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E B
D
命题三：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分 弦所对的两条弧。
已知：AB是弦，CD平分AB，CD ⊥AB。 求证：CD是直径， A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
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注意要点
根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直 线来说，如果具备：
① 经过圆心 ② 垂直于弦 ③ 平分弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧 那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他 三个结论。
C.根 AB 7.2,CD 2.4, HN 1 MN 1.5.
据垂径 .
定理AD,D是1AAB的B 中1点,7C.是2
2
2
的2 中 点 3.6,
,C
D就是
拱高
由O题D 设 O得C DC R 2.4.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2 AD2 OD 2 ,
即R2 3.62 (R 2.4)2.
①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦
① ③
② ④ ⑤
① ④
③ ② ⑤
④平分弦所对优弧 ① ⑤平分弦所对劣弧 ⑤
③② ④③ ②
① ④ ⑤
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧。
（2）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分
弦所对的另一条弧。
（3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
C
A
D
B
r
•
O
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• 例2 如图，一条公路的转变处是一段圆弧(即图中弧CD,点O
是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且
O E ⊥ C D 垂 足 为 F, E F = 9 0 m . 求 这 段 弯 路 的 半 径 .
解:连接OC.
设弯路的半径为Rm,则OF (R 90)m.
3.已知⊙O的弦AB=4㎝,圆心O到AB的中点C的距离为1 ㎝,那么⊙O的半径为 5 Cm
4.如图,在⊙O中弦AB⊥AC,
B
M
OM⊥AB,ON⊥AC,垂足分别为M,
A
N,且OM=2,0N=3,则A6B= , AC=4 ,OA= 13
ON C
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练习：5.在⊙Ｏ中，ＡＢ、AC为互相垂直且相等的两条弦， ＯＤ⊥ＡＢ于Ｄ，ＯＥ⊥ＡＣ于Ｅ．
求证：四边形ＡＤＯＥ是正方形．
Ｃ
Ｅ
Ｏ
Ｄ
Ａ
Ｂ
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1.在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图
所示.若油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
O
A
┌E
D
B
D
600
C
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在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面 宽AB = 600mm，求油的最大深度.
解得 R≈3.9（m）. 在Rt△ONH中，由勾股定理，得
OH ON2 HN2 , 即OH 3.92 1.52 3.6. DH 3.6 1.5 2.1 2. ∴此货船能顺利通过这座拱桥.
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1.过⊙o内一点M的最长的弦长为10㎝,最短弦长为8 ㎝,那么⊙o的半径是 5㎝ 2.已知⊙o的弦AB=6㎝,直径CD=10㎝,且AB⊥CD, 那么C到AB的距离等1于㎝或9㎝
OE CD,
C
CF 1 CD 1 600 300(m).
2
2
E 根据勾股定理,得 OC 2 CF 2 OF 2,即
F
●
O
R2 3002 R 902.
D 解这个方程,得R 545. 这段弯路的半径约为545m.
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(1)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OA的夹角为
30 °,求弦 AB 的长.
O
6O
A 30°
B
E
M
A
B
C
(2)如图,已知⊙O的半径为 6 cm,弦 AB与半径 OC互相平分,
交点为 M , 求 弦 AB 的长.
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（3）.如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径为10米，
桥拱的跨度AB=16米，则拱高为 4
米。
C
A
·D B O
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垂径定理
定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C
A M└ ●O
如图∵ CD是直径, CD⊥AB,
B
∴AM=BM, A⌒C =B⌒C, A⌒D=B⌒D.
D
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧。
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课堂讨论 ① 根据已知条件进行推导： ②
③ ④ ⑤
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三个命题
命题一：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且 平分弦所对的两条弧。
已知：CD是直径，AB是弦，并且CD平分AB。
求证：CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
.C O
命并题且二平：分平 弦分所弦对所的对另的一一条条弧弧。的直径，垂直平分弦，A
已求知证：：CCDD是 平直 分径 AB，，AA⌒BC是＝弦B⌒，C（并A且⌒DA＝⌒DB＝⌒DB）⌒DC（DA⌒⊥CA＝BB⌒C）。
船能过拱桥吗?
例3.如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高 出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水 面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
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船能过拱桥吗
解:如图,用 AB 表示桥拱A,B 所在圆的圆心为O,半径
为Rm,
AB
经过圆心O作弦AB的垂线OD,DA为B垂足,与 相交于点
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1. 平分已知弧 AB .
你会四等分弧AB吗? A
B
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问 题 ？
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距 离）为7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
A
B
•
O
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问 题 ？
例1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对 的弦的长）为37.4米，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.2米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？D来自OA600
B
A
┌E
D
B
O ø650
D
600
C
C
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M
E
C
D
A
.
O
B
A
O.
A
E C
D
B
B
.O
小结:
N
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或 作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定 理创造条件。
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感谢您的欣赏！
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