第三章 数字滤波器的基本结构

图3-5 IIR数字滤波器的直接II型结构
z
1
直 接 II 型
图（a）
图（b）
将图(a)中间两部分的延迟单元合并得到图(b)。
14
图(a)中
x ' ( n) ak x ' ( n k ) x ( n)
k 1
N
y (n) bk x' (n k )
k 0
M
对上两式进行Z变换
8
§3-2 IIR数字滤波器的结构
一、IIR滤波器的特点 1、单位冲激响应 h(n) 是无限长的。 2、系统函数 H ( z )在有限Z平面（0 z ） 上有极点存在。 3、结构上是递归型的，即存在着输出到输入 的反馈。
9
二、基本结构 1、直接I型
直接由IIR滤波器的差分方程所得的网络结 构。由IIR数字滤波器的时域方程
k 1 N1
k 1 N2
18
其中，pk为实零点，ck为实极点；qk，qk*表 示复共轭零点，dk ，dk*表示复共轭极点， M=M1+2M2，N=N1+2N2 再将一阶共轭因子展开，构成实系数二阶 因子，单实根因子看作二阶因子的一个特例， 则得
1 k 1 H ( z ) A kN N2 1 1 ) 1 z 2 ) (1 c z (1 z k 1k 2k k 1 k 1
k k k 1 k 0
4
N
M
描述常系数差分方程的三种基本运算：加 法、单位延迟、乘常数。 三、数字滤波器结构的表示法
1、方框图法
单位延时: 乘常数:
x (n )
y ( n)
z-1
a
x(n 1)
ay (n)
y(n 1) x(n)
5
相加:
x ( n)
y(n 1)
例如：
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n)
21
当（M=N=4）时
图3-7 级联结构的二阶基本节
1 11Z 21Z 1 12 Z 22 Z H (Z ) A 1 11Z 1 21Z 2 1 12 Z 1 22 Z 2
1 2 1
22
2
该式表示两个二阶节级联。 当（M=N=6）时，则有三个二阶节级联，即
y (n) ak y (n k ) bk x(n k )
k 1 k 0
N
M
其系统函数为
Y ( z) H ( z) X ( z)
k b z k M k 0 N
1 ak z k
k 1
B( z ) A( z )
10
式中，
B z bk z
y (n 1)
b1
x(n 2)
x(n M 1)
x(n M )
b2 b
b
M
y (n 2)
M 1
1
a a
N 1
y(n N 1)
z
1
N
y (n N )
图3-4 IIR数字滤波器的直接I型结构
特点： 第一个网络实现零点，即实现x(n)加权延时:
12
k 0

1 ) 1 z 2 ) (1 p z (1 z k 1k 2k
M1
M2
19
进一步完全分解成实系数的二阶因子：
L 1 1k z 2 k z H ( z) A A H k ( z) 1 2 k 1 z k z 1k 2k L 1 2
M
k
1 ak z k
它和直接II型具有相同的系统函数。II型所 用延迟单元减少M个，可节省存储器。
16
共同的缺点：

系数ak、bk对滤波器性能的控制不直接，对
极、零点的控制难，一个ak、bk的改变会影系
统的零点或极点分布。 对字长变化敏感（对ak、bk的准确度要求严 格）。
不稳定，阶数高时，上述影响更大。
xn
A
y ( n)
11
Z 1 Z
1
11
12
Z-1
Z
1
12
13
Z 1 13
Z 1
21
21
22
22
23 23
23
图3-8 六阶IIR滤波器的级联结构
特点： 简化实现，用一个二阶节，通过变换系数 就可实现整个系统； 极、零点可单独控制、调整。 各二阶节零、极点的搭配可互换位置，优 化组合以减小运算误差； 可流水线操作，所用的存储器的个数最少。 缺点： 二阶节电平难控制，电平大易导致溢 出，电平小则使信噪比减小。
7
a
例如：
y(n) a1 y(n 1) a2 y(n 2) b0 x(n)
x ( n)
6
b0
5
1
2
a1y(n 1) a2 y(n 2)
a1
a1y(n-1)
Z 1
y ( n) 7
3
a2 y(n 2)
y (n 1)
a2
4 y (n 2)
Z 1
图5-3 数字滤波器的信号流图表示
1 11Z 1 21Z 2 1 12 Z 1 22 Z 2 1 13Z 1 23Z 2 H (Z ) A . . 1 2 1 2 1 11Z 21Z 1 12 Z 22 Z 1 13Z 1 23Z 2
13
x ( n)
A( z )
B( z ) x ' ( n) b0 y ( n)
z z
1 1
x ( n)
A( z ) B( z )
b0
y ( n)
a
1
z
z
1
b1 b2
a
a
1
z b1 z b2
1
1
a
1
2
2
a N 1
aN
z
1
z
1
bM 1
bM 1
bM
a N 1 z 1 b M
aN
17
3、级联型（串联） 先将一个N阶系统函数的分子、分母都表达 为因子形式：
H (Z )
k b z k
M
1 ak z k
k 1
k 0 N
A
(1 p z ) (1 q z
1
k k
M1
M2
1
)(1 qk z )

1
1 1 1 (1 c z ) (1 d z )(1 d z ) k k k k 1 k 1
k 0
M
k
， A z
1 1 ak z
k 1 M k
可知，
B( z ) 实现了系统的零点； A( z ) 实现了系统的极点。
其结构图如3-4示。
11
直 接 I 型
x ( n)
x(n 1)
B( z ) b0
z z z
1 1
A( z )
a1
a2
z z
1 1
y ( n)
N2 1
上式表明，可用 N 1个一阶网络、N 2个二阶网络以
及一个常数 G0 并联组成滤波器 H ( z ) 。
H1 ( z)
x ( n)
H 2 ( z)
H N 1 ( z)
[ 2 ]
y ( n)
M
图3-9 并联结构（M=N）
26
当M=N时，将一阶实极点和共轭极点化成实系数
二阶多项式，H(Z)可表为
28
其结构图如下：
G0
x ( n)
X(Z)
H1 (Z )
H 2 (Z )
01
11
Z 1
y ( n)
Y(z)
02
12
Z 12
1
H 2 (Z )
22
Z 1
图3-10 三阶IIR滤波器并联结构
29
并联型的特点： ①系统实现简单； ②极点位置可单独调整； ③运算速度快（可并行进行）； ④各二阶网络的误差互不影响，总的误差小， 对字长要求低。 缺点： 不能直接调整零点。
1
如下图示：
X (e j )
H (e ) 为矩形窗时的情形
j
0
H ( e j )
0
Y (e
j
ωc
π
ω
ωc
π
ω
)
0
图3-1 数字滤波器频响示意图
π
ω
2

数字滤波器的实现方法： a.利用通用计算机编程，即软件实现； b.数字信号处理器（DSP）即专用硬件实现。
二、数字滤波器的系统函数与差分方程 1、系统函数 一个数字滤波器的系统函数一般可表示 为有理函数形式：
X '( z ) X '( z ) ak z
k 1
N
k
X ( z)
Y ( z ) X '( z ) bk z
k 0
M
k
15
因此
X '( z )
X ( z) 1 ak z k
k 1 N
Y ( z) H ( z) X ( z)
b z
k 0 N k k 1
H ( Z ) G0 G0
[( N 1) / 2]

k 1 k 1
0 k 1k Z 1 2 1 1k Z 2 k Z
1
[( N 1) / 2]

H k (Z )
当N为奇数时，必定包含一个一阶节，即
2k 1k 0
27
例：M=N=3时，为奇数，故