课时作业18：习题课　函数的概念与性质

3.1.2 函数的表示法一、选择题1．如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象．由图象可知，下列说法中错误的是( )A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13 ℃D ．这天21时的温度是30 ℃解析：这天的最高温度与最低温度相差为36－22＝14 ℃，故C 错． 答案：C2．已知f (x －1)＝1x ＋1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝11＋x B ．f (x )＝1＋xxC ．f (x )＝1x ＋2D ．f (x )＝1＋x 解析：令x －1＝t ，则x ＝t ＋1，∴f (t )＝1t ＋1＋1＝12＋t，∴f (x )＝1x ＋2. 答案：C3．函数y ＝x 2|x |的图象的大致形状是( )解析：因为y ＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，－x ，x <0，所以函数的图象为选项A.答案：A4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a 等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，符合题意．答案：A 二、填空题5．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈[0，1]2－x ，x ∈(1，2]的定义域为______，值域为______．解析：函数定义域为[0,1]∪(1,2]＝[0,2]．当x ∈(1,2]时，f (x )∈[0,1)，故函数值域为[0,1)∪[0,1]＝[0,1]． 答案：[0,2] [0,1]6．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，a ＝73.答案：737．若f (x )－12f (－x )＝2x (x ∈R )，则f (2)＝________.解析：∵f (x )－12f (－x )＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧f (2)－12f (－2)＝4，f (－2)－12f (2)＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧2f (2)－f (－2)＝8，f (－2)－12f (2)＝－4，相加得32f (2)＝4，f (2)＝83.答案：83三、解答题8．某同学购买x (x ∈{1,2,3,4,5})X 价格为20元的科技馆门票，需要y 元．试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．解析：(1)列表法x /X 1 2 3 4 5 y /元20406080100(2)图象法：如下图所示．(3)解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 9．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式． 解析：(1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9， ∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2.[尖子生题库]10．画出下列函数的图象：(1)f (x )＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)； (2)f (x )＝|x ＋2|.解析：(1)f (x )＝[x ]＝⎩⎪⎨⎪⎧…－2，－2≤x <－1，－1，－1≤x <0，0，0≤x <1，1，1≤x <2，2，2≤x <3，…函数图象如图1所示．图1 图2(2)f (x )＝|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥－2，－x －2，x <－2.画出y ＝x ＋2的图象，取[－2，＋∞)上的一段；画出y ＝－x －2的图象，取(－∞，－2)上的一段，如图2所示．。

3．2.2　奇偶性必备知识基础练1．下列函数中是偶函数的是( )A．y＝x4(x<0) B．y＝C．y＝3x－1 D．y＝|x＋1|2．下列函数是奇函数的是( )A．f(x)＝x－ B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝x，x∈(－1，1]3．已知函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )4．函数f(x)＝x2－1的图象关于( )A．x轴对称 B．y轴对称C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称5．下列函数中，既是奇函数又在定义域内是增函数的为( )A．y＝x＋1 B．y＝－x3C．y＝－ D．y＝x|x|6．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A．|f(x)|－g(x)是奇函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．f(x)＋|g(x)|是偶函数7．[2022·湖南邵阳高一期末]已知f(x)为奇函数，f(2)＝3，则f(－2)＝________．8．已知函数f(x)为偶函数，且f(x)的定义域为[a＋1，3]，则a的值为________．关键能力综合练1．若函数y＝(3x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝( )A．1 B．－1 C． D．22．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝( )A． B． C． D．13．函数f(x)＝的图象大致为( )4．[2022·广东珠海高一期末]已知f(x)是R上的偶函数，在(－∞，0]上单调递增，且f(2)＝0，则下列不等式成立的是( )A．0<f(1)<f(5)<f(－3)B．f(5)<f(－3)<0<f(1)C．f(－3)<f(－1)<0<f(1)D．f(－3)<0<f(1)<f(5)5．[2022·福建厦门高一期末]已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且f(3)＝0，则f(x－2)>0的解集是( )A．{x|－3<x<3} B．{x|x<－1或x>5}C．{x|x<－3或x>3} D．{x|x<－5或x>1}6．[2022·河北安新中学高一期末](多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋x＋5，则( )A．f(0)＝0B．函数g(x)＝xf(x)为奇函数C．f(－1)＝－7D．当x<0时，f(x)＝－x2＋x－57．定义在R上的偶函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3＋x2，则f(－2)＝________．8．已知函数f(x)＝，则f(－1)·f(1)＝________；f(x)是________(填奇、偶或非奇非偶函数).9．已知定义在R上的函数f(x)＝为偶函数．(1)求a的值；(2)判断f(x)在[0，＋∞)上的单调性，并用定义法证明．10．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－2x－3(1)求f(f(1))的值；(2)求函数f(x)的解析式；(3)把函数图象补充完整，并写出函数f(x)的单调递增区间．核心素养升级练1．[2022·河北沧州高一期末]符号函数sgn (x)是一个很有用的函数，符号函数能够把函数的符号析离出来，其表达式为sgn (x)＝若定义在R上的奇函数f(x)，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－x2＋2x，则y＝sgn (f(x))的图象是( )2．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)＋g(x)＝x3－2x2，则f(2)－g(2)＝________．3．[2022·河北石家庄高一期末]已知函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，且f()＝.(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在(－1，1)上的单调性，并用定义证明；(3)解关于t的不等式：f(t＋)＋f(t－)<0.3．2.2　奇偶性必备知识基础练1．答案：B解析：对于A，因为函数y＝x4(x<0)的定义域不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性，故A不符合题意；对于B，函数y＝f(x)＝的定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，所以函数为偶函数，故B符合题意；对于C，函数y＝f(x)＝3x－1的定义域为R，f(－x)＝－3x－1≠f(x)，所以函数不是偶函数，故C不符合题意；对于D，函数y＝f(x)＝|x＋1|的定义域为R，因为f(－1)＝0≠f(1)＝2，所以函数不是偶函数，故D不符合题意．2．答案：A解析：对于A：f(x)＝x－的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞).因为f(－x)＝(－x)－＝－(x －)＝－f(x)，所以f(x)＝x－为奇函数，故A正确；对于B: f(x)＝x2＋1定义域为R，因为f(1)＝12＋1＝2，f(－1)＝(－1)2＋1＝2，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)＝x2＋1不是奇函数，故B错误．对于C：f(x)＝x＋1定义域为R，因为f(1)＝1＋1＝2，f(－1)＝(－1)＋1＝0，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)＝x＋1不是奇函数，故C错误．对于D：f(x)＝x定义域为(－1，1]，不关于原点对称，所以f(x)＝x，x∈(－1，1]不是奇函数，故D错误．3．答案：A解析：根据函数y＝f(x)与y＝g(x)的图象，可得函数y＝f(x)·g(x)在x＝0处无意义，故排除CD；由图象可知y＝f(x)的图象关于y轴对称为偶函数，y＝g(x)的图象关于原点对称为奇函数，所以y＝f(x)·g(x)为奇函数，故排除B.4．答案：B解析：函数f(x)的定义域是实数集R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，是偶函数，∴函数f(x)图象关于y轴对称．5．答案：D解析：选项A：y＝x＋1不是奇函数，不正确；选项B：y＝－x3在R是减函数，不正确；选项C：y＝－定义域上没有单调性，不正确；选项D：设f(x)＝x|x|，f(－x)＝－x|x|＝－f(x)，f(x)是奇函数，f(x)＝x|x|＝，f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)都是单调递增，且在x＝0处是连续的，f(x)在R上单调递增，所以正确．6．答案：D解析：∵函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x).对于选项A，|f(－x)|－g(－x)＝|f(x)|＋g(x)≠±(|f(x)|－g(x))，故其不具有奇偶性；对于选项B，f(－x)－|g(－x)|＝f(x)－|g(x)|，故函数为偶函数；对于选项C，|f(－x)|＋g(－x)＝|f(x)|－g(x)≠±(|f(x)|＋g(x))，故其不具有奇偶性；对于选项D，f(－x)＋|g(－x)|＝f(x)＋|g(x)|，故函数为偶函数．综上，选D.7．答案：－3解析：因为f(x)为奇函数，f(2)＝3，所以f(－2)＝－f(2)＝－3.8．答案：－4解析：因为函数f(x)为偶函数，且f(x)的定义域为[a＋1，3]，则a＋1＋3＝0，解得a＝－4.关键能力综合练1．答案：C解析：若y＝f(x)，则f(x)＝3x2＋(1－3a)x－a为偶函数，∴f(x)＝f(－x)，即3x2＋(1－3a)x－a＝3(－x)2＋(1－3a)(－x)－a，∴2(1－3a)x＝0恒成立，可得a＝.2．答案：A解析：∵f(x)＝为奇函数，∴f(－1)＋f(1)＝0，得a＝.3．答案：A解析：函数定义域为{x|x≠±1}，f(－x)＝＝f(x)，则f(x)为偶函数，排除选项CD；又f(2)＝＝－<0，排除B.4．答案：B解析：因为f(x)是R上的偶函数，在(－∞，0]上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，f(－3)＝f(3).又因为f(2)＝0，1<2<3<5，f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(1)>f(2)>f(3)>f(5)，即f(5)<f(－3)<0<f(1).5．答案：B解析：因为f(3)＝0，则f(x－2)>0，所以f(x－2)>f(3)，因为f(x)为偶函数，所以f(|x－2|)>f(3)，因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以|x－2|>3，解得x<－1或x>5，所以不等式的解集为{x|x<－1或x>5}．6．答案：ACD解析：对于A，f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)＝0，A正确．对于B，由g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，得g(x)为偶函数，B错误．对于C，f(－1)＝－f(1)＝－7，C正确，对于D，当x<0时，－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x－5，D正确．7．答案：12解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，故可得f(－2)＝f(2)，又当x≥0时，f(x)＝x3＋x2，故可得f(2)＝12，综上所述：f(－2)＝12.8．答案：－25　奇函数解析：f(1)＝1×(4＋1)＝5，f(－1)＝－1×(4＋1)＝－5，所以f(－1)·f(1)＝－25.当x＝0时，f(0)＝0；当x>0时，f(x)＝x(4＋x)，则－x<0，则f(－x)＝－x(4＋x)＝－f(x)，当x<0时，f(x)＝x(4－x)，则－x>0，则f(－x)＝－x(4－x)＝－f(x)，综上可得，对任意x∈R，均有f(－x)＝－f(x)成立，故f(x)为奇函数．9．解析：(1)由题意可得f(x)＝f(－x)，则＝，解得a＝0.(2)f(x)在[0，＋∞)上单调递减．证明如下：由(1)可得f(x)＝，令0≤x1<x2，则x－x>0，又f(x1)－f(x2)＝－＝>0，即f(x1)>f(x2)，故f(x)在[0，＋∞)上单调递减．10．解析：(1)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∵f(1)＝1－2－3＝－4，∴f(f(1))＝f(－4)＝－f(4)＝－(16－8－3)＝－5.(2)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝(－x)2－2(－x)－3＝x2＋2x－3，∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x＋3；又f(0)＝0，∴f(x)＝.(3)f(x)图象如下图所示：结合图象可知：f(x)的单调递增区间为(－∞，－1]和[1，＋∞).核心素养升级练1．答案：C解析：依题意，f(x)是定义在R上的奇函数，图象关于原点对称．当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－x2＋2x，结合f(x)的奇偶性，作出f(x)的大致图象如图所示，根据sgn (x)的定义可知，选项C符合题意．2．答案：16解析：由题意，f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，∴f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)＝－x3－2x2，即f(x)－g(x)＝x3＋2x2，∴f(2)－g(2)＝8＋8＝16.3．解析：(1)因为函数f(x)＝是定义在(－1，1)上的奇函数，则f(－x)＝－f(x)，即＝－，可得b＝0，则f(x)＝，所以，f()＝＝a＝，则a＝1，因此，f(x)＝.(2)证明：函数f(x)在(－1，1)上是增函数，证明如下：任取x1、x2∈(－1，1)且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝＝，因为－1<x1<x2<1，则x1－x2<0，－1<x1x2<1，故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).因此，函数f(x)在(－1，1)上是增函数．(3)因为函数f(x)是(－1，1)上的奇函数且为增函数，由f(t＋)＋f(t－)<0得f(t＋)<－f(t－)＝f(－t)，由已知可得，解得－<t<0.因此，不等式f(t＋)＋f(t－)<0的解集为(－，0).。

§1.3 习题课课时目标 1.加深对函数的基本性质的理解.2.培养综合运用函数的基本性质解题的能力．1．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．k >12B ．k <12C ．k >－12D ．k <－122．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b >0成立，则必有( ) A ．函数f (x )先增后减 B ．函数f (x )先减后增 C ．f (x )在R 上是增函数 D ．f (x )在R 上是减函数3．已知函数f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则有( ) A ．f (a )＋f (b )>－f (a )－f (b ) B ．f (a )＋f (b )<－f (a )－f (b ) C ．f (a )＋f (b )>f (－a )＋f (－b ) D ．f (a )＋f (b )<f (－a )＋f (－b )4．函数f (x )的图象如图所示，则最大、最小值分别为( )A ．f (32)，f (－32)B ．f (0)，f (32)C ．f (0)，f (－32) D ．f (0)，f (3)5．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.6．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1， x ≥0，1x ，x <0，若f (a )>a ，则实数a 的取值范围是______________．一、选择题1．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知x 1>0，x 2<0，且f (x 1)<f (x 2)，那么一定有( ) A ．x 1＋x 2<0B ．x 1＋x 2>0C ．f (－x 1)>f (－x 2)D ．f (－x 1)·f (－x 2)<0 2．下列判断：①如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，那么这个函数为偶函数； ②对于定义域为实数集R 的任何奇函数f (x )都有f (x )·f (－x )≤0； ③解析式中含自变量的偶次幂而不含常数项的函数必是偶函数； ④既是奇函数又是偶函数的函数存在且唯一． 其中正确的序号为( ) A ．②③④B ．①③C ．②D ．④3．定义两种运算：a ⊕b ＝ab ，a ⊗b ＝a 2＋b 2，则函数f (x )＝2⊕x(x ⊗2)－2为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既不是奇函数也不是偶函数D ．既是奇函数也是偶函数4．用min{a，b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)＝min{|x|，|x＋t|}的图象关于直线x＝－12对称，则t的值为()A．－2B．2C．－1D．15．如果奇函数f(x)在区间[1,5]上是减函数，且最小值为3，那么f(x)在区间[－5，－1]上是()A．增函数且最小值为3B．增函数且最大值为3C．减函数且最小值为－3D．减函数且最大值为－36．若f(x)是偶函数，且当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则f(x－1)<0的解集是()A．(－1,0) B．(－∞，0)∪(1,2)C．(1,2) D．(0,2)二、填空题7．若函数f(x)＝－x＋abx＋1为区间[－1,1]上的奇函数，则它在这一区间上的最大值为____．8．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＋f(0)＝________.9．函数f(x)＝x2＋2x＋a，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，则实数a的取值范围是________．三、解答题10．已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，f(1)＝0.(1)求证：函数f(x)在(－∞，0)上是增函数；(2)解关于x的不等式f(x)<0.11．已知f(x)＝x2＋ax＋bx，x∈(0，＋∞)．(1)若b≥1，求证：函数f(x)在(0,1)上是减函数；(2)是否存在实数a，b，使f(x)同时满足下列两个条件：①在(0,1)上是减函数，(1，＋∞)上是增函数；②f(x)的最小值是3.若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．能力提升12．设函数f(x)＝1－1x＋1，x∈[0，＋∞)(1)用单调性的定义证明f(x)在定义域上是增函数；(2)设g(x)＝f(1＋x)－f(x)，判断g(x)在[0，＋∞)上的单调性(不用证明)，并由此说明f(x)的增长是越来越快还是越来越慢？13．如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD＝2x，梯形ABCD 的周长为y.(1)求出y关于x的函数f(x)的解析式；(2)求y的最大值，并指出相应的x值．1．函数单调性的判定方法 (1)定义法．(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f (x )，g (x )的单调性判断－f (x )，1f (x )，f (x )＋g (x )的单调性等．(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性． 2．二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f (x )＝a (x －h )2＋k (a >0)在区间[m ，n ]上最值问题，有以下结论： (1)若h ∈[m ，n ]，则y min ＝f (h )＝k ，y max ＝max{f (m )，f (n )}； (2)若h ∉[m ，n ]，则y min ＝min{f (m )，f (n )}， y max ＝max{f (m )，f (n )}(a <0时可仿此讨论)． 3．函数奇偶性与单调性的差异．函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只是对函数定义域内的每一个值x ，都有f (－x )＝－f (x )[或f (－x )＝f (x )]，才能说f (x )是奇函数(或偶函数)．§1.3 习题课双基演练1．D [由已知，令2k ＋1<0，解得k <－12.] 2．C [由f (a )－f (b )a －b >0，知f (a )－f (b )与a －b 同号，由增函数的定义知选C.]3．C [∵a ＋b >0，∴a >－b ，b >－a .由函数的单调性可知，f (a )>f (－b )，f (b )>f (－a )． 两式相加得C 正确．]4．C[由图象可知，当x＝0时，f(x)取得最大值；当x＝－32时，f(x)取得最小值．故选C.]5.130解析偶函数定义域关于原点对称，∴a－1＋2a＝0.∴a＝1 3.∴f(x)＝13x2＋bx＋1＋b.又∵f(x)是偶函数，∴b＝0. 6．(－∞，－1)解析若a≥0，则12a－1>a，解得a<－2，∴a∈∅；若a<0，则1a>a，解得a<－1或a>1，∴a<－1.综上，a∈(－∞，－1)．作业设计1．B[由已知得f(x1)＝f(－x1)，且－x1<0，x2<0，而函数f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此由f(x1)<f(x2)，则f(－x1)<f(x2)得－x1<x2，x1＋x2>0.故选B.]2．C[判断①，一个函数的定义域关于坐标原点对称，是这个函数具有奇偶性的前提条件，但并非充分条件，故①错误．判断②正确，由函数是奇函数，知f(－x)＝－f(x)，特别地当x＝0时，f(0)＝0，所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0.判断③，如f(x)＝x2，x∈[0,1]，定义域不关于坐标原点对称，即存在1∈[0,1]，而－1 [0,1]；又如f(x)＝x2＋x，x∈[－1,1]，有f(x)≠f(－x)．故③错误．判断④，由于f(x)＝0，x∈[－a，a]，根据确定一个函数的两要素知，a取不同的实数时，得到不同的函数．故④错误．综上可知，选C.]3．A[f(x)＝2xx2＋2，f(－x)＝－f(x)，选A.] 4．D[当t>0时f(x)的图象如图所示(实线)对称轴为x＝－t2，则t2＝12，∴t＝1.]5．D[当－5≤x≤－1时1≤－x≤5，∴f(－x)≥3，即－f(x)≥3.从而f(x)≤－3，又奇函数在原点两侧的对称区间上单调性相同，故f(x)在[－5，－1]上是减函数．故选D.]6．D[依题意，因为f(x)是偶函数，所以f(x－1)<0化为f(|x－1|)<0，又x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x－1，所以|x－1|－1<0，即|x－1|<1，解得0<x<2，故选D.]7．1解析f(x)为[－1,1]上的奇函数，且在x＝0处有定义，所以f(0)＝0，故a＝0.又f(－1)＝－f(1)，所以－－1－b＋1＝1b＋1，故b＝0，于是f(x)＝－x.函数f(x)＝－x在区间[－1,1]上为减函数，当x取区间左端点的值时，函数取得最大值1. 8．－1解析∵f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，且f(2)＝22－3＝1.∴f(－2)＝－f(2)＝－1，∴f(－2)＋f(0)＝－1.9．a>－3解析∵f(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1，∴[1，＋∞)为f(x)的增区间，要使f(x)在[1，＋∞)上恒有f(x)>0，则f(1)>0，即3＋a>0，∴a>－3.10．(1)证明设x1<x2<0，则－x1>－x2>0.∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴f(－x1)>f(－x2)．∵f(x)是奇函数，∴f(－x1)＝－f(x1)，f(－x2)＝－f(x2)，∴－f(x1)>－f(x2)，即f(x1)<f(x2)．∴函数f(x)在(－∞，0)上是增函数．(2)解若x>0，则f(x)<f(1)，∴x<1，∴0<x<1；若x<0，则f(x)<f(－1)，∴x<－1.∴关于x的不等式f(x)<0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．11．(1)证明设0<x1<x2<1，则x1x2>0，x1－x2<0.又b>1，且0<x1<x2<1，∴x1x2－b<0.∵f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(x1x2－b)x1x2>0，∴f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0,1)上是减函数．(2)解设0<x1<x2<1，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)(x1x2－b)x1x2由函数f(x)在(0,1)上是减函数，知x1x2－b<0恒成立，则b≥1. 设1<x1<x2，同理可得b≤1，故b＝1.x∈(0，＋∞)时，通过图象可知f(x)min＝f(1)＝a＋2＝3.故a＝1.12．(1)证明设x1>x2≥0，f(x1)－f(x2)＝(1－1x1＋1)－(1－1x2＋1)＝x1－x2(x1＋1)(x2＋1).由x1>x2≥0⇒x1－x2>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，得f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．所以f(x)在定义域上是增函数．(2)解g(x)＝f(x＋1)－f(x)＝1(x＋1)(x＋2)，g(x)在[0，＋∞)上是减函数，自变量每增加1，f(x)的增加值越来越小，所以f(x)的增长是越来越慢．13．解(1)作OH，DN分别垂直DC，AB交于H，N，连结OD.由圆的性质，H是中点，设OH＝h，h＝OD2－DH2＝4－x2.又在直角△AND中，AD＝AN2＋DN2＝(2－x)2＋(4－x2)＝8－4x＝22－x，所以y＝f(x)＝AB＋2AD＋DC＝4＋2x＋42－x，其定义域是(0,2)．(2)令t＝2－x，则t∈(0，2)，且x＝2－t2，所以y＝4＋2·(2－t2)＋4t＝－2(t－1)2＋10，当t＝1，即x＝1时，y的最大值是10.。

第1课时 函数的单调性必备知识基础练1．函数y ＝3x的减区间是( )A ．(－∞，0)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0，＋∞)D ．(－∞，0)，(0，＋∞)2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上是增函数的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋43．若函数f (x )＝(2a －1)x (a 为实数)是R 上的减函数，则( ) A ．a ≥12 B ．a ≤12C ．a >12D ．a <124．已知函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，则f (2)，f (π)，f (3)的大小关系是( ) A ．f (π)>f (2)>f (3) B ．f (3)>f (π)>f (2) C ．f (2)>f (3)>f (π) D ．f (π)>f (3)>f (2)5．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，且f (1－a )<f (a －3)，则a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(2，3)C ．(1，2)D ．(1，3)6．[2022·广东揭阳高一期末](多选)如图是函数y ＝f (x )的图象，则函数y ＝f (x )在下列区间单调递减的是( )A ．[－6，－4]B ．[－4，－1]C ．[－1，2]D ．[2，5]7．函数y ＝－x 2＋2x －2的单调递减区间是________.8．设函数f (x )是R 上的减函数，若f (m 2＋2)>f (2m ＋5)，则实数m 的取值范围是________．关键能力综合练1．函数f (x )＝xx －1在( )A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数2．定义域为R 的函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R ，有(x 1－x 2)·(f (x 1)－f (x 2))>0，则有( )A ．f (－2)<f (1)<f (3)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (3)<f (－2)<f (1)D ．f (3)<f (1)<f (－2)3．[2022·湖北武汉高一期末]已知二次函数y ＝x 2－2ax ＋1在区间(2，3)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]∪[3，＋∞)B ．[2，3]C ．(－∞，－3]∪[－2，＋∞)D ．[－3，－2]4．若函数f (x )是R 上的减函数，a >0，则下列不等式一定成立的是( ) A ．f (a 2)<f (a ) B ．f (a )<f (1a)C ．f (a )<f (2a )D ．f (a 2)<f (a －1)5．已知f (x )是定义在[－1，1]上的减函数，且f (2a －3)<f (a －2)，则实数a 的取值范围是( )A ．(1，2]B ．(1，3]C ．(1，4]D ．(1，＋∞)6．[2022·江苏常州高一期末](多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－kx ＋10，x ≤1，k －1x，x >1是R 上的减函数，则实数k 的可能取值有( )A ．4B ．5C ．6D ．77．若函数f (x )在R 上为增函数，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________．8．[2022·湖北武汉高一期末]若函数f (x )＝ax 2＋2x －1在区间(－∞，6)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．9．[2022·福建福州高一期末]已知函数f (x )＝x 2＋a x(a ∈R )，且f (1)＝5.(1)求a 的值；(2)判断f (x )在区间(0，2)上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋5a ，x ≥2ax ＋5，x <2是增函数．(1)求实数a 的取值范围；(2)解不等式f (2m 2－m －8)>f (m 2－3m －5).核心素养升级练1．(多选)函数f (x )满足条件：①对定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有(a －b )[f (a )－f (b )]>0；②对定义域内任意两个实数x 1，x 2都有f (x 1＋x 22)≥f （x 1）＋f （x 2）2成立，则称为G 函数，下列函数为G 函数的是( )A ．f (x )＝2x －1B ．f (x )＝4xC ．f (x )＝－x 2＋4x －3，x <1 D ．f (x )＝x 3，x >02．能说明“若函数f (x )和g (x )在R 上都是单调递增，则h (x )＝f (x )g (x )在R 上单调递增”为假命题的函数f (x )和g (x )的解析式分别是________，________．3．[2022·河北张家口高一期末]已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切m >0，n >0，都有f (mn)＝f (m )－f (n )＋2，当x >1时，总有f (x )<2.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )是定义域上的减函数；(3)若f (4)＝1，解不等式f (x －2)－f (8－2x )<－1.第1课时 函数的单调性必备知识基础练1．答案：D解析：易知函数y ＝3x 的图象如图所示，所以函数y ＝3x的单调递减区间为(－∞，0)，(0，＋∞).2．答案：A解析：对于A ，y ＝x 3在(0，＋∞)上是增函数，故A 正确． 对于B ，y ＝3－x 在(0，＋∞)上是减函数，故B 错误．对于C ，y ＝1x在(0，＋∞)上是减函数，故C 错误．对于D ，y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上是减函数，故D 错误． 3．答案：D解析：由题意知2a －1<0，解得a <12.4．答案：D解析：因为在区间[0，＋∞)上是增函数，并且π>3>2，所以f (π)>f (3)>f (2)， 所以D 选项是正确的． 5．答案：A解析：∵y ＝f (x )是定义在R 上的增函数，且f (1－a )<f (a －3)， ∴1－a <a －3，解得a >2，则a 的取值范围为(2，＋∞). 6．答案：BD解析：结合图象易知，函数f (x )在区间[－4，－1]，[2，5]上单调递减． 7．答案：(1，＋∞)解析：由题设，二次函数开口向下且对称轴为x ＝1， ∴y 在(－∞，1)上递增，(1，＋∞)上递减． 故函数的单调递减区间是(1，＋∞). 8．答案：(－1，3)解析：因为函数f (x )是R 上的减函数，则f (m 2＋2)>f (2m ＋5)等价于m 2＋2<2m ＋5，即m 2－2m －3<0，即(m ＋1)(m －3)<0，解得－1<m <3，即m ∈(－1，3).关键能力综合练1．答案：D 解析：因为f (x )＝xx －1＝1＋1x －1，定义域为{x |x ≠1}， y ＝1x －1在(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数，所以f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数． 2．答案：A解析：定义域在R 上的函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈R ，有(x 1－x 2)·(f (x 1)－f (x 2))>0， 可得函数f (x )是定义域在R 上的增函数， 所以f (－2)<f (1)<f (3). 3．答案：A解析：由题知，当－－2a 2≤2或－－2a2≥3，即a ≤2或a ≥3时，满足题意．4．答案：D解析：因为函数f (x )是R 上的减函数，a >0，A 选项，a 2－a ＝a (a －1)，当a >1时，a 2>a ，所以f (a 2)<f (a )；当0<a <1时，a 2<a ，所以f (a 2)>f (a )，即A 不一定成立；B 选项，当a >1时，a >1a ，所以f (a )<f (1a )；当0<a <1时，a <1a ，所以f (a )>f (1a)，即B不一定成立；C 选项，a >0时，2a >a ，则f (a )>f (2a )，所以C 不成立；D 选项，a 2－(a －1)＝a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，则a 2>a －1；所以f (a 2)<f (a －1)，即D一定成立．5．答案：A解析：∵f (x )是定义在[－1，1]上的减函数，且f (2a －3)<f (a －2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧2a －3>a －2－1≤a －2≤1－1≤2a －3≤1，解得1<a ≤2. 6．答案：ABC解析：因为函数f (x )是R 上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2≥1k －1>01－k ＋10≥k －1⇒2≤k ≤6.7．答案：(－∞，5)解析：因为函数f (x )是R 上的增函数，且f (x －2)<f (3)， 所以x －2<3，解得x <5.所以x 的取值范围为：(－∞，5). 8．答案：[－16，0]解析：当a ＝0时，函数f (x )＝2x －1在R 上单调递增，即f (x )在(－∞，6)上递增，则a ＝0成立，当a ≠0时，函数f (x )是二次函数，又f (x )在(－∞，6)上单调递增，由二次函数性质知，a <0成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1a ≥6a <0，解得－16≤a <0，所以实数a 的取值范围是[－16，0].9．解析：(1)由f (1)＝5得1＋a ＝5，解得a ＝4. (2)f (x )在区间(0，2)内单调递减，证明：由(1)得f (x )＝x 2＋4x ＝x ＋4x，对任意x 1，x 2∈(0，2)，且x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋4x 1－x 2－4x 2＝(x 1－x 2)＋4（x 2－x 1）x 1x 2＝（x 1－x 2）（x 1x 2－4）x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，2)，得0<x 1x 2<4，x 1x 2－4<0，又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是（x 1－x 2）（x 1x 2－4）x 1x 2>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )＝x ＋4x在区间(0，2)上单调递减．10．解析：(1)因为f (x )在R 上是增函数，所以f (x )在[2，＋∞)，(－∞，2)都单调递增．当a2≤2即a ≤4时，f (x )在[2，＋∞)单调递增； 当a >0时，f (x )在(－∞，2)单调递增； 在x ＝2处，22－2a ＋5a ≥2a ＋5，解得a ≥1. 综上所述，a 的取值范围为[1，4].(2)因为f (x )在R 上是增函数，所以f (2m 2－m －8)>f (m 2－3m －5)等价于2m 2－m －8>m 2－3m －5，化简为m 2＋2m －3>0，解得m <－3或m >1. 所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(1，＋∞).核心素养升级练1．答案：ABC解析：因为对定义域内任意不相等的实数a ，b 恒有(a －b )·[f (a )－f (b )]>0，所以f (x )是增函数，因为对定义域内任意两个实数x 1，x 2都有f (x 1＋x 22)≥f （x 1）＋f （x 2）2成立，所以f (x )为上凸函数，对于A ，函数f (x )＝2x －1是增函数，且f (x 1＋x 22)＝f （x 1）＋f （x 2）2成立，所以该函数为G 函数，故选项A 正确；对于B ，函数f (x )＝4x 是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以该函数为G 函数，故选项B 正确；对于C ，函数f (x )＝－x 2＋4x －3，x <1是增函数，且函数的图象是上凸函数，所以该函数为G 函数，故选项C 正确；对于D ，函数f (x )＝x 3，x >0是增函数，但是函数的图象是下凹函数，所以该函数不是G 函数，故选项D 错误．2．答案：f (x )＝x g (x )＝x (答案不唯一)解析：根据题意，“若函数f (x )和g (x )在R 上都是单调递增，则h (x )＝f (x )g (x )在R 上单调递增”为假命题，即函数f (x )、g (x )在R 上均为增函数，而函数h (x )＝f (x )·g (x )在R 上不是增函数， 可考虑f (x )、g (x )均为一次函数，可取f (x )＝x ，g (x )＝x ，则函数f (x )和g (x )在R 上都是单调递增， 但函数h (x )＝f (x )g (x )＝x 2在R 上不是增函数． 3．解析：(1)令m ＝n ＝1，则f (1)＝f (1)－f (1)＋2， 解得：f (1)＝2.(2)设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)－2，∵x 2x 1>1，∴f (x 2x 1)<2，f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x )是定义域上的减函数．(3)由f (x －2)－f (8－2x )<－1得：f (x －28－2x )－2<－1，即f (x －28－2x )<1，又f (4)＝1，∴f (x －28－2x)<f (4)，∵f (x )是定义域上的减函数，∴x －28－2x >4，解得：349<x <4；又⎩⎪⎨⎪⎧x －2>08－2x >0，∴2<x <4， ∴f (x －2)－f (8－2x )<－1的解集为(349，4).。

新人教版八年级下数学《函数》练习题新人教版八年级下数学《函数》练题19.1 函数19.1.1 变量与函数课前预要点感知1：在一个变化过程中，数值发生的量叫做变量，数值始终不变的量叫做常量。

预练1-1：如果直角三角形两锐角的度数分别为x、y，其关系式为y=90-x，其中变量为x，常量为90.要点感知2：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。

如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

预练2-1：如果球的体积为V，半径为R，则V=πR^3.其中自变量是R，函数是V。

要点感知3：函数自变量的取值范围既要满足函数关系式，又要满足实际问题。

预练3-1：甲乙两地相距100km，一辆汽车以每小时40km的速度从甲地开往乙地，t小时与乙地相距s km，s与t的函数解析式是s=40t，自变量t的取值范围是0≤t≤2.5.当堂训练知识点1：变量与常量1.圆周长公式C=2πR中，下列说法正确的是(B)R是变量，2、π、C为常量。

2.写出下列各问题中的数量关系，并指出各个关系式中，哪些是常量？哪些是变量？1)购买单价为5元的钢笔n支，共花去y元；变量是n，常量是5.2)全班50名同学，有a名男同学，b名女同学；变量是a、b，常量是50.3)汽车以60km/h的速度行驶了t h，所走过的路程为s km；变量是t，常量是60.知识点2：函数的有关概念3.下列关系式中，一定能称y是x的函数的是(B)y=3x-1.4.若93号汽油售价7.85元/升，则付款金额y(元)与购买数量x(升)之间的函数关系式为y=7.85x，其中x是自变量，y是的函数。

5.当x=2和x=-3时，分别求下列函数的函数值。

1)y=(x+1)(x-2)；当x=2时，y=0；当x=-3时，y=20.2)y=2x^2-3x+2；当x=2时，y=8；当x=-3时，y=29.知识点3：函数的解析式及自变量的取值范围6.（云南中考）函数y=(x-2)/x的自变量x的取值范围为(x≠2)。

3．1.1　函数的概念必备知识基础练1．下列四个图形中，不是以x为自变量的函数的图象是( )2．已知函数f(x)＝＋，则f(3)＝( )A．1 B．2C．3 D．43．已知函数f(x)＝x，则下列函数与f(x)表示同一函数的是( )A．y＝B．y＝C．y＝()2D．y＝4．函数y＝f(x)与y轴的交点个数为( )A．至少1个 B．至多一个C．有且只有一个 D．与f(x)有关，不能确定5．[2022·广东深圳高一期末]函数f(x)＝的定义域为( )A．[1，2)∪(2，＋∞) B．(1，＋∞)C．[1，2) D．[1，＋∞)6．[2022·山东青岛高一期末](多选)下面选项中，变量y是变量x的函数的是( ) A．x表示某一天中的时刻，y表示对应的某地区的气温B．x表示年份，y表示对应的某地区的GDP (国内生产总值)C．x表示某地区的学生某次数学考试成绩，y表示该地区学生对应的考试号D．x表示某人的月收入，y表示对应的个税7．函数f(x)＝的定义域是________．8．已知函数f(x)＝－1，且f(a)＝3，则a＝________．关键能力综合练1．[2022·安徽歙县高一期末]∀x∈R，[x]表示不超过x的最大整数，十八世纪，函数y＝[x]被“数学王子”高斯采用，因此得名高斯函数，人们更习惯称之为“取整函数”，则[4.8]－[－3.5]＝( )A．0 B．1 C．7 D．82．学习了函数的概念后，对于构成函数的要素：定义域、对应关系和值域，甲、乙、丙三个同学得出了各自的判断：甲：存在函数f(x)，g(x)，它们的定义域相同，值域相同，但对应关系不同；乙：存在函数f(x)，g(x)，它们的定义域相同，对应关系相同，但值域不同；丙：存在函数f(x)，g(x)，它们的对应关系相同，值域相同，但定义域不同．上述三个判断中，正确的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．03．函数f(x)＝－(x＋3)0的定义域是( )A．(－∞，－3)∪(3，＋∞)B. (－∞，－3)∪(－3，3)C．(－∞，－3)D．(－∞，3)4．若函数f(x)＝3x－1，则f(f(1))的值为( )A．2 B．4C．5 D．145．已知函数f(x)＝的定义域为R，则a的取值范围是( )A．[0，1] B．(0，＋∞)C．[1，＋∞) D．[0，＋∞)6．(多选)下列各组函数是同一个函数的是( )A．f(x)＝·与g(x)＝B．f(x)＝ 与g(x)＝xC．f(x)＝与g(x)＝D．f(x)＝与g(x)＝7．[2022·江苏盐城高一期末]函数f(x)＝的定义域为________．8．[2022·辽宁营口高一期末][x]为不超过x的最大整数，若函数f(x)＝[x]，x∈(a，b)，f(x)的值域为{－1，0，1，2}，则b－a的最大值为________．9．求下列函数的定义域：(1)y＝·；(2)y＝.10．已知定义域为R的函数f(x)＝2x2－3和g(x)＝4x，求f(g(－1))，g(f(－1))，f(f(－2))，g(g(－2))的值．核心素养升级练1．已知函数f(x)的定义域为(0，4)，则函数g(x)＝的定义域为( )A．(0，16) B．(－1，2)C．(－1，0)∪(0，2) D．(－2，0)∪(0，2)2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为f(x)＝x2，值域为{0，1}的“同族函数”共有________个．3．已知函数f(x)＝.(1)求f(2)＋f()，f(3)＋f()的值；(2)求证：f(x)＋f()是定值；(3)求f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＋f()＋f()＋…＋f()的值．3．1.1　函数的概念必备知识基础练1．答案：C解析：由函数定义：定义域内的每一个x都有唯一函数值与之对应，A、B、D选项中的图象都符合；C项中对于大于零的x而言，有两个不同的函数值与之对应，不符合函数定义．2．答案：C解析：f(3)＝＋＝3.3．答案：A解析：f(x)＝x的定义域是R，四个选项中，B选项定义域是{x|x≠0}，C选项定义域是{x|x≥0}，不是同一函数，AD选项定义域都是R，D选项对应法则是y＝|x|，不是同一函数，A选项化简后为y＝x，是同一函数．4．答案：B解析：由函数定义可知，定义域包含x＝0时，则与y轴有1个交点，当定义域不包含x＝0时，则与y轴无交点，所以函数y＝f(x)与y轴的交点个数最多为1个．5．答案：A解析：函数f(x)＝有意义，则有，解得x≥1且x≠2，所以原函数的定义域是[1，2)∪(2，＋∞).6．答案：ABD解析：ABD均满足函数的定义，C选项，同一个分数可以对应多个考试号，不满足对于任意的x，都有唯一的y与其对应，故C选项错误．7．答案：(－2，＋∞)解析：x＋2>0，x>－2，所以f(x)的定义域为(－2，＋∞).8．答案：16解析：因为f(x)＝－1，f(a)＝3，所以－1＝3，解得：a＝16.关键能力综合练1．答案：D解析：由题意可知[4.8]－[－3.5]＝4－(－4)＝8.2．答案：B解析：甲：f(x)＝x2，g(x)＝|x|，两个函数的定义域和值域相同，但对应关系不同，故甲正确；乙：根据函数相等的定义可知，若两个函数的定义域相同，对应关系相同，值域一定相同，故乙错误；丙：f(x)＝x2，x∈(1，2)，g(x)＝x2，x∈(－2，－1)，两个函数的对应关系相同，值域相同，但定义域不同，故丙正确．3．答案：B解析：由f(x)＝－(x＋3)0，则，解得x<3且x≠－3，所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，3).4．答案：C解析：由f(x)＝3x－1，所以f(1)＝2，所以f(f(1))＝f(2)＝5.5．答案：D解析：由题意，函数f(x)＝有意义，则满足ax2＋1≥0，因为函数f(x)的定义域为R，即不等式ax2＋1≥0在R上恒成立，当a＝0时，1≥0恒成立，符合题意；当a>0时，ax2＋1≥0恒成立，符合题意．当a<0时，不符合题意，综上可得，实数a的取值范围是[0，＋∞).6．答案：CD解析：A选项，f(x)的定义域为{x|x≥1}，g(x)的定义域为{x|x≤－1或x≥1}，不是同一个函数．B选项，f(x)＝，x≤0，f(x)＝＝－x≠g(x)，不是同一个函数．C选项，f(x)＝＝＝g(x)，是同一个函数．D选项，f(x)＝＝1(x>0)，g(x)＝＝1(x>0)，是同一个函数．7．答案：[1，5]解析：由－x2＋6x－5≥0，得x2－6x＋5≤0，(x－1)(x－5)≤0，解得1≤x≤5，所以函数的定义域为[1，5].8．答案：4解析：因为函数f(x)＝[x]，x∈(a，b)，f(x)的值域为{－1，0，1，2}，所以b最大取到3，a最小取到－1，所以b－a的最大值为3－(－1)＝4.9．解析：(1)依题意⇒2≤x≤3，所以函数的定义域为[2，3].(2)依题意，解得－2≤x<2且x≠－.所以函数的定义域为[－2，－)∪(－，2).10．解析：由已知g(－1)＝4×(－1)＝－4，f(－1)＝2×(－1)2－3＝－1，同理g(－2)＝－8，f(－2)＝5，所以f(g(－1))＝f(－4)＝29，g(f(－1))＝g(－1)＝－4，f(f(－2))＝f(5)＝47，g(g(－2))＝g(－8)＝－32.核心素养升级练1．答案：C解析：因为f(x)的定义域为(0，4)，所以0<x2<4，解得－2<x<0或0<x<2.又因为x＋1>0，解得x>－1，所以g(x)的定义域为(－1，0)∪(0，2).2．答案：3解析：已知函数解析式为f(x)＝x2，值域为{0，1}的“同族函数”的定义域可以为：{0，1}，{0，－1}，{0，－1，1}，所以“同族函数”共有3个．3．解析：(1)f(x)＝，f(2)＋f()＝＋＝1，f(3)＋f()＝＋＝1.(2)f(x)＋f()＝＋＝＋＝1.(3)f(2)＋f(3)＋…＋f(2 022)＋f()＋f()＋…＋f()＝[f(2)＋f()]＋[f(3)＋f()]＋…＋[f(2 022)＋f()]＝2 021×1＝2 021.。

3．1.2 函数的表示法必备知识基础练1．函数y ＝x －1(x ≥0)的图象是( ) A ．一条射线 B ．一条线段 C ．两条射线 D ．一条直线2．已知函数f (x )的对应关系如下表，函数y ＝g (x )的图象为如图所示的曲线ABC ，其中A (1，3)，B (2，1)，C (3，2)，则f (g (2))＝( )A ．3B ．2C ．1D ．03．已知f (x )是反比例函数，且f (－3)＝－1，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝－3x B. f (x )＝3xC ．f (x )＝3xD ．f (x )＝－3x4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，1x，x >1，则f (f (－1))＝( )A ．2B ．12C ．1D ．－15．已知函数f (x )和g (x )的定义域为{2，3，4，5}，其对应关系如下表，则g (f (x ))的值域为( )A.{2，3} B ．{2，C ．{3，4} D ．{2，3，4}6．(多选)下列给出的式子是分段函数的是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤52x ，x <1B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R x 2，x ≥2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5x 2，x ≤1D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0x －1，x ≥57．已知二次函数f (x )的图象经过点(－3，2)，顶点是(－2，3)，则函数f (x )的解析式为________．8．[2022·广东梅州高一期末]已知f (2x －1)＝x 2－2x ，则f (0)＝________．关键能力综合练1．某学生离家去上学，一开始岀发，心情轻松，缓慢行进，后来发现时间比较紧，为了赶时间开始加速，走完余下的路程．下列图形中，纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是( )2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0－2x ，x >0，若f (x )＝5，则x 的值是( )A ．－2B ．2或－52C ．2或－2D ．2或－2或－523．函数y ＝x ＋|x |x的图象是( )4．已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ＋3，则函数y ＝f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－6x ＋4 B ．f (x )＝x 2－4x ＋6 C ．f (x )＝x 2－4x －4 D ．f (x )＝x 2－6x ＋115．已知函数f (x )是一次函数，且f [f (x )－4x ]＝5恒成立，则f (2)＝( ) A ．1 B ．3 C ．7 D ．96．(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5，x ≤0，x ＋1x ，x >0，若f (f (a ))＝2，则实数a 的值为( )A ．－2B ．－43C ．－1D ．17．[2022·广东深圳高一期末]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <3f （x －2），x ≥3，则f (f (5))＝________．8．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (－x )＝2x ＋3，则f (x )＝________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －1，x ≥01x，x <0且f (2)＝0.(1)求f (f (1))；(2)若f (m )＝－m ，求实数m 的值．10．求下列函数的解析式．(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )； (2)若函数f (x ＋1)＝x －1，求f (x ).核心素养升级练1．(多选)具有性质f (1x)＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数，其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．f (x )＝x －1xB ．f (x )＝x ＋1xC ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <10，x ＝1－1x ，x >1D ．f (x )＝x 2－1x2．对于任意的实数x 1、x 2，min{x 1，x 2}表示x 1、x 2中较小的那个数．若函数f (x )＝2－x 2，g (x )＝x ，记h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则h (x )的解析式为________________．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x >02，x ＝01－2x ，x <0(1)画出函数f (x )的图象；(2)求f (f (3))，f (a 2＋1)(a ∈R )的值；(3)当f (x )≥2时，求x 的取值范围．3．1.2 函数的表示法必备知识基础练1．答案：A解析：函数y ＝x －1为一次函数，图象为直线，但是当x ≥0时，所得到的图象为一条射线．2．答案：B解析：观察函数y ＝g (x )的图象得：g (2)＝1，由表格知：f (1)＝2，所以f (g (2))＝2. 3．答案：B解析：设f (x )＝k x(k ≠0)， ∵f (－3)＝k－3＝－1，∴k ＝3， ∴f (x )＝3x.4．答案：B解析：根据题意，因为f (－1)＝2，所以f (f (－1))＝f (2)＝12.5．答案：B解析：g (f (2))＝g (4)＝2，g (f (3))＝g (2)＝4，g (f (4))＝g (5)＝4，g (f (5))＝g (2)＝4，所以所求值域是{2，4}．6．答案：AD解析：对于A ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤52x ，x <1，定义域为[1，5]∪(－∞，1)＝(－∞，5]，且[1，5]∩(－∞，1)＝∅，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故A 正确；对于B ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈Rx 2，x ≥2，定义域为R ∪[2，＋∞)＝R ，但R ∩[2，＋∞)＝[2，＋∞)≠∅不满足函数的定义，如当x ＝2时，f (2)＝3和4，故不是函数，故B 错误；对于C ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5x 2，x ≤1，定义域为[1，5]∪(－∞，1]＝(－∞，5]，且[1，5]∩(－∞，1)＝{1}，且f (1)＝5和1，故不是函数，故C 错误；对于D ：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0x －1，x ≥5，定义域为(－∞，0)∪[5，＋∞)，且(－∞，0)∩[5，＋∞)＝∅，符合函数定义，且在定义域的不同区间，有不同的对应关系，故D 正确．7．答案：f (x )＝－x 2－4x －1解析：根据顶点为(－2，3)，设f (x )＝a (x ＋2)2＋3(a ≠0)， 由f (x )过点(－3，2)，得2＝a ×1＋3， 解得a ＝－1，所以f (x )＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1. 8．答案：－34解析：令x ＝12，则2x －1＝0，所以f (0)＝f (2×12－1)＝(12)2－2×12＝－34.关键能力综合练1．答案：C解析：由题意知：一开始岀发，心情轻松，缓慢行进，所以开始曲线比较平缓，后来发现时间比较紧，为了赶时间开始加速，所以曲线变得越来越陡峭，又因为纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，所以开始距离最大，最后距离为0，故选C.2．答案：A解析：当x ≤0时，f (x )＝x 2＋1＝5，解得：x ＝－2或x ＝2(舍)，∴x ＝－2； 当x >0时，f (x )＝－2x ＝5，解得：x ＝－52(舍)；综上所述：x 的值是－2. 3．答案：C解析：对于y ＝x ＋|x |x，当x >0时，y ＝x ＋1；当x <0时，y ＝x －1.即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0x －1，x <0，故其图象应为C.4．答案：B解析：因为f (x ＋1)＝x 2－2x ＋3， 令t ＝x ＋1，则x ＝t －1，则f (t )＝(t －1)2－2(t －1)＋3＝t 2－4t ＋6，所以f (x )＝x 2－4x ＋6. 5．答案：D解析：因为函数f (x )是一次函数，且f [f (x )－4x ]＝5恒成立， 令f (x )－4x ＝t ，则f (x )＝4x ＋t ， 所以f (t )＝4t ＋t ＝5，解得t ＝1， 所以f (x )＝4x ＋1，f (2)＝2×4＋1＝9. 6．答案：AB解析：令f (a )＝t ，故f (t )＝2，进而得t ＝－1或t ＝1， 所以f (a )＝－1或f (a )＝1， 由于x >0时，f (x )≥2，所以3a ＋5＝－1或3a ＋5＝1，解得a ＝－2或a ＝－43.7．答案：1解析：因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <3f （x －2），x ≥3，所以f (5)＝f (3)＝f (1)＝12＝1， 所以f (f (5))＝f (1)＝12＝1. 8．答案：－2x ＋1解析：因为f (x )＋2f (－x )＝2x ＋3，① 所以f (－x )＋2f (x )＝2·(－x )＋3，② ②×2－①得，f (x )＝－2x ＋1.9．解析：(1)∵f (2)＝2a －1＝0得a ＝12，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －1，x ≥01x ，x <0，∴f (1)＝－12，∴f (f (1))＝f (－12)＝－2.(2)当m ≥0时，由f (m )＝－m 得12m －1＝－m 解得m ＝23；当m ＜0时，由f (m )＝－m 得1m＝－m ，无实数解，综上所述，m ＝23.10．解析：(1)因为f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b ，(a ≠0)， 则f (x ＋1)＝a (x ＋1)＋b ，f (x －1)＝a (x －1)＋b ， 所以3f (x ＋1)－2f (x －1)＝ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝25a ＋b ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ＝7， 所以f (x )＝2x ＋7.(2)由函数f (x ＋1)＝x －1， 令x ＋1＝t ≥0，则x ＝t 2－1， 所以f (t )＝t 2－2，所以f (x )＝x 2－2，x ∈[0，＋∞).核心素养升级练1．答案：AC解析：对于选项A ，f (1x )＝1x －x ，－f (x )＝1x－x ，故满足“倒负”变换；对于选项B ，f (1x )＝1x ＋x ，－f (x )＝－1x－x ，故不满足“倒负”变换；对于选项C ，当0＜x ＜1时，f (1x)＝－x ，－f (x )＝－x ，当x ＝1时，f (1)＝0，成立，当x ＞1时，f (1x )＝1x ，－f (x )＝1x，故满足“倒负”变换；对于选项D ，f (1x )＝1－x 3x 2，－f (x )＝1－x3x，故不满足“倒负”变换．2．答案：h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤－2或x ≥1x ，－2<x <1解析：当f (x )≤g (x )时，即2－x 2≤x ，即x 2＋x －2≥0，解得x ≤－2或x ≥1， 此时，h (x )＝min{f (x )，g (x )}＝f (x )＝2－x 2； 当f (x )>g (x )时，即2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0， 解得－2<x <1.此时，h (x )＝min{f (x )，g (x )}＝g (x )＝x .综上所述，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤－2或x ≥1x ，－2<x <1.3．解析：(1)函数f (x )的图象如图所示：(2)f (f (3))＝f (3－32)＝f (－6)＝1－2×(－6)＝13，f (a 2＋1)＝3－(a 2＋1)2＝－a 4－2a 2＋2；(3)当x >0时，f (x )≥2⇒3－x 2≥2⇒－1≤x ≤1，∴0<x ≤1； 当x ＝0时，f (x )＝2，符合题意； 当x <0时，f (x )≥2⇒1－2x ≥2⇒x ≤－12，综上所述：x 的取值范围为：(－∞，－12]∪[0，1].。

第三章单元《函数的概念与性质》作业设计课标要求本单元的学习，可以帮助学生建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系；能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题.内容包括：函数概念、函数性质、*[1]函数的形成与发展.（1）函数概念①在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念（参见案例2），体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用。

了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域。

②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数，理解函数图象的作用。

③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。

（2）函数性质①借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义。

②结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义。

③结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义。

内容分析本节课位于人教A版高中数学教材必修一的第三章的第二节本节是这一章重要环节。

是函数这一主线之下的重要内容，具有承上启下的重要作用。

本章我们用集合的语言与对应关系进一步描述了函数概念，与初中的函数定义相比较，突出了函数概念的本质:两个数集之间的一种确定的对应关系;明确了函数的三个构成要素:定义域、对应关系和值域;引入了函数符号:y=f(x).与初中基于变量关系的函数定义相比，本章基于两个实数集之间对应关系的函数定义，抽象层次显然提高了。

在今后的学习中我们会逐渐体会到这种函数定义的必要性，例如，在这种定义下，不同的函数可以进行加、减、乘、除等运算，从而使函数研究的内容和应用的范围得到扩展。

函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型。

函数的表示方法主要有解析法、图象法、列表法等.在解决问题时，面对不同的需要，选择恰当的方法表示函数是很重要的。