第4章 数字滤波器的结构

第4章 数字滤波器的结构4.1 数字网络的信号流图表示1. 信号流图的基本概念线性时不变系统的三种基本运算单元简化对应的流图形式：加法器 x x (n x (n y (n )乘法器x (n n )=a x (n x (n ) a y (n )−1延时器x ( x (n x ((n )线性系统的基本运算单元及其流图表示和流图有关的常用术语： 通路：沿同一方向传输的连通支路。

环路：闭合的通路。

环路增益：环路中所有支路增益之积。

前向通路：从输入节点到输出节点通过任何节点仅一次的通路。

前向通路增益：前向通路中所有支路增益之积。

画出了一个网络的流图就实际上给出了网络的结构和实现的方法。

2. 计算信号流图的梅森公式 H z g kk k ()=∑1∆∆ 式中Δ称为流图的特征多项式。

Δ=1-(所有环路增益之和)+每两两不接触的环路增益乘积之和)-(每三三不接触的环路增益乘积之和)+ …g k 表示第k 条从源节点到输出节点的前向通路的增益，这里k 代表前向通路号。

表示去掉第k 条前向通路后，剩下的流图的特征多项式(计算方法与Δ相同)。

∆k 利用梅森公式，可以由信号流图直接求系统的传输函数，也可以直接由传输函数画出信号流图。

3．信号流图的转置定理对一个实系数的线性时不变系统，如果将信号流图中所有分支的方向反转，保持支 路的增益不变，并将网络的输入与输出交换位置，那么网络的输入输出响应不变。

4.2 IIR 数字滤波器的结构由IIR 数字滤波器的时域方程)()()(01k n x b k n y a n y k Mk k Nk −+−=∑∑==其系统函数为)()(1)()()(00z A z B z a z b z X z Y z H kk Nk kk Mk =−==−=−=∑∑将传输函数表示成因子乘积的形式或部分分式的形式，可将流图画成直接型、级联型和并联型，以及各自的转置型。

1. 直接型直接按有理分式的形式画成，分为直接Ⅰ型与直接Ⅱ型。

x (n) b 0 y (n)a）直接I 型结构 b）直接Ⅱ型结构比较直接Ⅰ型与直接Ⅱ型，可以发现，直接Ⅱ型要比直接Ⅰ型节省M 个延时单元，在M=N 的情况下要节省一半 2．级联型将传输函数化为因子乘积的形式∏∏=−−−−==−−++=Lk k k k k k Lk z H A z z z z A z H 1221122111)(11)(ααββ或 ∏∏=−−−−==−−++=L k k k k k k k Lk z H z z z z z H 12211221101)('1)(ααβββ 通常称式L k z H k ,,1),(L =为基本的二阶节形式。

下图是一个N=6时按式所得到的级联型结构，其中每个基本的二阶节采用直接II 型构成。

(n )N=6时 IIR 滤波器的级联型结构3.并联型将传输函数用部分分式将它展开为以下的形式221111011111)(−−−=−=−−=−−++−+=∑∑∑z zz z z A zB z H k k k k Pk k k Lk kk NM k ααγγ 其中。

若P L N 2+=N M <，=0，若k B N M =，仅有存在，在的情况下，上式可表示为0B N M ≤)()()(21110z Hz H B z H k Pk k L k ∑∑==++=其中代表式中的第2个求和项中一阶节，而则代表式中的第3个求和项中二阶节。

图4-2-4是并联结构的流图形式。

)(1z H k )(2z H kx (n)IIR 滤波器的并联结构4．转置型按照4.1节中介绍的信号流图的转置定理，将以上各种信号流图中所有分支的方向反转，并保持支路的增益不变，并将网络的输入与输出交换位置，可得到相应流图结构的转置型结构。

5．几种结构的比较直接Ⅱ型在M=N 的情况下，实现需要2N 个加法器和2N 个乘法器，需要N 个延时单元。

直接型的主要缺点在于对滤波器的性能控制不直接，每一个系数的变化都会影响系统函数H （z ）的零极点分布，因而通过进行调整困难。

同时，由于这种结构高度反馈性，对滤波器系数的有限字长变化敏感，容易出现不稳定或产生较大的误差。

k k b a ,k k b a ,实现级联结构需要的加法器、乘法器和延时单元，与直接II 型相同。

级联结构的重要特点是每个二阶节是相互独立的，各自代表了一对零点和一对极点，调整第k 节的系数k k k 210,,βββ及k k 21,αα只会影响第k 节的零极点分布，不会影响其它节的零极点分布。

因而可通过分别调整各个零极点对来对滤波器性能进行较好的控制。

同时就整个系统而言，零极点对是可以进行配对组合构成一个二阶节，而且各二阶节的顺序也可进行重排，这对于减少有限字长效应是一个有效的方法，因此在IIR 数字滤波器的实现中该结构应用最为广泛。

并联型结构使用的加法器、乘法器、延时单元基本与级联结构相同。

它的每个一阶节单独确定一个实数极点，每个二阶节确定一对共轭极点，可以通过独立地调整k k 21,αα来改变各自极点的位置，对其它支路没有影响，但不能象级联结构那样单独调整零点的位置。

此外，由于各个基本节是并联的，各节的运算误差对其它节没有影响，不会象级联结构那样产生误差积累，因此并联结构的误差要比级联结构的运算误差小。

转置型的性能与和它们对应的结构的性能相同。

4.3 FIR 数字滤波器的结构设FIR 数字滤波器的单位脉冲响应为h （n ），由于其长度是有限长的，n =0,1,…,N -1，因此，对于给定的输入信号x （n ），滤波后的输出y （n ）可直接由以下卷积公式求得：)()()(1k n x k h n y N k −=∑−=对应的传输函数为多项式k N k z k h z H −−=∑=)()(1FIR 数字滤波器的结构有直接型、级联型、线性相位型和频率采样型几种形式。

1． 直接型 (又名横截型, 卷积型)直接型是卷积公式的直接实现，可以根据信号流图的方法直接画出图4-3-1的结构。

实现需要N 个乘法和（N-1）个加法。

-1 -1-1-1y (n)图4-3-1 FIR 滤波器的直接型结构2.级联型若将H (z )化为以下二阶因式乘积的形式，则可得到FIR 滤波器的级联结构，其流图表示见图4-3-2。

)()(221101−−=++=∏z z z H k k k Lk βββ级联结构的特点：是每一个2次项构成一个基本节控制一对零点，可直接通过调整系数k k k 210,,βββ对传输零点进行控制。

但实现它的乘法次数比直接型多，为（3N/2）个，相应的运算时间也较直接型长。

x (n)21 22 2L 图4-3-2 FIR 滤波器的级联结构3．快速卷积型快速卷积型实际上就是利用FFT 来快速计算卷积，按照3.4.2节中介绍的利用循环卷积计算线性卷积的方法，可以得到图4-3-3所示的快速卷积的方框图。

y (n )= x (n )* h (n )图4-3-3 FIR 滤波器的快速卷积方框图 4．线性相位FIR 滤波器的对称结构若FIR 滤波器的单位脉冲响应满足条件h (n )=h (N -1-n ) n =0,1,…,N -1 （4-3-4 a ） 或h (n )=-h (N -1-n ) n =0,1,…,N -1 （4-3-4 b ）则FIR 数字滤波器具有线性相位特性。

分别称条件（4-3-4a）和条件（4-3-4b）为偶对称条件和奇对称条件。

当满足对称条件时，y(n)可改写成以下形式：/21()(){()(1)}N k y n h k x n k x n N k −==−+−+∑+当N 为奇数时，则有)}1()(){(21()21()(2/)1(0++−+−+−−−=∑−=k N n x k n x k h N n x N h n y N k 1−−z N同样，若滤波器的单位脉冲响应满足奇对称条件，当N 为偶数时，)}1()(){()(12/0++−−−=∑−=k N n x k n x k h n y N k当N 为奇数时，由于奇对称条件)21(−N h =0，)}1()(){()(2/)1(0++−−−=∑−=k N n x k n x k h n y N k 由这些表达式可得到以下式线性相位FIR数字滤波器的对称结构。

a）N 为偶数 b）N 为奇数线性相位FIR 数字滤波器的对称结构5．频率采样型设FIR 数字滤波器的单位脉冲响应为h （n ）的长度为N ，n =0,1,…,N -1按3.3节介绍的频域采样定理，滤波器的传输函数可表示为H (z )=11101−−−−−=−∑z NH k W zNN k k N ()上式为FIR 数字滤波器提供了另一种结构。

令N c z z H −−=1)(11)()(−−−=zW k H z H k N k则 ∑−==1)()(1)(N k k c z H z H N z H这样H (z )就由两部分级联而成，一部分为H c (z )，另一部分为N个H k (z )组成的并联网络。

其中H c (z )由N节延迟单元组成的全零点网络，其零点在 1,,020−===−N k W ez kNNk j k L π （4-3-13）H c (z )被称为梳状滤波器，第二部分并联网络中的任一H k (z )均是一阶网络，具有一个反馈支路。

得到FIR 数字滤波器的频率采样型结构如图4-3-6所示。

H (0)x图4-3-6 FIR 数字滤波器的频率采样型结构修正的频率采样型结构为了避免计算复数和保证系统的稳定性，可采用下述修正的频率采样型结构。

令频率采样点不在z 的单位圆上，而是在r <1且非常接近1的圆上，此时H (z )变为∑∑−=−=−−−−−−−−≈−−=1010111)(11)(1)(N k N k k N NN k N r NN zrW k H N z r zrW k H Nz r z H 当N 为偶数时H (z )可化为：111)2/(1)0([1)(−−−++−−=rzN H rz H N z r z H N N +]))2cos(2122111012/1−−−−=+−+∑z r Nk rz z k k N k πββ当N 为奇数时H (z )可化为：11)0([1)(−−−−=rz H N z r z H N N +11)2/(−+rz N H +))2cos(212211102/)1(1−−−−=+−+∑z r Nk rz z k k N k πββ其中β2kH k =Re[()]β12k Nkr H k W=−−Re[()]β0kx2r cos(2πk/N)图4-3-8 二阶谐振器结构图 4-3-9 修正的频率采样结构频率采样型结构的主要特点1）各谐振器H k(z)中乘法支路的系数就是频率采样点的值H(k)，因此可以有效地通过调整H(k)控制频率响应，同时只要采样点数N相同，对于任何不同频率响应的滤波器，所包含的梳状滤波器都相同，而且各谐振器H k(z)的结构除了乘法支路的系数不同外也完全相同，这样便于模块化和标准化。