第02章 解析函数-习题课

《复变函数与积分变换》课程简介及教学大纲课程代码：112000531课程名称：复变函数与积分变换/Function of a Complex Variable and interal transformation课程类别：公共基础课总学时/学分：48/3开课学期：第三或四学期适用对象：非数学专业本科生先修课程：高等数学内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、傅里叶变换、拉普拉斯等内容。

一、课程性质、目的和任务本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。

本课程主要讲授复变函数与积分变换的基本理论和方法。

通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数与积分变换的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。

在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。

二、课程教学内容及要求本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、傅里叶变换、拉普拉斯共七章。

第1章复数与复变函数主要内容：1复数的概念、运算及几何表示。

2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。

3 复变函数的概念及其复变函数的极限与连续性。

基本要求：1熟悉复数概念及各种几何表示。

2掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。

3了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。

4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。

重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数的概念。

难点：用复数方法表示平面区域、曲线。

第2章解析函数主要内容：1 复变函数的导数及解析函数的概念。

2 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。

第二章 解析函数本章介绍复变函数中一个重要的概念：解析函数，并给出一个重要的判定方法：柯西黎曼条件。

最后分别介绍一些重要的单值初等解析函数及多值初等函数的分支解析。

第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼条件1、复变函数的导数：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且，0z D ∈。

如果极限()000()lim z z f z f z z z →-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0()f z '，或0z z dw dz =。

2、解析函数：定义：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数。

解析函数的导（函）数一般记为)('z f 或z z f d )(d 。

注1、 此定义也用εδ-语言给出。

注2、 可导必连续注3、解析必可导性，在一个点的可导不一定解析，可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；解析函数的四则运算：()f z 和()g x 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：(()())()()f z g x f z g z '''±=±[()()])()()()()f zg x f z g z f z g z ''=+2()()()()()()(()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''-'=≠复合求导法则：设)(z f =ζ在z 平面上的区域D 内解析，)(ζF w =在ζ平面上的区域1D 内解析，而且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ζ，那么复合函数)]([z f F w =在D 内解析，并且有z z f F z z f F d )(d d )(d d )]([d ζζ=求导的例子：（1）如果()f x a =（常数），那么；()0df z dz= （2）z 的任何多项式 n n z a z a a z P +++=...)(10在整个复平面解析，并且有 121...2)('-+++=n n z na z a a z P（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同。

复变函数第三版习题第二章解析函数习题课1. 试问函数11?z2在圆盘|z|?1内是否连续？是否一致连续？ 2. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微。

3. 设函数f(z)在区域D内解析。

证明：如果对每一点z?D，有f’(z)?0，那么f(z)在D内为常数。

4. 设函数f(z)在区域D内解析。

证明：如果f(z)满足下列条件之一，那么它在D内为常数：Ref(z)或Imf(z)在D内为常数；|f(z)|在D内为常数。

5. 证明：若函数f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解析。

6. 试用柯西-黎曼条件，证明下列函数在复平面解析：z,e,sinz,cosz 2z而下列函数不解析：z,e,sinz,cosz。

7. 证明在极坐标下的柯西-黎曼条件是：?u1?v?u?v。

?,??r?rr?????r2z8. 已知任何区域D内的解析函数f(z)一定有任意阶导数。

证明：f(z)的实部和虚部在D内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程：22?U?x2??U?y2?0 在D内，(?i22?x??22 )|f(z)|?4|f’(z)|222?y29. 试求出的e2?i、Ln(1?i)、i、1、(?2)值。

10. z?sinw及z?cosw所定义w的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数，利用对数函数求出它们的解析表达式。

11. sinhz?e?e2z?z及coshz?e?e2z?z 所定义w的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数，证明：sinhz??isiniz,coshz?cosiz, 此从关于三角函数的有关公式导出：cosh2z?sinh2z?1，sinh(z1?z2)?sinhz1coshz2?coshz1sinhz2，cosh(z1?z2)?coshz1coshz2?sinhz1sinhz2，sin(x?iy)?sinxcoshy?icosxsinhy，cos(x?iy)?cosxcoshy?isinxsinhy，dsinhzdzdcoszdz。

第一章极限部分例题例2 问函数 ()zf z z=在0z =处有无极限． 解：函数()f z 在全平面除0z =外处处有定义，当0z ≠时， 取z 沿从原点出发的射线i z e θρ=趋于原点, 由于2i i i z e w e z eθθθρρ--===, 所以22000lim limlim i i i i i z z z z e z e z ezw e e z θθθθθρρρ--→→→====== 显然极限值与θ有关, 故0lim limz z zw z→→=不存在． 另解 )(z f 的定义域是全平面除去0z =的区域．当0z ≠时， 设(cos sin )z r i θθ=+则()cos(2)sin(2)f z i θθ=-+-考虑从0z =出发的方向角为0θ的射线0l θ，则有000lim ()cos(2)sin(2)z z l f z i θθθ→∈=-+-，显然对于不同的0θ，上述极限不相同， 故 函数在0z =的极限不存在．证法三：因为 2222222()z x y xyif z z x y x y -==-++，又因为222222220000lim 1,lim 1x y y x x y x y x y x y →→==--==-++， 所以 0lim Re ()z f z →不存在，故 0lim ()z f z →不存在.练习：证明函数 Re Im (),()z zf z f z z z==在0z =处无极限． 证：0000Re 1lim ()limlim lim 1z z x x y kxz x x f z z x iy x i kx ik →→→→=====+++ 极限随k 的变化而变化，所以 0lim ()z f z →不存在. 0000Im lim ()limlim lim 1z z x x y kxz y kx kf z z x iy x i kx ik →→→→=====+++ 所以 0Im limz zz→不存在.例3 讨论函数)(21)(zzz z i z f -=)0(≠z 在原点处的极限． 解 任取从原点出发的一条射线θi re z =)sin (cos θθi r +=,由于 211()()()()22z z z z z z f z i z i z z+-=-=⋅ 2sin cos sin 2θθθ==． 故)(z f 当z 沿此射线趋于零时θ2sin )(lim 0=→z f z .显然极限与射线的方向有关． 所以)(lim 0z f z →不存在.（如图1.20）法二：令,,θθi i re z re z -==则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z z z z i z f 21)(θθθθθ2sin 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--i i i i re re re re i 0lim ()0Z z f Z →==0arg 4lim () 1.Z z f z π→==所以f(z)在z=0无极限.法三：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z z z z i z f 21)(22212Re()2Im()22z z z i z i zz i z -⋅== 2222)Im()Re(2yx xyzz z +==，令z 沿直线y kx =趋于零有 222222000000222lim (,)lim lim (1)1x x x y kx y kx y kx xy kx k u x y x y x k k →→→=→=→=→===+++00lim (,)x y kx u x y →=→随 k 的变化而变化，所以 )(lim 0z f z → 不存在.第二章解析函数习题课【定义2.1】设)(z f w =在某0()U z 内有定义,如果z wz ∆∆→∆0lim0)()(lim 0z z z f z f z z --=→(A =≠∞的常数）存在 (即对0ε∀>, 0δ∃>,..s t 当D z ∈且0z z δ-<时, 总有ε<---A z z z f z f 00)()(), 则称)(z f 在0z 可导或可微（其中D 为)(z f 的定义域）.A 称为)(z f 在0z 的导数, 记为)(0z f A '=或0|z z dwA dz ==,即 A ＝z w z f z ∆∆='→∆00lim)(00)()(lim 0z z z f z f z z --=→． 如果zwz ∆∆→∆0lim不存在, 则称)(z f 在0z 不可导或不可微．如果)(z f 在区域D 内每一点都可微, 则称)(z f 在D 内可微．注： 若函数)(z f 在0z 可导, 则)(z f 在0z 连续(即连续是可导的必要条件) ．例1 证明 函数2()f z z =在 0z =点可导，且导数等于0． 证明 由于 0000()()()(0)l i ml i m 0z zz f z f z f z f z z z →→--=-- 200lim lim 0z z zz z →→===，故函数2()f z z =在 0z =点可导，且导数等于0．例2 设()Re f z z =，证明 ()f z 在全平面处处不可导．证明 因为对平面上任意一点0z ，000000()()Re Re Re()f z f z z z z z z z z z z z ---==---，考虑当z 沿直线0Im Im z z =趋于0z 时000000Im Im Im Im ()()Re()limlim 1z z z z z z z z z zf z f z z z z z z z →→∈=∈=--==--考虑当z 沿直线0Re Re z z =趋于0z 时000000Re Re Re Re ()()Re()limlim 0z z z z z z z z z zf z f z z z z z z z →→∈=∈=--==-- ；所以当0z z →时,极限000Re()lim z z z z z z →--不存在，即()f z 在0z 没有导数．由0z 的任意性知函数()f z 在全平面处处不可导．结论：函数nz z f =)(在z 平面上处处可导, 且1)(-='n n nzz (n 为正整数) ．练习：试说明函数 224(),0()0,0xy x iy z f z x y z ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在原点不可导.提示 2224242442000()(0)lim lim lim 01y y y x kyx kyf z f xy ky kz x y k y y k →→→==-===-+++ 则()f z 在原点的导数随k 而变化，故结论成立.)(z f 在点0z 解析--------- )(z f 在点0z 的某邻域内处处可导； )(z f 在区域D 解析-------)(z f 在区域D 内内每一点可导称； )(z f 在闭区域D 上解析------ )(z f 在区域G 内解析, G D ⊂． 0z 为)(z f 的奇点-------- )(z f 在0z 处不解析.解析函数我们有如下法则：1) 四则运算：如果)(z f , )(z g 都在区域D 内解析, 则他们的和、 差、乘积以及商(商的情形要求分母函数不为零)在区域D 内仍解析, 并且 [()()]()()f z g z f z g z '''±=± ；[()()]()()()f z g z f z g z f z g z '''⋅=+⋅； 2()()()()()[](()0)()()f z f zg z f z g z g z g z g z ''⋅-⋅'=≠．另：（1）常数的导数为零．（2）()1n n znz-'=（n 为正整数）；（3）[()]()kf z kf z ''=（k 为常数）． （4）多项式函数n n na za za z P +++=- 110)(在z 平面上解析, 且12110)1()(---++-+='n n n a za n zna z p（5）而有理函数mmn n b zb a z a z R ++++= 00)(在z 平面上使分母不为零点处处都是解析的．2) 复合函数求导法则：设()f z ξ=在z 平面上的区域D 内解析,()w g ξ=在ξ平面上的区域G 内解析, 并且()f D G ⊂, 则复合函数[()]w g f z =在区域D 内也解析, 并且{[()]}()()[()]()g f z g f z g f z f z ξ'''''=⋅=⋅．3) 反函数求导法则：设函数()w f z =在区域D 内为解析函数且()0f z '≠，又反函数1()()z f w w ϕ-==存在且连续，则()11()|()(())z w w f z f w ϕϕϕ='==''． 提问：1.设41()(1)4f z z i z =-+，则方程 ()0f z '=的全部解为 . 答案:32244(1)0sin )33k k z i z i ππππ++-+=⇒==+(其中 0,1,2)k =2.若0z 是函数 ()f z 的奇点，则()f z 在点0z 不可导.（ × ）3.若0z 是函数 ()f z 的解析点，则()f z 在点0z 可导. （ √ ）4.0()f z '存在，则()f z 在点0z 解析. （ × ） 定理:设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微（可导）⇔),(),,(y x v v x u 在点(,)x y 可微;且满足xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（ 柯西—黎曼条件也称为C R -方程 ）．如果),(),()(y x iv y x u z f +=在点iy x z +=可微， 则有导数公式yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(．（由C R -方程还可以写出其它形式）特别注意：C R -方程是函数可导的必要而非充分条件.例如：函数 2222220(,)(,)00xy x y x y u x y v x y x y ⎧+≠⎪+==⎨⎪+=⎩令 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则()f z 在点0z =处满足C R -方程即0,0u v u v x y y x ∂∂∂∂===-=∂∂∂∂，但是由于()f z 在点0z =处不连续，所以函数在0z =处不可导.【推论】※设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微的充分条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=处具有一阶连续的偏导数； (2) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=满足C —R 条件．【定理2.2】 设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在D 内解析的充要条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在D 内处处可微； (2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C R -方程x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,． 【推论】设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上， 则)(z f 在D 内解析的充分条件是 (1) ),(),,(y x v v x u 在D 内具有一阶连续的偏导数； (2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C —R 方程．提问：5.函数 22()f z x iy =+在点1z i =+处是（B ）（A ）不可导的. (B) 可导的. (C) 解析的. (D)既不可导也不解析. 解 由C-R 方程可推出在 x y =上()f z 可导，在复平面上处处不 解析.6．若)(z f 在曲线C 上每点不解析，则)(z f 在C 上不可导．（ ⨯ ） 7．若)(z f 在曲线C 上每点可导，则)(z f 在C 上每一点解析．（ ⨯ ） 练习：（1）讨论函数iy xz f -=2)(的可微性与解析性．解 记2),(x y x u =, y y x v -=),(,因 0,2=∂∂=∂∂y u x x u , 1,0-=∂∂=∂∂yvx v ,显然它们都是连续.由C —R 方程得,12-=x 即21-=x ,所以 iy x z f -=2)(仅在直线21-=x 上可导, 但在z 平面上处处不解析．(2) 讨论函数 3232()3(3)f z x xy i y x y =+++的可导性与解析性． 解 记 32(,)3u x y x xy =+, 32(,)3v x y y x y =+, 因2233,6u u x y xy x y ∂∂=+=∂∂, 226,33,v vxy y x x y ∂∂==+∂∂,显然它们都是连续的． 要使C —R 条件满足, 只需0xy = 即()f z 仅在x 轴或y 轴上的点可导， 但在z 平面上处处不解析．例3 求函数 ()f z ＝Im Re z z z ⋅-在可导点处的导数． 解 ()f z ＝2Im Re z z z xy x iy ⋅-=-+，则(,)u x y xy x =-,2(,)v x y y =，1,,0,2,u u v v y x y x y x y∂∂∂∂=-===∂∂∂∂四个一阶偏导数连续， 由C —R 方程得01x y =⎧⎨=-⎩故函数 ()f z 仅在一点z i =-可导，且导数为()(1)|2z i f i y =-'-=-=-．提问：“若函数()f z u iv =+在区域D 内解析, 则函数()i f z 也在区域D 内解析”的说法正确吗？答：正确. 因为()()i f z if z =-, 而()f z 在区域D 内解析, 所以()i f z 也在区域D 内也解析．例4 判断函数 ()f z ＝232x y i +在何处可导，何处解析，并求(3),(32)f i f i ''++．解 2(,)u x y x =, 3(,)2v x y y =，22,0,0,6,u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂四个一阶偏导数连续，由C —R 方程得23x y =故 函数 ()f z 仅在曲线23x y =上可导，又点3z i =+在此曲线上，所以(3)f i '+存在且(3)f i '+＝6，而32z i =+不在曲线上， 所以 (32)f i '+ 不存在．故函数 ()f z 仅在z i =-可导,且()(1)|2z i f i y =-'-=-=-． 例5判断函数 ()f z ＝322331(3)x xy i x y y -++-在复平面上 的解析性；若解析，试求()f z '．解 32(,)31u x y x xy =-+, 23(,)3v x y x y y =-，2233,6u u x y xy x y ∂∂=-=-∂∂，6v xy x∂=∂，2233v x y y ∂=-∂，四 个一阶偏导数连续， C —R 方程恒xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,成立， 故函数 ()f z 在复平面上处处解析且3()1f z z =+，()f z '＝23z ．例6 求实数,a b ，使()f z =2()x y i ax by -++在复平面上解析. 解()()2f x x y i ax by =-++在复平面上处处解析设(),2u x y x y =-，(),v x y ax by =+，则2u x ∂=∂ 1u y ∂=-∂ v a x∂=∂ v b y ∂=∂满足C R -条件 u v x y∂∂⇒=∂∂ ⇒2b = u v y x ∂∂⇒=-∂∂⇒1a =. 练习:设3232(,)()f x y my nyx i x xly =+++为解析函数，试确定n m l ,,的值.解：令32(,)u x y my nyx =+, 32(,)v x y x lxy =+,iv u y x f +=),(，则2x u nxy =, 323y u my nx =+, 223x v x ly =+, 2y v lxy =,这四个一阶偏导数存在且连续，因为解析函数()f z 满足C-R 方程，即：x y u v =，y x u v =-，亦即：lxy nxy 22=且323my nx +=22(3)x ly -+解得：m =1, 3-==l m .例7 函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一, 证明: )(z f 在区域D 内必为常数．(1) ()0f z '=．（2）Re ()f z =常数．（3）)(z f 在区域D 内解析. (4) )(z f 在区域D 内为常数．（5）c bv au =+，其中a,b,c 为不 全为零的实常数.证明(1) 由()0u v v u f z i i x x y y∂∂∂∂'=+=-=∂∂∂∂ 知 0u v v u x x y y ∂∂∂∂====∂∂∂∂，故 u ，v 都是常数，从而 )(z f 在D 内必为常数．（2）因为 u ＝常数，故0u u x y ∂∂==∂∂，由C R -方程 v v x y∂∂=∂∂＝0，从而 )(z f 在D 内必为常数． (3) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则),(),()(y x iv y x u z f -=.由题设)(z f 和)(z f 都在区域D 内解析,由C —R 条件得x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,, x v y u y v xu ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,, 解得 0,0=∂∂=∂∂y u x u , 0,0=∂∂=∂∂yv x v 再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在区域D 内为常数．(4) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则222)(v u z f +=. 由题设)(z f 在区域D 内解析, 且)(z f 为常数, 记为A , 从而xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, (1) 222A v u =+ (2)由(2)式得 022=∂∂+∂∂xv v x u u (3) 022=∂∂+∂∂yv v y u u (4) 若0A =, 则0)(=z f , 结论显然成立；若0A ≠,联立(1)(3)(4)得 0,0=∂∂=∂∂y u x u ，0,0=∂∂=∂∂yv x v ； 再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在 区域D 内为常数．（5）532.4(4)P 将au bv c +=两边分别求对,x y 的偏导数得222200()000()0C R x x x x x y y x x x au bv au bv a b u au bv bu av a b v -''+='''⎧+=+=⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨''+=''-='+=⎪⎪⎩⎩⎩代入方程 当220a b +=时，00a b c ==⇒=，此与,,a b c 不同时为零矛盾，舍. 当220a b +≠时，0()0x x x x u v f z u i v '''''==⇒=+=()f z ⇒=常数.（另解）若a ≠0则有abv c u -=， 于是y y x x v ab u v a b u -=-=,. 由C-R 方程 ,x y y x u v u v ==- 得0122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-==y y y x x y v a b v a b a b u a b v a b u v ∴ 0y y bu v a=-= 从 而 ()0y y f z v iu '''=-=，故()f z 为常数.若 0a =，则由au bv c bv c v +=⇒=⇒是常量，利用C R -方程可推出u 也为常量，故()f z 为常数.说明：在讨论满足一定条件的解析函数的性质时, 柯西黎曼条件常 常起着关键的作用．例8 ※ 如果)(z f 在上半平面内解析, 则)(z f 在下半平面内解析．证明 在下半平面内任取定一点z 0以及任一点z , 则 0z ,z 都属 于上半平面, 并且 ))()(()()(0000z z z f z f z z z f z f --=-- 因为)(z f 在上半平面内解析, 所以)()()(lim 0000z f z z z f z f z z '=--→, 从而)())()((lim )()(lim 0000000z f z z z f z f z z z f z f z z z z '=--=--→→, 即)(z f 在点z 0可导. 再由z 0的任意性, )(z f 在下半平面内解析． 说明：在讨论函数的解析性时, 有时可直接利用导数的定义． 练习：1.函数在一点可导就是函数在一点解析这种说法对吗？答：不对，函数在一点解析是指函数在此点的某邻域内解析，因此只能说函数在一点解析函数在此点一定可导．2.函数在一条曲线上可导，则函数在此曲线上解析这种说法对吗？（不对，理由同上．）3.讨论下列函数的可导性 (1) z w =; (2)z w Re =或z Im .解 (1)设z x iy =+, w u iv =+,则 u =0v =. 由高数学知识知 u =, 0v =在平面上微, 所以, z w =在原点不可导.又当(,)(0,0)x y ≠时,u x ∂=∂,u y ∂=∂, 0v x ∂=∂, 0v y ∂=∂ 要使C R -条件满足, 只须0=,0=, 即0x =且0y =这与(,)(0,0)x y ≠矛盾, 故当(,)(0,0)x y ≠时u 和v 不满足C R -条件, 所以z w = 当(,)(0,0)x y ≠时, 也不可导．综上所述, z w =在平面上处处不可导．(2) 设z x iy =+, w u iv =+,则 u x =,0v =. 由高数知识 u x =与0v =在平面上可微,但 10u v x y ∂∂=≠=∂∂, 0u v y x∂∂==-∂∂, 即C R -.条件不满足, 所以, z w Re =在平面上处处不可导.同理可得, Im w z =在平面上处处不可导．5.利用z w =的不解析性据理说明函数)0(1≠=z z w 在z 平面上不解析.解 (反证法) 显然)0(1≠=z z w 在0z =不解析(因它在0z =无意义) ; 假设)0(1≠=z z w 在某一点0z '≠解析, 由解析函数的四则运算性得, z w =在某一点0z '≠也解析, 这与z w =在平面上处处不解析矛盾.故 )0(1≠=z z w 在z 平面上处处不解析．6.讨论下列函数的可微性和解析性:(1)y ix xy z f 22)(+=； (2) 22)(iy x z f +=；(3) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=.解 (1) 设()f z u iv =+, 则2u xy =, 2v x y =. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数 又2u y x ∂=∂, 2u xy y ∂=∂, 2v xy x∂=∂, 2v x y ∂=∂. 要使C R -条件满足, 只须22y x =,22xy xy =-, 即0x =且0y =所以, y ix xy z f 22)(+=仅在原点可导, 在平面上处处不解析．(2) 设()f z u iv =+, 则2u x =, 2v y =． 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2u x x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 2v y y ∂=∂． 要使C R -条件满足, 只须22x y =, 即x y =．所以, 22)(iy x z f +=仅在直线0x y -=上解析, 在平面上处处不解析．(3) 设()f z u iv =+, 则323u x xy =-, 233v x y y =-. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2233u v x y x y ∂∂=-=∂∂, 6u v xy y x∂∂=-=-∂∂, 即u ,v 满足C R -条件． 所以, )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=在平面上处处可导, 也处处解析．7.证明下列函数在平面上解析,并利用yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(分别求出其导数: (1))sin cos ()sin cos ()(y x y y ie y y y x e z f x x ++-=;(2) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=．证明 (1) 设()f z u iv =+,则(cos sin )x u e x y y y =-, (cos sin )x v e y y x y =+． 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又(cos cos sin )x u v e y x y y y x y∂∂=+-=∂∂, (sin sin cos )x u v e x y y y y y x∂∂=-++=-∂∂, 即u ,v 满足C.R 条件. 所以, ()f z 在平面上解析, 且()u v f z i x x∂∂'=+∂∂ (cos cos sin )(sin sin cos )x x e y x y y y ie y x y y y =+-+++[cos sin cos sin (sin cos )]x e y i y x y y y i x y y y =++-++ (cos sin )(cos sin )(cos sin )x x x e y i y e x y i y iye y i y =+++++(cos sin )(1)(1)x z e y i y x iy e z =+++=+(2) 同习题3(3)可证()f z 在平面上解析, 于是2222()3363()3u v f z i x y i xy x iy z x x∂∂'=+=-+=+=∂∂． 9.若函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一, 证明)(z f 在区域D 内必为常数.(1)在D 内0)(='z f ; (2))(Re z f 或)(Im z f 在区域D 内为常数． 证明 (1) 设()f z u iv =+. 因)(z f 在区域D 内解析,且由解析函数的导数与实部、虚部实函数的关系:yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')( 得 0u x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 0v y ∂=∂． 所以 u 和v 都是实常数. 故 )(z f 在区域D 内必为常数.(2) 设()f z u iv =+, 由题设 u 为实常数, 而)(z f 在区域D 内解析,由C.R.条件知0v u x y ∂∂=-=∂∂, 0v u y x∂∂==∂∂v 也是实常数.所以 )(z f 在区域D 内必为常数.易犯错误：函数在一点的解析性与在一个区域上的解析性概念混淆.判断函数解析性时方法不妥或错误运用概念.不能正确灵活地求函数的导数. 讲评作业522.3(2)P 确定函数 ()(,az b f z c d cz d+=+至少有一个不为零）. 解 当0c ≠时，由0d cz d z c +=⇒=-为函数的奇点.解析区域为除点d z c=-的复平面.且2()()()az b ad bc f z cz d cz d +-''==++. 当0c =时，函数在整个复平面处处解析，无奇点.且()()az b a f z d d+''==. 【定理2.3 】 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析, 则()f z 的实部(,)u x y 和虚部(,)v x y 都是D 内的调和函数.【义2.4】 若(,)u x y ,(,)v x y 都是区域D 内的调和函数,且在D 内满足柯西—黎曼方程, 即 u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂, 则称(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数.【定理2.4】若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.两个二元实函数(,)u x y 和(,)v x y 都是区域D 内的调和函数,不一定能保证复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析.反例：易证(,)u x y x =,(,)v x y y =-都是平面上的调和函数, 但 ()f z x iy z =-=在平面上处处不解析.提问：1.函数),(),()(y x iv y x u z f +=解析，则下列命题中错误的是（ C ）A 、v u ,均为调和函数B 、v 是u 的共轭调和函数C 、v u 是的共轭调和函数D 、v u 是-的共轭调和函数2.解析函数的实部是其虚部的共轭调和函数. （ × ）3.解析函数的虚部是其实部的共轭调和函数. （ √ ） 例2 设),(,()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数，且已知y x y x v y x u +=-),(),(,求函数()f z .解：方程y x y x v y x u +=-),(),(两边分别对y x ,求偏导数得：110111C R x y x x x y y y x y u u u v u u v u u u -+=-==⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==-+=⎪⎪⎪⎩⎩⎩方程，由0x u =得： )(),(y g y x u = 代入1y u =得：1)(='y g ， C y y g +=)(（C 为任意常数）从而C y y x u +=),(，(,)(,)()v x y u x y x y x C =-+=-+，所求函数为：C i iz C x i C y iv u z f )1()()(++-=+-++=+= 练习：（1）已知调和函数y x u )1(2-=,i f -=)2(,求解析函数iv u z f +=)(.解：用不定积分法求解如下：2x u y =，22y u x =-，()2(22)2(x y f z u iu y i x i z '=-=--=--221()2(1)2(1)(1)2f z i z dz i z C i z C =--=-⨯-+=--+⎰ 由i f -=)2(得 2(21)i C i --+=-，0=C ，所以：2()(1)f z i z =--（2） 已知 22()yi f z u x y=++是解析函数，且(2)0f =，求()f z . 解：22222()x y x y u v x y -''==+，2222()y x xy u v x y ''=-=+ 对此，用偏积分求u 比较方便：2222()()()y xdy u u dy g x g x x y =+=++⎰⎰22()x g x x y=-++将积分结果求对x 的偏导数得 22(,)()x u x y g x x y=-++ 2222212(),()x x u g x x y x y -'=++++()0,()g x g x c '== 所以 2222()x yi f z c x y x y =-++++ 1(2)02f c =-+= 得12c =，11()2f z z=- . 例3 证明(,)arctan y v x y x = (0x >)在右半平面内是调和函数, 并求以此为虚部的解析函数.证明 因为22v y x x y ∂-=∂+,22v x y x y∂=∂+, 则 222222()v xy x x y ∂=∂+, 222222()v xy y x y ∂-=∂+, 从而 22220v v x y ∂∂+=∂∂, 故(,)arctan y v x y x= 是右半平面内的调和函数. 下面用方法2(偏积分法)来求解析函数的实部(,)u x y .由C R -条件得 22u v x x y x y∂∂==∂∂+ -------------- (Ⅰ)2222u v y y y x x y x y∂∂-=-=-=∂∂++ -------------- (Ⅱ) 由(Ⅰ)得 221(,)ln()()2u x y x y y ϕ=++ 代入(Ⅱ)得 2222()y y y x y x yϕ'+=++, 即()0y ϕ'=, 从而 ()y C ϕ=(常数), 221(,)ln()2u x y x y C =++. 故 所求解析函数为221()ln()arctan 2y f z x y C i x =+++ (0x >)ln arg ln z C i z z C =++=+ (Re 0z >). 例5 已知调和函数 22u x y xy =-+，求一个解析函数()f z u iv =+使()1f i i =-+. 解(不定积分法) 2u x y x∂=+∂，2u y x y ∂=-+∂ ..()2(2)2C R u v u u f z i i x y i y x z iz x x x y∂∂∂∂'⇒=+=-=++-=-∂∂∂∂， 积分得 21()(2)2f z i z C =-+，由()1f i i =-+得2i C =， 故 2()122i i f z z ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 练习： 已知 22()(4)2()u v x y x xy y x y +=-++-+，试确定解析函数 ()f z u iv =+.解 ：2222(4)()(24)2(4)()(42)2,x x y y x x y xu v x xy y x y x y u v x xy y x y x y u v u v ⎧+=+++-+-⎪+=+++-+-⎨⎪==-⎩226332x yv xy v x y =⎧⎪⇒⎨=--⎪⎩ 222()332632v v f z i x y i xy z y x∂∂'⇒=+=--+=-∂∂， 积分得 3()2f z z z C ⇒=-+.例6 若()f z u iv =+为解析函数，且满足892003u v +=， 试证：()f z 必为常数.解 对892003u v +=分别求对,x y 的导数得128900890()0x x x y y y x y u v u u u C u v f z C v v v C C R ⎧+===⎧=⎧⎪⎪+=⇒⇒⇒=⎨⎨⎨===⎪⎩⎪⎩-⎩方程（常数）. 例7 求调和函数(,)x y xy φ= 的共轭调和函数.提示 设解析函数()(,)(,),(,),(,)x y y x f z x y iv x y v x y x v x y y φφφ=+=-===2(,)()2x y v x y dy ydy g x φ===+⎰⎰，2(,)()()2x y x v x y g x x g x c φ'==-=-⇒=-+ 故 (,)x y xy φ= 的共轭调和函数221(,)()2v x y y x c =-+. 例8 证明：函数2222,yx x v y x u +=-=都是调和函数，但 iv u z f +=)(不是解析函数.证明：y u x u y x 2,2-== ,,2,2-==yy xx u u()()222222222,y x xy v y x y x v y x +-=+-=()()222322232,2y x y v y x y v yy xx +-=+=0=+∴yy xx u u 0=+yy xx v v即u 是复平面上的调和函数，v 除原点外在复平面上调和。

1第二章 解析函数§2.1解析函数的概念1.复变函数的导数1）定义 2.1.1：设函数)(z f w =在点0z 的某个邻域)(0z N 内有定义，)(00z N z z z ∈∆+=，若极限zz f z z f z z z f z f z z z z ∆-∆+=--→→)()(lim)()(lim000000存在，且极限值为有限复数，则称函数)(z f w =在点0z 可导或可微，极限值称为)(z f 在点0z 的导数或微商，记为)(0z f '或0z z dz df =，或0z z dz dw=，即zz f z z f z z z f z f z f z z z z ∆-∆+=--='→→)()(lim)()(lim)(0000000。

若)(z f 在区域D 内每点z 均可导，则称)(z f 在区域D 内可导。

这时对于区域D 中的任一z ，都对应着)(z f 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数)(z f '，称之为原来函数)(z f 的导函数，有时也称为导数。

若导数)(z f '又可导，定义)()(z f dz d z f '=''，称为二阶导数，一般地，称)()()1()(z f dzd z f n n -=为)(z f 的n 阶导数。

复变函数的微分概念在形式上与一元实变函数的微分概念类似。

2）可导和连续的关系：我们知道，若复变函数在某点连续，则该函数在该点极限一定存在，反之不一定成立。

那么可导与连续有何关系？设函数)(z f w =在点0z 处可导，则由定义，对于任给的0>ε，对应存在0>δ，使得当δ<∆<z 0时，有ε<'-∆-∆+)()()(000z f zz f z z f成立。

令)()()(000z f zz f z z f '-∆-∆+=α那么0lim 0=→∆αz由此得到z z z f z f z z f ∆+∆'=-∆+α)()()(000即0])([lim )]()([lim 00000=∆+∆'=-∆+→∆→∆z z z f z f z z f z z α故有)()(lim 000z f z z f z =∆+→∆2【注】：与极限情况类似，尽管复函数导数的定义形式与一元实函数导数定义完全相同，但实际上复函数在一点可导的定义比实函数的要荷刻得多。

第二章解析函数第一讲解析函数的概念及其判定1 2 复变函数的导数及其微分导数举例及求导法则13 解析函数的概念4 判定函数在一点可导的方法5 判定函数在区域内解析的方法1 2 复变函数的导数及其微分导数举例及求导法则13 解析函数的概念4 判定函数在一点可导的方法5 判定函数在区域内解析的方法回顾 实变函数的导数与微分的概念 一元函数 0()f x '=000()()lim x f x x f x x∆∆∆→+-=0lim x y x∆∆∆→0d ()d y f x x'=()()()000()f x x f x f x x x x∆∆ρ∆∆'+-=+极限存在 连续 可导 可微1 复变函数的导数及其微分复变函数的导数若极限 ()00000()()d lim d z z z f z z f z w f z z z∆∆∆=→+-'==设函数 定义于区域 ()w f z =,D C ⊆存在，则称 在点可导, 并把这个极限值称为 0z z =()f z 000000()()()()lim =lim z z z f z z f z f z f z z z z ∆∆∆→→+---在 点的导数，记做 ()f z 0z z =若 在区域 D 内每一点都可导, 则称()f z 在区域 D 内可导. ()f z可导与连续 ()0000()()lim z f z z f z f z z ∆∆∆→+-'= 0,0, 0z εδ∆δ∀>∃><<当时，恒有()000()()f z z f z f z z∆ε∆+-'-<()()000()()f z z f z z f z z∆ρ∆∆+-'=-令()0lim 0,z z ∆ρ∆→=则()()()000()-f z z f z f z z z z∆∆ρ∆∆'+=+由此得，例1 考察的连续性与可导性. ()f z z =解 ()0()()lim z f z z f z f z z∆∆∆→+-'=0lim z z z z z∆∆∆→+-=0lim z x i y x i y ∆∆∆∆∆→-=+0lim x x ik x x ik x ∆∆∆∆∆→-=+y k x∆∆=11ik ik-=+极限不存在，虽处处连续，但处处不可导.复变函数的微分 记作 令 设函数在 可导， ()w f z =0z D ∈()()000()() f z z f z z f z z∆ρ∆∆+-'=-则 ()()000()()+w f z z f z f z z z z∆∆∆ρ∆∆'=+-=其中， ()0lim 0.z z ∆ρ∆→=()0d w f z z ∆'=且 是关于 ()0,z z z ∆ρ∆∆→z ∆为函数在 处的微分，()0f z z ∆'()w f z =0z 若函数在 的微分存在，则称函数在 z 0 可微. ()w f z =0z 的高阶无穷小，则称 ()0d f z z '=若在区域 D 内每一点都可微, 则称 在区域 D 内可微. ()f z ()f z 极限存在 连续 可导 可微1 2 复变函数的导数及其微分导数举例及求导法则13 解析函数的概念4 判定函数在一点可导的方法主要内容5 判定函数在区域内解析的方法2 导数举例及求导法则例2 求的导数. 解 一般的， 2()f z z =()220lim z z z z z ∆∆∆→+-=02lim 2z z z z z∆∆∆→==()0()()lim z f z z f z f z z∆∆∆→+-'=()1,n n z nz n Z -+'=∈例3 讨论可微性. 解 故处处不可导,从而处处不可微. 对于一个复变函数，即使实部和虚部都可微，但也可能处处不可微.21ik ik -=+()2f z x yi =-02lim x y k xx ik x x ik x ∆∆∆∆∆∆∆→=-=+()()0lim z f z z f z z∆∆∆→+-002-lim x y x i y x i y ∆∆∆∆∆∆→→=+()2f z x yi =-求导公式与法则其中c 为复常数.其中n 为正整数. (1) ()0, c '=1(2) (),nn z nz -'=[](3) ()()()().f zg z f z g z '''±=±[](4) ()()()()()().f z g z f z g z f z g z '''=+2()()()()()(5) ,(()0).()()f z f z g z f z g z g z g z g z '''⎡⎤-=≠⎢⎥⎣⎦其中 其中 ()w f z =与 ()z w ϕ=互为反函数且都是单值函数.().w g z =1(7)(),()f z w ϕ'='{}(6)[()]()(),fg z f w g z '''=1 2 复变函数的导数及其微分导数举例及求导法则13 解析函数的概念4 判定函数在一点可导的方法主要内容5 判定函数在区域内解析的方法函数在一点解析的定义设 ,若存在 的一个邻域，使得 在此邻域内 ()f z 0z 0z D ∈若在 不解析，则称为 的奇点. ()f z 0z ()f z 处处可导, 则称在 处解析. ()f z 0z 也称 是 的解析点. 0z ()f z 如果在区域 D 内处处解析，则称 在D 内解析. ()f z ()f z 定理 1若 在区域D 内可导，则 在区域D 内解析. ()f z ()f z 3 解析函数的概念（1）有没有这样一个函数，只在一点解析，而在这点的邻域 内不解析？思考题（2）闭区域解析与闭区域可导是否等价？（3）如果函数在曲线C 上可导，是否在该曲线上解析？ ()f z 结论： 函数在一点解析与在一点可导不等价,解析要求高.函数区域内解析与区域内可导是等价的.特别地,结论：（除去分母为0的点）在区域D 内解析. （2）有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析.（1）多项式在全平面内解析. ()p z ()()()(), ()(),f z f zg z f z g z g z ±设函数 在区域D 内解析, 则 (),()f z g z例4 研究下列函数的解析性.解 处处可导，处处解析;由例3知，处处不可导，处处不解析；()()21 0z z zϕ'=-≠()()22g z x yi =-()()12,f z z '=()()()()()()()()221; 22;13; 4.f z z g z x yi z h z z zϕ==-==()()13,z z ϕ=()f z 除去的复平面内处处解析. 0z =当时，上述极限存在且为0. 11ik ik -=+()z z z z zz z ∆∆∆++-=()()h z z h z z ∆∆+-()()24h z z =z z z z z ∆∆∆=++0z =0lim x y k xx ik x x ik x ∆∆∆∆∆∆∆→=-=+00lim x y x i y x i y ∆∆∆∆∆∆→→-+0lim z z z ∆∆∆→= 仅在 处可导，故处处不解析. 0z =()h z 0z ≠当时，1 2 复变函数的导数及其微分导数举例及求导法则13 解析函数的概念4 判定函数在一点可导的方法主要内容5 判定函数在区域内解析的方法可微的定义 (),z fx y =()00,U x y 设 在 内有定义，且若 则称 在 处可微.,,x y ∆∆∀()()0000,,x x y y U x y ∆∆++∈(),z fx y =()00,x y 0000(,)(,)z f x x y y f x y ∆∆∆=++-12()a x a y o ∆∆ρ=++回顾 二元实变函数微分的概念 可微的充分条件 (),,.z zz f x y x y∂∂=∂∂当连续时，可微=()()()(),w f z z f z f z z z z ∆∆∆ρ∆∆'+-=+假设在点 可微，有 z x iy =+()w f z =(),f z a ib '=+ ()(),f z z f z u i v ∆∆∆+-=+令0lim ()0,z z ∆ρ∆→=w u i v ∆∆∆=+12() ,z i ρ∆ρρ=+12()a xb y x y ∆∆ρ∆ρ∆=-+- ()x i y ∆∆⋅+()a ib =+()x i y ∆∆⋅+12()i ρρ++21()i b x a y x y ∆∆ρ∆ρ∆++++w u i v ∆∆∆=+12()a xb y x y ∆∆ρ∆ρ∆=-+- ()x i y ∆∆⋅+()a ib =+()x i y ∆∆⋅+12()i ρρ++21()i b x a y x y ∆∆ρ∆ρ∆++++21.v b x a y x y ∆∆∆ρ∆ρ∆=+++12 ,u a x b y x y ∆∆∆ρ∆ρ∆=-+-于是()120,00,0x y ρρ∆∆∴→→→→12() , z i ρ∆ρρ=+0lim ()0,z z ∆ρ∆→=21.v b x a y x y ∆∆∆ρ∆ρ∆=+++12 ,u a x b y x y ∆∆∆ρ∆ρ∆=-+-于是()120,00,0x y ρρ∆∆∴→→→→12() , z i ρ∆ρρ=+0lim ()0,z z ∆ρ∆→=0→故 是可微的，且 ()f z a ib '=+()12x y o ρ∆ρ∆ρ∴-=,.u ua b x y∂∂==-∂∂1212220x yx y ρ∆ρ∆ρρ∆∆-<<++(,)u x y ()u u f z ix y∂∂'=-∂∂⇑于是得到， 在任意一点可微(即可导)的必要条件是 ()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+ , .u v u vx y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂,.v v b a x y ∂∂==∂∂, .u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ z x iy =+同理是可微的，且 (,)v x y 在处都可微，且满足Cauchy-Reiman (,),(,)u x y v x y (,)x y 复变函数方程， ,.u ua b x y∂∂==-∂∂在任意一点处可微(即可导)的充分必要条件是 ()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+, .u v u vx y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ z x iy =+在处都可微，且满足Cauchy-Reiman (,),(,)u x y v x y (,)x y 定理1 复变函数方程， 推论1注意定理的条件v u i y y ∂∂=-∂∂()u v f z i x x∂∂'=+∂∂u u ix y ∂∂=-∂∂v v i y x∂∂=+∂∂例5 证明函数在点 满足C -R 方程，但 在点 不可导. 解 ()0,00,v x∂∴=∂u xy =()f z xy =()0,00.u y∂=∂ 0z = 0z =000lim 0.x x→-==()(),00,0limx u x u x→-=()0,0u x ∂∂(),0,v x y =同理，()0,00.v y∂=∂故 u (x ,y ) 在 (0,0) 点不可微，从而 f (z ) 在 z = 0 不可导.()()()0,0,00,0limx y u x y u x u yρρ→--2200limx y xy x y→→=+2220limx y kxx kx x k x→=⋅=+u xy=2.1k k=+1 2 复变函数的导数及其微分导数举例及求导法则13 解析函数的概念4 判定函数在一点可导的方法主要内容5 判定函数在区域内解析的方法在任意一点处可微(即可导)的充分必要条件是 在处都可微，且满足Cauchy-Reiman ()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+(,),(,)u x y v x y , .u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂ z x iy =+(,)x y 定理1 复变函数方程，在区域 D 内可微(即可导)的充分必要条件是在 内可微，且在 D 内满足Cauchy-Reiman()(,)(,)w f z u x y iv x y ==+(,),(,)u x y v x y , .u v u v x y y x∂∂∂∂==-∂∂∂∂D 定理2 复变函数方程， 推论2 如果 u ( x , y ) 和 v ( x , y ) 在区域 D 内各个一阶偏导数连续 (从而可微), 并且满足 C -R 方程, 则函数 f ( z ) 在区域 D 解析.注意：在讨论函数的极限与连续问题时， ()()(),,f z u x y iv x y =+等价于讨论两个二元实变函数的极限与连续问题，对 U 和 V 之间的关系没有任何要求. 但在讨论可导与解析性时，即使U 和 V 均可导，f ( z )也未必可导当然更未必解析。

第二章解析函数习题及解答2.1 研究下列函数在任一点处的可导性、解析性，若可导求其导数值．1）； 2）； 3）； 4）. 2.2 证明 如果在区域内解析且满足下列条件之一，则必为一常数.1）在内为实值. 2）在内解析.3）在内为常数.4）在内为一常数.5）在内有，其中，，是不全为0的实常数.6）或在内为常数.7）在内有.2.3 证明在极坐标系下的柯西－黎曼条件为【提示：另一证明方法，可利用，然后根据复合函数求导证明】2.4 设在内解析．证明.2.5 证明解析函数的实、虚部所确定的曲线族与在的点处是正交的.（，为任意实数）2.6 已知下列调和函数求复势表达式．并写成关于的表达式.1）， 2），2.7设，求之值，使为一调和函数，并求一解析函数.2.8 计算下列复数1） 2），其中； 3）； 4）； 5）; 6)Ln(1+i) 2.9 求解方程 2.10 解下列方程1） 2）2.11 证明，对任何数（复数、实数），方程均有解. 2.12 求，使对任意，有.2.13 若某解析函数的实部等于虚部的平方，证明该解析函数必为常数.(提示：参考例2.6.1即可证明，这是该例的一个特殊情况)本章计算机编程实践与思考()33i y x z f -=()z z f =()z z f =()y y z f x x sin ie cos e +=()()()y x v y x u z f ,i ,+=D ()z f ()z f D ()z f D ()z f D ()z f arg D D ()()c y x bv y x au =+,,a b c ()()z f Re ()()z f Im D D ()0='z f 11, u u r ρϕρρϕ∂∂∂∂==-∂∂∂∂v v cos ,sin x y ρϕρϕ==()()()y x v y x u z f ,i ,+=D ()()2222224z f z f y x '=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂()()()y x v y x u z f ,i ,+=()C y x u =,()B y x v =,()0≠'z f C B ()()()y x v y x u z f ,i ,+=z ()()12,-=x y y x u ()i 2-=f ()x yy x v arctan,=0>x ()y y x v pxsin e ,=p v ()()()y x v y x u z f ,i ,+=()ii 1+z 1y x z i +=()i ln -i 1i +()2ln -sin cos 0z z +=0sin =z 0e 1=+zωω=z cos ωz ()zz sin sin =+ω(说明：读者可参考第五部分 计算机仿真编程实践)2.14 计算机编程计算2.15 计算机编程计算2.16 计算机编程解方程 2.17 计算机编程计算2.18 计算机求解方程2.19 计算机仿真（Matlab,Mathcad,Mathmatic ）绘出 的图形. 2.20 对于下列解析函数，分别用计算机仿真方法（Matlab,Mathcad,Mathmatic ）绘出其实部和虚部的等值曲线图．（如等势线、电力线）本章习题解答2.1 研究下列函数在任一点处的可导性、解析性．1）； 2）； 3）； 4）．解 1）故，；，，，显见，，在全平面有连续一阶偏导，故，全平面处处可微，又令得，即即，当且仅当时，C-R 方程成立．所以仅在处可导，其他任何点不可导．由解析的定义可知，于全平面处处不解析．注 由此结果可见，复变函数可存在孤立的甚至唯一的可导点，而无孤立的解析点．2），对任一，考虑极限即对任一，上述极限不存在，由可导定义知，于任一点处不可导．故全平面不解析．3）其中，．所以，当时，有π1i i i1234, (1i), i z ez z z -===+=12Ln(34i), ln(i 1)z z =-+=-sin 2z =tan(1i)Arc +10ze +=sin , cos , tan , ctan z z z z23(1)(); (2)()f z z f z z ==()33i y x z f -=()z z f =()z z f =()y y z f x x sin ie cos e +=()()()y x v y x u y x z f ,i ,i 33+=-= ()3,x y x u =()3,y y x v -=23x x u =∂∂0≡∂∂y u 0≡∂∂x v 23y y v -=∂∂u v()y x u ,()y x v ,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂y u xv y vx u 2233y x -=0022==⇔=+y x y x 0==y x ()z f 0=z ()z f ()y x z z f i -==0z ()()⎩⎨⎧≠∆=∆-=∆≠∆=∆+∆∆-∆=∆-∆+→∆→∆0,0,10,0,1i i lim lim0000y x y x y x y x z z f z z f z z0z ()z z f =0z ()()()y x v y x u y x z z f ,i ,22+=+==()22,y x y x u +=()0,≡y x v ()()0,0,≠y x，，因此，对，C-R 方程不成立．而当时，由于不存在，即不存在，同理，不存在，故在处不可导．于是，于全平面处处不可导，不解析．注 在本题讨论中，仍然采用检验可导充要条件的方法，由于时，，，，均连续，故，可微，但C-R 方程处处不成立．对，从偏导定义出发，得知与不存在，从而在处不可微，故对平面任一点，可导的充要条件不满足．4），，，且，于全平面连续，故于全平面处处可导，全平面处处解析．又，因此有注 1.这里用区域解析的充分条件得到结论； 2.本题中的是一性质极好的函数：不仅全平面解析，且具有特性，它正是实指数函数在复平面的推广，即．但应注意这一推广产生的新性质：1） 由于与以为周期，使得以的整数倍为周期．2） 可取到除0以外的任意复值，包括负值．这两点是值得注意的．2.2 证明 如果在区域内解析且满足下列条件之一，则必为一常数．1）在内为实值． 2）在内解析．3）在内为常数．4）在内为一常数．22y x x xu +=∂∂22y x yyu +=∂∂0≡∂∂=∂∂yu x v ()()0,0,≠∀y x ()()0,0,=y x ()()x x x x x u x u x x x 0200limlim 0,00,lim →→→=-=-()x u ∂∂0,0()y u ∂∂0,0()z z f =0=z ()zz f =()()0,0,≠y x x u∂∂y u ∂∂x v ∂∂y v∂∂u v ()()0,0,=y x x u ∂∂y u∂∂()y x u ,()0,0()()()y x v y x u y y z f xx ,i ,sin ie cos e +=+=()y y x u x cos e ,=()y y x v x sin e ,=y v y x u x ∂∂==∂∂cos e x v y y u x ∂∂-=-=∂∂sin e x u ∂∂y u ∂∂()z f ()x vx u z f ∂∂+∂∂='i ()()z f y y z f xx =+='sin ie cos e ()f z ()()z f z f ='x e ()ecos ie sin exp e xx zf z y y z '=+==ycos y sin πk 2z e i 2πz e ()()()y x v y x u z f ,i ,+=D ()z f ()z f D ()z f D ()z f D ()z f arg D5）在内有，其中，，是不全为0的实常数．6）或在内为常数．7）在内有．证 首先，由条件在内解析a ），均在内可微，且b ）在内处处成立．1）因为在内取实值，即，．于是，．将此结果代入C-R 方程b ），得，．所以．．即（为一常数）2）于在内解析．因而除条件a ），b ）成立之外，条件c ）成立．联立b ），c ）得，即，．又由b ）或c ）得．所以在内，恒有，．即为常数．3）由于，．若，则，，．若，则由，两端分别关于，求偏导得：e ）将b ）代入e ）得D ()()c y x bv y x au =+,,a b c ()()z f Re ()()z f Im D D ()0='z f ()()()y x v y x u z f ,i ,+=D ⇔u v D ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂-=∂∂∂∂=∂∂x v yu y v x u D ()z f D ()0,≡y x v ()D y x ∈,0≡∂∂=∂∂y v x v ()D y x ∈,0≡∂∂=∂∂y u x u ()D y x ∈,()A y x u =,()D y x ∈,()A z f =D z ∈A ()()()()()[]y x v y x u y x v y x u z f ,i ,,i ,-+=-=D ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∂-∂-=∂∂∂∂-=∂-∂=∂∂x v x v yu y v y v x u y v y v ∂∂-=∂∂x vx v ∂∂-=∂∂0=∂∂=∂∂y v x u ()D y x ∈,0=∂∂=∂∂y ux u D ()A y x u =,()B y x v =,()B A z f i +=()()()Cy x v y x u z f ≡+=,,22()D y x ∈, 10=C ()0≡z f ()0≡⇔∈z f D z D z ∈ 20≠C ()()0,,222≠≡+C y x v y x u x y ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00y v v y u u x v v xuu ()D y x ∈,由得 ，代入b ）得，于是， 即， （，为任意实常数）3）因为常数，，由主值支的表达式得f ）常数，及， 若，则 归为1）的情形，得证．若，对c ）两端分别关于，求偏导得 即将b ）代入得，再由b ）即得 ，从而得，（，为任意实常数）5），，且，，是不全为0的实常数．所以有．于是对上式两端分别关于，求偏导得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂-∂∂00y u u xu v y u v x uu ()D y x ∈,()()0,,222≠≡+C y x v y x u 0≡∂∂=∂∂y u x u ()D y x ∈,0≡∂∂=∂∂y vx v ()D y x ∈,()A y x u ≡,()B y x v ≡,()B A z f i +=D z ∈A B ()≡z f arg D z ∈ωarg ()()≡y x u y x v ,,arctan C =()()0,,222≠≡+C y x v y x u ()D y x ∈, 10=C ()()⎩⎨⎧>≡0,0,y x u y x v ()D y x ∈, 20≠C x y ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+∂∂-∂∂=+∂∂-∂∂002222v u y u v y v u v u x u v x vu ()022≠+v u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂00y u v yvu x u v x v u ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂-∂∂00x u u xv v x u v x vu ()D y x ∈,()()0,,22≠+y x v y x u 0=∂∂=∂∂∴x vx u 0=∂∂y v 0=∂∂y u ()B A z f i +=D z ∈A B ()()c y x bv y x u =+,,a ()D y x ∈,a b c 022≠+b a x y将b ）代入得因为，故得 再由条件b ）即得，．于是得，（，为任意实常数）6）若，则在内取实值．即1）所证．若即，则，，，代入b ），即得，．，， （，为任意实常数） 若，即，则，，则由b ）知，，即，7）由于．所以若在内有，则，， 由条件b ）即得，． 所以， （，为任意实常数）．注 以上各命题的论证均是在于区域上解析的前提下进行的，否则结论不一定成立．例如，为一实值函数，满足条件1）．但它于全平面不解析（见1-26题，3）．显然在任何区域上不可能取常数值，即无题中的结论． 2.3 证明在极坐标系下的柯西－黎曼条件为【提示：另一证明方法，可利用，然后根据复合函数求导证明】⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂+∂∂=∂∂+∂∂00y v b yu a x v b x ua ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-∂∂=∂∂+∂∂00x v a x u b x v b x ua 022≠+b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂00xv x u()D y x ∈,0=∂∂y v 0=∂∂y u ()B A z f i +≡D z ∈A B1()()0Im =≡C z f ()z f D ()()0Im ≠≡C z f ()C y x v ≡,()D y x ∈,0≡∂∂x v0≡∂∂y v ()D y x ∈,0≡∂∂x u0≡∂∂y u ()D y x ∈,()B A z f i +=∴ D z ∈A B 2()()C z f ≡Re ()C y x u ≡,()D y x ∈,0≡∂∂x u 0≡∂∂x u 0≡∂∂x v0≡∂∂y v ()B A z f i += D z ∈()x v x u z f ∂∂+∂∂='i D ()0='z f 0=∂∂x u 0=∂∂x v()D y x ∈,0=∂∂y u 0=∂∂y v()D y x ∈,()B A z f i +=D z ∈A B ()z f D ()zz f =()zz f =D 11, u u r ρϕρρϕ∂∂∂∂==-∂∂∂∂v v cos ,sin x y ρϕρϕ==2.4 设在内解析．证明．证 令则（1） 同理得（2） 并注意在内解析．所以有即且，均为调和函数，即．于是（1）+（2）得注 本题证明中用到解析函数三条性质：（1）实、虚部满足C-R 方程．（2）．（3）实部、虚部均为调和函数．即，．2.5 证明解析函数的实、虚部所确定的曲线族与在的点处是正交的．（，为任意实数）证 因为在的点，曲线族在该点处的切线斜率为．曲线族在该点处的切线斜率为．所以．即曲线族与曲线族正交．（2）对使得，的点，曲线族在该点处的切线为铅直线（∵），而曲线族在该点处的切线为水平线（∵），故二者正交，同理，当，时，二者也正交．注 1.本题证明中用到曲线与曲线正交即为二者在交点处切线的正交这一概念； 2.本题的结论是解析函数在处的又一性质．2.6 已知下列调和函数求复势表达式．并写成关于的表达式．()()()y x v y x u z f ,i ,+=D ()()2222224z f z f y x '=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂()()()()y x G y x v y x u z f ,,,222=+=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂222222222x v v x u u x v x u x G ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂222222222y v v y u u y v y u y G ()z f D ()y u y v x v x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂='i i ()22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂='y v y u x v x u z f u v 0=∆=∆v u ()222224zf y G x G '=∂∂+∂∂()y u y v x v x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂='i i 0=∆u 0=∆v ()()()y x v y x u z f ,i ,+=()C y x u =,()B y x v =,()0≠'z f C B ()0≠'z f ()y x ,()C y x u =,x v x u y u x u x y k ∂∂∂∂=∂∂∂∂-==d d 1()B y x v =,x uxvy v xvx y k ∂∂∂∂-=∂∂∂∂-==d d 2121-=k k ()C y x u =,()B y x v =,0≠∂∂x u 0=∂∂x v ()y x ,()C y x u =,0d d =y x ()B y x v =,0d d =x y0≠∂∂x v 0=∂∂x u ()0≠'z f ()()()y x v y x u z f ,i ,+=z1）， 2）， 解 由于解析，所以，满足C-R 方程．1），故．由此得，这里为的任一可导函数．又由得所以，为任一实常数． 于是． 令，即得 ∴ 于是，满足条件的解析函数为所以2）在极坐标系下，C-R 方程为形式． 令（则由得），有，，所以得，即解得 为的任一可导函数． 又由得．为任一实常数． 所以注意，得2.7设，求之值，使为一调和函数，并求一解析函数．解 因为，所以 ，，，()()12,-=x y y x u ()i 2-=f ()x yy x v arctan,=0>x ()()()y x v y x u z f ,i ,+=()y x u ,()y x v ,()()12,-=x y y x u yx u y v 2=∂∂=∂∂()()x C y y x v +=2,()x C x y ux v ∂∂-=∂∂()()12--='x x C ()122C x x x C ++-=1C ()1222,C x x y y x v ++-=2=z ⎩⎨⎧==02y x ()i i 21-==C f 11-=C ()()()12i 1222-+-+-=x x y x y z f ()()21i --=z z f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∂∂∂∂-=∂∂r u r v r v r uθθθ==x y v arctan 0>x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈2,2ππθ1=∂∂θv 0=∂∂r v 1=∂∂r u r r r u 1=∂∂()()θθC r r u +=ln ,()θC θ()0=∂∂-='=∂∂r v r C u θθ()1C C =θ1C ()1ln ,C r r u +=θ()()()θθθi ln ,i ,1++=+=C r r v r u z f z r =()0arg arctan >==x z x yθ()1arg i ln C z z z f ++=()y y x v pxsin e,=p v ()()()y x v y x u z f ,i ,+=()y y x v pxsin e ,=y p x v px sin e =∂∂y p x v px sin e 222=∂∂y y v px cos e =∂∂y y v px sin e -=∂∂由，得． （1）当时，．由1-32题的方法易求出调和函数，则为所求解析函数，其中为任意实常数．（2）当时，．可求得调和函数．（为任一实常数）．于是所求的解析函数为(全平面解析)2.8 计算下列复数1） 2），其中； 3）； 4）；5）解 1）（为整数）2）当时得3）4）；5） 注 （i ）.以上各题均由定义求得；(ii). 值得注意的是，1只是无穷多个值中的一个值（对应于），这与实变量函数中的概念不同．2.9 求解方程【解】2.10 解下列方程1） 2）解2） ∵∴ ，即由对数函数定义得∴ ，为任意整数． 3）由得由对数函数定义得为任意整数[]1sin e 22222=-=∂∂+∂∂=∆p y y vx v v px 1±=p 1=p ()y y x v xsin e ,=()c y y x u x +=cos e ,()C y C y z f z x x +=++=e sin ie cos e C 1-=p ()y y x v x sin e ,-=()1cos e ,C y y x u x +-=-1C ()()()[]111e sin i cos e sin ie cos e C C y y y C y z f x z x x +-=+-+--=++-=----()ii 1+z 1y x z i +=()i ln -i 1i +()2ln -()()2iln 2412i 4i 2ln i i 1iln i ee e i 1+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++===+πππk k k ()()()x k x k yk y y x z ππππ2sin i 2cos e e 11k 22i i x i +===-++() ,2,1,0±±=k 0=k 11=z()()πππk k 2i 2i2i i iarg i ln i ln +-=+-+-=-() ,2,1,0±±=k ()() ,2,1,0ie k 22/1±±=+k π()() ,2,1,012i 2ln ±±=++k k πz10=k sin cos 0z z +=(2)2sin cos 0(1)(1)2211/4, (0,1,2,)iz iz iz iziz iz i n iz e e e e z z e i e i i i e i eiz n n ππππ-----++=+=∴-=-++=-=-=-∴=-=±±0sin =z 0e 1=+zi 2e e sin i i =-=-zz z z z i i e e -=1e 2i =zπk z 2i 1ln 2i ==πk z k=k 01e =+z 1e -=z()()π12i 1ln +=-=k z k k主值为2.11 证明，对任何数（复数、实数），方程均有解．证 在中，令，则，且，所以．且可取到任意非0值．于是，原方程即为，即．所以．（这里有两个根）故，由对数函数定义得所以．故右端对任意均有意义，得证． 注 这里的结果说明两点：（1）复变量余弦函数可取到任意值（复、实值），而不象实余弦函数取值区间仅为；（2）所得结果改变与的位置，即得）．这正是的反函数．可对进行同样讨论，此略． 2.12 求，使对任意，有．解 由的定义，即求满足方程的一切值．整理化简即得 ，对任意成立．且因． 故得，即．为任意整数． 所以注 由此题结果可见，复变量正、余弦函数为周期函数，且周期与实变量正、余弦的相同． 2.13 若某解析函数的实部等于虚部的平方，证明该解析函数必为常数． 【提示，参考例2.6.1即可证明，这是该例的一个特殊情况】i0π=z ωω=z cos 2e e cos i i zz z -+=zt i e =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t z 121cos ()x x t y z sin i cos e e i +==-0≠t t ω=⎪⎭⎫ ⎝⎛+t t 1210122=+-t t ω12-+=ωωt 12-ω01e 2i ≠-+=ωωz ()()1iln 1ln i 122-+-=-+=ωωωωz 012≠-+ωωω[]1,1-z ω()1iln 2-+-=z z ωz cos =ωz sin ωz ()z z sin sin =+ωz sin ()()zz z z i i i i e e e e -+-+-=-ωωω()()ωωωi i i 2i e 1e 1e e ----=-⋅z z 0e e i 2i ≠⋅ωz 0e1i =--ωπωk 2i 1ln i ==-k πωm 2=(),2,1,0±±=m。

第二章 解析函数基础复变函数研究的对象，主要是解析函数，它是一类具有某种特性的可微函数，在理论和实际问题中有着广泛的应用，本章先引进复变函数的可微和解析及其判别的充要条件，研究调和函数与解析函数的关系，再把实变量初等函数推广到复变函数中来，并说明其解析性质.第一节 复变函数的导数一、导数和微分把实变函数导数推广到复变函数时,有如下定义.定义1 设函数)(z f w =在区域D 内有定义,+∈00,z D z D z ∈∆ ,若极限zz f z z f z ∆-∆+→∆)()(lim 000 存在，则称)(z f 在0z 处可导，并称此极限为)(z f 在0z 处的导数，记为)(0z f '或0z z dz dw =即 z z f z z f dz dw z f z z z ∆-∆+=='→∆=)()(lim )(00000. 该定义也可用 δε- 语言叙述为:对任意给定的,0>ε存在,0>δ使得当δ<∆<z 0时，总有ε<'-∆-∆+)()()(000z f zz f z z f . 复变函数导数定义与实变函数导数定义在形式上没有区别，但由于在复平面上0→∆z 即00z z z →∆+的方式是任意的，它比在数轴上00x x x →∆+复杂的多,因而两者在实质上有很大的不同.若)(z f w =在区域D 内每一点可导，则称)(z f 在D 内可导. 例1 求2)(z z f =的导数. 解 zz z z z z f z z f z f z z ∆-∆+=∆-∆+='→∆→∆2200)(lim )()(lim )( z z z z 2)2(lim 0=∆+=→∆. 例2 问iy x z f +=2)(是否可导？解 y i x yi x i y y x x z z f z z f y x z ∆+∆+-∆++∆+=∆-∆+→∆→∆→∆)2()()(2lim )()(lim 000 y i x y i x y x ∆+∆∆+∆=→∆→∆2lim 00. 当0→∆=∆x k y 时，上式为ikik ++12随k 变化而变化，故极限不存在，因而)(z f 在复平面内处处不可导. 这个例子说明，处处连续而又处处不可导的函数，这在实变函数里很难找到这样的函数，而在复变函数中却很容易构造出来.在一元实函数中，在一点可导必在该点连续，而连续却不一定可导.这个结论对复变函数仍然成立.事实上，由)(z f 在点z 处可导得，对任意ε，存在,0>δ当δ<∆<z 0时，有ε<'-∆-∆+)()()(z f zz f z z f . 令)()()()(z f zz f z z f z '-∆-∆+=∆ρ，则0)(lim 0=∆→∆z z ρ. 因此 z z z z f z f z z f ∆∆+∆'=-∆+)()()()(ρ,于是 )()(lim 0z f z z f z =∆+→∆, 即)(z f 在点z 处连续.类似于实变函数，复变函数中也有微分概念.定义2 若函数)(z f =ω在点z 的改变量可写成z z z z A z f z z f ∆∆+∆=-∆+=∆)()()()(ρω，其中0)(lim 0=∆→∆z z ρ，z z ∆∆)(ρ是z ∆的高阶无穷小，则称)(z f 在点z 处可微，而z z A ∆)(称为)(z f 在点z 处的微分，记为z z A d ∆=)(ω.由定义容易推出， )()(z f z A '=.当z z f =)(时，z dz ∆=， 所以)(z f 在点z 处的微分又常记为dz z f z df d )()('==ω.可见, 在复变函数中,可导与可微也是等价的.把实函数的求导公式与法则推广到复变函数中来，有(1) 0)(='c ，其中c 为复常数;(2) 1)(-='n n nz z 其中n 为正整数;(3) )()(])()([z g z f z g z f '±'='±;(4) )()()()(])()([z g z f z g z f z g z f '+'='; (5) ());0( )]([)()()()())()((2≠'-'='z g z g z g z f z g z f z g z f (6) {})()()]([z g f z g f ''='ω， 其中)(z g =ω; (7) ,)(1)(ωϕ'='z f 其中)(z f =ω与)(ωϕ=z 是两个互为反函数的单值函数，且0)(≠'ωϕ.二、函数在一点可导的充要条件从以上我们看到，在形式上，复变函数的导数及其求导法则与实函数几乎没有什么不同，可是在实质上，两者之间有很大的差别. 实函数可微这一条件较易满足，而复变函数可微则不但其实部和虚部必需可微，且实部和虚部有特别的联系. 本书着重研究这样的复变函数，它们具有重要的性质.定理一 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内点iy x z +=处可导的充要条件是),(y x u 与),(y x v 在点),(y x 处可微，且在该点满足柯西—黎曼方程. ,x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ 证 必要性令21,)(ρρρβαi i z f +=+='，由导数定义，当0,≠∆∈∆+z D z z 时z z z f v i u z f z z f ∆+∆'=∆+∆=-∆+ρ)()()()(y x i y x ∆+∆+∆-∆=αββα)(2121x y i y x ∆+∆+∆-∆+ρρρρ 比较实部及虚部，得y x y x u ∆-∆+∆-∆=∆21ρρβα；y x y x v ∆+∆+∆+∆=∆12ρραβ.由0)(lim 0=∆→∆z z ρ，有.0lim ,0lim 20100==→∆→∆→∆→∆ρρy x y x 故v u ,可微，且有. ,xv y u y v x u ∂∂-=∂∂=-∂∂=∂∂=βα 充分性设v u ,在点),(y x 处可微，则,,4321y x y y v x x v v y x y y u x x u u ∆+∆+∆∂∂+∆∂∂=∆∆+∆+∆∂∂+∆∂∂=∆εεεε 这里 0lim 0=→∆→∆k y x ε，)4 ,3 ,2 ,1(=k . 由柯西—黎曼方程，令xv y u y v x u ∂∂-=∂∂=-∂∂=∂∂=βα,, 则 vi u z f z z f ∆+∆=-∆+)()( ,)()())(()()()(42314231y i x i y i x i y i x i y x i y x ∆++∆++∆+∆+=∆++∆++∆+∆+∆-∆=εεεεβαεεεεαββα 于是 zy i z x i i z z f z z f ∆∆++∆∆+++=∆-∆+)()()()(4231εεεεβα. 因为,1,1≤∆∆≤∆∆z y z x 所以 y u i y v x v i x u i z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=+='βα)(. 例3 讨论22)(iy x z f +=的可导性.解 令 ,,22y v x u ==则 y yv x v y u x x u 2,0,0,2=∂∂=∂∂=∂∂=∂∂. 因为上述四个偏导数在复平面内处处连续，故v u , 可微，且y u x v ∂∂-==∂∂0，但仅当x y =时有,y v x u ∂∂=∂∂而在其它点处yv x u ∂∂≠∂∂. 所以22)(iy x z f +=仅在直线x y =上可导，在复平面内其它点处不可导.在直线x y =上的导数为x iv u z f x x 2)(=+='.例4 问)Re()(z z z z f +=是否可导?解 令 ,,2xy y v x x u +=+= 则v u ,在复平面上可微.又 .1 0 ,21x yv y x v y u x x u +=∂∂=∂∂=∂∂+=∂∂，， 且当0,0==y x 时有x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ ,. 所以)(z f 只在0=z 处可导，在复平面内其它点处不可导.第二节 解析函数一、解析函数概念定义1 若函数)(z f 在点0z 及其某一邻域内可导，则称)(z f 在0z 解析. 若)(z f 在区域D 内处处可导，则称)(z f 在区域D 内解析，或称)(z f 为区域D 内的解析函数.例如，2)(z z f =为复平面内的解析函数. 又如，)Re()(z z z z f +=在00=z 处不是解析的. 因为它只在00=z 处可导，而在其它点处不可导.函数的不解析点，称为函数的奇点.由解析定义，)(z f 在点0z 可导与)(z f 在点0z 解析不是同一个概念. 在0z 解析必在0z 可导，而在0z 可导则不一定在0z 解析. 但在区域内，函数可导与函数解析则是等价的.例1 研究函数2)(z z f =的解析性.解 ,)(222y x z z f +== ,),(22y x y x u += 0),(=y x v .x x u 2=∂∂ ， y y u 2=∂∂， 0=∂∂xv ， 0=∂∂y v . ),(),,(y x v y x u 可微，但只有当0,0==y x 时，才有,y v x u ∂∂=∂∂ x v y u ∂∂-=∂∂，而在复平面其它点，柯西——黎曼方程不成立. 由可导的充要条件得，)(z f 只在0=z处可导，在其它点处不可导. 由解析定义，它在复平面内处处不解析.例2 研究函数zz f 1)(=的解析性.解 )(z f 在0=z 处无定义，在0≠z 处，容易求得21)(z z f -='，所以)(z f 在除去0=z 点的复平面上处处解析.由解析的定义及导数的四则运算与复合函数的求导法则，有下面的结论：定理二(1) 在区域D 内解析的两个函数，它们的和、差、积、商（分母为零的点除外）仍为D 内的解析函数.(2) 解析函数的复合函数仍为解析函数.二、函数解析的充要条件要判断函数)(z f =ω在区域D 内是否解析，关键在于判断函数)(z f =ω在区域D 内是否可导. 由)(z f =ω在一点可导的充要条件，我们不难得到函数在区域D 内解析的充要条件.定理三 函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域D 内解析的充要条件是),(y x u 与),(y x v 在D 内可微并且满足柯西—黎曼方程. ,xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂ 例3 判断函数)sin (cos )(y i y e z f x +=的解析性.解 令y e y x u x cos ),(= ， y e y x v xsin ),(=， 则 y e xu x c o s =∂∂ ， y e y u x sin -=∂∂， y e xv x s i n =∂∂ ， y e y v x c o s =∂∂. 所以y v x u ∂∂=∂∂ ，xv y u ∂∂-=∂∂，且),(y x u ，),(y x v 偏导数连续，因而可微. 故)(z f 为复平面内的解析函数，其导数为)()sin (cos )(z f y i y e xv i x u z f x =+=∂∂+∂∂=' 例4 若),(),(y x iv y x u +=ω为区域D 内的解析函数，则ω一定能单独用z 表示. 证 若把)(21)(21z z iy z z x -=+=，代入),(y x u 与),(y x v 中，则ω就是z 与z 的函数. 要证明结论，只需证ω中不含z 就可以了.因为 )(21)(21y v i y u i x v i x u z y y z x x z∂∂+∂∂-∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ωωω 0)(2)(21≡∂∂+∂∂+∂∂-∂∂=yu x v i y v x u ， 所以ω中不含z ， 即ω的表达式中只含有z ，不含z . 而不解析的函数如z z iy x z f 21232)(+=+=中却不能单独用z 表示，)(z f 中还含有z . 例5 若)(z f 在区域D 内解析，且)(z f 恒为常数，则)(z f 也为常数.证 设,)(iv u z f += )(z f =c , 则222c v u =+(c 为实常数)， 且 0 ,0=+=+y y x x vv uuvv uu . 由)(z f 解析，有 x y y x v u v u -== ,代入上两式，得⎩⎨⎧=-=+.0,0x xx x uv vu vv uu当系数行列式0)(22≠+-v u 时，方程组只有零解，即0,0==x x v u ,由柯西--黎曼方程，也有0,0==y y v u .也就是说，v u ,对y x ,偏导数均为零，故u 与v 均为常数. 当系数行列式0)(22=+-v u 时，有0,0==v u .因此)(z f 为常数.例6 若iv u z f +=)(在区域D 内解析，0)(≠'z f ,则曲线族21),(,),(c y x v c y x u ==在区域D 内正交，其中1c 与2c 为任意实常数.证 设21),(,),(c y x v c y x u ==的交点为),(y x .由于0)(≠-=+='y y x x iu v iv u z f ，故y u 与y v 不同时为零.若y u ,y v 都不为零，则曲线1),(c y x u =在),(y x 处切线斜率y x u k -=1， 曲线2),(c y x v =在),(y x 处切线斜率为y x v v k -=2.由柯西-黎曼方程，有 1))((21-=--=y x y x v v u u k k ，所以两曲线正交.若y y v u ,中有一个为零，则另一个必不为零，此时两曲线在交点),(y x 处的切线一条是水平的，另一条是铅直的，两曲线仍正交.第三节 调和函数平面静电场中的电位函数，无源无旋的平面流速场中的势函数都是一种特殊的二元函数，即所谓的调和函数，它们都与某种解析函数有着密切联系.定义1 若函数),(y x u 在区域D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程 02222=∂∂+∂∂y u x u .则称),(y x u 为区域D 内的调和函数，或说),(y x u 在区域D 内调和.下面用定理说明解析函数与调和函数关系.定理四 在区域D 内的解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=，其实部),(y x u 和虚部),(y x v 都是区域D 内的调和函数.证 因为iv u z f +=)(在D 内解析，所以v u ,满足柯西--黎曼方程 yv x u ∂∂=∂∂ ， x v y u ∂∂-=∂∂. 下一章将证明，解析函数具有任意阶导数，因而v u ,均有任意阶连续导数，对上式再求一次偏导数，得 x y v x u ∂∂∂=∂∂222 ，y x v yu ∂∂∂-=∂∂222. 又 yx v x y v ∂∂∂=∂∂∂22， 所以 02222=∂∂+∂∂yu x u . 同理 02222=∂∂+∂∂yv x v ， 因此),(y x u 与),(y x v 是D 内的调和函数.定义2 设),(y x u 与),(y x v 均为区域D 内的调和函数，且满足柯西-黎曼方程y v x u ∂∂=∂∂ ，xv y u ∂∂-=∂∂ 则称v 为u 的共轭调和函数.显然，由定义，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数.若v u ,在区域D 内调和，iv u z f +=)(不一定是D 内的解析函数，但若v 是u 的共轭调和函数，则)(z f 在D 内一定解析.下面举例说明，已知调和函数),(y x u ,如何构造解析函数iv u z f +=)(或已知u 的共轭调和函数v ，如何求解析函数iv u z f +=)(.例1 设xy y x y x u +-=22),(,求共轭调和函数),(y x v 及解析函数iv u z f +=)(. 解 方法一 因为yu x v ∂∂-=∂∂x y -=2， 对上式关于x 积分，得 )(212),(2y c x yx y x v +-=， 其中)(y c 是任意实函数.要求)y (，x v ，还需确定)(y c . 又 xu y v ∂∂=∂∂ ， 所以 y x y c x +='+2)(2.于是 1221)(c y y c +=, 其中1c 是任意实常数. 因此 12221212),(c y x xy y x v ++-=， 且 ),(),()(y x iv y x u z f += 12222)21212()(ic y x xy i xy y x ++-++-= 12)2(21ic z i +-=. 方法二由v u ,可微，得dy u dx u dy v dx v dv x y y x +-=+=dy y x dx x y )2()2(++-=.对上式从)0,0(沿x 轴到)0,(x ，再从)0,(x 到),(y x 的直线段上积分，得),(y x v =⎰-x dx x 0)(+⎰+ydy y x 0)2(1c + 12222121c xy y x +++-=，(1c 为任意实常数). 则 12222)22121()()(ic xy y x i xy y x z f +++-++-=. 方法三由导数公式得y x x x iu u iv u z f -=+=')()2(2x y i y x +--+=z i )2(-=.显然 2)2(21)(z i z g -=的导数z i z g )2()(-='， 从而得 c z i c z g z f +-=+=2)2(21)()(. 因为),(y x u 中不含常数，所以c 为纯虚数，即1ic c =，其中1c 为任意实数.则 12222121) (c xy y x y x v +++-=，. 方法四由第二节中例4，解析函数),(),()(y x iv y x u z f +==ω一定能单独用z 表示这一特征可以将),(),(y x iv y x u +很方便地写成z 的表达式，只需在iy x z z f +==),(ω中令0=y ,则有)()0()(x f x f z f =+==ω也就是说)(z f 与)(x f 的对应规律相同.将)(x f 中的x 换成z ,得)(z f =ω.如在方法一中求到),(),()(y x iv y x u z f +=，要把iv u +写成关于z 的表达式，只需在)(z f 中令0=y ,得 12122)2(212)(ic x i ic x i x x f +-=+-=， 把x 换成z ，就有12)2(21)(ic z i z f +-=.下面用这种方法求出本例的),(y x v ,先求)(z f .因为 )2(2)(x y i y x iu u z f y x +--+=-='，令0=y ,即x z =, 得ix x x f -='2)(. 显然 c ix x x f +-=2221)(， 将x 换成z ,得 c z i z f +-=2)2(21)(. 由于u 中不含任意常数，故iv u z f +=)(中的c 是任意纯虚数，把iy x z +=代入)(z f ，易得),(y x v .此方法方便简单又不易出错，特别是v u ,表达式复杂而要求)(z f 时，更显出这种方法的优越性.第四节 初等函数下面把实变量基本初等函数推广到复数域上来，在复数域内这些函数的定义和实数域内的定义不同，并且会出现一些新的特征.一、指数函数对于复变数iy x z +=定义)sin (cos )(y i y e z f x +=为复变数z 的指数函数，记为z e ，即)sin (cos )(y i y e e e z f x iy x z +===+.这样定义后， z e 具有与实变量指数函数相类似的性质：(1)z e 是单值函数；(2)对任意复数0 ,≠z e z ；(3)对任意复数1z 与2z ，2121z z z z e e e=+； (4)z z z e z f e e ==')( ,)(在整个复平面上解析.这些性质不难从指数函数的定义得到验证，我们只证明(3)，(4)在第二节例3中已经证明.事实上， 令222111,iy x z iy x z +=+=,则)()(212121y y i x x z z e e ++++=)]sin()[cos(212121y y i y y e x x +++=+)sin (cos )sin (cos 221121y i y e y i y e xx ++=2211iy x iy x e e ++=21z z e e =. 由z e 的定义，z e 具有周期i k π2,即对整数k ,有)()2sin 2(cos )2(2z f e k i k e ei k z f z z i k z ==+==++ππππ， 这是z e 与x e 不同的一个显著特征.当iy z =时，由ze 定义，得到欧拉公式 y i y e iy sin cos +=.二、对数函数设0≠z ,把满足w e z =的w 称为复变数z 的对数函数，记为Lnz ，即Lnz w =.令θi re z =,iv u w +=,则由w e z =得iArgz i iv u e z re e ==+θ 于是 z r u ln ln == ， πk z Argz v 2arg +==(k 是任意整数)， 所以复数域上的对数函数Lnz 有如下的代数表达式 i k z i z iArgz z Lnz z f πω2arg ln ln )(++=+===， 其中z ln 是实数域中的自然对数，k 是任意整数.由于Argz 的多值性，Lnz 是一多值函数，k 取每一个确定的整数，都可得到一单值 函数，称为Lnz 的一个分支.0=k 时的单值分支称为Lnz 的主值，记为z ln ，即 z i z z arg ln ln +=.显然z ln 是x ln 在复平面上的推广，且i k z Lnz π2ln +=.例1 计算)1(),(),1(i Ln i Ln Ln ---及其主值.解 i k i k i Ln ππ)12(2)1arg(1ln )1(+=+-+-=-， i k i k i i i i Ln ππ)212(2)arg(ln )(-=+-+-=-，i k i k i i i i Ln ππ)412(2ln2)1arg(1ln )1(-+=+-+-=- 上述式子中的k 为整数，当0=k 时，对数主值为 i i i i i πππ412ln 21)1ln( ,21)ln( ,)1ln(-=--=-=-. 例2 计算22 ,22Ln Ln 的值.解 ,2,1,0,22ln 224arg 4ln 22±±=+=++=k i k i k i Ln ππ…，,2,1,0,42ln 2)22arg 2(ln 222±±=+=++=m i m i m i Ln ππ….上例说明，当m k 2=为偶数时，22Ln 才与2ln 2相等.在集合相等意义下，对数函数有下列运算性质：(1)2121)(Lnz Lnz z z Ln +=； (2)2121Lnz Lnz z z Ln -=. 对任意复变数z ，z arg 除原点与负实轴外处处连续，由于ωe z =和z ln =ω是一对互为单值的反函数，由反函数的求导法则，可知ze e z 11)(1)(ln =='='ωω. 又对Lnz 的每一分支，zz i k z Lnz 1)(ln )2(ln )(='='+='π， 所以Lnz 的每一分支在除去原点与负实轴的复平面上处处解析.三、幂函数函数Lnz e z ααω== α,0(≠z 为复常数)称为复变数z 的幂函数.当0=z 且α为正实数时，规定0=αz .由定义，i k z Lnz e e z παααα2ln +==,2ln i k z e e παα= 2 ,1 ,0±±=k ….由于z e ln α为一单值函数，παπαπαk i k e i k 2sin 2cos 2+=，所以(1)α为整数时，αz 为单值函数；(2)α为有理数nm （既约分数，2≥n ）, αz 有n 个单值分支，即αωz =是多值函数； (3)α为无理数或复数时, αz 是无穷多值函数.特别，当z 为复常数,n n n 1 , ,-=α时, αz 就是第一章中定义的乘幂,负幂,开方等概念.由复合函数求导法则,对αz 的每一分支,有 11)()(-=='='ααααααz ze e z Lnz Lnz . 即αz 的每一分支除去原点与负实轴外, αz 在复平面上处处解析.特别,当n =α (正整数)时,n z 在整个复平面上解析. 当n -=α时,n z - 在除去原点的复平面上解析.例3． 计算32i ,i i 的值.解 由 )2arg 1(ln 323232i k i i Lni e e i π++== i k e)22(32ππ+=)343sin()343cos(ππππk i k +++= 得32i 的三个值分别为1,2321,2321--+i i . k e e e i k i k i iLni i ,)212()212(ππ+-+===为整数.四、三角函数与双曲函数在指数函数定义中令0=x ，有y i y e iy sin cos +=， y i y e iy sin cos -=-.从而得到 )(21cos ),(21sin iy iy iy iy e e y e e i y --+=-=. 把实变量y 推广到复变量z ，得到复变量z 的正弦,余弦函数，记为z sin 与z cos . 即 )(21cos ),(21sin iz iz iz iz e e z e e i z --+=-=. 由定义，z sin 与z cos 具有如下性质：(1)z sin 与z cos 均为单值函数；(2)z sin 与z cos 均为以π2为周期的周期函数；(3)z sin 为奇函数，z cos 为偶函数；(4)除半角公式外，其它三角恒等式仍成立，即212121sin sin cos cos )cos(z z z z z z =±;212121sin cos cos sin )sin(z z z z z z ±=±； z z z z cos )2sin( ,1cos sin 22=-=+π.(5).sin )(cos ,cos )(sin z z z z -='='即z sin 与z cos 在整个复平面上解析 此外，1cos ,1sin ≤≤z z 在复数范围内不再成立.例取iy z =就有 ∞→-=-)(21sin y y e e i iy ，当∞→y 时. ∞→+=-)(21cos y y e e iy ，当∞→y 时. 故 z z cos ,sin 是无界的.因而z sin 与z cos 是无界函数.类似定义其它三角函数如下： .sin 1csc ,cos 1sec ,sin cos cot ,cos sin tan z z z z z z z z z z ====这些函数在分母不为零处解析，且有与实三角函数形式相同的求导公式.与三角函数密切相关的是双曲函数，与一元实函数相同.定义双曲函数为 . ,,2 ,2shzchz cthz chz shz thz e e chz e e shz zz z z ==+=-=-- 由定义可看出，双曲函数的奇偶性和求导公式，以及有关双曲函数的恒等式也与 实变函数情形相同，shz 与chz 在复平面上解析且以i k π2为周期.shz chz chz shz ='=')( ,)(.例1 计算)1cos(),(sin 2i i +-的值. 解 4)(2)(sin 212)()(2------=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-e e i e e i i i i i 12sh -=. .11sin 11cos 21sin 21cos sin 1sin cos 1cos )1cos(1111sh i ch ie e e e ii i -=--+=-=+-- 五、反三角函数与反双曲函数三角函数的反函数称为反三角函数.设ωsin =z ，则称ω为复变数z 的反正弦函数，记为z Arc sin =ω. 由i e e z i i 2)(sin ωωω--== 有方程012)(2=--ωωize e i .由二次方程求根公式，有21z iz e i -+=ω， 其中21z -为双值函数，再对上式取对数，得 )1(sin 2z iz iLn z Arc -+-==ω.同理可以得到.1121),1(),1(,112tan ),1(cos 222zz Ln Arthz z z Ln Archz z z Ln Arshz iziz Ln i z Arc z z iLn z Arc -+=-+=++=-+-=-+-=这些函数都是多值函数.习题二1．用导数定义求zz f 1)(=在0≠z 处的导数. 2．用导数公式求下列函数的导数.nz z f )1()()1(-=； 11)()2(2-=z z f ； 234)()3(z z z f --=； d c d cz b az z f ,()()4(++=中至少有一不为)0. 3．用可导的充要条件讨论下列函数的可导性.z =ω)1(； z =ω)2(；z z 2)3(=ω； )Re()Im( )4(z z z -=ω；4．求下列函数的奇点.411)()1(⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=z z z f ； z z z z f )1(12)()2(2++=. 5．下列函数是否解析？ 32)()1(iy x z f +=； )sin (cos )()2(x i x e z f y +=-；(3)xy i y x z f arctan )ln(21)(22++=. 6．试证明柯西—黎曼方程的极坐标形式为 θ∂∂=∂∂v r r u 1 ；θ∂∂-=∂∂u r r v 1. 7．设函数)(z f 在区域D 内解析，且满足下列条件之一，试证)(z f 在区域D 内是一个常数.0)()1(='z f ；=)(Im )2(z f 常数； )()3(z f 在D 内解析；)(arg )4(z f 在D 内是一常数.8．验证下列函数为调和函数，并求解析函数iv u z f +=)(.i f y x u -=-=)2(,)1(2)1(； 0)2(,)2(22=+=f yx y v ； 0)0(),sin cos ()3(=-=f y y y x e u x ；)4)(()4(22y xy x y x u ++-=；(5)0,arctan >=x xy v . 9．求下列各式的值. 22)1(πi e + ； πik e )2(（k 为整数）；3)3(Ln ； )3ln()4(-；)512ln()5(i + ； i 3)6( ；i i )1()7(+； i sin )8(.10．证明下列恒等式.z z z cos sin 22sin )1(=； z z z 22sin cos 2cos )2(-=； z z cos )2sin()3(=+π； chz iz =cos )4(；xshy i xchy z sin cos cos )5(-=.11．解下列方程.01)1(=+z e ； 0cos sin )2(=+z z ；(3)i z 2ln π=； (4)i shz =.12．设)(,0)(,0)(00z f z g z f ==与)(z g 在0z 可导，且0)(0≠'z g ，则 )()()()(lim 000z g z f z g z f z z ''=→. 13．由12题结论，求下列极限. z z z sin lim )1(0→； zz z )1ln(lim )2(0+→； ze z z 1lim )3(0-→. 14．若iv u zf +=)(解析，且2u v =，证明)(z f 为一常数.15．设)(z f 解析，证明： 222)()()(z f z f y z f x '=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 16．z z z ln 2ln ln =+是否正确？。