24.1.2垂直于弦的直径解析

第二十四章圆24.1.2垂直于弦的直径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知O的半径为7，弦AB的长为12，则圆心O到AB的距离为A．B．2C．2D．2．如图是⊙的直径,弦⊥于点则A．B．C．D．3．如图，在半径为5的圆O中，AB，C D是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为A．3 B．4C．D．4．如图，A、B是⊙O上两点，若四边形ACB O是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为A．B．C．r D．2r二、填空题：请将答案填在题中横线上．5．如图，AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，AB⊥CD于M，若AB=10 cm，CD=8 cm，则AM=_________cm．6．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=8，则OB的长为________．7．如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE=_____．8．“圆材埋壁”是我国古代名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小。

以锯锯之，深一寸，锯道长一尺。

问：径几何？”大意是：如图，CD是⊙O的直径，弦A B⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则CD＝________.9．如图是一个高速公路隧道的横截面,若它的形状是以O为圆心的圆的一部分,路面AB=8米,净高CD=8米,则此圆的半径OA为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．10．一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，求此时排水管水面的宽CD．第二十四章圆24.1.2垂直于弦的直径一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，已知O的半径为7，弦AB的长为12，则圆心O到AB的距离为A．B．2C．2D．【答案】D2．如图是⊙的直径,弦⊥于点则A．B．C．D．【答案】A3．如图，在半径为5的圆O中，AB，CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB=CD=8，则OP的长为A．3 B．4C．D．【答案】C【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD，由垂径定理、勾股定理得：OM=ON=，∵弦AB、CD互相垂直，∴∠DPB=90°，∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，∴∠OMP=∠ONP=90°，∴四边形MONP是矩形，∵OM=ON，∴四边形MONP是正方形，∴OP=3.故选：C．4．如图，A、B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为A．B．C．r D．2r【答案】B∴AD=OA sin60°=则AB=2AD=.故选:B.【名师点睛】考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，垂径定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．二、填空题：请将答案填在题中横线上．5．如图，AB为圆O的直径，CD为圆O的弦，AB⊥CD于M，若AB=10 cm，CD=8 cm，则AM=_________cm．【答案】2【解析】连接OD，如图，6．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=8，则OB的长为________．【答案】5【解析】∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，AB=8，∴BE=4，∠OEB=90°，设OB=x，则OC=x，∵CE=2，∴OE=x-2，∵在Rt△OBE中，OB2=OE2+BE2，∴，解得：，∴OB=5.故答案为5.7．如图，AB是⊙O的直径，点D平分弧AC，AC=5，DE=1.5，则OE=_____．【答案】8．“圆材埋壁”是我国古代名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小。

24．1.2 垂直于弦的直径教学目标1．理解圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂直于弦的直径的性质．3．能运用垂径定理计算和证明实际问题．预习反馈阅读教材P81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，圆也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即如图，∵CD 是⊙O 的直径，且AB ⊥CD ，∴AE ＝BE ；AC ︵＝BC ︵；AD ︵＝BD ︵．3．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，即如图，∵CD 是⊙O 的直径，且AE ＝BE(AB 不是直径)，∴CD ⊥AB ；AC ︵＝BC ︵；AD ︵＝BD ︵．例题讲解例1 (教材补充例题)已知⊙O 的半径为5 cm.(1)若圆心O 到弦AB 的距离为3 cm ，则弦AB 的长为8__cm ；(2)若弦AB 的长为8 cm ，则圆心O 到AB 的距离为3__cm ．【点拨】 (1)圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．(2)“已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂直”或“连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形”是常用的辅助线．【跟踪训练1】 若⊙O 的半径OA ＝5 cm ，弦AB ＝8 cm ，点C 是AB 的中点，则OC 的长为3__cm ．【跟踪训练2】 已知AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足．若AE ＝9，BE ＝1，求CD 的长．解：连接OC.∵AE ＝9，BE ＝1，∴半径OC ＝5，OE ＝4.∵弦CD ⊥AB ，∴在Rt △OCE 中，CE ＝OC 2－OE 2＝3.又∵AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∴CD ＝2CE ＝6.【跟踪训练3】 ⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则线段OM 的长的最小值为3，最大值为5．【点拨】 当OM 与AB 垂直时，OM 最小(为什么)；当M 在A(或B)处时，OM 最大．例2 (教材P82例2)赵州桥(如图)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37 m ，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23 m ，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位)．【解答】 如图，用AB ︵表示主桥拱，设AB ︵所在圆的圆心为O ，半径为R.经过圆心O 作弦AB 的垂线OC ，D 为垂足，OC 与AB ︵相交于点C ，连接OA.根据垂径定理，D 是AB 的中点，C 是AB ︵的中点，CD 就是拱高．由题设可知AB ＝37 cm ，CD ＝7.23 cm ，所以AD ＝12AB ＝12×37＝18.5(cm)， OD ＝OC －CD ＝R －7.23.在Rt △OAD 中，由勾股定理，得OA 2＝AD 2＋OD 2，即R 2＝18.52＋(R －7.23)2.解得R ≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱直径约为27.3 m.【点拨】 圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．【跟踪训练4】 (教材P82例2的变式题)某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为8米．巩固训练1．在直径是20 cm 的⊙O 中，∠AOB 的度数是60°，那么弦AB 的弦心距是3__cm ．【点拨】 这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6 cm ，弓形的高为2 cm ，则这个弓形所在的圆的半径为134__cm ．3．如图，AB 为⊙O 的直径，E 是BC ︵中点，OE 交BC 于点D ，BD ＝3，AB ＝10，则AC ＝8．4．⊙O 的半径是5，P 是圆内一点，且OP ＝3，过点P 最短弦的长为8，最长弦的长为10．【点拨】过点P最短弦即为与OP垂直的弦，最长弦即为直径．5．已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.【点拨】过圆心作垂径．证明：过点O作OE⊥AB于点E.则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE，即AC＝BD.6．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，则弦AB与CD 之间的距离为22__cm或8__cm．【点拨】分情况讨论：①AB，CD在点O两侧；②AB，CD在点O同侧．课堂小结1．垂径定理及其推论．2．常用的辅助线(作垂径)和解题思路(构造由半径、半弦、弦心距组成的直角三角形)．。

人教版九年级数学上册24.1.2《垂直于弦的直径》说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册第24章《圆》的1.2节《垂直于弦的直径》是本章的重要内容。

这部分主要介绍了垂径定理及其推论，为后续学习圆的性质和圆的方程打下基础。

本节内容通过探究垂直于弦的直径的性质，引导学生利用几何推理证明结论，培养学生的逻辑思维能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的基本几何知识，对圆的基本概念和性质有所了解。

但学生在解决几何问题时，往往缺乏推理证明的能力。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的思维过程，引导学生掌握几何推理的方法。

三. 说教学目标1.知识与技能：掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理解决简单几何问题。

2.过程与方法：通过观察、探究、推理，培养学生的逻辑思维能力和几何直观能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养合作探究的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：垂径定理及其推论的证明和应用。

2.教学难点：垂径定理的证明，以及如何引导学生运用几何推理方法。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论。

2.教学手段：利用多媒体课件辅助教学，直观展示几何图形的性质和推理过程。

六. 说教学过程1.导入新课：通过回顾圆的基本性质，引出垂直于弦的直径的性质。

2.探究垂直于弦的直径的性质：让学生分组讨论，观察几何图形，引导学生发现垂直于弦的直径的性质。

3.推理证明：引导学生运用几何推理方法，证明垂径定理及其推论。

4.应用拓展：举例说明垂径定理在解决实际问题中的应用。

5.总结归纳：对本节课的主要内容进行总结，强调垂径定理及其推论的重要性。

七. 说板书设计板书设计如下：垂直于弦的直径性质：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧。

八. 说教学评价本节课通过课堂提问、学生作业、小组讨论等方式进行教学评价。

主要评价学生在掌握垂径定理、运用几何推理方法以及解决实际问题方面的表现。

24.1.2垂直于弦的直径教案--文档内容仅供参考教学方案：垂直于弦的直径教学目标：通过本教案，学员将会深入理解什么是垂直于弦的直径，掌握在何种情况下会涉及到这一概念，并能够有效地运用相关知识解决问题。

本教案将通过图示和实际例子帮助学员更清晰地理解和应用这一概念。

教学内容：1. 垂直于弦的直径概念解释：在圆上，垂直于弦的直径是通过圆心且与弦垂直的线段，其两端分别位于弦上。

简单来说，垂直于弦的直径可以看作是将弦分成两个相等部分的线段，并且该线段的中点恰好是圆的圆心。

2. 涉及到垂直于弦的直径的情况：垂直于弦的直径在几何学和数学中有许多应用。

以下是一些常见情况：a. 弦长和弦中点：当需要计算弦的长度或者弦的中点时，可以利用垂直于弦的直径来解决问题。

因为垂直于弦的直径恰好将弦分成两个相等的部分，所以可以轻松地计算弦的长度或其中点。

b. 弦和圆心角的关系：在圆的周围，弦与圆心角之间存在特殊的关系。

特别是，当一个弦是垂直于另一个弦的直径时，这两个弦之间的圆心角是90度。

这个关系在解决角度相关问题时非常有用。

c. 圆的切线：通过圆的直径，我们可以轻松地构造圆的切线。

如果我们从圆的一个端点开始，沿着直径方向作直线，那么这条直线将会是一个切线。

教学步骤：引入概念（5分钟）：使用图示展示圆和垂直于弦的直径的概念。

解释垂直于弦的直径是如何与弦和圆心相互关联的。

实际例子（10分钟）：提供一个实际问题，要求学员计算一个弦的长度，或者一个弦的中点。

引导学员利用垂直于弦的直径的概念来解决问题。

角度关系（10分钟）：介绍弦和圆心角的关系，特别是涉及到垂直于弦的直径时的情况。

提供一个问题，要求学员根据角度信息推导出特定的弦是垂直于直径的。

切线构造（10分钟）：展示如何利用圆的直径来构造切线。

提供一个练习，要求学员通过选择合适的直径来确定切线的位置。

综合练习（15分钟）：提供一个综合性问题，要求学员结合之前学到的知识来解决复杂的几何问题，涉及到弦、垂直于弦的直径以及角度关系。

人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》公开课说课稿一. 教材分析人教版九年级数学上册《24.1.2垂直于弦的直径》这一节的内容，是在学生已经掌握了垂径定理和圆周角定理的基础上进行教学的。

本节课主要让学生了解并证明圆中垂直于弦的直径的性质，即垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

这一性质在解决圆的相关问题中有着重要的作用。

教材通过引导学生观察、思考、探索，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对圆的相关知识有一定的了解。

但是，对于证明圆中垂直于弦的直径的性质，学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际水平，采取适当的教学策略，引导学生克服困难，掌握这一性质。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握圆中垂直于弦的直径的性质，能够运用这一性质解决相关问题。

2.过程与方法目标：通过观察、思考、探索，培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学的美妙。

四. 说教学重难点1.教学重点：圆中垂直于弦的直径的性质。

2.教学难点：证明圆中垂直于弦的直径的性质。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、启发式教学法、合作学习法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、圆规、直尺等教学工具。

六. 说教学过程1.导入新课：通过复习垂径定理和圆周角定理，引出本节课的内容——圆中垂直于弦的直径的性质。

2.探究新知：引导学生观察、思考、探索，发现垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

3.证明性质：分组讨论，每组选择一种证明方法，证明圆中垂直于弦的直径的性质。

4.应用拓展：出示相关练习题，让学生运用所学知识解决问题。

5.课堂小结：回顾本节课所学内容，总结垂直于弦的直径的性质及证明方法。

6.布置作业：布置适量作业，巩固所学知识。