上册垂直于弦的直径人教版九年级数学全一册精品系列PPT
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人教版九年级上册数学精品系列：垂直于弦的直径PPT
A
┗●
M
B 想法和理由. 小明发现图中有:
●O
由 ① CD是直径 可推得
②CD⊥AB, ⌒⌒
④AC=BC,
③ AM=BM
⌒⌒ ⑤AD=BD.
D
人教版九年级上册数学课件：24.1.2 垂直于 弦的直 径
人教版九年级上册数学课件：24.1.2 垂直于 弦的直 径
如图,小明的理由是:
垂径定则理O连A的接=OO逆BA.定,OB理,
②CD⊥AB,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
人教版九年级上册数学课件：24.1.2 垂直于 弦的直 径
人教版九年级上册数学课件：24.1.2 垂直于 弦的直 径
判断下列说法的正误
①平分弧的直径必平分弧所对的弦 ②平分弦的直线必垂直弦 ③垂直于弦的直径平分这条弦 ④平分弦的直径垂直于这条弦 ⑤弦的垂直平分线是圆的直径 ⑥平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦 ⑦在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，
A
B
D
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧．
人教版九年级上册数学课件：24.1.2 垂直于 弦的直 径
人教版九年级上册数学课件：24.1.2 垂直于 弦的直 径
注意 为什么强调这里的弦不是直径？
M A
一个圆的任意两 条直径总是互相平分， C 但它们不一定互相垂 直．因此这里的弦如 果是直径，结论不一 定成立．
别忘记还有我哟！！ 作业：
1、教材95页习题24.1 7、8 ；
2、启航．
结束寄语
下课了!
•不学自知,不问自晓,古今 行事,未之有也.
▪
1.小彼得 是一个 商人的 儿子。 有时他 得到他 爸爸做 生意的 商店里 去瞧瞧 。商店 里每天 都有一 些收款 和付款 的账单 要经办 ，彼得 经常被 派去把 这些账 单送往 邮局寄 走。
人教版数学九年级上册垂直于弦的直径优质精选PPT
7学习这篇课文，应该重点引导学生运 用探究 式的学 习方式 ，注意 激发学 生了解 植物知 识、探 究大自 然奥秘 的兴趣 ，把向 书本学 习和向 大自然 学习结 合起来 ，引导 学生养 成留心 身边的 事物、 认真观 察的好 习惯。
演讲完毕，谢谢观看！
24.1.2 垂直于弦的直径
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
情境引入：
如图，是1 400 多年前，我国隋 代建造的赵州石拱桥．
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长） 是37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m．
你想知道怎么求出赵州桥主桥拱的半径吗？
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。 4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。 6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3 人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
谢谢
1.有感情地朗读课文，体会作者对海 底世界 的喜爱 之情， 激发学 生热爱 大自然 、探索 自然奥 秘的兴 趣。 2.引导学生凭借生动形象的语言文字 ，了解 海底是 个景色 奇异、 物产丰 富的世 界。
演讲完毕，谢谢观看！
24.1.2 垂直于弦的直径
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
情境引入：
如图，是1 400 多年前，我国隋 代建造的赵州石拱桥．
赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长） 是37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m．
你想知道怎么求出赵州桥主桥拱的半径吗？
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。 4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。 6本课的突出特点是拟人手法的运用， 把植物 和种子 分别当 作“妈 妈”和 “孩子 ”来写 。“妈 妈孩子 ”这样 的关联 ，易触 动儿童 的情感 世界， 易激发 想象、 引发思 考，读 起来亲 切、有 趣，易 于调动 小读者 的阅读 兴趣。
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3 人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件_3
谢谢
1.有感情地朗读课文，体会作者对海 底世界 的喜爱 之情， 激发学 生热爱 大自然 、探索 自然奥 秘的兴 趣。 2.引导学生凭借生动形象的语言文字 ，了解 海底是 个景色 奇异、 物产丰 富的世 界。
24.垂直于弦的直径PPT课件(人教版)
（√ ） （√ ） （×）
轴
经过圆心
中心
圆心
垂直于弦的 直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
垂直
弦所对的两条弧
问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建 造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主 桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37.4m, 拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主 桥拱的半径吗？
∵AB∥CD，∴ON⊥CD于N
在RtAOM中，AM 5cm,OM OA2 AM2 12cm. 在RtOCN中，CN 12cm,ON OC2 CN 2 5cm.
∵MN=OM-ON，∴MN=7cm. (2)当AB、CD在O点异侧时，如图②所示，
由（1）可知OM=12cm,ON=5cm，MN=OM+ON，
（并2且）平A分M=A（BBM及，AA（DCB=．BC，AD=BD，即直径CD平分弦AB，
这样，我们就得到下面的定理：垂直于弦的直径平分弦， 并且平分弦所对的两条弧。进一步，我们还可以得到结论：平 分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 。
知识点一 垂径定理及其推论
C
知识点一 垂径定理及其推论
通过本节课的学习,我们就会很容易解决这一问题．
探究：1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什 么？你能找到多少条对称轴？
分析讨论：圆是轴对称图形,它的对称轴是直径，我能找到 无数多条直径．
探究： 2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行 交流．
分析讨论我：是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决 圆的对称轴问题的．
.2垂直于弦的直径
判断：
（１）直径是弦．（ √ ）
（２）弦是直径． （ × ）
人教版九年级数学上册垂直于弦的直径精品课件PPT
·O
AE B D
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相 互转化,形成整体,才能运用自如.
人教版九年级数学上册 24.1.2： 垂直于弦的直径 课件
人教版九年级数学上册 24.1.2： 垂直于弦的直径 课件
➢垂径定理的几个基本图形：
C
A
B D
O O
A
EB
D
C
A
O
DB E
O A CB
人教版九年级数学上册 24.1.2： 垂直于弦的直径 课件
在折的过程中你有何发现？
（2）如何说明圆是轴对称 图形呢？
●O
回顾轴对称的判断方法
3
一、垂径定理及其推论
问题1： 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足为E.你
能发现图中有那些相等的线段和劣弧?
线段: AE=BE
弧: A⌒C=B⌒C, A⌒D=⌒BD
C
理由如下：连接AO,BO. 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两
●
2、人物作为 支撑 影 片 的 基 本骨 架 ， 在 影 片中 发 挥 着 不 可替 代 的 作 用 ，也 是 影 片 的 灵魂 ， 阿 甘 是 影片 中 的 主 人 公 ，是 支 撑 起 整 个故 事 的 重 要 人物 ， 也 是 给 人最 大 启 示 的 人物 。
●
3、在生命的 每一 个 阶 段 ， 阿甘 的 心 中 只 有一 个 目 标 在 指引 着 他 ， 他 也只 为 此 而 踏 实地 、 不 懈 地 、坚 定 地 奋 斗 ， 直到 这 一 目 标 的完 成 ， 又 或 是新 的 目 标 的 出现 。
●
6、我就经历 过许 多 大 大 小 小的 挫 折 。 大 海因 为 有 了 狂 风的 袭 击 ， 才 显示 出 了 它 顽 强的 生 命 力 ， 它把 狂 风 化 成 了 朵朵 浪 花 ， 给 人们 带 来 美 丽 ；
人教版数学九年级上册垂直于弦的直径精品课件PPT1
A⌒D =
⌒
BD.
·O
E
A
B
C
人 教 版 数 学 九年级 上册： 24.1.2 垂直于 弦的直 径-课件 _2
人 教 版 数 学 九年级 上册： 24.1.2 垂直于 弦的直 径-课件 _2
垂径定理
CD是直径，AB是弦， CD⊥AB
C
AE＝BE A⌒C＝B⌒C A⌒D＝B⌒D
A
O E
B
D
①过圆心 ②垂直于弦
5、 人 们 都 期 望自 我的生 活中能 够多一 些快乐 和顺利 ，少一 些痛苦 和挫折 。可是 命运却 似乎总 给人以 更多的 失落、 痛苦和 挫折。 我就经 历过许 多大大 小小的 挫折。 6、 我 就 经 历 过许多 大大小 小的挫 折。大 海因为 有了狂 风的袭 击，才 显示出 了它顽 强的生 命力， 它把狂 风化成 了朵朵 浪花， 给人们 带来美 丽；
解：连结OA
OEAB
AE1AB184 22
O
A
E3 B
4
在Rt △ AOE 中,由勾股定理，得：
A O O E 2A E 2=3 2+ 4 2= 5 cm
人 教 版 数 学 九年级 上册： 24.1.2 垂直于 弦的直 径-课件 _2
人 教 版 数 学 九年级 上册： 24.1.2 垂直于 弦的直 径-课件 _2
O
O
C
DC
D
A
A
O
C A
DC
O ED
不可以
不可以
可以
可以
你想好了吗？ 注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可
人 教 版 数 学 九年级 上册： 24.1.2 垂直于 弦的直 径-课件 _2
上册垂直于弦的直径-新人教版九级数学全一册课件
上册 垂直于弦的直径-新人教版九级数学全 一册课 件
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解：(1)如图，过点O作OM⊥BC于M，则BM＝CM， ∵直径DE＝10，EA＝1，∴AO＝6， ∵∠DAC＝30°，∴OM＝12AO＝3， 在Rt△COM中，OC＝5， ∴CM＝ OC2－OM2＝4，∴BC＝2CM＝8.
2 A.3 m
B．53 m
C.34 m
D．130 m
小结：直接计算遇阻时，考虑方程思想求解.
上册 垂直于弦的直径-新人教版九级数学全 一册课 件
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11.如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10 m，净高CD＝7 m，则⊙O的半径长为( D )
∴6×8＝10×CE，解得CE＝4.8， 由勾股定理，得AE＝ AC2－CE2＝3.6，
∵CE⊥AB，∴AD＝2AE＝7.2.
小结：求弦长，先构造直角三角形，再找边长，最后用勾股 定理求解.
上册 垂直于弦的直径-新人教版九级数学全 一册课 件
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★12.如图，DE为半圆的直径，O为圆心，DE＝10，延长DE 到A，使得EA＝1，直线AC与半圆交于B，C两点，且∠DAC ＝30°. (1)求弦BC的长； (2)求△AOC的面积．
4.【例2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB
＝6，BE＝1，则弦CD的长是( D )
A．4
B．5
C． 5
D．2 5
小结：连半径，构造直角三角形，是处理 垂径定理中计算问题的常用方法.
9.如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点 C，则OC＝( B ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
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解：(1)如图，过点O作OM⊥BC于M，则BM＝CM， ∵直径DE＝10，EA＝1，∴AO＝6， ∵∠DAC＝30°，∴OM＝12AO＝3， 在Rt△COM中，OC＝5， ∴CM＝ OC2－OM2＝4，∴BC＝2CM＝8.
2 A.3 m
B．53 m
C.34 m
D．130 m
小结：直接计算遇阻时，考虑方程思想求解.
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11.如图是一个隧道的截面图，为⊙O的一部分，路面AB＝10 m，净高CD＝7 m，则⊙O的半径长为( D )
∴6×8＝10×CE，解得CE＝4.8， 由勾股定理，得AE＝ AC2－CE2＝3.6，
∵CE⊥AB，∴AD＝2AE＝7.2.
小结：求弦长，先构造直角三角形，再找边长，最后用勾股 定理求解.
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★12.如图，DE为半圆的直径，O为圆心，DE＝10，延长DE 到A，使得EA＝1，直线AC与半圆交于B，C两点，且∠DAC ＝30°. (1)求弦BC的长； (2)求△AOC的面积．
4.【例2】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB
＝6，BE＝1，则弦CD的长是( D )
A．4
B．5
C． 5
D．2 5
小结：连半径，构造直角三角形，是处理 垂径定理中计算问题的常用方法.
9.如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点 C，则OC＝( B ) A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
垂直于弦的直径 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
③ 注意 ② ①
④
⑤
C
几何语言表述： ∵ CD是直径，CD平分AB ∴ CD⊥AB，A⌒D＝B⌒D，A⌒C＝B⌒C
O
A
E
B
D
1. 观察下列图形C，哪些C能使用垂径定理？C
C
O E A
D
（1）
O
E┒ BA
D
（2）
BA
O
E┒
A D
BA
（5）
O
┒
Eபைடு நூலகம்
BA
（6）
O
E┒ D
（3）
C
A B
C
O ┒ E
（7）
BA
∴ AE＝BE， A⌒C＝B⌒C，A⌒D＝⌒BD
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
①
②③
④
⑤
我们已经知道①② 可以推出③④⑤ ，那么由②③可以得
到①④⑤ 吗？
题设
结论
②过圆心 ③ 平分弦
① 垂直于弦 ④ 平分弦所对的优弧 ⑤ 平分弦所对的劣弧
O (E)
垂径定理的推论
平分弦( 不是直径 )的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
新人教版九年级上册
观察探究
把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你 发现了什么？由此你能得到什么结论？
圆是轴对称图形. 任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
垂径定理 直探究线新经知过圆心
在这垂你样直的 我圆 们于形 就弦纸 得的片 到上了直任一径作条平一垂条直分弦于弦A弦B，A，B并过的圆直且心径平O，作垂分A足弦B为的所E垂. 对线，的交两圆条于C弧、．D两点
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.
O
人教版数学九年级上册垂直于弦的直径PPT优秀课件
探究二
探究
人教版数学九年级上册： 垂2直4.于1.弦2垂的直 于径弦PP的T优直秀径课-件课 件
人教版数学九年级上册： 垂2直4.于1.弦2垂的直 于径弦PP的T优直秀径课-件课 件
探究二 归纳总结
探究
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
符号语言：
C
∵ CD是直径，CD⊥AA' ∴ AM=MA' AC=CA' AD=DA'
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件
探究二
探究
通过垂径定理的证明，我们还可以进一步得到
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂
直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
C
C
思考：“不是直径”这个条件能
去掉吗？如果A不能，请·O举出反例.
AM OA 2 OM 2 5 2 3 2 4
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件
AB 2 AM 8
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件
提升
能力提升
1.某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽
度为7.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件
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动手尝试
变式一
2.如图所示，在⊙O中，弦AB的长为8，M是 AB的中点，CM=2,求⊙O的半径．
解：连接 OA AB 8 , AM BM
OM AB , AM 1 AB 4 2
探究
人教版数学九年级上册： 垂2直4.于1.弦2垂的直 于径弦PP的T优直秀径课-件课 件
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探究二 归纳总结
探究
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
符号语言：
C
∵ CD是直径，CD⊥AA' ∴ AM=MA' AC=CA' AD=DA'
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件
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探究二
探究
通过垂径定理的证明，我们还可以进一步得到
垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂
直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
C
C
思考：“不是直径”这个条件能
去掉吗？如果A不能，请·O举出反例.
AM OA 2 OM 2 5 2 3 2 4
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件
AB 2 AM 8
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件
提升
能力提升
1.某地有一座圆弧形拱桥圆心为Ｏ，桥下水面宽
度为7.2 m ，过O 作OC ⊥ AB 于D， 交圆弧于C，
人教版数学九年级上册：24.1.2垂直 于弦的 直径-课 件
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动手尝试
变式一
2.如图所示，在⊙O中，弦AB的长为8，M是 AB的中点，CM=2,求⊙O的半径．
解：连接 OA AB 8 , AM BM
OM AB , AM 1 AB 4 2
人教版九级数学上册教学课件 2412 垂直于弦的 直径 ——垂径定理及其推论(共36张PPT)
解得r =272.5m. 因此，这段弯路的半径为272.5m.
8.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD. 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB, 则AE=BE，CE=DE， ∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
综合应用
9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另 一条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦 和所对的另一条弧．
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平 分弦所对的另一条弧．
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
推进新课
知识点1 圆的轴对称性
回顾
什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重 合，那么这个图形叫轴对称图形．
线段
角
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
等腰三角形
圆
归纳
用纸剪一个圆, 沿着圆的任意一条直径所在的直 线对折, 重复做几次, 你发现了什么? 由此你能得到什 么结论?
称图形呢？ 则AE=BE，CE=DE，
如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.
C 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.
完成练习册本课时的习题.
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半
8.如图，两个圆都以点O为圆心.求证：AC=BD. 证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，连接OA,OC,OD,OB, 则AE=BE，CE=DE， ∴AE-CE=BE-DE，即AC=BD.
综合应用
9.⊙O的半径为13cm，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， AB=24cm，CD=10cm，求AB和CD之间的距离.
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另 一条弧．
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧．
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，并且平分弦 和所对的另一条弧．
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平 分弦所对的另一条弧．
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦．
推进新课
知识点1 圆的轴对称性
回顾
什么是轴对称图形？
我们学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重 合，那么这个图形叫轴对称图形．
线段
角
矩形
菱形
正方形
等腰梯形
等腰三角形
圆
归纳
用纸剪一个圆, 沿着圆的任意一条直径所在的直 线对折, 重复做几次, 你发现了什么? 由此你能得到什 么结论?
称图形呢？ 则AE=BE，CE=DE，
如图(1)，过点O作OM⊥CD，垂足为M，交AB于点E.
C 由勾股定理得OC2=CM2+OM2，即r2=22+(6-r)2.
完成练习册本课时的习题.
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O是这段弧的圆心，AB＝300m，C是AB上一点，OC⊥AB，垂足为D，CD＝45m，求这段弯路的半
《垂直于弦的直径》圆PPT精品课件
C
A
B
O
（2）
C
O AD B
（3）
C
OE
A
B
D
（4）
没有垂直
AB、CD都 不是直径
抢答
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
想一想
怎样修改图（2）、（4）能够满足垂径定理的条件？
C
O AE B
D
（1）
C
A
B
O
（2）
C
O AD B
（3）
C A OE B
DD
（4）
垂径定理： 过圆心
垂径定理的推论：
①③→②④⑤
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
①过圆心， ②垂直于弦， ③平分弦, ④平分弦所对的优弧弧, , ⑤平分弦所对的劣弧.
还有别的结论吗？ 如：①④→②③⑤？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
延伸
①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,
合作探究
剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折， 重复做几次，你发现了什么？
①圆是轴对称图形，
O
②任何一条直径所在的直线
都是圆的对称轴.
你能证明上面的结论吗？
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
证明
如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以 外的任意一点.证明点A关于直线CD的对称点仍在⊙O上.
C
A
D
R
由题设可知：AB37，CD7.23，
B ∴AD 1 AB 1 3718.5，
22 ODOCCDR7.23，
O
在Rt△OAD中，由勾股定理得：
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图 24－1－17
上册 24.1.2 垂直于弦的直径-2020秋人教版九年级 数学全 一册课 件(共2 7张PPT )
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【解析】 如答图，连接 OC，∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，∴CE＝12CD＝3.设⊙O 的半径为 r，则 OC＝r，OE＝r－1，在 Rt△OCE 中，由勾股定理得 OE2＋CE2＝OC2， ∴(r－1)2＋32＝r2，解得 r＝5，∴⊙O 的半径为 5.
第6题答图
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7．如图 24－1－18，将半径为 4 m 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折 痕 AB 的长为__4__3____m.
( B)
A．6 dm
B．5 dm
图 24－1－15
C．4 dm
D．3 dm
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【解析】 如答图，连接 OD，OB，则 O，C，D 三点在一条直线上，∵CD 垂直平分 AB，AB＝8 dm，∴BD＝4 dm，OD＝(r－2)dm，由勾股定理得 42＋(r－2)2＝r2，解 得 r＝5 dm，故选 B.
24.1.2 垂直于弦的直径
1．下列命题错误的( B ) A．平分弧的直径平分这条弧所对的弦 B．平分弦的弦垂直于这条弦 C．垂直于弦的直径平分这条弦 D．弦的中垂线经过圆心
2．[2018·张家界]如图 24－1－13，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，OC＝5 cm， CD＝8 cm，则 AE＝( A )
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第4题答图
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5．[2018·衢州]如图 24－1－16，AC 是⊙O 的直径，弦 BD⊥AO 于点 E，连接 BC， 过点 O 作 OF⊥BC 于点 F，若 BD＝8 cm，AE＝2 cm，则 OF 的长度是( D )
图 24－1－19
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【解析】 如答图，作 CE⊥AB 于点 E. ∵∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝180°－20°－130°＝30°， ∴CE＝12BC＝1，BE＝ 3， ∵CE⊥BD，∴DE＝EB，∴BD＝2EB＝2 3.
第3题答图
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4．[2019·衢州]一块圆形宣传标志牌如图 24－1－15 所示，点 A，B，C 在⊙O 上， CD 垂直平分 AB 于点 D.现测得 AB＝8 dm，DC＝2 dm，则圆形标志牌的半径为
第 5 题答图
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6．[2018·龙东地区]如图 24－1－17，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，已知 CD＝6，EB＝1，则⊙O C．2.5 cm
B. 6 cm D. 5 cm
图 24－1－16
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【解析】 如答图，连接 AB，∵AC⊥BD，∴BE＝ED＝8÷2 ＝4，∵AE＝2，根据勾股定理可得 AB＝2 5， 又∵OF⊥BC，根据垂径定理可知 BF＝CF，故可得 OF 为 △ABC 的中位线， ∴OF＝12AB＝ 5，故选 D.
图 24－1－18
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8．如图 24－1－19，在△ABC 中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以 C 为圆心，CB 为半径的圆交 AB 于点 D，则 BD 的长为__2__3___．
A．8 cm C．3 cm
B．5 cm D．2 cm
图 24－1－13
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3．[2019·黄冈]如图 24－1－14，一条公路的转弯处是一段圆弧(A︵B)，点 O 是这段弧 所在圆的圆心，AB＝40 m，点 C 是A︵B的中点，点 D 是 AB 的中点，且 CD＝10 m．则 这段弯路所在圆的半径为( A )
A．25 m C．30 m
B．24 m D．60 m
图 24－1－14
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【解析】 如答图，连接 OD，由垂径定理可知 O，C，D 在同一条直 线上，OC⊥AB，设半径为 r，则 OC＝OA＝r，AD＝20，OD＝OA－ CD＝r－10，在 Rt△ADO，由勾股定理知 r2＝202＋(r－10)2，解得 r ＝25.
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【解析】 如答图，连接 OC，∵AB 是⊙O 的直径，CD⊥AB，∴CE＝12CD＝3.设⊙O 的半径为 r，则 OC＝r，OE＝r－1，在 Rt△OCE 中，由勾股定理得 OE2＋CE2＝OC2， ∴(r－1)2＋32＝r2，解得 r＝5，∴⊙O 的半径为 5.
第6题答图
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7．如图 24－1－18，将半径为 4 m 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则折 痕 AB 的长为__4__3____m.
( B)
A．6 dm
B．5 dm
图 24－1－15
C．4 dm
D．3 dm
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【解析】 如答图，连接 OD，OB，则 O，C，D 三点在一条直线上，∵CD 垂直平分 AB，AB＝8 dm，∴BD＝4 dm，OD＝(r－2)dm，由勾股定理得 42＋(r－2)2＝r2，解 得 r＝5 dm，故选 B.
24.1.2 垂直于弦的直径
1．下列命题错误的( B ) A．平分弧的直径平分这条弧所对的弦 B．平分弦的弦垂直于这条弦 C．垂直于弦的直径平分这条弦 D．弦的中垂线经过圆心
2．[2018·张家界]如图 24－1－13，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，OC＝5 cm， CD＝8 cm，则 AE＝( A )
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第4题答图
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5．[2018·衢州]如图 24－1－16，AC 是⊙O 的直径，弦 BD⊥AO 于点 E，连接 BC， 过点 O 作 OF⊥BC 于点 F，若 BD＝8 cm，AE＝2 cm，则 OF 的长度是( D )
图 24－1－19
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【解析】 如答图，作 CE⊥AB 于点 E. ∵∠B＝180°－∠BAC－∠ACB＝180°－20°－130°＝30°， ∴CE＝12BC＝1，BE＝ 3， ∵CE⊥BD，∴DE＝EB，∴BD＝2EB＝2 3.
第3题答图
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4．[2019·衢州]一块圆形宣传标志牌如图 24－1－15 所示，点 A，B，C 在⊙O 上， CD 垂直平分 AB 于点 D.现测得 AB＝8 dm，DC＝2 dm，则圆形标志牌的半径为
第 5 题答图
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6．[2018·龙东地区]如图 24－1－17，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，已知 CD＝6，EB＝1，则⊙O C．2.5 cm
B. 6 cm D. 5 cm
图 24－1－16
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【解析】 如答图，连接 AB，∵AC⊥BD，∴BE＝ED＝8÷2 ＝4，∵AE＝2，根据勾股定理可得 AB＝2 5， 又∵OF⊥BC，根据垂径定理可知 BF＝CF，故可得 OF 为 △ABC 的中位线， ∴OF＝12AB＝ 5，故选 D.
图 24－1－18
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8．如图 24－1－19，在△ABC 中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以 C 为圆心，CB 为半径的圆交 AB 于点 D，则 BD 的长为__2__3___．
A．8 cm C．3 cm
B．5 cm D．2 cm
图 24－1－13
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3．[2019·黄冈]如图 24－1－14，一条公路的转弯处是一段圆弧(A︵B)，点 O 是这段弧 所在圆的圆心，AB＝40 m，点 C 是A︵B的中点，点 D 是 AB 的中点，且 CD＝10 m．则 这段弯路所在圆的半径为( A )
A．25 m C．30 m
B．24 m D．60 m
图 24－1－14
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【解析】 如答图，连接 OD，由垂径定理可知 O，C，D 在同一条直 线上，OC⊥AB，设半径为 r，则 OC＝OA＝r，AD＝20，OD＝OA－ CD＝r－10，在 Rt△ADO，由勾股定理知 r2＝202＋(r－10)2，解得 r ＝25.