五年级奥数——第六讲长度与角度.ppt

1 / 4五年级奥数第六讲———平面图形面积的计算一、知识重点1. 基本平面图形特点及面积公式特点面积公式① 四条边都相等。

正方形② 四个角都是直角。

S=aa③ 有四条对称轴。

①对边相等。

长方形②四个角都是直角。

S=ab③有二条对称轴。

平行四边形三角形梯形① 两组对边平行且相等。

② 对角相等，相邻的两个角之和为180°③ 平行四边形简单变形。

①两边之和大于第三条边。

②两边之差小于第三条边。

③三个角的内角和是④有三条边和三个角，拥有稳固性。

① 只有一组对边平行。

② 中位线等于上下底和的一半。

S=ahS=ah ÷ 2S=(a+b)h ÷22. 基本解题方法：由两个或多个简单的基本几何图形组合成的组合图形，要计算这样的组合图形面积，先依据图形的基本关系，再运用分解、组合、平移、割补、添协助线等几种方法将图形变为基本图形分别计算。

【典型例题】【例 1】 已知平行四边表的面积是28 平方厘米，【练一练】假如用铁丝围成以下列图同样的求暗影部分的面积。

平行四边形，需要用多少厘米铁丝？（单位：厘米）1 / 4180°。

【例 2】求图中暗影部分的面积。

【练一练】下列图中甲和乙都是正方形，求暗影部分（单位：厘米）的面积。

（单位：厘米）【例 3】以下图，甲三角形的面积比【练一练】平行四边形ABCD 的边长乙三角形的面积大 6 平方厘米，求CE 的长度。

BC=10 厘米，直角三角形 BCE 的直角边 EC 长 8 厘米，已知暗影部分的面积比三角形 EFG 的面积大10 平方厘米。

求 CF 的长。

【例 4】两条对角线把梯形 ABCD 切割成四个三角形。

【练一练】下边的梯形 ABCD 中，下底是已知两个三角形的面积（以下图），求另两个三角形上底的 2 倍， E 是 AB 的中点，求梯形 ABCD 的面积各是多少？（单位：厘米）的面积是三角形EDB 面积的多少倍？B【练一练】【练一练】计算下边图形的面积。

第六讲钟表问题常见的钟表问题主要是讨论钟表上的时针、分针和秒针之间的位置关系，这和我们前面学习过的环形路线问题是很像的．就像前面漫画中画的一样，可以将三种针想象成绕着钟表不断奔跑的三个人，时针是一位老人，他慢悠悠的，12个小时才能在钟表上散步一圈；分针是一位中年人，他有条不紊的，一个小时走过钟表上的一圈；而秒针就像少年们，活力无限，每分钟都绕着钟表欢快的跑过．但同学们会发现，这样的速度表示法并没有明确的说明三种针的速度，所以我们考虑能不能将各个针的速度统一来表示？以前计算一个人或一个物体的速度，所用的单位总是/米秒或/千米时，很明显，在钟表问题中这样的表示法是不适用的，那我们用什么来表示时针、分针和秒针的速度呢？我们仔细观察钟表，会发现除了表示小时的12个大格，在每个大格中还有一些小格，数一数，每个大格都包含了5个小格，那整个钟面上就包含了60个小格，于是，利用这个“格”来表示分针、时针和秒针的速度．经过计算，我们容易得出：时针的速度：5格/时=格/分； 分针的速度：60格/时=1格/分；秒针的速度：3600格/时=60格/分=1格/秒．知道了速度，就可以根据以前学过的环形路线问题来分析时针和分针的运动过程，从而解决问题．练一练在下图的钟面上标出时间，并写出分针与时针相差的格数．9:00 10:00分针在时针后_____格 分针在时针后_____格1124:30 12:24分针在时针后_____格分针在时针后_____格例题1．一个时钟现在显示的时间是3点整，请问：（1）多少分钟后，时针与分针第一次重合？（2）多少分钟后，时针与分针第一次张开成一条直线？（3）多少分钟后，时针与分针第一次垂直？第二次垂直呢？分析：3点整时，分针落后时针多少格？到了重合、张成直线或者垂直的时候，又分别落后多少格？在这个过程中，分针比时针多走了多少格？练习1．2点到3点之间，什么时候时针和分针重合？什么时候时针与分针张开成一条直线？什么时候时针与分针垂直？通过前面的例题，同学们应该已经学会了最基本的钟表问题解题方法．简单钟表问题求解的关键在于计算分针和时针的路程差，要算清这一点，一定要把出发点两针之间的距离和结束点两针之间的距离算清楚．这个问题中的出发点和结束点都很清楚，因此过程比较简单，但也有很多问题出发点和结束点没有直接给出，这就需要我们自己会合理地选择．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题2．现在是10点23分，多少分钟后，时针与分针第一次垂直？分析：10点23分分针与时针相差的格数很难计算，那我们可以换一个起始时刻．练习2．现在是11点5分，多少分钟后，时针与分针第一次垂直？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -只要是涉及到钟面上分针与时针之间相差多少格的题目，都可以转化成追及问题来处理．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3．小高晚上去超市买东西，到的时候是7点24分，买完出来的时候仍然是7点多，且分针和时针所夹的角度与到超市时相同．请问：小高出来的时候是7点几分？买东西一共花了多少分钟？分析：7点24分时，分针落后时针多少格？练习3．小高晚上去超市买东西，到的时候是7点30分，买完出来的时候仍然是7点多，且分针和时针所夹的角度与到超市时相同．请问：小高出来的时候是7点几分？买东西一共花了多少分钟？钟表用上一段时间之后，有可能会变慢或变快．碰到这种类型的题目应该怎么处理呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．（1）墨莫的闹钟比标准时间每小时快3分钟．一天晚上11点，墨莫把钟校准，并把闹铃定在第二天早上6点．试问：当闹铃响起时，标准时间是几点几分？（2）萱萱的手表比标准时间每小时慢4分钟．一天早上8点，萱萱将表校准．试问：当这只表指向下午3点的时候，标准时间是几点几分？分析：比标准时间每小时快3分钟，是指标准钟的分针走了60格的同时，快钟的分针走了63格，两针的速度比时20:21．那么“比标准时间每小时慢4分钟”，说明两针的速度比是多少呢？练习4．某手表每小时比标准时间慢3分钟，若在早上4点30分校准，则手表指示为上午10点50分时，标准时间是几点几分？在一些钟表问题中，路程差的想法并不能帮助我们解决问题．这时需要我们发挥想象力，找出分针与时针的路程和．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题5．小明上了一节课，时间不到1小时，他发现下课时与上课时手表上时针与分针的位置刚好对调．请问：这一堂课上了多少分钟？分析：不妨假设上课时是三点多，下课时是四点多．我们可以在钟面上画出上课与下课时分针与时针大概的位置，然后观察在这段时间内它们分别走过的路程．例题6．在早晨6点到7点之间有一个时刻，钟面上的数字“6”恰好在时针与分针的正中央．请问：这时是6点几分？分析：同样的，画图吧，但是题目中给的信息只能知道时针和分针最后的结果，这对我们解决问题是不利的，所以考虑找到一个时针和分针开始运动的时刻，那么，你能想到找哪个时间对我们解题比较有利吗？古代的计时工具日晷是最早报“标准时”的仪器，它由晷盘和晷针组成．晷盘是一个有刻度的盘，其中央装有一根与盘面垂直的晷针，针影随太阳运转而移动在盘上的位置．那时，有钱人家里自己也装有这种钟表．埃及是第一个漏壶钟出口国．它由两个互相叠置的圆筒组成．水从上面的圆筒穿过一个小孔滴入下面的圆筒．水滴完了，就是某个时辰过去了．大一点儿的漏壶灌一次水可报六个小时，然后再重新装满水．古埃及法老王朝的钟表巧匠甚至制做了装有指针和鸣击装置的钟表，每隔一小时，一定数量的圆球便滚落到金属盖上，发出大声的鸣响．罗马人是埃及漏壶钟的主要买主．清晨，报时人大声地报出钟点，然后，每家每户便往漏壶钟里装满水．罗马诗人普拉图斯对这样的计时方法很不满意．他写道：“但愿上帝杀死发明钟点的人，……因为钟点把我的整天撕成了碎块．以前，我的肚子便是我的报时钟，在所有的钟表中它是最好和最准确的．”据说君士坦丁大帝曾经有一只奇妙的钟，即使在今天看来它也是一只极不寻常的、复杂的计时器．它有一棵树木的形状，在枝桠上坐满所有可能的动物，下面蹲着许多的狮子，时钟一敲，狮子便张开大口，发出吼声．柏拉图是第一个借助埃及的漏壶制成闹钟的人．他把下面的圆筒挂起来，使它可以旋转，过一定的时间，圆筒便翻倒，把水倒出，水又流往一个哨管，水流的冲击造成的气流使哨管吱吱作响．每隔同样的时间，柏拉图的闹钟便准时地“吹响”，催促着这位伟大哲学家的学生去上课．漏壶计时的方法持续了几千年．查理大帝在位时还从诃伦哈里发那里得到过一只装有时针和鸣击器的漏壶钟，它用纯金制成，做工精巧，富有艺术性．直到十二世纪，一名僧侣发明了沙时钟，漏壶才逐渐被沙时钟取代．最后，彼得·亨兰发明了平衡轮，克里斯蒂安·海根斯发明了摆锤，在此基础上，才制成了类似于今天的钟表．值得一提的是，沙时钟原先只用于给说教台上的神父掌握说教时间的．据考证，早在公元前2000年，中国就有了漏壶．一张公元前2679年的图样证明中国早有了类似于印度人和阿兹台克人所拥有的日晷．除此之外，中国人还用另外的方法制做了他们的计时器，例如，他们通过燃烧刻有时间标记的薰烛计算时间．另外，据说中国的一位制做钟表的能工巧匠，用各种各样的薰料制成了一种香味钟，它每小时散发出一种不同的味道．作业1.现在时刻为1:24，钟面上，时针与分针所成的角度是多少度？作业2.现在是九点整，那么多少分钟之后时针和分针第一次重合？多少分钟之后时针和分针第一次张开成一条直线？作业3.10点12分，时针和分针的夹角是多少度？之后，时针和分针第一次垂直在什么时刻？作业4.在10点至11点之间，钟面上的时针和分针可能在什么时刻相互垂直？作业5.一个快钟每小时比标准时间快4分钟．小高在标准时间晚上10:00把这个钟调到标准时间．第二天早上小高醒来时，钟面显示的时间是6:00．那么小高醒来时实际是几点几分？第六讲 钟表问题例题1. 答案：（1）41611；（2）14911；（3）83211，56511详解：3点整时，分针在时针后面15格．（1）从3点整到重合，分针比时针多走了15格，用了14151161211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分． （2）第一次张开成直线时，分针在时针前面30格．从3点整算起，分针比时针多走了45格，用了11451491211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分． （3）第一次垂直时，分针在时针前面15格．从3点整算起，分针比时针多走了30格，用了183********⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分．第二次垂直时，分针在时针前面45格．用了156********⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分．（3点整时针与分针垂直，这不算第一次）例题2. 答案：21511详解：以10点整为起始点，这时分针在时针后面50格．分针与时针第一次垂直时，分针在时针后面45格，用了155151211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分．但是这时还没有到10点23分，也就是说我们要求的是10整之后时针与分针第二次垂直的时刻．第二次垂直时，分针在时针后面15格，用了12351381211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分．223823151111-=分． 例题3. 答案：7点45211分，42811分 详解：7点24分时分针在时针后面13格．小高出来时夹角与到超市时相同，说明出来时分针在时针前面13格，逛超市用了14261281211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分，出来的时候是7点45211分．例题4. 答案：（1）5时40分；（2）15时30分详解：（1）标准钟分针走60格，闹钟分针可走63格，速度比为20:21．闹钟响起时，闹钟的分针走了760420⨯=格，标准钟的分针可走400格，用时6时40分，标准时间是5点40分．（2）标准钟分针走60格，手表分针可走56格，速度比是15:14．手表下午3点时，手表的分针走了760420⨯=格，标准钟的分针可走450格，用时7个半小时，标准时间是下午3点半．例题5. 答案：55513详解：分针与时针刚好对调，那么分针与时针的路程和刚好是1圈，即60格，这一堂课上了156********⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭分．例题6. 答案：92713详解：如图所示，从6点整到这个时刻，时针与分针共走了30格，用了19301271213⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭分．练习1. 答案：2点101011分；2点74311分；2点32711分 简答：（1）110101101211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭；（2）17401431211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭；（3）132********⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭．练习2. 答案：10511简答：从11点开始算起，需要过110101101211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分时针与分针第一次垂直，101010551111-=．练习3. 答案：44611；41611简答：7点30分时，分针在时针后面7.5格，那么出来时分针在时针前面7.5格．14151161211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭，说明用了41611分，出来时是7点44611分．练习4. 答案：11点10分简答：标准钟分针走60格，手表分针走57格，速度比是20:19．从早上4点30到手表显示的10点50分，手表的分针一共走了380格．3801920400÷⨯=，说明这段时间实际是400分钟，实际时间是11点10分．作业1. 答案：102简答：1:24时，时针与分针相差17格，176102⨯=．作业2. 答案：14911，简答：11451491211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭，14151161211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭． 作业3. 答案：126；10点分 简答：10点12分时时针与分针相差21格，216126⨯=．12241261211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭． 22611 41611分针路程 时针路程作业4.答案：10时5511分；10时23811分简答：155151211⎛⎫÷-=⎪⎝⎭，12351381211⎛⎫÷-=⎪⎝⎭．作业5.答案：5点30分简答：快钟与标准钟的速度比是16:15．到小高醒来时，快钟的分针走了480格，那么标准钟的分针走了450格，需要7.5个小时．所以小高醒来的标准时间是5点30分．。

第六讲能被30以下质数整除的数的特征课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。

为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。

要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。

可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。

这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。

这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。

大家知道，一个整数能被2整除，那么它的个位数能被2整除；反过来也对，也就是一个数的个位数能被2整除，那么这个数本身能被2整除.因此，我们说“一个数的个位数能被2整除”是“这个数能被2整除”的特征.在这一讲中，我们通过寻求对于某些质数成立的等式来导出能被这些质数整除的数的特征。

课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是，但学生写作文运用到文章中的甚少，即使运用也很难做到恰如其分。

为什么?还是没有彻底“记死”的缘故。

要解决这个问题，方法很简单，每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一则名言警句即可。

可以写在后黑板的“积累专栏”上每日一换，可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解，也可让学生个人搜集，每天往笔记本上抄写，教师定期检查等等。

这样，一年就可记300多条成语、300多则名言警句，日积月累，终究会成为一笔不小的财富。

这些成语典故“贮藏”在学生脑中，自然会出口成章，写作时便会随心所欲地“提取”出来，使文章增色添辉。

为了叙述方便起见，我们把所讨论的数N记为：观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。

随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。

第六讲钟表问题常见的钟表问题主要是讨论钟表上的时针、分针和秒针之间的位置关系，这和我们前面学习过的环形路线问题是很像的．就像前面漫画中画的一样，可以将三种针想象成绕着钟表不断奔跑的三个人，时针是一位老人，他慢悠悠的，12个小时才能在钟表上散步一圈；分针是一位中年人，他有条不紊的，一个小时走过钟表上的一圈；而秒针就像少年们，活力无限，每分钟都绕着钟表欢快的跑过．但同学们会发现，这样的速度表示法并没有明确的说明三种针的速度，所以我们考虑能不能将各个针的速度统一来表示？以前计算一个人或一个物体的速度，所用的单位总是/米秒或/千米时，很明显，在钟表问题中这样的表示法是不适用的，那我们用什么来表示时针、分针和秒针的速度呢？我们仔细观察钟表，会发现除了表示小时的12个大格，在每个大格中还有一些小格，数一数，每个大格都包含了5个小格，那整个钟面上就包含了60个小格，于是，利用这个“格”来表示分针、时针和秒针的速度．经过计算，我们容易得出：时针的速度：5格/时=格/分； 分针的速度：60格/时=1格/分；秒针的速度：3600格/时=60格/分=1格/秒．知道了速度，就可以根据以前学过的环形路线问题来分析时针和分针的运动过程，从而解决问题．练一练在下图的钟面上标出时间，并写出分针与时针相差的格数．9:00 10:00分针在时针后_____格 分针在时针后_____格1124:30 12:24分针在时针后_____格分针在时针后_____格例题1．一个时钟现在显示的时间是3点整，请问：（1）多少分钟后，时针与分针第一次重合？（2）多少分钟后，时针与分针第一次张开成一条直线？（3）多少分钟后，时针与分针第一次垂直？第二次垂直呢？分析：3点整时，分针落后时针多少格？到了重合、张成直线或者垂直的时候，又分别落后多少格？在这个过程中，分针比时针多走了多少格？练习1．2点到3点之间，什么时候时针和分针重合？什么时候时针与分针张开成一条直线？什么时候时针与分针垂直？通过前面的例题，同学们应该已经学会了最基本的钟表问题解题方法．简单钟表问题求解的关键在于计算分针和时针的路程差，要算清这一点，一定要把出发点两针之间的距离和结束点两针之间的距离算清楚．这个问题中的出发点和结束点都很清楚，因此过程比较简单，但也有很多问题出发点和结束点没有直接给出，这就需要我们自己会合理地选择．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题2．现在是10点23分，多少分钟后，时针与分针第一次垂直？分析：10点23分分针与时针相差的格数很难计算，那我们可以换一个起始时刻．练习2．现在是11点5分，多少分钟后，时针与分针第一次垂直？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -只要是涉及到钟面上分针与时针之间相差多少格的题目，都可以转化成追及问题来处理．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题3．小高晚上去超市买东西，到的时候是7点24分，买完出来的时候仍然是7点多，且分针和时针所夹的角度与到超市时相同．请问：小高出来的时候是7点几分？买东西一共花了多少分钟？分析：7点24分时，分针落后时针多少格？练习3．小高晚上去超市买东西，到的时候是7点30分，买完出来的时候仍然是7点多，且分针和时针所夹的角度与到超市时相同．请问：小高出来的时候是7点几分？买东西一共花了多少分钟？钟表用上一段时间之后，有可能会变慢或变快．碰到这种类型的题目应该怎么处理呢？- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -例题4．（1）墨莫的闹钟比标准时间每小时快3分钟．一天晚上11点，墨莫把钟校准，并把闹铃定在第二天早上6点．试问：当闹铃响起时，标准时间是几点几分？（2）萱萱的手表比标准时间每小时慢4分钟．一天早上8点，萱萱将表校准．试问：当这只表指向下午3点的时候，标准时间是几点几分？分析：比标准时间每小时快3分钟，是指标准钟的分针走了60格的同时，快钟的分针走了63格，两针的速度比时20:21．那么“比标准时间每小时慢4分钟”，说明两针的速度比是多少呢？练习4．某手表每小时比标准时间慢3分钟，若在早上4点30分校准，则手表指示为上午10点50分时，标准时间是几点几分？在一些钟表问题中，路程差的想法并不能帮助我们解决问题．这时需要我们发挥想象力，找出分针与时针的路程和．- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题5．小明上了一节课，时间不到1小时，他发现下课时与上课时手表上时针与分针的位置刚好对调．请问：这一堂课上了多少分钟？分析：不妨假设上课时是三点多，下课时是四点多．我们可以在钟面上画出上课与下课时分针与时针大概的位置，然后观察在这段时间内它们分别走过的路程．例题6．在早晨6点到7点之间有一个时刻，钟面上的数字“6”恰好在时针与分针的正中央．请问：这时是6点几分？分析：同样的，画图吧，但是题目中给的信息只能知道时针和分针最后的结果，这对我们解决问题是不利的，所以考虑找到一个时针和分针开始运动的时刻，那么，你能想到找哪个时间对我们解题比较有利吗？古代的计时工具日晷是最早报“标准时”的仪器，它由晷盘和晷针组成．晷盘是一个有刻度的盘，其中央装有一根与盘面垂直的晷针，针影随太阳运转而移动在盘上的位置．那时，有钱人家里自己也装有这种钟表．埃及是第一个漏壶钟出口国．它由两个互相叠置的圆筒组成．水从上面的圆筒穿过一个小孔滴入下面的圆筒．水滴完了，就是某个时辰过去了．大一点儿的漏壶灌一次水可报六个小时，然后再重新装满水．古埃及法老王朝的钟表巧匠甚至制做了装有指针和鸣击装置的钟表，每隔一小时，一定数量的圆球便滚落到金属盖上，发出大声的鸣响．罗马人是埃及漏壶钟的主要买主．清晨，报时人大声地报出钟点，然后，每家每户便往漏壶钟里装满水．罗马诗人普拉图斯对这样的计时方法很不满意．他写道：“但愿上帝杀死发明钟点的人，……因为钟点把我的整天撕成了碎块．以前，我的肚子便是我的报时钟，在所有的钟表中它是最好和最准确的．”据说君士坦丁大帝曾经有一只奇妙的钟，即使在今天看来它也是一只极不寻常的、复杂的计时器．它有一棵树木的形状，在枝桠上坐满所有可能的动物，下面蹲着许多的狮子，时钟一敲，狮子便张开大口，发出吼声．柏拉图是第一个借助埃及的漏壶制成闹钟的人．他把下面的圆筒挂起来，使它可以旋转，过一定的时间，圆筒便翻倒，把水倒出，水又流往一个哨管，水流的冲击造成的气流使哨管吱吱作响．每隔同样的时间，柏拉图的闹钟便准时地“吹响”，催促着这位伟大哲学家的学生去上课．漏壶计时的方法持续了几千年．查理大帝在位时还从诃伦哈里发那里得到过一只装有时针和鸣击器的漏壶钟，它用纯金制成，做工精巧，富有艺术性．直到十二世纪，一名僧侣发明了沙时钟，漏壶才逐渐被沙时钟取代．最后，彼得·亨兰发明了平衡轮，克里斯蒂安·海根斯发明了摆锤，在此基础上，才制成了类似于今天的钟表．值得一提的是，沙时钟原先只用于给说教台上的神父掌握说教时间的．据考证，早在公元前2000年，中国就有了漏壶．一张公元前2679年的图样证明中国早有了类似于印度人和阿兹台克人所拥有的日晷．除此之外，中国人还用另外的方法制做了他们的计时器，例如，他们通过燃烧刻有时间标记的薰烛计算时间．另外，据说中国的一位制做钟表的能工巧匠，用各种各样的薰料制成了一种香味钟，它每小时散发出一种不同的味道．作业1.现在时刻为1:24，钟面上，时针与分针所成的角度是多少度？作业2.现在是九点整，那么多少分钟之后时针和分针第一次重合？多少分钟之后时针和分针第一次张开成一条直线？作业3.10点12分，时针和分针的夹角是多少度？之后，时针和分针第一次垂直在什么时刻？作业4.在10点至11点之间，钟面上的时针和分针可能在什么时刻相互垂直？作业5.一个快钟每小时比标准时间快4分钟．小高在标准时间晚上10:00把这个钟调到标准时间．第二天早上小高醒来时，钟面显示的时间是6:00．那么小高醒来时实际是几点几分？第六讲 钟表问题例题1. 答案：（1）41611；（2）14911；（3）83211，56511详解：3点整时，分针在时针后面15格．（1）从3点整到重合，分针比时针多走了15格，用了14151161211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分． （2）第一次张开成直线时，分针在时针前面30格．从3点整算起，分针比时针多走了45格，用了11451491211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分． （3）第一次垂直时，分针在时针前面15格．从3点整算起，分针比时针多走了30格，用了183********⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分．第二次垂直时，分针在时针前面45格．用了156********⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分．（3点整时针与分针垂直，这不算第一次）例题2. 答案：21511详解：以10点整为起始点，这时分针在时针后面50格．分针与时针第一次垂直时，分针在时针后面45格，用了155151211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分．但是这时还没有到10点23分，也就是说我们要求的是10整之后时针与分针第二次垂直的时刻．第二次垂直时，分针在时针后面15格，用了12351381211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分．223823151111-=分． 例题3. 答案：7点45211分，42811分 详解：7点24分时分针在时针后面13格．小高出来时夹角与到超市时相同，说明出来时分针在时针前面13格，逛超市用了14261281211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分，出来的时候是7点45211分．例题4. 答案：（1）5时40分；（2）15时30分详解：（1）标准钟分针走60格，闹钟分针可走63格，速度比为20:21．闹钟响起时，闹钟的分针走了760420⨯=格，标准钟的分针可走400格，用时6时40分，标准时间是5点40分．（2）标准钟分针走60格，手表分针可走56格，速度比是15:14．手表下午3点时，手表的分针走了760420⨯=格，标准钟的分针可走450格，用时7个半小时，标准时间是下午3点半．例题5. 答案：55513详解：分针与时针刚好对调，那么分针与时针的路程和刚好是1圈，即60格，这一堂课上了156********⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭分．例题6. 答案：92713详解：如图所示，从6点整到这个时刻，时针与分针共走了30格，用了19301271213⎛⎫÷+= ⎪⎝⎭分．练习1. 答案：2点101011分；2点74311分；2点32711分 简答：（1）110101101211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭；（2）17401431211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭；（3）132********⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭．练习2. 答案：10511简答：从11点开始算起，需要过110101101211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭分时针与分针第一次垂直，101010551111-=．练习3. 答案：44611；41611简答：7点30分时，分针在时针后面7.5格，那么出来时分针在时针前面7.5格．14151161211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭，说明用了41611分，出来时是7点44611分．练习4. 答案：11点10分简答：标准钟分针走60格，手表分针走57格，速度比是20:19．从早上4点30到手表显示的10点50分，手表的分针一共走了380格．3801920400÷⨯=，说明这段时间实际是400分钟，实际时间是11点10分．作业1. 答案：102简答：1:24时，时针与分针相差17格，176102⨯=．作业2. 答案：14911，简答：11451491211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭，14151161211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭． 作业3. 答案：126；10点分 简答：10点12分时时针与分针相差21格，216126⨯=．12241261211⎛⎫÷-= ⎪⎝⎭． 22611 41611分针路程 时针路程作业4.答案：10时5511分；10时23811分简答：155151211⎛⎫÷-=⎪⎝⎭，12351381211⎛⎫÷-=⎪⎝⎭．作业5.答案：5点30分简答：快钟与标准钟的速度比是16:15．到小高醒来时，快钟的分针走了480格，那么标准钟的分针走了450格，需要7.5个小时．所以小高醒来的标准时间是5点30分．。