五年级奥数(1)第六讲--计数中的对应法

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．模块一、图形中的对应关系【例 1】 在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L ”形（如图），一共有多少种不同的方法？【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答【解析】 注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法．第1步：找对应图形 每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A 点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上． 第2步：明确对应关系 从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L ”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．第3步：计算对应图形个数 由于在 8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点，第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）．评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数．【答案】196【例 2】 在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答例题精讲教学目标7-6-3计数之对应法【解析】首先可以知道题中所讲的13⨯长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的13⨯长方形(一横一竖)；第二种情况，位于边上的黑色方格只能对应一个13⨯长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有1821248⨯+=个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个13⨯⨯=个．由于棋盘上⨯长方形，所以棋盘上横、竖共有13⨯长方形68296的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96248÷=个．【答案】48【巩固】用一张如图所示的纸片盖住66⨯方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】如图，将纸片中的一个特殊方格染为黑色，下面考虑此格在66⨯方格表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的44⨯正方形内的某格时，纸片有4种不同的放法，共计44464⨯⨯=种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有1种放法，此类放法有4416⨯=种．所以，纸片共有641680+=种不同的放置方法．【答案】80种【例3】图中可数出的三角形的个数为．【考点】计数之图形中的对应关系【难度】4星【题型】填空【解析】这个图不像我们以前数三角形那样规则，粗看似乎看不出其中的规律，不妨我们取出其中的一个三角形，发现它的三条边必然落在这个图形中的三条大线段上，而每三条大线段也正好能构成一个三角形，因此三角形的个数和三条大线段的取法是一一对应的关系，图中一共有8条大线段，因此有3856C =个三角形． 【答案】56个三角形【例 4】 如图所示，在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．以AB 上的点为一个端点、CD上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB 与CD 之间的交点数．【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答C D BA【解析】 常规的思路是这样的：直线AB 上的7个点，每个点可以与直线CD 上的9个点连9根线段，然后再分析这些线段相交的情况．如右图所示，如果注意到下面这个事实：对于直线AB 上的任意两点M 、N 与直线CD 上的任意两点P 、Q 都可以构成一个四边形MNQP ，而这个四边形的两条对角线MQ 、NP 的交点恰好是我们要计数的点，同时，对于任意四点(AB 与CD 上任意两点)都可以产生一个这样的交点，所以图中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系．这说明，为了计数出有多少个交点，我们只需要求出在直线AB 与CD 中有多少个满足条件的四边形MNQP 就可以了！从而把问题转化为：在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．四边形MNQP 有多少个？其中点M 、N 位于直线AB 上，点P 、Q 位于直线CD 上．这是一个常规的组合计数问题，可以用乘法原理进行计算：由于线段MN 有2721C =种选择方式，线段PQ 有2936C =种选择方式，根据乘法原理，共可产生2136756⨯=个四边形．因此在直线AB 与CD 之间共有756个交点．【答案】756个交点模块二、数字问题中的对应关系【例 5】 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【解析】 由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0～9中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有410109872104321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个．【答案】210个【巩固】 三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【解析】 相当于在10个数字中选出3个数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种．实际上，前铺中每一种划法都对应着一个数．【答案】120种【例 6】 数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，12+，21+，111++．问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【解析】 我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号．例如对于数3，上述4种和的表达方法对应：1 1 1，1+1 1，1 1+1，1+1+1．可见，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间是一一对应的关系，而每一个空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有1998199822222⨯⨯⨯=个相乘种．【答案】19982种【例 7】 请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【关键词】小学数学竞赛【解析】 五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个．可以采用排除法，首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3.首位数码有8种选择，第二、三、四位数码都有9种选择．当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为0，则第五位数码可以为0、6、9；如果余数为1，则第五位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第五位数码可以为1、4、7.可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有8999317496⨯⨯⨯⨯=个．所以满足条件的五位数共有300001749612504-=个．【答案】12504个模块三、对应与阶梯型标数法【例 8】 游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 与类似题目找对应关系．要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人数多，先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下图中，每条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A 点沿格线走到B 点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中从A 到B 有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A 到B 有42种走法．A B 424228145141494553221111111但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个人共有5120=！种排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有5514400⨯=！！种排队方法．这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有421440060480⨯=(种)． 【答案】604800种【例 9】 学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有 种不同的摞法．【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答【关键词】学而思杯，5年级，第7题【解析】 方法一：如下所示，共有42种不同的摞法：54321----，45321----，35421----，53421----，34521----，54231----，45231----，25431----，52431----，24531----，52341----，25341----，23541----，23451----，54312----，45312----，53412----，35412----，34512----，54132----，45132----，15432----，51432----，14532----，51342----，15342----，13542----，13452----，54123----，45123----，15423----，51423----，14523----，12543----，51243----，15243----，12453----，12354----，12534----，15234----，51234----， 12345----。

对应法在某些应用题中，必定存在着一些相关的对应量，我们利用这一特点，通过分析条件之间的某些数量的对应关系，根据某种运算意义，打开解题的中心环节。

这种思考方法，可称作对应法。

例1：建筑工地要运一批水泥，用一辆卡车运8次正好运完？运6次则少运7.2吨。

这批水泥共有多少吨？解析：在分析这道题目的时候，首先要找到卡车运的次数和吨数是怎样的对应关系。

要从题目的条件“用一辆卡车运8次，正好运完；运6次则少运7.2吨”中设法找到卡车运几次，它的对应量是几吨。

列表如下：1辆卡车运8次→运完1辆卡车运6次→少运7.2吨─────────────;2次←7.2吨从对应表中清楚地看出，1辆卡车少运2次，正好少运水泥7.2吨。

由此寻得了运2次的对应量是7.2吨，也就是说，这辆卡车2次能运水泥7.2吨，根据整小数除法意义，所得1辆卡车1次运的吨数是：7.2÷2＝3.6（吨）求出了1辆卡车1次运3.6吨，就可以根据“8次运完”来计算水泥一共有多少吨。

3.6×8＝28.8（吨）列综合式计算：7.2÷（8－6）×8＝3.6×8＝28.8（吨）答：这批水泥一共有28.8吨。

例2：小朋友分糖果，每人分6块，则少22块；每人分5块，则多14块，求小朋友人数和糖果块数？解析：在分析的时候，发现每人分的块数与所需糖果的块数是起着对应关系。

从题目的条件“每人分6块则少22块；每人分5块则多14块中没法找到每人才几块，它的对应量是所需糖果几块，列表如下：每人分6块→少22块每人分5块→多14块──────────1块→36块比较两种不同的分法，可以清楚地看出，每个小朋友少分1块，糖果块数就从少22块变为多14块，也就是每人少分1块，糖果相差36块，因此寻得每人分1块的对应量是糖果36块，也就是说，小朋友人数是：36÷1＝36（人）求出小朋友人数，根据“每人分6块，则少22块”可以计算糖果一共有多少块。

小学奥数各年级经典题解题技巧大全——对应法，超全面讲解！对应法解应用题时要找出题中数量间的对应关系。

如解平均数应用题需找出“总数量”所对应的“总份数”；解倍数应用题需找出具体数量和倍数的对应关系；解分数应用题需找出数量与分率的对应关系。

因此，找出题中“对应”的数量关系，是解答应用题的基本方法之一。

用对应的观点，发现应用题数量之间的对应关系，通过对应数量求未知数的解题方法，称为对应法。

解答复杂的分数应用题，关键就在于找出具体数量与分率的对应关系。

（一）解平均数应用题在应用题里，已知几个不相等的已知数及份数，要求出总平均的数值，称为求平均数应用题。

解平均数应用题，要找准总数量与总份数的对应关系，然后再按照公式例1：同学们参加麦收劳动。

第一天收麦16亩，第二天上午收麦8亩，下午收麦12亩。

平均每天收麦多少亩？（适于三年级程度）解：本题的总份数是2天（注意：总份数不是3天），2天所对应的总数量是（16+8+12）亩。

所以，平均每天收麦亩数是：（16+8+12）÷2=36÷2=18（亩）答略。

例2：服装厂一、二月份共生产13356套服装，三月份生产12030套服装。

第一季度平均每月生产多少套服装？（适于三年级程度）解：本题的总份数是3个月（注意：不是2个月），与3相对应的总数是（13356+12030）套。

例2 服装厂一、二月份共生产13356套服装，三月份生产12030套服装。

第一季度平均每月生产多少套服装？（适于三年级程度）所以，平均每个月生产服装的套数是：（13356+12030）÷3=25386÷3=8462（套）答略。

例3：某乡有两块稻谷实验田。

第一块8亩，平均亩产稻谷550千克；第二块6亩，共产稻谷2880千克。

这两块试验田平均亩产稻谷多少千克？（适于四年级程度）解：求平均亩产量，总份数就是总亩数（8+6）亩，和总份数对应的总数量就是总产量（550×8+2880）千克。

五年级奥数大纲(总16页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除桂林中美实验学校校本奥数教材大纲四年级上册部分第一讲、加减法的巧算本章是在学生熟练掌握四则运算基础上进行学习的，主要内容有：加法的巧算、减法的巧算、加减法混合的巧算。

具体主要介绍了三大块加减法巧算的一些技巧：一、“凑整”法是加减法巧算的主要方法：把能够凑成整十、整百、整千、、、的数相加；把接近整十、整百、整千、、、、的数看作所接近的整数进行简算。

二、根据算式中运算符号的特征运用加法结合律、加法交换律及一些基本运算性质和技巧进行简算。

（基本性质：a－(b－c)=a－b＋c a－b＋c = a－(b －c)a－(b＋c)= a－b－c a－b－c= a－(b＋c))三、“基准数加累计差”的方法进行简算。

通过本章的学习，要求学生掌握速算、巧算的一些基本技巧同时能够使计算准确、合理、快速、巧妙；在探索巧算方法与技巧的过程中培养学生的数感，发展和提高学生对问题的分析能力。

第二讲、乘除法的巧算本章是在学习了加减法的巧算基础上来学习乘法、除法、乘除混合的巧算。

加减法中的“凑整”巧算思想也同样可以运用到乘除法的巧算当中。

本章节主要介绍几种常见的乘除法巧算的方法和技巧：一、直接凑整乘和分解因数后凑整乘。

（5×2=10 25×4=100 125×8=1000 625×16=10000）；二、运用运算定律巧算：乘法交换律、乘法结合律和乘法分配律及它们的推广；三、利用积、商变化规律对算式进行适当变形简算；四、乘除混合运算中改变运算顺序或运算符号进行简算；五、乘除混合运算中运用运算规则进行简算。

本章的学习要求学生通过运用一些运算定律和运算规则及运算技巧熟练掌握乘法、除法、乘除混合的巧算，提高计算能力。

进一步培养学生数感，提高学生的观察、分析、综合能力。

五年级奥数讲义第六讲“牛吃草”问题一、学法指导解决“牛吃草”这类问题，困难的是青草每天或者每周都在均匀地生长，也就是说草量是一个变化的量，不固定。

这与我们平常常见的应用是不同的。

我们要把握住原有的草量是多少？每天或者每周新长的草量是多少？因为这两个是不变的。

解答“牛吃草”这类问题，有固定的解题模式，同学们先掌握这些固定的模式，然后再灵活运用。

对于解决这类问题：首先，要求出新生草量；其次，求出原有草量。

“牛吃草”这类问题是非常有趣的一类题，最早是世界著名的大科学家牛顿在《普通算术》一书中提出的。

实践中它也有很多变形，在下面的题目中我们会不断见到。

二、例题：例1、牧场上有一片青草，可供25头牛吃6天，或者20头牛吃9天。

如果青草每天生长的速度相同，那么这片青草可供16头牛吃多少天？例2、牧场上有一片草地，青草每天生长的速度相同，如果24匹马吃6天可以把草吃完，20匹马10天可以把草吃完。

那么几匹马12天可以把草吃完？例3、一片牧草，可供16头牛吃20天，也可供80只羊吃12天，如果每天1头牛的吃草量等于每天4只羊的吃草量，那么10头牛余60只羊一起吃这一片牧草，几天可吃完这片牧草（牧草每天生长的速度相同，羊、牛每天吃草量不变）？例4、某火车站的检票口，在检票开始前已有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票，一个检票口每分钟能让25人检票进站。

如果只有一个检票口，检票开始8分钟后就没有人排队进站。

如果只有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队？例5、有一牧场，17头牛30天可将草吃完，19头牛则24天可将草吃完。

现有牛若干头，吃6天后卖了4头，余下的牛再吃2天便将草吃完，问卖掉4头牛之前，这一群牛有多少头？（草每天匀速生长）例6、甲、乙、丙三辆汽车同时同地出发，沿同一条公路去追前面一个骑车的人，结果三辆车分别用了6小时，10小时和12小时追上骑车人。

已知甲车每小时行24千米，丙车每小时行19千米，求乙车的速度。

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．模块一、图形中的对应关系【例 1】 在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L ”形（如图），一共有多少种不同的方法？ 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答【解析】 注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法．第1步：找对应图形 每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A 点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．第2步：明确对应关系 从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L ”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．第3步：计算对应图形个数 由于在 8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点， 第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）．评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数．【答案】196【例 2】 在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答【解析】 首先可以知道题中所讲的13⨯长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的13⨯长方形(一横一竖)；第二种情例题精讲教学目标7-6-3计数之对应法况，位于边上的黑色方格只能对应一个13⨯长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有1821248⨯+=个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个13⨯长方形，所以棋盘上横、竖共有13⨯长方形68296⨯⨯=个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96248÷=个．【答案】48【巩固】 用一张如图所示的纸片盖住66⨯方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？ 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答方格表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的44⨯正方形内的某格时，纸片有4种不同的放法，共计44464⨯⨯=种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有1种放法，此类放法有4416⨯=种． 所以，纸片共有641680+=种不同的放置方法．【答案】80种【例 3】 图中可数出的三角形的个数为 ．【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4星 【题型】填空【解析】 这个图不像我们以前数三角形那样规则，粗看似乎看不出其中的规律，不妨我们取出其中的一个三角形，发现它的三条边必然落在这个图形中的三条大线段上，而每三条大线段也正好能构成一个三角形，因此三角形的个数和三条大线段的取法是一一对应的关系，图中一共有8条大线段，因此有3856C =个三角形．【答案】56个三角形【例 4】 如图所示，在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．以AB 上的点为一个端点、CD 上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB 与CD 之间的交点数．【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答CDBA【解析】 常规的思路是这样的：直线AB 上的7个点，每个点可以与直线CD 上的9个点连9根线段，然后再分析这些线段相交的情况．如右图所示，如果注意到下面这个事实：对于直线AB 上的任意两点M 、N 与直线CD 上的任意两点P 、Q 都可以构成一个四边形MNQP ，而这个四边形的两条对角线MQ 、NP 的交点恰好是我们要计数的点，同时，对于任意四点(AB 与CD 上任意两点)都可以产生一个这样的交点，所以图中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系．这说明，为了计数出有多少个交点，我们只需要求出在直线AB 与CD 中有多少个满足条件的四边形MNQP 就可以了！从而把问题转化为：在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．四边形MNQP 有多少个？其中点M 、N 位于直线AB 上，点P 、Q 位于直线CD 上．这是一个常规的组合计数问题，可以用乘法原理进行计算：由于线段MN 有2721C =种选择方式，线段PQ 有2936C =种选择方式，根据乘法原理，共可产生2136756⨯=个四边形．因此在直线AB 与CD 之间共有756个交点．【答案】756个交点模块二、数字问题中的对应关系【例 5】 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0～9中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有410109872104321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个．【答案】210个【巩固】 三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 相当于在10个数字中选出3个数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种．实际上，前铺中每一种划法都对应着一个数．【答案】120种【例 6】 数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，12+，21+，111++．问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号．例如对于数3，上述4种和的表达方法对应：1 1 1，1+1 1，1 1+1，1+1+1．可见，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间是一一对应的关系，而每一个空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有1998199822222⨯⨯⨯=个相乘种．【答案】19982种【例 7】 请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】小学数学竞赛 【解析】 五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个．可以采用排除法，首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3.首位数码有8种选择，第二、三、四位数码都有9种选择．当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为0，则第五位数码可以为0、6、9；如果余数为1，则第五位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第五位数码可以为1、4、7.可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有8999317496⨯⨯⨯⨯=个． 所以满足条件的五位数共有300001749612504-=个．【答案】12504个模块三、对应与阶梯型标数法【例 8】 游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 与类似题目找对应关系．要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人数多，先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下图中，每条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A 点沿格线走到B 点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中从A 到B 有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A 到B 有42种走法．AB424228145141494553221111111但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个人共有5120=！种排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有5514400⨯=！！种排队方法．这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有4214400604800⨯=(种)．【答案】604800种【例 9】 学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有 种不同的摞法．【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】学而思杯，5年级，第7题 【解析】 方法一：如下所示，共有42种不同的摞法：54321----，45321----，35421----，53421----，34521----，54231----，45231----，25431----，52431----，24531----，52341----，25341----，23541----，23451----，54312----，45312----，53412----，35412----，34512----，54132----，45132----，15432----，51432----，14532----，51342----，15342----，13542----，13452----，54123----，45123----，15423----，51423----，14523----，12543----，51243----，15243----，12453----，12354----，12534----，15234----，51234----，12345----。

7-6-3計數之對應法教學目標前面在講加法原理、乘法原理、排列組合時已經穿插講解了計數中的一些常用的方法，比如枚舉法、樹狀圖法、標數法、捆綁法、排除法、插板法等等，這裏再集中學習一下計數中其他常見的方法，主要有歸納法、整體法、對應法、遞推法．對這些計數方法與技巧要做到靈活運用．例題精講將難以計數的數量與某種可計量的事物聯繫起來，只要能建立一一對應的關係，那麼這兩種事物在數量上是相同的．事實上插入法和插板法都是對應法的一種表現形式．模組一、圖形中的對應關係【例 1】在8×8的方格棋盤中，取出一個由三個小方格組成的“L”形（如圖），一共有多少種不同的方法？【考點】計數之圖形中的對應關係【難度】3星【題型】解答【解析】注意：數“不規則幾何圖形”的個數時，常用對應法．第1步：找對應圖形每一種取法，有一個點與之對應，這就是圖中的A點，它是棋盤上橫線與豎線的交點，且不在棋盤邊上．第2步：明確對應關係從下圖可以看出，棋盤內的每一個點對應著4個不同的取法（“L”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．第3步：計算對應圖形個數由於在8×8的棋盤上，內部有7×7=49（個）交叉點，第4步：按照對應關係，給出答案故不同的取法共有49×4=196（種）．評注:通過上面兩個範例我們知道,當直接去求一個集合元素的個數較為困難的時候,可考慮採用相等的原則,把問題轉化成求另一個集合的元素個數．【答案】196【例 2】在8×8的黑白相間染色的國際象棋棋盤中，以網格線為邊的、恰包含兩個白色小方格與一個黑色小方格的長方形共有多少個？【考點】計數之圖形中的對應關係【難度】3星【題型】解答【解析】首先可以知道題中所講的13⨯長方形中間的那個小主格為黑色，這是因為兩個白格不相鄰，所以不能在中間．顯然，位於棋盤角上的黑色方格不可能被包含在這樣的長方形中．下麵分兩種情況來分析：第一種情況，一個位於棋盤內部的黑色方格對應著兩個這樣的13⨯長方形(一橫一豎)；第二種情況，位於邊上的黑色方格只能對應一個13⨯長方形．由於在棋盤上的32個黑色方格中，位於棋盤內部的18個，位於邊上的有12個，位於角上的有2個，所以共有1821248⨯+=個這樣的長方形．本題也可以這樣來考慮：事實上，每一行都有6個13⨯長方形，所以棋盤上橫、豎共有13⨯長方形68296⨯⨯=個．由於棋盤上的染色具有對稱性，因此包含兩個白色小方格與一個黑色小方格的長方形正好與包含兩個黑色小方格與一個白色小方格的長方形具有一一對應關係，這說明它們各占一半，因此所求的長方形個數為96248÷=個．【答案】48【巩固】用一張如圖所示的紙片蓋住66⨯方格表中的四個小方格，共有多少種不同的放置方法？【考點】計數之圖形中的對應關係【難度】3星【題型】解答【解析】如圖，將紙片中的一個特殊方格染為黑色，下麵考慮此格在66⨯方格表中的位置．易見它不能位於四個角上；若黑格位於方格表中間如圖淺色陰影所示的44⨯正方形內的某格時，紙片有4種不同的放法，共計44464⨯⨯=種；若黑格位於方格表邊上如圖深色陰影所示的方格中時，紙片的位置隨之確定，即只有1種放法，此類放法有4416⨯=種．所以，紙片共有641680+=種不同的放置方法．【答案】80種【例 3】 圖中可數出的三角形的個數為 ．【考點】計數之圖形中的對應關係 【難度】4星 【題型】填空【解析】 這個圖不像我們以前數三角形那樣規則，粗看似乎看不出其中的規律，不妨我們取出其中的一個三角形，發現它的三條邊必然落在這個圖形中的三條大線段上，而每三條大線段也正好能構成一個三角形，因此三角形的個數和三條大線段的取法是一一對應的關係，圖中一共有8條大線段，因此有3856C =個三角形．【答案】56個三角形【例 4】 如圖所示，在直線AB 上有7個點，直線CD 上有9個點．以AB 上的點為一個端點、CD 上的點為另一個端點的所有線段中，任意3條線段都不相交於同一個點，求所有這些線段在AB 與CD 之間的交點數．【考點】計數之圖形中的對應關係 【難度】4星 【題型】解答C D BA【解析】 常規的思路是這樣的：直線AB 上的7個點，每個點可以與直線CD 上的9個點連9根線段，然後再分析這些線段相交的情況．如右圖所示，如果注意到下麵這個事實：對於直線AB 上的任意兩點M 、N 與直線CD 上的任意兩點P 、Q 都可以構成一個四邊形MNQP ，而這個四邊形的兩條對角線MQ 、NP 的交點恰好是我們要計數的點，同時，對於任意四點(AB與CD上任意兩點)都可以產生一個這樣的交點，所以圖中兩條線段的交點與四邊形有一一對應的關係．這說明，為了計數出有多少個交點，我們只需要求出在直線AB與CD 中有多少個滿足條件的四邊形MNQP就可以了！從而把問題轉化為：在直線AB上有7個點，直線CD上有9個點．四邊形MNQP有多少個？其中點M、N 位於直線AB上，點P、Q位於直線CD上．這是一個常規的組合計數問題，可以用乘法原理進行計算：由於線段MN有2721C=種選擇方式，線段PQ有2 936C=種選擇方式，根據乘法原理，共可產生2136756⨯=個四邊形．因此在直線AB與CD之間共有756個交點．【答案】756個交點模組二、數字問題中的對應關係【例 5】有多少個四位數，滿足個位上的數字比千位數字大，千位數字比百位大，百位數字比十位數字大？【考點】計數之數字問題中的對應關係【難度】4星【題型】解答【解析】由於四位數的四個數位上的數的大小關係已經非常明確，而對於從0～9中任意選取的4個數字，它們的大小關係也是明確的，那麼由這4個數字只能組成1個符合條件的四位數(題目中要求千位比百位大，所以千位不能為0，本身已符合四位數的首位不能為0的要求，所以進行選擇時可以把0包含在內)，也就是說滿足條件的四位數的個數與從0～9中選取4個數字的選法是一一對應的關係，那麼滿足條件的四位數有41010987210 4321C⨯⨯⨯==⨯⨯⨯個．【答案】210個【巩固】三位數中，百位數比十位數大，十位數比個位數大的數有多少個？【考點】計數之數字問題中的對應關係【難度】4星【題型】解答【解析】相當於在10個數字中選出3個數字，然後按從大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120種．實際上，前鋪中每一種劃法都對應著一個數．【答案】120種【例 6】數3可以用4種方法表示為一個或幾個正整數的和，如3，12+，21+，111++．問：1999表示為一個或幾個正整數的和的方法有多少種？【考點】計數之數字問題中的對應關係【難度】4星【題型】解答【解析】 我們將1999個1寫成一行，它們之間留有1998個空隙，在這些空隙處，或者什麼都不填，或者填上“＋”號．例如對於數3，上述4種和的表達方法對應：1 1 1，1+1 1，1 1+1，1+1+1．可見，將1999表示成和的形式與填寫1998個空隙處的方式之間是一一對應的關係，而每一個空隙處都有填“＋”號和不填“＋”號2種可能，因此1999可以表示為正整數之和的不同方法有1998199822222⨯⨯⨯=个相乘種． 【答案】19982種【例 7】 請問至少出現一個數碼3，並且是3的倍數的五位數共有多少個？【考點】計數之數字問題中的對應關係 【難度】4星 【題型】解答【關鍵字】小學數學競賽【解析】 五位數共有90000個，其中3的倍數有30000個．可以採用排除法，首先考慮有多少個五位數是3的倍數但不含有數碼3.首位數碼有8種選擇，第二、三、四位數碼都有9種選擇．當前四位的數碼確定後，如果它們的和除以餘數為0，則第五位數碼可以為0、6、9；如果餘數為1，則第五位數碼可以為2、5、8；如果餘數為2，則第五位數碼可以為1、4、7.可見只要前四位數碼確定了，第五位數碼都有3種選擇，所以五位數中是3的倍數但不含有數碼3的數共有8999317496⨯⨯⨯⨯=個．所以滿足條件的五位數共有300001749612504-=個．【答案】12504個模組三、對應與階梯型標數法【例 8】 遊樂園的門票1元1張，每人限購1張．現在有10個小朋友排隊購票，其中5個小朋友只有1元的鈔票，另外5個小朋友只有2元的鈔票，售票員沒有準備零錢．問有多少種排隊方法，使售票員總能找得開零錢？【考點】計數之對應與階梯型標數法 【難度】5星 【題型】解答【解析】 與類似題目找對應關係．要保證售票員總能找得開零錢，必須保證每一位拿2元錢的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人數多，先將拿1元錢的小朋友看成是相同的，將拿2元錢的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下圖中，每條小橫線段代表1元錢的小朋友，每條小豎線段代表2元錢的小朋友，因為從A 點沿格線走到B 點，每次只能向右或向上走，無論到途中哪一點，只要不超過斜線，那麼經過的小橫線段都不少於小豎線段，所以本題相當於求下圖中從A到B有多少種不同走法．使用標數法，可求出從A到B有42種走法．A B424228145141494553221111111但是由於10個小朋友互不相同，必須將他們排隊，可以分成兩步，第一步排拿2元的小朋友，5個人共有5120=！種排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120種排法，所以共有5514400⨯=！！種排隊方法．這樣，使售票員能找得開零錢的排隊方法共有4214400604800⨯=(種)．【答案】604800種【例 9】學學和思思一起洗5個互不相同的碗（順序固定），思思洗好的碗一個一個往上摞，學學再從最上面一個一個地拿走放入碗櫃摞成一摞，思思一邊洗，學學一邊拿，那麼學學摞好的碗一共有種不同的摞法．【考點】計數之對應與階梯型標數法【難度】5星【題型】解答【關鍵字】學而思杯，5年級，第7題【解析】方法一：如下所示，共有42種不同的摞法：54321----，45321----，35421----，53421----，34521----，54231----，45231----，25431----，52431----，24531----，52341----，25341----，23541----，23451----，54312----，45312----，53412----，35412----，34512----，54132----，45132----，15432----，51432----，14532----，51342----，15342----，13542----，13452----，54123----，45123----，15423----，51423----，14523----，12543----，51243----，15243----，12453----，12354----，12534----，15234----，51234----，12345----。

递推计数与对应计数一.对应计数法:要计算一个有限集A 的元素个数,若直接计算比较困难时,我们可设法寻找一个便于计算其元素个数的集合B ,并且建立一个A 到B 上的一一对应f ,于是由A B =得到A 的元素个数,这种计数方法就是对应计数方法.运用这种方法的关键是寻找一个便于计算其元素个数的集合B 及如何在A 与B 建立一一对应.例1 圆周上有()4m m ≥个点,每两点连一条弦,如果没有三条弦交于一点(端点除外),问,这些弦在圆内一共有多少个交点?解:圆周上任四点之间所连的弦中在圆内恰有一个交点,反之,圆内的任何一个交点,是由两条弦相交而得,这两条弦对应于圆周上四个点.这样交点与圆周上的四点组之间构成了一个一一对应关系,所以共有4m C 个交点.例2 正方体的12条棱,12条面对角线及4条体对角线,这28条线中,异面直线有几对?解:从正方体的8个顶点中取四个不共面的顶点组成一个四面体,在该四面体的棱所在直线中有3对异面直线;反之,每一对异面线段的四个顶点对应于正方体的4个不共面的顶点.从正方体的8个顶点中取四个不共面的顶点有486658C --=种方法,所以异面直线的对数为358174⨯=.例3 从m n ⨯的棋盘中,取出一个由三个方格组成的L 形,有多少种不同的取法?解:棋盘中的每一个内部点A 都对应于四个L 形,反之每一个L 形都对应于一个内部点A .m n ⨯的棋盘共有()()11m n --个内部点,所以不同的取法有()()411m n --种.例4 从19,,3,2,1 中,按从小到大的顺序选取4321,,,a a a a 四个数,使得21322,3a a a a -≥-≥,434≥-a a .问符合上述要求的不同取法有多少种?解:等价于去掉六个数,从1,2,3,,13 中,按从小到大的顺序选取1234,,,b b b b 四个数共有多少种取法,有413715C =种方法.在此基础上取11223344,1,3,6a b a b a b a b ==+=+=+即可.例5 从集合{}1,2,3,,49 中取出6个不同的数,使得其中至少有两个相邻,不同的取法有几种?A解:从集合{}1,2,3,,49 中取出6个不同的数123456,,,,,a a a a a a 有649C 种不同取法.若这些数互不相邻,则12345611234544a a a a a a ≤<-<-<-<-<-≤,即等价于从44个数中选6个不同的数,它们从小到大依次为123456,,,,,b b b b b b ,然后令()11,2,,6i i a b i i =+-= ,这样得到的6个数123456,,,,,a a a a a a 即满足条件,反之亦然.所以不同的取法有664944C C -种.例6 圆周上有n 个点(6)n ≥,每两个点连一线段,假设任三条线段在圆内不共点,于是三条两两相交的线段构成一个三角形,试求这些三角形的个数?解:设三角形的顶点有i 个在圆内,3i -个在圆周上,这类三角形的全体为(0,1,2,3)i I i =. 则30nI C =.对1I ∆∈,有一内点O 为∆的顶点,内点O 为二条线段的交点,对应圆上四点1234,,,A A A A ,13A A 与24A A 交于点O .即内点全体与圆周上四点组全体之间构成一个一一对应,而每个内点O ,又有四个1I 中的∆与之对应,故414n I C =.对2I ∆∈,圆周上任取n 点中的5点,对应2I 中5个∆;反之对每一个2I ∆∈,延长∆的边与圆周交于5个点,使此∆为5点对应的5个∆之一,故525n I C =.对3I ∆∈,则∆三内点确定三条线段交圆周6个点,反之也对,故63n I C =.综上,所以三角形总数为:345645n n n nC C C C +++. 评析:一一映射与倍数映射是转化抽象的,复杂的计数问题的常用方法,但恰当的构造映射是解决问题的关键.二.递推计数法:通过引入数列,建立递推关系来计数的方法称为递推计数法.运用递推方法计数的一般步骤是:(1)求初始值;(2)建立递推关系;(3)利用递推关系求解.例7 由0,1,2,3组成的长度为n 的数字串中,求没有两个0相邻的数字串的个数.解:设所求数字串的个数为n a ,则长度为n 的数字串可以分为两类:(1)数字串中第一位不为0,则第一位为1,2,3之一,而剩下的长度为1n -的数字串中无两个0相邻的个数为1n a -,由分步计数原理,共有13n a -个;(2) 数字串中第一位为0,则第二位为1,2,3之一,而剩下的长度为2n -的数字串中无两个0相邻的个数为2n a -,由分步计数原理,共有23n a -个;因此我们得到递推关系式()12333n n n a a a n --=+≥,它的特征方程为233x x =+,特征根为32x ±=,结合初始值124,15a a ==,易得213213422422n nn a +--=+⎝⎭⎝⎭.例8 4个人互相传球,接球后即传给别人,首先由甲发球,并把它当作第一次传球.求经过n 次传球后,球又回到甲手中的传球方法数.解:设传球方法数为n a ,则120,3a a ==.由甲开始传球1n -次,总传球数为13n -,若经过n 次传球后,球又回到甲手中,则倒数第二次球在另外三个人手中,共有113n n a ---种传法,由此我们得到递推关系式()1132n n n a a n ---=≥,变形为1111134334n n n n a a --⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭,所以()133111134434nn n n n n a a -+⋅-⎛⎫-=--⇒=⎪⎝⎭.例9 有人要上楼,此人每步能向上走1阶或2阶,如果一层楼有18阶,他上一层楼有多少种不同的走法?解(一):此人上楼最多走18步,最少走9步.这里用1817169,,,,a a a a 分别表示此人上楼走18步,17步,16步,…,9步时走法(对于任意前后两者的步数,因后者少走2步1阶,而多走1步2阶,计后者少走1步)的计数结果.考虑步子中的每步2阶情形,易得0118181717C ,C a a ==,29161699C ,,C a a == .综上,他上一层楼共有01291817169C C C C 11712014181++++=++++= 种不同的走法.解(二):设n F 表示上n 阶的走法的计数结果.显然,121,2F F ==.对于34,,F F 起步只有两种不同走法:上1阶或上2阶.因此对于3F ,第1步上1阶的情形,还剩312-=阶,计2F 种不同的走法；对于第1步上2阶的情形,还剩321-=阶,计1F 种不同的走法.总计321213F F F =+=+=.一般地,对于n F ,第一步走1阶,剩下的1n -阶有1n F -种不同的走法;第一步走2阶,剩下的2n -步有2n F -种不同的走法.所以得到递推关系12n n n F F F --=+.依次递推得到:432543181716325,538,,258415974181F F F F F F F F F =+=+==+=+==+=+= .例10 求n 位十进制数中出现偶数个6的数的个数.解:设n a 为n 位十进制数中出现偶数个6的数的个数,n b 为n 位十进制数中出现奇数个6的数的个数.则有111199n n n n n n a a b b b a ----=+⎧⎨=+⎩,且118,9a b ==.从而12212991880n n n n n n a a b a a a -----=++=-,利用特征根法,∴117981022n n n a --=⋅+⋅.。

小学奥数对应法例题讲解一、引言小学奥数通常以数学竞赛为主要形式，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

其中，对应法是奥数中经常用到的一种解题方法。

本文将选取一些小学奥数中常见的对应法例题进行讲解，帮助学生更好地理解和掌握对应法的运用。

二、什么是对应法对应法是一种通过找出两组事物之间的对应关系来解决问题的方法。

在奥数中，对应关系通常用字母、符号或数字等表示。

通过对应关系的发现和运用，可以在给定条件下推导出未知量的值，从而解决问题。

三、对应法的基本应用1. 全比对应全比对应是对应法中最基本的应用之一。

在全比对应中，两组事物之间的对应关系可以用相同的比例关系表示。

例题1：小明骑车去图书馆，速度是每小时20公里。

小红骑车去同一个地方，速度是每小时16公里。

如果两人同时出发，小红到达目的地需要多长时间？解：设小红到达目的地所需的时间为x小时。

根据速度和时间的关系，可以得到下面的比例关系： $\\frac{20}{16}$ = $\\frac{x}{1}$ 通过等式两边的乘法和约简，我们可以求解得到 x = 1.25 小时。

2. 分差对应分差对应是对应法中另一种常见的应用。

在分差对应中，两组事物之间的对应关系可以表示为一个固定的差值。

例题2：甲、乙两人在一场游戏中比赛。

在比赛前，甲已经得到了90分，乙得到了120分。

比赛开始后，甲每得10分，乙就得到15分，最终甲比乙多得了250分。

求这场比赛共进行了多少轮？解：设比赛共进行了x轮。

根据分差对应的原理，我们可以得到下面的等式：$\\frac{x}{1}$ = $\\frac{250}{15-10}$ 通过等式两边的乘法和约简，我们可以求解得到 x = 50 轮。

四、对应法的进阶应用1. 分组对应当研究的事物可以被分成多个组时，可以借助分组对应来解决问题。

在分组对应中，不同组之间的对应关系可以表示为一个固定的倍数关系。

例题3：一辆汽车每分钟行驶的速度是50米，一辆摩托车每分钟行驶的速度是40米。

7-6-3.计数之对应法教学目标前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．例题精讲模块三、对应法将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．一、图形中的对应关系【例1】在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L”形（如图），一共有多少种不同的方法？【例2】在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【巩固】用一张如图所示的纸片盖住66方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？【例3】图中可数出的三角形的个数为．【例4】如图所示，在直线AB上有7个点，直线CD上有9个点．以AB上的点为一个端点、CD上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB与CD之间的交点数．C D二、数字问题中的对应关系【例5】有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？【巩固】三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？【例6】数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，12++．问：1999表示+，111+，21为一个或几个正整数的和的方法有多少种？【例7】请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？三、对应与阶梯型标数法【例8】游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？【例9】学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法．【巩固】学学和思思一起洗4个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，问学学摞好的碗一共有种不同的摞法。

计数方法与技巧知识结构（1）归纳法：从条件值较小的数开始，找出其中规律，或找出其中的递推数量关系，归纳出一般情况下的数量关系．（2）整体法：解决计数问题时，有时要“化整为零”，使问题变得简单；有时反而要从整体上来考虑，从全局、从整体来研究问题，反而有利于发现其中的数量关系．（3）对应法：将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．（4）递推法：对于某些难以发现其一般情形的计数问题，可以找出其相邻数之间的递归关系，有了这一递归关系就可以利用前面的数求出后面未知的数，这种方法称为递推法．例题精讲【例 1】一条直线分一个平面为两部分．两条直线最多分这个平面为四部分．问5条直线最多分这个平面为多少部分?【巩固】平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分？平面上100条直线最多能把圆的内部分成几部分？【例 2】平面上10个两两相交的圆最多能将平面分割成多少个区域？【巩固】10个三角形最多将平面分成几个部分？【例 3】一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分？【巩固】在平面上画5个圆和1条直线，最多可把平面分成多少部分?【例 1】一个正方形的内部有1996个点，以正方形的4个顶点和内部的1996个点为顶点，将它剪成一些三角形．问：一共可以剪成多少个三角形?如果沿上述这些点中某两点之间所连的线段剪开算作一刀，那么共需剪多少刀?【巩固】在三角形ABC内有100个点，以三角形的顶点和这100点为顶点，可把三角形剖分成多少个小三角形？【例 4】在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？【巩固】用一张如图所示的纸片盖住66 方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？【例 5】有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？【巩固】三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？【例 6】学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有种不同的摞法．【巩固】学学和思思一起洗4个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，问学学摞好的碗一共有种不同的摞法。

对应的概念数学
数学对应是指两种不同的数学对象之间存在一一对应关系，即每个元素在对应的集合中只存在一个它所对应的元素。

比如，我们可以用一一对应关系将自然数集合和正偶数集合对应起来，即 1 对应着2，2 对应着4，3 对应着6，以此类推。

这种对应关系可以帮我们更好地理解数学中的概念和性质，从而更好地解决实际问题。

在数学中，对应还可以指一种映射关系，即从一个集合到另一个集合的映射，使得每一个元素都有一个对应的元素。

这种映射可以用函数来表示，比如f(x)=x+1，它将实数集合中的每个数x 都对应到x+1，形成一个新的集合。

对应关系的研究不仅在数学中有很多应用，也被广泛地应用于物理、计算机科学等领域中。

除了在抽象概念和实际问题中的应用外，对应还可以帮助我们在数学领域中建立起更为严谨的理论体系。

例如，在代数学中，对应被广泛地应用于群论、环论、域论等分支中，以求更深入地探究数论中的一些基本问题，如整除性、同余性、素性等。

因此，对于数学研究者而言，深入理解和应用对应关系具有重要的意义。

第一讲巧用乘法分配律1． 15.4-2.17-3.83+4.6 2. 36.3×4.5+6.37×453. 25.6-(0.23+5.6)-51.74. 36×2.54+1.8×49.25. 16.15÷1.8+1.85÷1.8 6. 0.7777×0.7+0.1111×27、75.76×1.1+57.7×0.89 8、 0.876+0.765+0.654+0.543+0.432 9．计算999+99+9+9999+99999 10．计算33333×6666611．计算9999×2222+3333×3334 12．计算1989×1999-1988×2000第二讲等差数列1.数列4，7，10，……295，298中，198是第几项？2.蜗牛每小时都比前一小时多爬0.1米，第10小时蜗牛爬了1.9米，第一小时蜗牛爬多少米？3.在树立俄，10，13，16，…中，907是第几个数？第907个数是多少？4.求自然数中所有三位数的和。

5.求所有除以4余1的两位数的和。

6.0.1+0.3+0.58.+0.7+0.9+0 11+0 13+0 15+…0 99的和是多少？7.梯子最高一级宽32厘米，最底一级宽110厘米，中间还有6级，各级的宽度成等差数列，中间一级宽多少厘米？8.有12个数组成等差数列，第六项与第七项的和是12，求这12个数的和。

9.一个物体从高空落下，已知第一秒下落距离是4.9米，以后每秒落下的距离是都比前一秒多9.8米50秒后物体落地。

求物体最初距地面的高度。

10.求下面数字方阵中所有数的和。

1，2，3，…，98，99，1002，3，4，…99，100，1013，4，5，…，100，101，102……100,101,102, …197,198,199第三讲长方体和正方体1．一个长方体棱长的总和是48厘米，已知长是宽的1.5倍，宽是高的2倍，求这个长方体的体积。

前面在讲加法原理、乘法原理、排列组合时已经穿插讲解了计数中的一些常用的方法，比如枚举法、树形图法、标数法、捆绑法、排除法、插板法等等，这里再集中学习一下计数中其他常见的方法，主要有归纳法、整体法、对应法、递推法．对这些计数方法与技巧要做到灵活运用．将难以计数的数量与某种可计量的事物联系起来，只要能建立一一对应的关系，那么这两种事物在数量上是相同的．事实上插入法和插板法都是对应法的一种表现形式．模块一、图形中的对应关系【例 1】 在8×8的方格棋盘中，取出一个由三个小方格组成的“L ”形（如图），一共有多少种不同的方法？ 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答【解析】 注意：数“不规则几何图形”的个数时，常用对应法．第1步：找对应图形 每一种取法，有一个点与之对应，这就是图中的A 点，它是棋盘上横线与竖线的交点，且不在棋盘边上．第2步：明确对应关系 从下图可以看出，棋盘内的每一个点对应着4个不同的取法（“L ”形的“角”在2×2正方形的不同“角”上）．第3步：计算对应图形个数 由于在 8×8的棋盘上，内部有7×7=49（个）交叉点， 第4步：按照对应关系，给出答案故不同的取法共有49×4=196（种）．评注:通过上面两个范例我们知道,当直接去求一个集合元素的个数较为困难的时候,可考虑采用相等的原则,把问题转化成求另一个集合的元素个数．【答案】196【例 2】 在8×8的黑白相间染色的国际象棋棋盘中，以网格线为边的、恰包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形共有多少个？ 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】3星 【题型】解答例题精讲教学目标7-6-3计数之对应法【解析】首先可以知道题中所讲的13⨯长方形中间的那个小主格为黑色，这是因为两个白格不相邻，所以不能在中间．显然，位于棋盘角上的黑色方格不可能被包含在这样的长方形中．下面分两种情况来分析：第一种情况，一个位于棋盘内部的黑色方格对应着两个这样的13⨯长方形(一横一竖)；第二种情况，位于边上的黑色方格只能对应一个13⨯长方形．由于在棋盘上的32个黑色方格中，位于棋盘内部的18个，位于边上的有12个，位于角上的有2个，所以共有1821248⨯+=个这样的长方形．本题也可以这样来考虑：事实上，每一行都有6个13⨯长方形，所以棋盘上横、竖共有13⨯长方形68296⨯⨯=个．由于棋盘上的染色具有对称性，因此包含两个白色小方格与一个黑色小方格的长方形正好与包含两个黑色小方格与一个白色小方格的长方形具有一一对应关系，这说明它们各占一半，因此所求的长方形个数为96248÷=个．【答案】48【巩固】用一张如图所示的纸片盖住66⨯方格表中的四个小方格，共有多少种不同的放置方法？【考点】计数之图形中的对应关系【难度】3星【题型】解答【解析】如图，将纸片中的一个特殊方格染为黑色，下面考虑此格在66⨯方格表中的位置．易见它不能位于四个角上；若黑格位于方格表中间如图浅色阴影所示的44⨯正方形内的某格时，纸片有4种不同的放法，共计44464⨯⨯=种；若黑格位于方格表边上如图深色阴影所示的方格中时，纸片的位置随之确定，即只有1种放法，此类放法有4416⨯=种．所以，纸片共有641680+=种不同的放置方法．【答案】80种【例3】图中可数出的三角形的个数为．【考点】计数之图形中的对应关系【难度】4星【题型】填空【解析】这个图不像我们以前数三角形那样规则，粗看似乎看不出其中的规律，不妨我们取出其中的一个三角形，发现它的三条边必然落在这个图形中的三条大线段上，而每三条大线段也正好能构成一个三角形，因此三角形的个数和三条大线段的取法是一一对应的关系，图中一共有8条大线段，因此有3 856C=个三角形．【答案】56个三角形【例 4】 如图所示，在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．以AB 上的点为一个端点、CD 上的点为另一个端点的所有线段中，任意3条线段都不相交于同一个点，求所有这些线段在AB 与CD 之间的交点数． 【考点】计数之图形中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答CD【解析】 常规的思路是这样的：直线AB 上的7个点，每个点可以与直线CD 上的9个点连9根线段，然后再分析这些线段相交的情况．如右图所示，如果注意到下面这个事实：对于直线AB 上的任意两点M 、N 与直线CD 上的任意两点P 、Q 都可以构成一个四边形MNQP ，而这个四边形的两条对角线MQ 、NP 的交点恰好是我们要计数的点，同时，对于任意四点(AB 与CD 上任意两点)都可以产生一个这样的交点，所以图中两条线段的交点与四边形有一一对应的关系．这说明，为了计数出有多少个交点，我们只需要求出在直线AB 与CD 中有多少个满足条件的四边形MNQP 就可以了！从而把问题转化为：在直线AB 上有7个点，直线CD 上有9个点．四边形MNQP 有多少个？其中点M 、N 位于直线AB 上，点P 、Q 位于直线CD 上．这是一个常规的组合计数问题，可以用乘法原理进行计算：由于线段MN 有2721C =种选择方式，线段PQ 有2936C =种选择方式，根据乘法原理，共可产生2136756⨯=个四边形．因此在直线AB 与CD 之间共有756个交点．【答案】756个交点模块二、数字问题中的对应关系【例 5】 有多少个四位数，满足个位上的数字比千位数字大，千位数字比百位大，百位数字比十位数字大？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【解析】 由于四位数的四个数位上的数的大小关系已经非常明确，而对于从0～9中任意选取的4个数字，它们的大小关系也是明确的，那么由这4个数字只能组成1个符合条件的四位数(题目中要求千位比百位大，所以千位不能为0，本身已符合四位数的首位不能为0的要求，所以进行选择时可以把0包含在内)，也就是说满足条件的四位数的个数与从0～9中选取4个数字的选法是一一对应的关系，那么满足条件的四位数有410109872104321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯个．【答案】210个【巩固】 三位数中，百位数比十位数大，十位数比个位数大的数有多少个？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【解析】 相当于在10个数字中选出3个数字，然后按从大到小排列.共有10×9×8÷（3×2×1）=120种．实际上，前铺中每一种划法都对应着一个数．【答案】120种【例 6】 数3可以用4种方法表示为一个或几个正整数的和，如3，12+，21+，111++．问：1999表示为一个或几个正整数的和的方法有多少种？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答【解析】 我们将1999个1写成一行，它们之间留有1998个空隙，在这些空隙处，或者什么都不填，或者填上“＋”号．例如对于数3，上述4种和的表达方法对应：1 1 1，1+1 1，1 1+1，1+1+1． 可见，将1999表示成和的形式与填写1998个空隙处的方式之间是一一对应的关系，而每一个空隙处都有填“＋”号和不填“＋”号2种可能，因此1999可以表示为正整数之和的不同方法有1998199822222⨯⨯⨯=个相乘种．【答案】19982种【例 7】 请问至少出现一个数码3，并且是3的倍数的五位数共有多少个？ 【考点】计数之数字问题中的对应关系 【难度】4星 【题型】解答 【关键词】小学数学竞赛【解析】 五位数共有90000个，其中3的倍数有30000个．可以采用排除法，首先考虑有多少个五位数是3的倍数但不含有数码3.首位数码有8种选择，第二、三、四位数码都有9种选择．当前四位的数码确定后，如果它们的和除以余数为0，则第五位数码可以为0、6、9；如果余数为1，则第五位数码可以为2、5、8；如果余数为2，则第五位数码可以为1、4、7.可见只要前四位数码确定了，第五位数码都有3种选择，所以五位数中是3的倍数但不含有数码3的数共有8999317496⨯⨯⨯⨯=个． 所以满足条件的五位数共有300001749612504-=个．【答案】12504个模块三、对应与阶梯型标数法【例 8】 游乐园的门票1元1张，每人限购1张．现在有10个小朋友排队购票，其中5个小朋友只有1元的钞票，另外5个小朋友只有2元的钞票，售票员没有准备零钱．问有多少种排队方法，使售票员总能找得开零钱？ 【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答【解析】 与类似题目找对应关系．要保证售票员总能找得开零钱，必须保证每一位拿2元钱的小朋友前面的若干小朋友中，拿1元的要比拿2元的人数多，先将拿1元钱的小朋友看成是相同的，将拿2元钱的小朋友看成是相同的，可以利用斜直角三角模型．在下图中，每条小横线段代表1元钱的小朋友，每条小竖线段代表2元钱的小朋友，因为从A 点沿格线走到B 点，每次只能向右或向上走，无论到途中哪一点，只要不超过斜线，那么经过的小横线段都不少于小竖线段，所以本题相当于求下图中从A 到B 有多少种不同走法．使用标数法，可求出从A 到B 有42种走法．AB424228145141494553221111111但是由于10个小朋友互不相同，必须将他们排队，可以分成两步，第一步排拿2元的小朋友，5个人共有5120=！种排法；第二步排拿到1元的小朋友，也有120种排法，所以共有5514400⨯=！！种排队方法．这样，使售票员能找得开零钱的排队方法共有4214400604800⨯=(种)．【答案】604800种【例 9】 学学和思思一起洗5个互不相同的碗（顺序固定），思思洗好的碗一个一个往上摞，学学再从最上面一个一个地拿走放入碗柜摞成一摞，思思一边洗，学学一边拿，那么学学摞好的碗一共有 种不同的摞法． 【考点】计数之对应与阶梯型标数法 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】学而思杯，5年级，第7题【解析】 方法一：如下所示，共有42种不同的摞法：54321----，45321----，35421----，53421----，34521----，54231----，45231----，25431----，52431----，24531----，52341----，25341----，23541----，23451----，54312----，45312----，53412----，35412----，34512----，54132----，45132----，15432----，51432----，14532----，51342----，15342----，13542----，13452----，54123----，45123----，15423----，51423----，14523----，12543----，51243----，15243----，12453----，12354----，12534----，15234----，51234----， 12345----。

对应计数基础知识：1.人类最早使用的计数方法，不是枚举，不是排列组合，也不是递推，而是对应。

2.对应的目的：化繁为简，通过简单的计数问题解决复杂的计数问题。

3.对应的常用思路：从整体观察问题，发现问题所对应的本质，不拘泥于其中细微的步骤。

4.常见对应方法：插板对应、方向对应、几何对应。

5. 插板法：把m个相同的球放入n个不同的篮子里不得为空：：每个间隔至多插一个板子；板子不得相邻，不得插在两端。

允许为空：：n个篮子就要补n个球，然后转变为每个篮子不得为空。

例1.小高妈妈每天让小高吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么小高吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？思考：具体的考虑每天的选择，发现后面的种数会受到前面的影响，那么从整体考虑呢？具体的吃法和什么是对应的？其实，只要小高妈妈列出一个吃蛋的安排，事情就变得很简单了。

[答疑编号5721120101]1【答案】70【解答】列出这8天的安排，4个“鸡”和4个“鸭”排成一列，这样的排法就对应着这8天的吃法。

所以，共有（种）例2.5枚相同样式的华杯赛奖章颁发给3名学生，每个学生至少一枚，则有多少种颁奖方式？思考：在低年级，这类问题枚举就可以解决。

但是如果数字更大，枚举就很麻烦了。

所以，我们可以从本题中寻找更一般的方法。

想象这样一种场景，老师把这5枚奖章排成一列，然后在间隔中划上两道竖线分割成三部分，于是奖章就分好了。

[答疑编号5721120102]【解答】实际上，根据前面的思考，我们发现，把5枚奖章排成一列后，从它们的4个间隔中选2个，插入两块板，奖章就被分为了3个部分，我们可以规定最左边的就给学生A，中间的给学生B，最右边的给学生C ，于是这两块板的插法就对应着奖章的分法：（种）什么是插板法把m个相同的球放入n个不同的篮子里不得为空：：每个间隔至多插一个板子；板子不得相邻，不得插在两端。

2例3.10个相同的桔子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1个，一共有多少种不同的放法？[答疑编号5721120103]【解答】显然本题也是用插板法对应起来，共有（种）。

对应法和解方程组月日姓名【知识要点】有些应用题给出了两个或两个以上的未知数量，要求出这些未知数量，应先把题中的条件按对应关系一一排列，分析对应的未知量的变化情况。

通过“代入法”或“加减法”消去一些求知量，使数量关系较复杂的题目变得比较简单。

解题方法(1)运用加减法解题，消去一种量；(2)把两种数量假定为一种消一组。

【典型例题】例1 买3支钢笔，2瓶墨水要付4.98元，若买5支钢笔，2瓶墨水要付7.98元，问1支钢笔和1瓶墨水各值多少元？例2 学校食堂第一次买回猪油9千克、香肠4千克，共付人民币61元，第二次买回同样的猪油3千克、香肠5千克，共付人民币35元。

问猪油和香肠每千克各多少元？例3 8千克青豆、9千克菠菜共值16.8元，9千克青豆、8千克菠菜共值17.2元。

求青豆和菠菜的单价。

例4 一段布料可做18件同样的上衣和9条同样的裤子，或者做14件同样的上衣和15条同样的裤子。

那么，全做上衣能做多少件？例5 例6随堂小测姓 名 成 绩1．2捆科技书，5捆故事书共重11.6千克，3捆故事书，2捆科技书共重8.4千克，一捆科技书与一捆故事书各重多少千克？2．国强第一天乘车5小时，步行3小时，共行187千米，第二天乘车6小时，步行2小时，共行218千米。

求乘车和步行的速度各是多少？3x ＋4y=30 y=3x 6x ＋5y=164x ＋6y=163．小卫到百货商店买了2支圆珠笔和1支钢笔，用去人民币5.5元。

如果买1支圆珠笔和2支钢笔用去人民币6.5元，问1支圆珠笔和1支钢笔的价格各是多少元？4．小红到商店买奖品。

如果买15支钢笔和12个文具盒共付66元，但她错买成同样的钢笔12支，和文具盒15个，结果多付出3元钱。

问钢笔和文具盒的单价各是多少元？5． 6．课后作业姓 名 成 绩1．学校第一次买了6个水瓶和40个茶杯，共用去268元，第二次又买了同样的6个水瓶和32个茶杯，共用去236元。

水瓶和茶杯的单价各是多少元？6x ＋10y=172 12x ＋8y=224 9x ＋2y=35＋3y=272．2台手扶拖拉机和5台脱粒机总价55000元，4台手扶拖拉机和9台脱粒机总价105000元，1台手扶拖拉机和一台脱粒机的价格各是多少元？3．3只热水瓶与8只玻璃杯共值27.6元，5只热水瓶与6只玻璃杯共值35元，一只热水瓶与一只玻璃杯各值多少元？4．一个笼子能容纳18只同样大的兔子和9只同样大的鸡，或者容纳14只同样大的兔子和15只同样大的鸡。