考研数学一(高等数学)模拟试卷59(题后含答案及解析)

考研数学一（高等数学）模拟试卷59 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 微分方程y”一4y=e2x+x的特解形式为( )．

A．ae2x+bx+c

B．ax2e2x+bx+c

C．axe2x+bx2x+cx

D．axe2x+bx+c

正确答案：D

解析：y”一4y=0的特征方程为λ2一4=0，特征值为λ1=一2，λ2=2． y”一4y=e2x的特解形式为y1=axe2x， y”一4y=x的特解形式为y2=bx+c，故原方程特解形式为axe2x+bx+c，应选(D)． 知识模块：高等数学

2． 微分方程y”一4y=x+2的通解为( )．

A．

B．

C．

D．

正确答案：D

解析：微分方程y”一4y=0的特征方程为λ2一4=0，特征值为一2，2，则方程y”一4y=0的通解为C1e—2x+C2e2x，显然方程y”一4y=x+2有特解，选(D)． 知识模块：高等数学

填空题

3． yy”=1+y’2满足初始条件y(0)=1，y’(0)=0的解为___________．

正确答案：±x

解析：令y’=p，则，解得ln(1+p2)=lny2+lnC1， 则1+p2=C1 y2，由y(0)=1，y’(0)=0得y’—±， ln|y+=±x． 知识模块：高等数学

4． 设y=y(x)过原点，在原点处的切线平行于直线y=2x+1，又y=y(x)满足微分方程y”一6y’+9y=e3x，则y(x)=___________．

正确答案：2xe3x+x2e3x

解析：由题意得y(0)=0，y’(0)=2， y”一6y’+9y=e3x的特征方程为λ2一6λ+9=0，特征值为λ1=λ2=3， 令y”一6y’+9y=e3x的特解为y0(x)=ax2e3x，代入得a=， 故通解为y=(C1+C2x)e3x+x2e3x． 由y(0)=0，y’(0)=2得C1=0，C2=2，则y(x)=2xe3x+x2e3x． 知识模块：高等数学

5． 微分方程2y”=3y2满足初始条件y(一2)=1，y’(—2)=1的特解为___________．

正确答案：x=一

解析：令y’=p，则y”==3y2，解得p2=y2+C， 由y(—2)=1，y’(一2)=1，得C1=0，所以y’==x+C2， 再由y(—2)=1，得C2=0，所求特解为x=一． 知识模块：高等数学

6． 微分方程xy’=的通解为___________．

正确答案：arcsin=ln|x|+C

解析： 知识模块：高等数学

7． 设二阶常系数非齐次线性微分方程y”+y’+qy=Q(x)有特解y=3e—4x+x2+3x+2，则Q(x)=___________，该微分方程的通解为___________．

正确答案：Q(x)=2+2x+3—12(x2+3x+2)=一12x2一34x一19，y=C1e—4x+C2e3x+x2+3x+2(其中C1，C2为任意常数)

解析：显然λ=一4是特征方程λ2+λ+q=0的解，故q=一12， 即特征方程为λ2+λ一12=0，特征值为λ1=一4，λ2=3． 因为x2+3x+2为微分方程y”+y’一12y=Q(x)的一个特解， 所以Q(x)=2+2x+3—12(x2+3x+2)=一12x2一34x一19， 且通解为y=C1e—4x+C2e3x+x2+3x+2(其中C1，C2为任意常数)． 知识模块：高等数学

8． 以y=C1e—2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为___________．

正确答案：y”+y’一2y=一sinx一3cosx

解析：特征值为λ1=一2，λ2=1，特征方程为λ2+λ一2=0， 设所求的微分方程为y”+y’一2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得 Q(x)=一sinx一3cosx，所求微分方程为y”+y’一2y=一sinx一3cosx． 知识模块：高等数学

9． 设y”一3y’+ay=一5e—x的特解形式为Axe—x，则其通解为___________．

正确答案：y=C1e—x+C2e4x+xe—x

解析：因为方程有特解Axe—，所以一1为特征值，即(—1)2—3×(一1)+a=0→a=—4，所以特征方程为λ2一3λ一4=0→λ=一1，λ=4，齐次方程y”—3y’+ay=0的通解为y=C1e—x+C2e4x，再把Axe—x代入原方程得A=1，原方程的通解为y=C1e—x+C2e4x+xe—x． 知识模块：高等数学

10． 设f(x)可导，且∫01[f(x)+xf(xt)]dt=1，则f(x)=___________．

正确答案：f(x)=e—x

解析：由∫01[f(x)+xf(xt)]dt=1得∫01f(x)dt+∫01f(xt)d(xt)=1， 整理得f(x)+∫0xf(u)du=1，两边对x求导得f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce—x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e—x． 知识模块：高等数学

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

11． 求微分方程xy”=y’2满足初始条件y(0)=y’(0)=1的特解．

正确答案： y=C2e—∫—dx=C2ex，由y(0)=1得C2=1，所以原方程的特解为y=ex． 涉及知识点：高等数学

12． 一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线．

正确答案：设切点为P(x，y)，曲线上P点处的切线为Y—y=y’(X—x)， 令X=0，得Y=y—xy’，切线与y轴的交点为Q(0，y一xy’)， 涉及知识点：高等数学

13． 设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

14． 用变量代换x=sint将方程(1一x2)一4y=0化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．

正确答案： 故原方程的通解为y=C1e—2arcsinx+C2e2arcsinx． 涉及知识点：高等数学

15． 设二阶常系数齐次线性微分方程以y1=e2x，y2=2e—x一3e2x为特解，求该微分方程．

正确答案：因为y1=e2x，y2=2e—x一3e2为特解，所以e2x，e—x也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为λ1=一1，λ2=2，特征方程为(λ+1)(λ一2)=0即λ2一λ一2=0，所求的微分方程为y”一y’一2y=0． 涉及知识点：高等数学

16． 求微分方程y”+2y’一3y=(2x+1)ex的通解．

正确答案：特征方程为λ2+2λ一3=0，特征值为λ=1，λ=一3，则y”+2y’

一3y=0的通解为y=C1ex+C2e—3x．令原方程的特解为y0=x(ax+b)ex，代入原方程得a=，所以原方程的通解为y=C1ex+C2e—3x+(2x2+x)ex． 涉及知识点：高等数学

17． 求y”一2y’一e2x=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=1的特解．

正确答案：原方程可化为y”一2y’=e2x，特征方程为λx一2λ=0，特征值为λ1=0，λ2=2，y”一2y’=0的通解为y=C1+C2e2x．设方程y”一2y’=e2x的特解为y0=Axe2x，代入原方程 涉及知识点：高等数学

18． 求微分方程y”+4y’+4y=eax的通解．

正确答案：特征方程为λ+4λ+4=0，特征值为λ1=λ2=一2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为y=(C1+C2x)e—2x． (1)当a≠一2时，因为a不是特征值，所以设原方程的特解为y0(x)=Aeax，代入原方程得A=； (2)当a=一2时，因为a=一2为二重特征值，所以设原方程的特解为y(x)=Ax2e—2x，代入原方程得A=xxe—2x． 涉及知识点：高等数学

19． 求微分方程y”+y=x2+3+cosx的通解．

正确答案：特征方程为λ2+1=0，特征值为λ1=一i，λ2=i， 方程y”+y=0的通解为y=C1cosx+C2sinx． 对方程y”+y=x2+3，特解为y1=x2+1； 对方程y”+y=cosx，特解为xsinx， 则原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+x2+1+xsinx． 涉及知识点：高等数学

20． 求微分方程x3y”‘+2x2y”一xy’+y=0的通解．

正确答案：令x=et，则xy’=D，x2y”=D(D一1)，x3y”‘=D(D—1)(D一2)，即 涉及知识点：高等数学

21． 求微分方程x2y”一2xy’+2y=x一1的通解．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

22． 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v｜t=0=v0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．

正确答案：设t时刻质点运动的速度为v(t)，阻力F=ma=解此微分方程得v(t)=v0e．由v0e=得t=ln3，从开始到t=ln3的时间内质点所经过的路程为S=∫0ln3v0e—tdt=v0． 涉及知识点：高等数学

23． 设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(x)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．

正确答案： 涉及知识点：高等数学

24． 设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知|MA|=|OA|，且L经过点()，求L的方程．

正确答案：设点M的坐标为(x，y)，则切线MA：Y—y=y’(X—x)． 令X=0，则Y=y—xy’，故A点的坐标为(0，y—xy’)． 涉及知识点：高等数学

25． 在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．

正确答案：设所求曲线为y=y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为 涉及知识点：高等数学

26． 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．

正确答案：设t时刻雪堆的半径为r，则有 涉及知识点：高等数学

27． 设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)=1，f’(x)一f(x)=a(x一1)，y=f(x)，x=0，x=1，y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．

正确答案：由f’(x)一f(x)=a(x一1)得 f(x)=[a(x一1)e∫—1dxdx+C]e—∫—1dx=Cex—ax， 由f(0)=1得C=1，故f(x)=e2—ax．所以当a=3时，旋转体的体积最小，故f(x)=ex一3x． 涉及知识点：高等数学