函数, 0,, 0.x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩在点0x =处的连续性与可导性.解 因为lim lim 0(0)x x y x f →→===所以y x =点0x =处连续．但是由于1, 0,1, 0.x x y x x x ∆>∆⎧∆==⎨-∆<∆∆⎩ 0lim 1,x y x +∆→∆=∆0lim 1x y x-∆→∆=-∆， 所以0lim x yx∆→∆∆不存在，即y x =点0x =处不可导.这在图形中的表现为y x =点0x =处没有切线(如图2-3所示).由此可见，函数连续是可导的必要条件，但不是充分条件． 小结：极限、连续和可导的关系函数可导必连续，连续的函数一定有极限，所以可导就一定有极限． （1）A x f x x =→)(lim、A x f x =∞→)(lim 存在，称函数)(x f 有极限．（2）()()00lim x f x f x x =→，称函数在点0x 处连续．（3）xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000存在，称函数在点0x 处可导．图 2—32.2 初等函数的导数运算在上一节中，根据导数的定义求出了一些简单函数的导数，但是对于比较复杂的函数，直接利用定义来求它们的导数往往是很困难的．这一节我们将讨论函数的求导法则，利用这些法则，能比较简便地求出任意可导的初等函数的导数．2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则定理1 设函数)(),(x v x u u ==ν都在x 处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）也在x 处可导，且有（1）νν'±'='±u u )(（2）ννν'+'='u u u )(（特别地，若 ()x C νν==时，则有()Cu Cu ''=）（3）2)(ννν'-'='u u v u 定理中的（1），（2）可推广到任意有限项的情形，如w u w u '+'+'='++νν)( w u w u w u w u '+'+'='νννν)(【例1】设函数5ln sin 33-++=x x x y ，求y '. 解 )5ln sin 3(3'-++='x x x y )5()(ln )sin 3()(3'-'+'+'=x x x xx x 1cos 332++=. 【例2】求函数x x y cos )21(2-=的导数.解 ))(cos 21(cos )21(22'-+'-='x x x x y x x x x sin )21(cos 42---=. 【例3】求函数x y tan =的导数. 解 xx x x x x x x y 2cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan '-'='='='x xx x x 22222sec cos 1cos sin cos ==+=即x x 2sec )(tan ='这就是正切函数的导数公式．类似地可以得到余切函数的导数公式：x x 2csc )(cot -='.【例4】求函数sec y x =的导数. 解 1(sec )()cos y x x'''== 21cos 1(cos )cos x x x ''⋅-⋅= 2sin sec tan cos x x x x==. 即得到正割函数的求导公式：(sec )sec tan x x x '=.类似的，可得到余割函数的求导公式：(csc )csc cot x x x '=-.综合前面各导数公式，得到了部分基本初等函数的求导公式；这些是求导数的基本公式，再加上指数函数及反三角函数的导数公式（将在第3节中介绍），就可以得到了所有基本初等函数的导数公式，必须熟记．案例2.2【电流】电路中某电处的电流i 是通过该点处的电量q 关于时间t 的瞬时变化率，如果一电路中的电量为3()q t t t =+.（1）求其电流函数()i t ； （2）2t =时的电流是多少？ （3）什么时候的电流为28. 解 （1）332d ()()()()31d qi t t t t t t t'''==+=+=+； （2）222(2)(31)32113t i t ==+=⨯+=；（3）解方程()28i t =，即23128t +=得3t =.案例2.3【制冷效果】某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效果，t 小时后冰箱的温度为2200.051tT t =-+.问冰箱温度T 关于时间t 的变化率是多少？解 冰箱温度T 关于时间t 的变化率为d 22(20)()(20)d 0.0510.051T t tt t t '''=-=-++ =222(0.051)20.0520(0.051)(0.051)t t t t +-⨯-=++. 2.2.2 复合函数的求导法则定理2 设函数)(u f y =在u 处可导，)(x u ϕ=在x 处可导，则复合函数)]([x f y ϕ=在x 处可导，且有d d d d d d y y ux u x=⋅或写成x u x u y y ''='上述定理又称链导法则，即复合函数的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数．该法则可推广到有多个中间变量的复合函数上去，例如)(u f y =，)(νϕ=u ，)(x φν=均可导，则复合函数))](([x f y φϕ=的导数为d d d d d d d d y y u x u v xν=⋅⋅ 注意：中间变量的设置以保证内外层函数能成为基本初等函数或简单函数的形式为准．【例5】求53)21(x y +=的导数. 解 设3521,x u u y +==，则43224324)21(306)21(565x x x x x u u y y x u x +=⨯+=⨯='⋅'='.【例6】求函数x y tan ln =的导数. 解 设u y ln =，x u tan =，则xx x x x u u y y x u x cos sin 1cos 1tan 1cos 1122=⋅=⋅='⋅'='. 【例7】求函数)2(cos sin 3x y =的导数.解 设3u y =，sin u ν=，t cos =ν，x t 2=；则2)sin (cos 32⋅-⋅=''''='t u t u y y xt u x ννν x x x t u 2sin )2cos(cos )2(cos sin 6sin cos 622-=-=ν.运算比较熟练后，就不必写出中间变量，而只要在心中找准中间变量，按求导的链导法则直接由 外往里，逐层求导即可．案例2.4【电阻中电流与电压的关系】在电容器两端加正弦电流电压sin()c m u U t ωϕ=+，求电流i .解 因为d [sin()][cos()]d cm m u i CC U t C U t tωϕωωϕ'==+=+ sin()sin()2m m CU t I t πωωϕωθ=++=+其中m m CU I ω=是电流的峰值（最大值），称为振幅，2πθϕ=+称为相位.【例8】求下列函数的导数：(1)y =（2)2sin 1cos xy x=-；（3）5log ()1x y x=-. 解（１）因为y ==x =-所以21(1)y x ''=-+1=--（２）因为2sin 1cos x y x =-21cos 1cos 1cos x x x-==+-，所以(1cos )sin y x x ''=+=-.（3）因为55log log (1)y x x =--，所以11(1)ln 5(1)ln 5y x x x ''=---111ln 5(1)ln 5(1)lnx x x x =+=--. 2.2.3 高阶导数我们知道，一个函数)(x f y =的导数)(x f y '='仍是x 的函数，如果)(x f '仍可求导，则称)(x f y '='的导数 ])([)(''=''x f y 是函数)(x f y =的二阶导数，记为y ''，)(x f ''，22d d y x或22d ()d f x x 相应地，把)(x f y =的导数)(x f '称为函数)(x f y =的一阶导数.类似地，如果)(x f y ''=''的导数存在，则称这个导数为)(x f y =的三阶导数，记作y '''，)(x f '''，33d d y x 或33d ()d f x x. 依次类推，就可以定义函数)(x f y =的n 阶导数，并且记为)(n y，)()(x fn ，d d n n y x或d ()d n nf x x 二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.高阶导数的求法，在本质上与求一阶导数相同，只是在求导过程中反复运用了一阶导数的求法．【例9】求函数)ln 1(2x x y +=的二阶导数. 解 因为)ln 1(2x x y +=所以22()'(1ln )(1ln )'y x x x x '=+++212(1ln )32ln x x x x x x x=++⋅=+ 132ln 252ln y x x x x''=++⋅=+． 【例10】求函数nx y =)(N n ∈的n 阶导数.解 1-='n nxy ，2)1(--=''n xn n y ，3)2)(1(---='''n x n n n y ……)1()(-=n n y n ……1n n x -=!n .【例11】求函数xy xe =的n 阶导数． 解 因为xy xe =所以'(1)x x x y e xe x e =+=+ ''(1)(2)x x x y e x e x e =++=+ '''(2)(3)x x x y e x e x e =++=+……()()n x y n x e =+．【例12】求函数x y sin =的n 阶导数.解 )2s i n (c o s π+=='xx ycos()sin(2)22y x x ππ''=+=+⨯ )23sin()22cos(ππ⨯+=⨯+='''x x y……)2sin()(π⋅+=n x y n . 高阶导数也有许多实际背景，以二阶导数为例，由于加速度是速度的变化率，因而加速度是速度对时间的导数，但又由于速度本身是路程对时间的导数，所以加速度是路程对时间的二阶导数．即设物体作变速直线运动，其运动方程为)(t s s =，则物体运动的加速度a 为)(t s a ''=这就是二阶导数的力学意义．【例13】某物体作直线运动，其运动规律是1s t t=+(s 的单位是为米，时间t 的单位是秒)，求该物体在3t =秒时的速度与加速度．解 物体运动的速度为211'()()'1v s t t t t==+=-加速度为2312'()(1)'a v t t t==-=． 当3t =秒时，218139v =-=(米/秒)，322327a ==(米/秒2)． 此外二阶导数还有非常重要的几何意义，即曲线的凹凸性，将在第三章中专门讨论．小结：初等函数求导数重点掌握四则运算求导数和复合函数求导数，能够计算函数的二阶导数和部分简单函数的n 阶导数．2.3 隐函数的导数运算前面讨论的函数都可以表示成)(x f y =的形式，这样的函数称为显函数．但有时会遇到另一类函数，如0522=++y x ，xy e y x =+等，即函数是由一个方程0),(=y x F 所确定的，这种由含x 和y 的方程0),(=y x F 所确定的函数，称为隐函数．下面我们就讨论隐函数的求导方法．为了求隐函数的导数y '，只须将方程0),(=y x F 两边对x 求导，遇到y 时，就视y 为x 的函数；遇到y 的函数时，就看成是x 的复合函数，y 为中间变量；然后从所得的等式中解出y '，即得隐函数的导数．【例1】求由方程19422=+y x 所确定的隐函数y 的导数y '． 解 将方程两边同时对x 求导得，0922='+y yx 解出y '，得y '=yx 49-． 【例2】求由方程 2ln sin =+y x y 所确定的隐函数y 的导数y '．解 将方程两边同时对x 求导得，01cos sin ='⋅++'y yx y x y 解出y '，得xy xy y sin 1cos 2+-='．【例3】求指数函数xa y =(,0>a 且1≠a )的导数．解 把xa y =改写成x y a =log ，两边同时对x 求导得1ln 1='y ay 解出y '，得a a a y y x ln ln ==' 即a a a x x ln )(='这就是指数函数的导数公式．特别当e a =时，x x e e =')(．【例4】求反三角函数x y arcsin =的导数．解 把x y arcsin =改写成x y =sin ，两边同时对x 求导得1cos ='⋅y y解出y '，得yy cos 1='，因为 221sin 1cos x y y -=-=，)22(ππ<<-y所以211xy -='即211)(arcsin xx -='这就是反正弦函数的导数公式．类似地可以得到其它反三角函数的导数公式211)(arccos xx --='211)(arctan x x +=' 21(cot )1arc x x '=-+（反函数求导法则）如果函数()y f x =在区间内单调且连续，并在该区间内处处有不等于0的导数()f x '，那么它的反函数1()x f y -=在相应区间内也处处可导，并且1xyy x '='． 有些显函数，直接求导往往比较复杂，这时我们也可考虑先把它化成隐函数后，再求导．【例5】求函数41)3)(2()1(⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=x x x x y 的导数．解将函数两边取对数得，)]3ln()2ln()1ln([ln 41ln +----+=x x x x y两边同时对x 求导得，)3121111(411-----+='⋅x x x x y y 解出y '，得)3121111(41+----+='x x x x y y )3121111()3)(2()1(4141+----+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=x x x x x x x x ． 【例6】求函数xy x =的导数(0)x >． 解 两边取自然对数，得ln ln y x x =两边同时对x 求导，得11ln y x y'⋅=+ 所以(1ln )x y x x '=+．至此我们得到了所有的基本初等函数的导数公式，再根据函数的和、差、积、商求导法则、复合函数的求导法则、隐函数的求导方法，从而解决了初等函数的求导问题．【例7】求函数2(arcsin )y x =的导数． 解2a r c s i n (a r c s i y x x ''=⋅= 【例8】求函数y e =的导数．解y e e'''===小结：隐函数的导数运算掌握隐函数的求导法则, 将方程0),(=yxF两边对x求导，遇到y时，就视y为x的函数；遇到y的函数时，就看成是x的复合函数，y为中间变量；然后从所得的等式中解出y'．能够利用隐函数求导法则求幂指函数的导数．2.4 函数的微分2.4.1 微分的概念导数)(x f '描述了)(x f 在x 处变化的快慢程度，而不是改变量本身．但在许多实际问题中，常常还需要了解当自变量有一微小改变量x ∆时，需要考察和估计函数的改变量y ∆的大小．而由)()(x f x x f y -∆+=∆来计算y ∆的精确值往往比较困难，况且在实际应用中并一定需要它的精确值，只要能求出它的近似值即可．先看一个实例：设正方形金属薄片的边长为0x ，由于受温度变化影响边长有增量x ∆（如图2-4所示），则面积相应的增量为222000()2()y x x x x x x ∆=+∆-=∆+∆，y ∆有两部分组成，第一部分02x x ∆是x ∆的线性函数，第二部分2)(x ∆是关于x ∆的高阶无穷小．当x ∆很小时，2)(x ∆可以忽略不计，面积y 的增量可以近似的用02x x ∆来近似代替，即02y x x ∆≈∆由于面积2y x =，所以002x x y x ='=，即00()2f x x '=，所以0()y f x x '∆≈∆这个结论具有一般性．设函数)(x f y =在x 处可导，则有)(lim0x f x yx '=∆∆→∆所以α+'=∆∆)(x f xy其中α是→∆x 0时的无穷小．所以x x x f y ∆+∆'=∆α)(可见，函数的增量y ∆也分成了两部分，第一部分x x f ∆')(是x∆的线性部分，第二部分x ∆α，由于随着0x ∆→时，0α→，所以x∆α是关于x ∆的高阶无穷小；因此当x ∆充分小时，x ∆α可忽略不计，而x x f ∆')(成为y ∆的主要部分，称为线性主部，可用它近似代替y ∆的值，即x x f y ∆'≈∆)(．函数增量的主要部分x x f ∆')(就称为)(x f y =在x 处的微分．1．微分的定义定义1 设函数)(x f y =在x 处可导，则称x x f ∆')(为函数)(x f 在x 处的微分，记为d y 或d ()f x ，即d ()y f x x '=∆．若令x y =，则d d ()y x x x x '==∆=∆即d x x =∆这就是说，自变量x 的微分d x 就是它的改变量x ∆，因此，微分表达式中可用d x 代替x ∆，即d ()d y f x x '=由此可见，d ()d yf x x'=，即函数)(x f y =的导数等于函数的微分d y 与自变量微分d x 的商，因此导数又称微商．函数在点x 处可导，又称为函数在该点处可微，可导函数也称为可微函数．反之，函数在点x 处可微，必有函数在该点处可导．【例1】求函数2x y =在1=x 处，01.0=∆x 时的改变量与微分．解0201.01)01.1()1()01.1()()(22=-=-=-∆+=∆f f x f x x f y21d ()210.010.02x y x x ='=∆=⨯⨯=．【例2】求函数的微分： （1）x y sin ln =；（2）x x y tan 2=．解 （1）cos d d(lnsin )(lnsin )d d cot d sin xy x x x x x x x'====; （2）2222d d(tan )(tan )d (2tan sec )d y x x x x x x x x x x '===+．2．微分的几何意义设函数)(x f y =的图形如图2-5所示，MT 为曲线在点(,)M x y 处的切线，由导数的几何意义知αtan )(='x f ，当自变量x 有微小改变量x ∆时，就得到曲线上另一点(,)N x x y y +∆+∆，由图可知tan tan QP MQ x αα=⋅=∆⋅tan ()()d x x f x f x x α''=∆⋅=∆⋅=即d y QP =因此，微分d y 就是曲线)(x f y =在点),(y x 处切线纵坐标的改变量QP ，它是曲线)(x f y =在M 点处纵坐标改变量QN 的近似值；略去的PN 是比x ∆高阶的无穷小．2.4.2 微分的运算按照定义，一个函数的微分就等于它的导数乘以自变量的微分，所以由导数公式和运算法则立刻就可得到微分公式及运算法则．1．微分的基本公式（1）d 0c =（c 为常数）；（2）1d()d x xx ααα-=（R ∈α）； （3）d()ln d xxa a a x =； （4）d()d xxe e x =； （5）1d(log )d ln a x x x a=； （6）1d(ln )d x x x=； （7）d(sin )cos d x x x =； （8）d(cos )sin d x x x =-； （9）2d(tan )sec d x x x =； （10）2d(cot )csc d x x x =-； （11）d(sec )sec tan d x x x x =；图2-5（12）d(csc )csc cot d x x x x =-； （13）d(arcsin )x x =；（14）d(arccos )x x =；（15）21d(arctan )d 1x x x =+； （16）21d(cot )d 1arc x x x =-+． 2．函数和、差、积、商的微分法则 设)(x u u =，)(x νν=都是可微函数，则 （1）d()d d u u νν±=± （2）d()d d u u u ννν=+（3）2d d d u u u νννν-⎛⎫=⎪⎝⎭，)0(≠ν 3．复合函数的微分法则由函数)(u f y =，)(x u ϕ=复合而成的函数)]([x f y ϕ=的导数为)()(x u f y ϕ''='所以复合函数)]([x f y ϕ=的微分为d ()()d y f u x x ϕ''=因为()d d x x u ϕ'=，所以d ()d y f u u '=这个公式与d ()d y f x x '=在形式上完全一样，可见不论u 是中间变量或是自变量，)(u f y =的微分都可用()d f u u '表示，这个性质称为微分形式的不变性．【例3】用商的微分法则，求2ln xxy =的微分． 解222441d 2ln d d(ln )ln d()d x x x x x x x x x x y x x --==3(12ln )d x x x -=．【例4】用微分形式的不变性，求函数的微分： （1）)1ln(x e y +=；（2）x e y sin =．解 （1）1d d ln(1)d(1)d 11x xxx xe y e e x e e=+=+=++； （2）sin sin sin d d()d(sin )cos d x x x y e e x xe x ===．【例5】在等式左端的括号中填入适当的函数，使等式成立： （1）2d( )d x x =；（2）d( )cos6d x x =．解 （1）因为32d()3d x C x x +=，于是3231d d()d()33x x x x C C =+=+即32d()d 3x C x x += （2）因为d(sin 6)6cos6d x C x x +=，于是11cos 6d d(sin 6)d(sin 6)66x x x C x C =+=+，即1d(sin 6)cos 6d 6x C x x += 2.4.3 微分在近似计算中的应用在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算，那是很麻烦的．利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替．设函数)(x f y =在点0x 处可导，由微分定义知，当|x ∆|充分小时，函数)(x f y =在点0x 处的改变量y ∆可用函数的微分d y 来代替,即x x f x f x x f y ∆'≈-∆+=∆)()()(00，于是得近似公式x x f y ∆'≈∆)(0 （1）x x f x f x x f ∆'+≈∆+)()()(000 （2） 公式（1）常用来计算一元函数改变量的近似值，而公式（2）常用来计算函数)(x f y =在点0x 附近函数值的近似值．【例1】有一批半径为1cm 的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度应为0.01cm ，估计一下每只球需用铜多少克（铜的密度是8.9克/cm 3）?解 先求出镀层的体积，再乘以密度即可得到每只球需用铜的质量．因为镀层的体积等于两个球体体积之差，所以它就是球体体积334R V π=，当R 在0R 取得改变量R ∆时的改变量V ∆． 求334R V π=在0R 处的导数，2034)34(00R R V R R R R ππ='='==由公式（1）得V ∆≈R R ∆204π而01.0=∆R ，10=R于是13.001.0114.342=⨯⨯⨯≈∆V （cm 3）因此，镀每只球需用的铜约为16.113.09.8=⨯（克）．【例2】计算0345tan '的近似值．解 设x x f tan )(=，则x x f 2sec )(='，由于36040345ππ+=' ，取40π=x , 360π=∆x ,因为π360x ∆=很小,所以由公式（2）得x f f f ∆'+≈+)4()4()3604(ππππ即23.14tan 4530tansec 12 1.017444360360πππ'≈+⋅=+⨯≈． 【例3】求3988.7的近似值． 解 设3)(x x f =，则32831)(='x f ，由于012.08988.7-=，取80=x ，012.0-=∆x ，因为0.012x ∆=很小，所以由公式（2）得x f f f ∆'+≈)8()8()988.7(即(0.012) 1.999≈-=在公式（2）中，若令00=x ，x x =∆，则有x f f x f )0()0()('+≈ （3）当x 很小时，可用公式（3）求函数)(x f 在0=x 附近函数值的近似值应用公式（3）可以推得以下几个在工程上常用的近似公式（下面都假定x 是很小的数值）．① x x ≈sin （x 用弧度作单位来表达）；② x ≈tan （x 用弧度作单位来表达）； ③ x e x+≈1； ④ x x ≈+)1ln(； ⑤x nx n111+≈+． 【例4】计算05.1的近似值．解 因为05.0105.1+=，令05.0=x ，则x 很小，利用近似公式①（2=n 的情形），即得025.105.021105.1=⨯+≈．小结：2.4 函数的微分从引例中充分理解函数微分的概念，掌握初等函数的求微分公式和运算法则，能够求初等函数的微分，并理解微分的形式不变性．掌握微分在近似计算公式．2.5 偏导数与全微分2.5.1 偏导数的概念在一元函数里，为研究函数的变化率得出了导数的概念．对于多元函数同样需要研究它的变化率，但多元函数的自变量不止一个，因变量与自变量的关系也比一元函数复杂．在这一节里，我们首先考虑多元函数中关于其中一个自变量的变化率．以二元函数z ),(y x f =为例，如果只有自变量x 变化，而自变量y 固定（即看作常数），这时它就是x 的一元函数，这函数对x 的导数，就称为二元函数z 对于x 的偏导数．1．偏导数的定义定义1 设函数z ),(y x f =在点（00,y x ）的某一领域内有定义，当y 固定在0y ，而x 在0x 处有改变量x ∆时，相应地函数有改变量),(),(0000y x f y x x f -∆+，记为z x ∆．如果x y x f y x x f x z x x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆),(),(lim lim000000存在则称此极限值为函数z ),(y x f =在点（00,y x ）处对x 的偏导数． 记为0y y x x xz==∂∂，0y y x x xf ==∂∂或),(00y x f x '即),(00y x f x 'xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim00000．类似地，函数),(y x f z =在点（00,y x ）处对y 的偏导数定义为000000(,)(,)limlimy y y z x y y f x y yy∆→∆→∆+∆-=∆∆记为0y y x x yz ==∂∂，0y y x x yf ==∂∂或),(00y x f y '即),(00y x f y 'yy x f y y x f y ∆-∆+=→∆),(),(lim00000． 如果函数z ),(y x f =在区域D 内每一点),(y x 处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数仍是y x ,的函数，它就称为函数z ),(y x f =对自变量x 的偏导函数，记为x z ∂∂，xf ∂∂或),(y x f x ' 即),(y x f x 'xy x f y x x f x ∆-∆+=→∆),(),(lim．类似地，可以定义函数z ),(y x f =对自变量y 的偏导函数，记为y z ∂∂，yf∂∂或),(y x f y ' 即),(y x f y 'yy x f y y x f y ∆-∆+=→∆),(),(lim．由偏导数的概念可知，),(y x f 在点（00,y x ）处对x 的偏导数),(00y x f x '显然就是偏导函数),(y x f x '在点),(00y x 处的函数值；),(00y x f y '就是偏导函数),(y x f y '在点（00,y x ）处的函数值．就像一元函数的导函数一样，以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数．对偏导数的记号x z ∂∂和yz ∂∂，不能理解为z ∂与x ∂或z ∂与y ∂的商，它与一元函数的导数d d yx可看作是两个微分d y 与d x 之商是不同的，它只是一个整体记号．偏导数的定义可以推广到三元及以上的函数，这里就不作一一叙述了．由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法，因为这里只有一个自变量在变化，而另一自变量暂时看作常量，所以仍然是一元函数的求导问题．【例1】求函数1322+++=y xy x z 在点（1，2）处的偏导数．解 因为y x x z 32+=∂∂，y x yz 23+=∂∂ 所以8231221=⨯+⨯=∂∂==y x xz ，7221321=⨯+⨯=∂∂==y x yz ．【例2】求函数xy yxz sin +=的偏导数． 解xy y yy xy y x z cos 1cos 1+=⋅+=∂∂xy x yxx xy y x y z cos cos 22+-=⋅+-=∂∂． 【例3】求)sin(y x x z y+=（0>x ）的偏导数．解)c o s ()s i n (1y x x y x yx xzy y +++=∂∂-)c o s ()s i n (l n y x x y x x x yzy y +++⋅=∂∂． 应当指出的是，对于多元函数来说，即使其所有偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点是连续的；而一元函数如果在某点导数存在，则其在该点是连续的．这是多元函数与一元函数的一个重要差异．例如，函数⎪⎩⎪⎨⎧+=0),(22y x xyy x f ，0022==≠+y x y x 则在点（0，0）处 )0,0(x f '0)0,0()0,0(lim=∆-∆+=→∆xf x f x)0,0(y f '0)0,0()0,0(l i m=∆-∆+=→∆yf y f y但),(y x f 在点（0，0）处不连续（证明略）． 2．偏导数的几何意义在空间直角坐标系中，函数z ),(y x f =表示一曲面，如果把f ),(y x 中的y 固定，设0y y =，则⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 表示曲面z ),(y x f =与平面0y y =相交的一曲线（图2-6中的0AM B ）．由一元函数导数的几何意义知),(00y x f x '是交线0AM B 上点0000(,,)M x y z 处切线x T 的斜率，即),(00y x f x '是这曲线上点0M 处的切线对x 轴的斜率（图2-6），这就是偏导数),(00y x f x '的几何意义．同理，偏导数),(00y x f y '的几何意义是曲面(,)z f x y =与平面0x x =相交曲线在0M 点处的切线y T 对y 轴的斜率．2.5.2 高阶偏导数设函数(,)z f x y =在区域D 内有偏导数),(y x f x z x '=∂∂，),(y x f yzy '=∂∂ 那么在D 内),(y x f x '，都是y x ,的函数．如果这两个函数的偏导数都存在，则它们的偏导数称为函数(,)z f x y =的二阶偏导数．依照对变量求导数的次序不同，有下列四个二阶偏导数，并分别表示为),(22y x f xzx z x xx''=∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ),(22y x f yzy z y yy''=∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ),(2y x f yx zx z y xy ''=∂∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ ),(2y x f x y zy z x yx''=∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂ 其中第三、四两个偏导数称为混合偏导数．同样可得三阶及三阶以上的更高阶的偏导数；二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．【例4】求函数y x xy y x z 23232-+=的二阶偏导数． 解 因为图2—6。